辽宁省2018年普通高中数学学业水平考试模拟试题

辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第一次模拟考试数学(

朝阳市普通高中2018年高三第一次模拟考试数学（供文科考生使用）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则集合不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为,所以 , ;; ; ,因此选C.2. 设复数满足（是虚数单位），则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,所以,,选A.3. 按照程序框图（如图所示）执行，第个输出的数是（）A. B. C. ． D.【答案】C【解析】第一次输出的A=1，则S=1+1=2，满足条件S≤5，然后A=1+2=3第二次输出的A=3，则S=2+1=3，满足条件S≤5，然后A=3+2=5第三次输出的A=5，故选C．4. 命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. 不存在，【答案】B【解析】根据命题的否定知，，的否定为，，故选B.5. 已知数列的通项公式，若使此数列的前项和最大，则的值为（）A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】由得，所以的值为或时，数列的前项和最大，选C.6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标压缩到原来的倍，最终所得图象对应的函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的图象向右平移个单位长度后得, 再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标压缩到原来的倍得,因此最小正周期为选B.7. 《九章算术》是我国古代内容即为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍凳，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽丈，长丈，上棱长丈，高丈，问：它的体积是多少？”已知丈为尺，该锲体的三视图如图所示，在该锲体的体积为（）A. 立方尺B. 立方尺C. 立方尺D. 立方尺【答案】A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的四棱锥的体积由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺．故选A．【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．8. 设中心在原点、焦点在轴上的双曲线的焦距为，圆与该双曲线的渐近线相切，点在双曲线上，若点到焦点的距离是，则点到的距离是（）A. 或 B. 或 C. D.【答案】D【解析】圆恰为双曲线右焦点，因为双曲线右焦点到渐近线距离为b，所以，因此，又因为选A.9. 在平面直角坐标系中，设，，向中随机投一点，则所投点在中的概率是（）A. B. C. D.【答案】B.....................10. 方程在内根的个数为（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】D【解析】由原方程的得：,同一坐标系作出函数图像如图由图象可知，共有8个交点，故选D.点睛：涉及函数零点或者方程根的个数问题，可转化为两个函数图象交点的个数问题，一般要在同一坐标系内作出两个函数图象，即可观察出交点个数，从而解决问题.11. 一个含有项的等比数列，其中每一项都是小于的正整数，这项的和为，如果是数列中奇数项之和，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易得满足题意，所以等于1+9+81=91，选B.12. 在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，且，，则（）A. B. C. D.【答案】A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量、满足约束条件，则最大值是__________．【答案】10【解析】作可行域,则直线过点A(3,4)时取最大值10.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 抛物线：（）的准线与轴的交点为，过点作的两条切线，切点分别为，，则__________．【答案】【解析】由题意得 ,设过点切线方程为 ,代入得,即 ,因此15. 矩形中，，，平面，，，分别是，的中点，则四棱锥的外接球表面积为__________．【答案】【解析】设四棱锥的外接球半径为R,则 , 因此外接球表面积为16. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为__________．【答案】【解析】由曲线的解析式可得：，令可得：(舍去负根)，且当时，，则原问题转化为求解点与直线的距离，即：，综上可得：点到直线的最小距离是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，已知，.（1）求的值；（2）若，为的中点，求的长.【答案】（1）．（2）．【解析】试题分析：解：（Ⅰ）且，∴．- 2分3分．- 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得． 8分由正弦定理得，即，得． 10分在中，，，所以． 12分考点：解三角形点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题。

普通高中数学学业水平考试模拟试题

2018年辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟试卷数学试卷（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间90分钟）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 答案一律写在答题卡上，写在试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.3. 回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号. 参考公式：柱体体积公式Sh V =，锥体体积公式Sh V 31=（其中S 为底面面积，h 为高）：球的体积公式334R V π=（其中R 为球的半径）. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，再每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}3,2,1{=P ，集合}4,3,2{=S ，则集合P SA. }3,2,1{B. }4,3,2{C. }3,2{D. {1,2,34}， 2．函数1f (x)x 2+的定义域是 A. {x |x 2}- B. {x |x 2}- C. {x |x 2}- D. {x |x2}3. 已知角β的终边经过点P(1,2)，则sin β=A. 2B. 12C. 255D.4.不等式(x 2)(x 3)0的解集是A. {x |2x 3}B. {x |3x 2}C. {x |x2x 3}或 D. {x |x3x 2}或5.某超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种, 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则n 为 A. 3 B. 2 C. 5 D. 96．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )16A.3π B.48π 64C.3πD.64π 7.从区间(0,1)内任取一个数,则这个数小于56的概率是 ( )A. 15B. 16C. 56D.25368.如图所示的程序框图的算法思路是一种古老而有效的算法——辗转相除法，执行该程序框图，若输入的m,n 的值分别为42,30，则输出的mA ．0B ．2C ．3D ．64cm 4cm4cm 4cm4cm 正视图侧视图俯视图9.设变量x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为( )A.－5B.－4C.－2D.310.为了得到函数)32sin(π+=x y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像（）A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位11. 在ABCD 中，AB a =，AD b =，则AC BA +等于（）. A.a B.b C.0 D.a b +12.函数f (x)是R 上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，则下列各式成立的是（）()()()()()()()()()()()()A. 201 B. 210C. 102 D. 1 20f f f f f f f f f f f f ->>->>>>->->第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，要求直接写出结果，不必写出计算过程或推证过程 13.=π-π8cos 8sin22____________. 14.甲、乙两人进行射击10次，它们的平均成绩均为7环，10次射击成绩的方差分别是： S 2甲=3，S 2乙=1.2．成绩较为稳定的是______．（填“甲”或“乙”）•15.已知向量(1)a y =，和向量(25)，b =，且//a b ，y =______. 16.函数0.5()log f x x =在区间1[2]5，上取值范围为____________.三、解答题：本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分10分）在∆ABC 中，60,45,3A B a ===，求C 及b 的值.18.（本小题满分10分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，试在DD 1确定一点P ，使得直线BD 1∥平面PAC ，并证明你的结论.2018年普通高中数学学业水平考试模拟试题19.（本小题满分10分）已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示: (1)求a 的值;(2)估计汽车通过这段公路时时速不小于60km 的概率.20.（本小题满分10分）已知数列}{n a 为等差数列，32=a ，5a 9.（1）求数列}{n a 的通项公式; （2）求数列1{3}n n a -⋅的前n 项和n S .21.（本小题满分12分）已知圆O 以坐标原点为圆心且过点1(,22，M,N 为平面上关于原点对称的两点，已知N 的坐标为3(0)3，，过N 作直线交圆于A,B 两点. （1）求圆O 的方程;（2）求ABM Δ面积的取值范围.辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟试卷数学参考答案一．1-5 DACAD 6-10 ACDBD 11-12 BB 二．13.22 14.乙 15.5216.[1-,2log 5] 三．17.解：在ABC Δ中，C 180A B 75………………………5分由正弦定理得a sin Bb6sin A.…………………………10分C 11km ）18. 解：取1DD 中点P ,则点P 为所求.证明：连接AC,BD ，设AC,BD 交于点O .则O 为BD 中点，连接PO ,又P 为1DD 中点，所以1PO BD .因为POPAC 面,BD PAC 面,所以1BD 面PAC .…………10分19. 解：（1）+++a 由（0.010.020.03）10=1得a=0.04…………………5分（2）(0.020.04)100.6，所以汽车通过这段公路时时速不小于60km 的概率为0.6.…………10分 20.(1)设数列}{n a 的公差为d ，依题意得方程组11a d3a 4d 9解得1a 1,d 2.所以}{n a 的通项公式为n a 2n 1. ………………5分(2) 012n 1n S 133353(2n 1)3 ① 123n1n n3S 133353(2n 3)3(2n 1)3 ②①－②得n 1123n 1nn n3(13)2S 12(3333)(2n 1)312(2n 1)313所以n nS (n 1)31. …………10分21.(1）因为圆心坐标为(0,0)且圆过1(,)22，所以圆的半径2213r ()()122，所以圆的方程为22xy 1.……………4分（2）因为M,N 关于坐标原点对称所以M(03，当AB 垂直x 轴时，M,A,B 三点构不成三角形所以AB 斜率一定存在设33AB :ykx y kx33即，所以M 到AB的距离23dk 1 2222213k 23O AB AB 212123(k 1)3(k 1)k 1d ==-d 到的距离所以22ABM 222222123k 223k 2231S AB d 23(k 1)3(k 1)3(k 1)(k 1)Δ所以……8分222139t(0t 1)(t)k 124令，g(t)=3t-t 222310t 10g(t)202k1(k1)因为所以所以ABM 2222312222,0S 3k 1(k 1)33-+Δ所以所以.…………12分。

辽宁省2018届高三3月高考模拟考试数学(理)试题+Word版含答案

（Ⅰ）证明： BE ∥平面 PAD ；（Ⅱ）求直线 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值．
P E D C B
A
19．（本小题满分 12 分）也称为可入肺颗 PM 2.5 是指大气中空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，粒物．我国 PM 2.5 标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即 PM 2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米～75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区 2017 年上半年每天的 PM 2.5 监测数据中随机抽取 18 天的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如下图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）在这 18 个数据中随机抽取 3 个数据，求其中恰有 2 个数据为空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）在这 18 个数据中随机抽取 3 个数据，用表示其中不超标数据的个数，求的分布列及数学期望；．（Ⅲ）以这 18 天的 PM 2.5 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按 360 天计算）中约有多少天的空气质量为二级．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10．在三棱锥 D ABC 中，已知 AD 平面ABC ，且 ABC为正三角形， AD AB 则三棱锥 D ABC 的外接球的表面积为 A． 10 B． 9 C． 8 D． 7
3，
11．已知 F1 ， F2 分别是双曲线
x2 y2 1 ( a 0 ， b 0) 的左、右焦点，以线段 F1F2 为斜 a 2 b2
f ( p 1) f (q 1) 1 恒成立，则实数 a 的取值范围是 pq
B．[15， ) C．（，6）（非选择题共 90 分） D．（，6 ]

辽宁省葫芦岛市2018届高三下学期普通高中第一次模拟考试文科数学(图片版试题 word答案)

2018年一模考试（数学文科）答案一．选择题：BACBC CDBDA D D二．填空题：13.106.5 14.1 15.三月4号 16. 178三．解答题：17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）由2318a a a 得：a 1q 3=8 即a 4=8又因为46,36,2a a 成等差数列所以a 4+2a 6=72 将a 4=8代入得：a 6=42 从而：a 1=1,q=2 所以：a n =2n-1 …….6分（Ⅱ）b n =2n a n =2n ·(12)n-1 T n =2×(12)0+4×(12)1+6×(12)2+…+2(n-1)·(12)n-2+2n ·(12)n-1……………………① 12T n =2×(12)1+4×(12)2+6×(12)3+…+2(n-1)·(12)n-1+2n ·(12)n ……………………② ①-②得：12T n =2×(12)0+2((12)1+(12)2+…+(12)n-1)- 2n ·(12)n =2+2×12(1-(12 )n-1)1-12- 2n ·(12)n =4-(n+2)·(12)n-1 ∴T n =8-(n+2)·(12)n-2 ………………………………………………….12分 18．（本题满分12分）(1)过F 作FO ⊥CD 交CD 于O ，连接BO ，由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO ⊥平面ABCD 因此FO ⊥OB. ……………………1分∴FB=FC,FO=FO,∠FOC=∠FOB=90︒∴△FOC ≌△FOB ∴OB=OC 由已知∠DCB=45︒得△BOC 为等腰直角三角形,因此OB ⊥CD,又CD ⊥FO,∴CD ⊥平面FOB,∴CD ⊥FB …………………………………….6分 (2)取AB 中点G,连接FG,OG ,由(1)知,OD=EF=1,又EF=DC ∴四边形ODEF 为平行四边形棱柱OFG -DEA 为斜棱柱且△OBF 为此斜棱柱的直截面;在四棱锥F-OCBD 中,由(1)知:OF ⊥DC,又平面CDEF ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面OGBC∴V 多面体EF-ABCD =V 斜棱柱OFG-DEA +V 四棱锥F-OGBC =S △OBF ·EF+13·S 四边形OGBC ·OF=12×1×1×1+13×2×12×1×1×1=12+13=56…………………………………….12分 19.解：(1) n=100,男生人数为55人…………2分(2) 列联表为：2111212211212()100(45202510)=8.128955457030n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯>6.635 所以有99%的把握认为选择科目与性别有关。

辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第三次模拟考试数学(理)试题+Word版含解析

辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第三次模拟考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式化简集合，利用列举法化简集合，利用交集的定义求解即可.详解：集合或，，，故选C.点睛：本题属于基本题，解答这类问题都是先根据集合的特点，利用不等式与函数知识化简后，然后根据集合的运算法则求解.2. 已知复数满足（为虚数单位），则为（）A. 2B.C.D. 1【答案】C【解析】分析：由求得，利用复数的运算法则化简后，根据复数模的公式求解即可.详解：由，得，，故选C. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（）A. 46,45B. 45,46C. 46,47D. 47,45【答案】A【解析】分析：由茎叶图，根据样本的中位数和众数定义求解即可.详解：由茎叶图可知，出现次数最多的是数，将所有数从小到大排列后，中间两数为，故中位数为，故选A.点睛：本题主要考查众数、中位数求法，属于简单题.要解答本题首先要弄清众数、中数的定义，然后根据定义和公式求解，（1）中位数，如果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据.4. 若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据圆心到直线的距离小于半径求出的范围，利用几何概型概率公式求解即可.详解：若直线与圆相交，则，解得或，又所求概率，故选C.........................5. 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得结果.详解：设竹子自上而下各自节的容积构成数列且，则，竹子的容积为，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6. 已知是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中说法正确的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】分析：利用线面垂直、面面垂直的性质判断①；利用线面垂直、面面平行的性质判断②③；利用线面平行、面面垂直的性质判断④.详解：①若，，则或,不正确；②若，，则或，不正确；③若，，则，正确；④若，，则或或与相交且与不垂直，不正确，故选C. 点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．详解：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，不成立，此时结束循环，所以输出的的值为，故选C.点睛：解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由可得是函数对称轴，从而可求得,结合在区间上有最小值，无最大值可得结果.详解：据题设分析知，直线为函数图象的一条经过一最低点对称轴，，又当时，，故选D. 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.9. 已知点是抛物线上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由点是抛物线上的一点可求得抛物线方程，进而可得焦点坐标，利用正弦定理求出外接圆半径，即可得结果.点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10. 在的二项展开式中，各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则二项展开式中常数项的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B【解析】在二项式的展开式中，令得各项系数之和为，二项展开式的二项式系数和为，，解得，的展开式的通项为，令得，故展开式的常数项为，故选B.11. 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用双曲线的定义，由三角形内切圆的性质，结合可得关于半实轴与半焦距的不等式，从而可得结果.详解：如图，设圆与的三边分别相切于点，分别连接，则，，，又，，，，又，故选A.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.12. 已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：构造函数，利用，判断出的单调性，结合列不等式求解即可.详解：引入函数，则，，，又，函数在区间上单调递增，又，不等式“”等价于“”，即，又，又函数在区间上单调递增，，解得，又函数的定义域为，得，解得，故不等式的解集是，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量与的夹角为，，，则_______.【答案】6【解析】分析：先求出向量与的数量积，把平方后，将，，代入所求数量积代入，即可的结果.详解：与的夹角为，，又，，故答案为.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 若，则_______.【答案】【解析】分析：由，根据同角三角函数之间的关系，求出与的值，利用两角差的余弦公式求解即可.详解：，又，，解得，于是，，故答案为.点睛：本题主要考查两角差的余弦公式以及同角三角函数之间的关系，同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.15. 已知实数满足不等式组，则的最大值是______.【答案】12【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，平移，结合所画可行域，可求得的最大值.详解：作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，当时，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】分析：取的中点，分别连接，易知（或其补角）是异面直线与所成的角，根据正方体的性质，利用余弦定理可得结果.详解：如图，取的中点，分别连接，易知（或其补角）是异面直线与所成的角，不妨设正方体的棱长为，则，，在中，由余弦定理，得，故答案为.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和为，且成等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.【答案】(1)；(2)11202.【解析】分析：由成等差数列，可得，进而得两式相减可化为，由此得数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而可得结果；（2）据（1）求解知，，进而可得，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.详解：(Ⅰ)因为成等差数列，所以，①所以②①-②，得，所以又当时，，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.（2）据（1）求解知，，，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列又因为，所以.点睛：已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.18. 今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．（l）求每个家庭能中签的概率；（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为，求的分布列及数学期望.【答案】(1) (2)【解析】分析：(1)直接利用古典概型概率公式求解即可；（2）的所有可能取值是，利用组合知识，由古典概型概率公式可求得，每个随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.详解：(1) 因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，所以每个家庭能中签的概率.（2）据题意知，的所有可能取值是0，1，2，，的分布列为的数学期望.点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19. 如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角．（l）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（l）由勾股定理可得，结合是的中点可得，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零，列方程求出平面的一个法向量，由空间向量夹角余弦公式求出直线与平面所成角的正弦值，进而可得结果.详解：(1)因为，所以又，，所以又因为所以是的斜边上的中线，所以是的中线，所以是的中点，又因为是的中位线，所以又因为平面，平面，所以平面.（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为，且分别是的中点，所以，所以有点，所以，设平面的一个法向量为，则即，所以令，则设直线与平面所成角的大小为，则.又，所以，所以.故直线与平面所成角的正切值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：(1)根据椭经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为，结合性质，，列出关于、的方程组，求出、，即可得椭圆的标准方程；(2)可设直线的方程为，联立得，设点，根据韦达定理可得，所以点在直线上，又点也在直线上，进而得结果.详解：(1)因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，所以，解得又椭圆经过点，所以，所以所以椭圆的标准方程为.(2)证明：因为线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为，所以可设直线的方程为据得设点，所以，所以.因为，所以所以点在直线上，又点也在直线上，所以三点共线.点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21. 已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值；（2）若函数在区间上无零点，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】分析：(1) 求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，令是所求区间的子集即可得结果；（2）“函数在区间上无零点”等价于“函数与的图象在上没有公共点”，讨论三种情况，分别画出函数的图象，结合直线过定点，即可求得实数的取值范围.详解：(1) 函数的定义域为，讨论：当时，，此时函数在上单调递增，满足题设；当时，令，得；令，得,所以此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，又函数在区间上单调递增，所以，解得，综上，实数的最小值是.（2）由，得设，则“函数在区间上无零点”等价于“函数与的图象在上没有公共点”讨论：当时，在上是单调递增函数，函数在上也是单调递增函数，作出函数与函数满足题意的草图（草图可能有两种情况）如下：图1 图2（i）如图1，，即，解得；（ii）如图2，对任意恒成立又当时，，所以，解得又，得综上，或；当时，符合题意；当时，在上是单调递减函数，在上是单调递增函数，作出函数与函数满足题意的草图如下：观察图象可知符合题意.综上，所求实数的取值范围是.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标是.（1）求直线的普通方程；（2）求直线上的点到点距离最小时的点的直角坐标.【答案】(1)；(2).3【解析】分析：(1)由直线的参数方程，利用代入法消去参数，即可得到直线的普通方程为；（2）的极坐标是化为直角坐标，过点作直线的垂线，该垂线与直线的交点即为所求点.详解：(1)直线的普通方程为.（2）点的直角坐标是，过点作直线的垂线，垂足为，则点即为所求的直线上到点距离最小的点.直线的方程是，即据解得所以直线上到点距离最小的点的直角坐标是.点睛：消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23. 已知函数.（1）若，解不等式；（2）若，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】分析：(1)原不等式等价于，从而可得或，进而可得结果；（2）函数解析式化为分段函数形式，分三种情况讨论，分别求出其最大值与最小值即可. 详解：(1) 若，则为所以，所以或，所以或故不等式的解集为.（2）当时，讨论：当即时，；当即时，；当且即时，．点睛：分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.。

2018年辽宁省沈阳市高三数学模拟试卷(理科)Word版含解析

2018年辽宁省沈阳市高三模拟试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|0＜x＜1}，则∁AB=（）A．（0，1）B．（0，1] C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角（）A．B．C．D．4．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，且a11=S13=13，则a9=（）A．9 B．8 C．7 D．65．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣2x﹣3=0 B．x2+y2+4x=0 C．x2+y2+2x﹣3=0 D．x2+y2﹣4x=06．在如图的程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（）A．B．C．D．7．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．2 C．3 D．8．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm9．我们知道：在平面内，点（x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离为（）A ．3B ．5C ．D ．10．已知，则a 9等于（）A ．﹣10B ．10C ．﹣20D ．2011．已知点A 是抛物线M ：y 2=2px （p ＞0）与圆在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离等于a ．若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，则p 为（）A ．B ．2C ．D ．412．函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，关于k 不等式（k ﹣2）a ﹣k ＞0有解，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．a ＜﹣1D ．a ≥1二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设实数x ，y 满足，则2y ﹣x 的最大值为．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且=，a 2=5，则S 6= ．15．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是．16．已知四面体ABCD中，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知=（sinx，cosx），=（，﹣1）．（Ⅰ）若∥，求sin2x﹣6cos2x的值；（Ⅱ）若f（x）=•，求函数f（2x）的单调减区间．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．19．传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征．教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核．某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率．（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A的人数X的分布列与数学期望．20．已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当x≥1时，求证：不等式e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，直线l1的方程为y=x，曲线C的参数方程为（φ是参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线=0，直线l1与曲线C的交点为A，直线l1与l2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，（1）若关于x的不等式f（x）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围．2018年辽宁省沈阳市高三数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.B=（）1．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|0＜x＜1}，则∁AA．（0，1）B．（0，1] C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】补集及其运算．【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出B的补集即可．【解答】解：A={x|2x＞1}={x|x＞0}，B={x|0＜x＜1}，B={x|x≥1}，∁A故选：D．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数==1+i，∴复数对应的点的坐标是（1，1）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．3．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量的数量积公式与夹角公式，求出cos θ与θ的值．【解答】解：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]由•（+）=3可得•+=3，代入数据可得2×1×cos θ+22=3，解得cos θ=﹣，∴θ=．故选：C ．4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 11=S 13=13，则a 9=（） A ．9B ．8C ．7D ．6【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 11=S 13=13，∴a 1+10d=13a 1+d=13，解得a 1=﹣17，d=3．则a 9=﹣17+8×3=7．故选：C ．5．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C 相切，则圆C 的方程为（）A ．x 2+y 2﹣2x ﹣3=0B ．x 2+y 2+4x=0C ．x 2+y 2+2x ﹣3=0D ．x 2+y 2﹣4x=0 【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆心在x 轴的正半轴上设出圆心的坐标（a ，0）a 大于0，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线3x+4y+4=0的距离，由直线与圆相切得到距离与半径相等列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值．得到圆心的坐标，然后根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（a ，0）（a ＞0），由题意知圆心到直线3x+4y+4=0的距离d===r=2，解得a=2，所以圆心坐标为（2，0）则圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=4，化简得x2+y2﹣4x=0故选D6．在如图的程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图转化为几何概型进行计算即可．【解答】解：程序框图对应的区域的面积为1，则“恭喜中奖！满足条件为y≤，平面区域的面积S=dx==，则能输出“恭喜中奖！”的概率为，故选：D．7．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为（）A ．B ．2C ．3D ．【考点】类比推理．【分析】根据正弦定理：由a 2sinC=4sinA 得ac=4，则由（a+c ）2=12+b 2得a 2+c 2﹣b 2=4，利用公式可得结论．【解答】解：根据正弦定理：由a 2sinC=4sinA 得ac=4，则由（a+c ）2=12+b 2得a 2+c 2﹣b 2=4，则．故选A ．8．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则10﹣r+10﹣r=10cm ，∴r=10﹣5≈3cm ．故选：A ．9．我们知道：在平面内，点（x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离为（）A ．3B ．5C ．D ．【考点】类比推理．【分析】类比点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，d==5【解答】解：类比点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P （x 0，y 0，z 0）到直线Ax+By+Cz+D=0的距离d=点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离d==5．故选B ．10．已知，则a 9等于（）A ．﹣10B ．10C ．﹣20D ．20【考点】二项式定理的应用．【分析】（1+x ）10=[2﹣（1﹣x ）]10=210﹣+…﹣+（1﹣x ）10，即可得出．【解答】解：（1+x ）10=[2﹣（1﹣x ）]10=210﹣+…﹣+（1﹣x ）10，可得a 9=﹣2=﹣20．故选：C ．11．已知点A 是抛物线M ：y 2=2px （p ＞0）与圆在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离等于a ．若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，则p 为（）A ．B ．2C ．D ．4【考点】圆与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得P．【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，2），半径为a，|AC|+|AF|=2a，由抛物线M上一动点M到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，点M在A处取最小值，可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点由D（0，2），F（，0），可得A（，），代入抛物线的方程可得2=2p×，解得p=2．故选：B12．函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，关于k不等式（k﹣2）a﹣k＞0有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．a＜﹣1 D．a≥1【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数的图象得出k的范围，分离参数得出a＜，求出右侧函数的最大值即可得出a的范围．【解答】解：作出y=kx+2与y=的函数图象，如图所示：联立方程组，得kx2+2x﹣1=0（x＞0）或﹣kx2﹣2x﹣1=0（x＜0），当x＞0，令△=4+4k=0得k=﹣1，当x＜0时，令△=4﹣4k=0得k=1．∴k=±1时，直线y=kx+2与y=的函数图象相切，∵函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，∴﹣1≤k≤1．∵（k﹣2）a﹣k＞0有解，∴a＜有解，设f（k）==1+，∴f（k）在[﹣1，1]上是减函数，（k）=f（﹣1）=．∴fmax∴a．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设实数x，y满足，则2y﹣x的最大值为 5 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至A时纵截距最大，z最大．【解答】解：画出，的可行域如图：将z=2y ﹣x 变形为y=x+z 作直线y=x 将其平移至A 时，直线的纵截距最大，z 最大，由可得A （﹣1，2），z 的最大值为：5．故答案为：5．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且=，a 2=5，则S 6= 722 ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】=，可得a n+1+1=3（a n +1），利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵=，∴a n+1+1=3（a n +1），∴5+1=3（a 1+1），解得a 1=1．∴数列{a n +1}是等比数列，公比为3，首项为2． ∴a n +1=2×3n ﹣1，解得a n =2×3n ﹣1﹣1，则S 6=﹣6=722．故答案为：722．15．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是跑步．【考点】进行简单的合情推理．【分析】由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论．【解答】解：由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛．故答案为跑步．16．已知四面体ABCD中，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V= ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作∠CAD的平分线AE，交CD于E，作BO⊥平面ACD，交AE于O，作BM⊥AD，交AD 于M，作BF⊥AC，交AC于F，连结OM，OF，由三垂线定理得OM⊥AD，OF⊥AC，由此能求出四面体ABCD的体积．【解答】解：作∠CAD的平分线AE，交CD于E，作BO⊥平面ACD，交AE于O，作BM⊥AD，交AD于M，作BF⊥AC，交AC于F，连结OM，OF，∵四面体ABCD中，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，，AC=3，AD=4，∴CD=5，由三垂线定理得OM⊥AD，OF⊥AC，∴AM=AF==，BM=BF==，OM=OF==，BO==，∴四面体ABCD的体积：V===．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知=（sinx，cosx），=（，﹣1）．（Ⅰ）若∥，求sin2x﹣6cos2x的值；（Ⅱ）若f（x）=•，求函数f（2x）的单调减区间．【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）根据向量的平行和角的三角函数的关系即可求出答案，（Ⅱ）先求出f（x），再得到f（2x）的解析式，根据正弦函数的性质即可得到函数的单调减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵=（sinx，cosx），=（，﹣1），∥，∴﹣sinx=cosx，∴tanx=﹣，∴sin2x﹣6cos2x====﹣，（Ⅱ）f（x）=•=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（2x）=2sin（2x﹣），∴+2kπ≤2x﹣≤π+2kπ，k∈Z，∴+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数f（2x）的单调减区间[+kπ， +kπ]，k∈Z．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z 轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．19．传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征．教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核．某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率．（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A的人数X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为，即可得出该校高二年级学生获得成绩为B的人数．（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）．（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为B的有4人．由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3．【解答】解：（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为．…则该校高二年级学生获得成绩为B的人数约有1000×=150．…（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）=59．…且59＜60，因此该校高二年级此阶段教学未达标…（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为B的有4人…则由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3．∴P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=.10分）所以EX=0+1×+2×+3×=.10分）20．已知椭圆上的动点P 与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当OM ∥PA ，ON ∥PB 时，求△OMN 的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设点设P （x 0，y 0），从而可得直线PA 与PB 的斜率乘积为（Ⅱ）设方程为y=kx+m ，由两点M ，N 满足OM ∥PA ，ON ∥PB 及（Ⅰ）得直线OM ，ON 的斜率乘积为﹣，可得到m 、k 的关系，再用弦长公式及距离公式，求出△OMN 的底、高，表示：△OMN 的面积即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：设P （x 0，y 0），则．所以直线PA 与PB 的斜率乘积为．…（Ⅱ）依题直线OM ，ON 的斜率乘积为．①当直线MN 的斜率不存在时，直线OM ，ON 的斜率为，设直线OM 的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN 的面积为．②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程是y=kx+m ，由得（3k 2+2）x 2+6kmx+3m 2﹣6=0．因为M ，N 在椭圆C 上，所以△=36k 2m 2﹣4（3k 2+2）（3m 2﹣6）＞0，解得3k 2﹣m 2+2＞0．设M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），则，．=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得3k2+2=2m2…②由①②，得．综上所述，．…21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当x≥1时，求证：不等式e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出答案（Ⅱ）f（x）﹣=f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，F′（x）=，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）原不等式等价于e x﹣1≥xlnx+1，设φ（x）=e x﹣1﹣xlnx﹣1，x≥1，利用导数求出函数的最小值大于等于0即可【解答】解：（Ⅰ）∵x＞0，f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a，f（1）=0，∴切点是（1，0），∴切线方程为y=（1﹣a）（x﹣1），（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，∴F′（x）=，①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，∴g′（x）在（1，）上递增，从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．③若a≥，F′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）上递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，从而g（x）在[1，+∞）上递减，∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣≤0，综上所述，a的取值范围是[，+∞）．（Ⅲ）不等式e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1等价于e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xlnx﹣a（x2﹣x）+1，等价于e x﹣1≥xlnx+1，设φ（x）=e x﹣1﹣xlnx﹣1，x≥1，∴φ′（x）=e x﹣1﹣（1+lnx），x≥1，再设m（x）=e x﹣1﹣（1+lnx），∴m′（x）=e x﹣1﹣≥0恒成立，∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴m（x）min=m（1）=1﹣1=0，∴φ′（x）≥0，在[1，+∞）上恒成立，∴φ（x）在[1，+∞）上单调递增，∴φ（x）min=φ（1）=1﹣0﹣1=0，故e x﹣1≥xlnx+1，故当x≥1时，不等式e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1成立请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，直线l1的方程为y=x，曲线C的参数方程为（φ是参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线=0，直线l1与曲线C的交点为A，直线l1与l2的交点为B，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据tanθ=可得直线l1极坐标．利用x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得曲线C 的极坐标方程．（2）由题意，设A（ρ1，θ1），联立方程组求解，同理，设利用直线的极坐标的几何意义求解即可．【解答】解：（1）直线l1的方程为y=x，可得：tanθ==，∴直线l1的极坐标方程为．曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=3，又∵x=ρcos θ，y=ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ﹣2ρcos θ﹣2=0（0≤θ≤π）（2）由题意，设A （ρ1，θ1），则有，解得：设B （ρ2，θ2），则有，解得：故得|AB|=|ρ1﹣ρ2|=5．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|，（1）若关于x 的不等式f （x ）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若关于t 的一元二次方程有实根，求实数m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用绝对值的几何意义求出|2x+1|+|2x ﹣3|的最小值，得到a 的不等式求解即可．（2）通过△≥0，得到|2m+1|+|2m ﹣3|≤8，去掉绝对值求解即可．【解答】解：（1）因为f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x ﹣3）|=4，所以|1﹣3a|＜4，即，所以实数a 的取值范围为．…（2）△=32﹣4（|2m+1|+|2m ﹣3|）≥0，即|2m+1|+|2m ﹣3|≤8，所以不等式等价于或或所以，或，或，所以实数m 的取值范围是． …。

辽宁省普通高中数学学业水平考试模拟试题

2018年辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟试卷数学试卷（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间90分钟）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 答案一律写在答题卡上，写在试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.3. 回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号. 参考公式：柱体体积公式Sh V =，锥体体积公式Sh V 31=（其中S 为底面面积，h 为高）：球的体积公式334R V π=（其中R 为球的半径）. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，再每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}3,2,1{=P ，集合}4,3,2{=S ，则集合P S ?A. }3,2,1{B. }4,3,2{C. }3,2{D. {1,2,34}， 2．函数f (x)=的定义域是 A. {x |x 2}-> B. {x |x 2}-< C. {x |x 2}-¹ D. {x |x 2}¹3. 已知角β的终边经过点P(1,2)-，则sin β=A. 2-B. 12-C. - 4.不等式(x 2)(x 3)0+-<的解集是A. {x |2x 3}-<<B. {x |3x 2}-<<C. {x |x 2x 3}或<->D. {x |x 3x 2}或<->5.某超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种, 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则n 为 A. 3 B. 2 C. 5 D. 96．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )16A.3π B.48π64C.3π D.64π 7.从区间(0,1)内任取一个数,则这个数小于56的概率是 ( )A. 15B. 16C. 56D.25368.如图所示的程序框图的算法思路是一种古老而有效的算法——辗转相除法，执行该程序框图，若输入的m,n 的值分别为42,30，则输出的m =A ．0B ．2C ．3D ．69.设变量x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为( )A.－5B.－4C.－2D.310.为了得到函数)32sin(π+=x y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像（）4cm 4cm4cm 4cm4cm 正视图侧视图俯视图A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位11. 在ABCD Y 中，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则AC BA +u u u r u u u r等于（）.A.a rB.b rC.0rD.a b +r r12.函数f (x)是R 上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，则下列各式成立的是（）()()()()()()()()()()()()A. 201 B. 210C. 102 D. 1 20f f f f f f f f f f f f ->>->>>>->->第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，要求直接写出结果，不必写出计算过程或推证过程 13.=π-π8cos 8sin22____________. 14.甲、乙两人进行射击10次，它们的平均成绩均为7环，10次射击成绩的方差分别是： S 2甲=3，S 2乙=1.2．成绩较为稳定的是______．（填“甲”或“乙”）•15.已知向量(1)a y =r，和向量(25)，r b =，且//r r a b ，y =______. 16.函数0.5()log f x x =在区间1[2]5，上取值范围为____________.三、解答题：本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分10分）在∆ABC 中，60,45,3A B a ===oo，求C 及b 的值.18.（本小题满分10分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，试在DD 1确定一点P ，使得直线BD 1∥平面PAC ，并证明你的结论.19.（本小题满分10分）已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示: (1)求a 的值;(2)估计汽车通过这段公路时时速不小于60km 的 C BDA PC 1D 1A 1B 1时速（km ）0.010.02 0.03 a 频率组距40 50 60 70 80概率.20.（本小题满分10分）已知数列}{n a 为等差数列，32=a ，5a 9=.（1）求数列}{n a 的通项公式; （2）求数列1{3}n n a -⋅的前n 项和n S .21.（本小题满分12分）已知圆O 以坐标原点为圆心且过点1(2，M,N 为平面上关于原点对称的两点，已知N的坐标为(0，-，过N 作直线交圆于A,B 两点. （1）求圆O 的方程;（2）求ABM Δ面积的取值范围.辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟试卷数学参考答案一．1-5 DACAD 6-10 ACDBD 11-12 BB二．13. 2-14.乙 15.5216.[1-,2log 5] 三．17.解：在ABC Δ中，C 180A B 75°=?-=………………………5分由正弦定理得a sin Bb sin A =.…………………………10分18. 解：取1DD 中点P ,则点P 为所求.证明：连接AC,BD ，设AC,BD 交于点O .则O 为BD 中点，连接PO ,又P 为1DD 中点，所以1PO BD P .因为PO PAC 面Ì,BD PAC 面Ë,所以1BD 面PAC P .…………10分 19. 解：（1）+++a 由（0.010.020.03）10=1得a=0.04´…………………5分（2）(0.020.04)100.6+?，所以汽车通过这段公路时时速不小于60km 的概率为0.6.…………10分 20.(1)设数列}{n a 的公差为d ，依题意得方程组11a d 3a 4d 9ì+=ïí+=ïî解得1a 1,d 2==.所以}{n a 的通项公式为n a 2n 1=-. ………………5分 (2) 012n 1n S 133353(2n 1)3-=???+-?L ①123n 1n n 3S 133353(2n 3)3(2n 1)3-=???+-?-?L ②①－②得n 1123n 1nn n 3(13)2S 12(3333)(2n 1)312(2n 1)313----=+++++--=+?-?-L所以n n S (n 1)31=-?. …………10分 21.(1）因为圆心坐标为(0,0)且圆过1(,)22，所以圆的半径r 1=，所以圆的方程为22x y 1+=.……………4分（2）因为M,N 关于坐标原点对称所以M(03，当AB 垂直x 轴时，M,A,B 三点构不成三角形所以AB 斜率一定存在设AB :y kx y kx 33即==-，所以M 到AB的距离d =O AB AB d =到的距离==ABM 1S AB d 2Δ所以=?……8分 222139t (0t 1)(t )k 124令，g(t)=3t-t =<?--++ 222310t 10g(t)202k 1(k 1)因为所以所以<??-?++ABM 00S 33Δ所以所以?.…………12分。

辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第三次模拟考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式化简集合，利用列举法化简集合，利用交集的定义求解即可.详解：集合或，，，故选C.点睛：本题属于基本题，解答这类问题都是先根据集合的特点，利用不等式与函数知识化简后，然后根据集合的运算法则求解.2. 已知复数满足（为虚数单位），则为（）A. 2B.C.D. 1【答案】C【解析】分析：由求得，利用复数的运算法则化简后，根据复数模的公式求解即可.详解：由，得，，故选C. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（）A. 46,45B. 45,46C. 46,47D. 47,45【答案】A【解析】分析：由茎叶图，根据样本的中位数和众数定义求解即可.详解：由茎叶图可知，出现次数最多的是数，将所有数从小到大排列后，中间两数为，故中位数为，故选A.点睛：本题主要考查众数、中位数求法，属于简单题.要解答本题首先要弄清众数、中数的定义，然后根据定义和公式求解，（1）中位数，如果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据.4. 若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据圆心到直线的距离小于半径求出的范围，利用几何概型概率公式求解即可.详解：若直线与圆相交，则，解得或，又所求概率，故选C.........................5. 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得结果.详解：设竹子自上而下各自节的容积构成数列且，则，竹子的容积为，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6. 已知是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中说法正确的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】分析：利用线面垂直、面面垂直的性质判断①；利用线面垂直、面面平行的性质判断②③；利用线面平行、面面垂直的性质判断④.详解：①若，，则或,不正确；②若，，则或，不正确；③若，，则，正确；④若，，则或或与相交且与不垂直，不正确，故选C. 点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．详解：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，不成立，此时结束循环，所以输出的的值为，故选C.点睛：解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由可得是函数对称轴，从而可求得,结合在区间上有最小值，无最大值可得结果.详解：据题设分析知，直线为函数图象的一条经过一最低点对称轴，，又当时，，故选D. 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.9. 已知点是抛物线上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由点是抛物线上的一点可求得抛物线方程，进而可得焦点坐标，利用正弦定理求出外接圆半径，即可得结果.点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10. 在的二项展开式中，各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则二项展开式中常数项的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B【解析】在二项式的展开式中，令得各项系数之和为，二项展开式的二项式系数和为，，解得，的展开式的通项为，令得，故展开式的常数项为，故选B.11. 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用双曲线的定义，由三角形内切圆的性质，结合可得关于半实轴与半焦距的不等式，从而可得结果.详解：如图，设圆与的三边分别相切于点，分别连接，则，，，又，，，，又，故选A.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.12. 已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：构造函数，利用，判断出的单调性，结合列不等式求解即可.详解：引入函数，则，，，又，函数在区间上单调递增，又，不等式“”等价于“”，即，又，又函数在区间上单调递增，，解得，又函数的定义域为，得，解得，故不等式的解集是，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量与的夹角为，，，则_______.【答案】6【解析】分析：先求出向量与的数量积，把平方后，将，，代入所求数量积代入，即可的结果.详解：与的夹角为，，又，，故答案为.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 若，则_______.【答案】【解析】分析：由，根据同角三角函数之间的关系，求出与的值，利用两角差的余弦公式求解即可.详解：，又，，解得，于是，，故答案为.点睛：本题主要考查两角差的余弦公式以及同角三角函数之间的关系，同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.15. 已知实数满足不等式组，则的最大值是______.【答案】12【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，平移，结合所画可行域，可求得的最大值.详解：作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，当时，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】分析：取的中点，分别连接，易知（或其补角）是异面直线与所成的角，根据正方体的性质，利用余弦定理可得结果.详解：如图，取的中点，分别连接，易知（或其补角）是异面直线与所成的角，不妨设正方体的棱长为，则，，在中，由余弦定理，得，故答案为.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和为，且成等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.【答案】(1)；(2)11202.【解析】分析：由成等差数列，可得，进而得两式相减可化为，由此得数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而可得结果；（2）据（1）求解知，，进而可得，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.详解：(Ⅰ)因为成等差数列，所以，①所以②①-②，得，所以又当时，，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.（2）据（1）求解知，，，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列又因为，所以.点睛：已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.18. 今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．（l）求每个家庭能中签的概率；（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为，求的分布列及数学期望.【答案】(1) (2)【解析】分析：(1)直接利用古典概型概率公式求解即可；（2）的所有可能取值是，利用组合知识，由古典概型概率公式可求得，每个随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.详解：(1) 因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，所以每个家庭能中签的概率.（2）据题意知，的所有可能取值是0，1，2，，的分布列为的数学期望.点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19. 如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角．（l）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（l）由勾股定理可得，结合是的中点可得，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零，列方程求出平面的一个法向量，由空间向量夹角余弦公式求出直线与平面所成角的正弦值，进而可得结果.详解：(1)因为，所以又，，所以又因为所以是的斜边上的中线，所以是的中线，所以是的中点，又因为是的中位线，所以又因为平面，平面，所以平面.（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为，且分别是的中点，所以，所以有点，所以，设平面的一个法向量为，则即，所以令，则设直线与平面所成角的大小为，则.又，所以，所以.故直线与平面所成角的正切值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：(1)根据椭经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为，结合性质，，列出关于、的方程组，求出、，即可得椭圆的标准方程；(2)可设直线的方程为，联立得，设点，根据韦达定理可得，所以点在直线上，又点也在直线上，进而得结果.详解：(1)因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，所以，解得又椭圆经过点，所以，所以所以椭圆的标准方程为.(2)证明：因为线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为，所以可设直线的方程为据得设点，所以，所以.因为，所以所以点在直线上，又点也在直线上，所以三点共线.点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21. 已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值；（2）若函数在区间上无零点，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】分析：(1) 求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，令是所求区间的子集即可得结果；（2）“函数在区间上无零点”等价于“函数与的图象在上没有公共点”，讨论三种情况，分别画出函数的图象，结合直线过定点，即可求得实数的取值范围.详解：(1) 函数的定义域为，讨论：当时，，此时函数在上单调递增，满足题设；当时，令，得；令，得,所以此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，又函数在区间上单调递增，所以，解得，综上，实数的最小值是.（2）由，得设，则“函数在区间上无零点”等价于“函数与的图象在上没有公共点”讨论：当时，在上是单调递增函数，函数在上也是单调递增函数，作出函数与函数满足题意的草图（草图可能有两种情况）如下：图1 图2（i）如图1，，即，解得；（ii）如图2，对任意恒成立又当时，，所以，解得又，得综上，或；当时，符合题意；当时，在上是单调递减函数，在上是单调递增函数，作出函数与函数满足题意的草图如下：观察图象可知符合题意.综上，所求实数的取值范围是.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标是.（1）求直线的普通方程；（2）求直线上的点到点距离最小时的点的直角坐标.【答案】(1)；(2).3【解析】分析：(1)由直线的参数方程，利用代入法消去参数，即可得到直线的普通方程为；（2）的极坐标是化为直角坐标，过点作直线的垂线，该垂线与直线的交点即为所求点.详解：(1)直线的普通方程为.（2）点的直角坐标是，过点作直线的垂线，垂足为，则点即为所求的直线上到点距离最小的点.直线的方程是，即据解得所以直线上到点距离最小的点的直角坐标是.点睛：消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23. 已知函数.（1）若，解不等式；（2）若，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】分析：(1)原不等式等价于，从而可得或，进而可得结果；（2）函数解析式化为分段函数形式，分三种情况讨论，分别求出其最大值与最小值即可. 详解：(1) 若，则为所以，所以或，所以或故不等式的解集为.（2）当时，讨论：当即时，；当即时，；当且即时，．点睛：分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.。

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