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第十一章 机械波和电磁波

三. 计算题

1. 一横波沿绳子传播时的波动方程式为 0.05cos(104)y t x ππ=- (SI)。 （1）求此波的振幅、波速、频率和波长；

（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度；

（3）求x=0.2m 处的质点在t=1s 时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？ （4）分别画出t=1s ，1.25s ，1.5s 各时刻的波形。 解：（1）原波动方程式可改写为 0.05cos10)2.5

x

y t =-

π（ (SI) 由波动方程式可知A =0.05m ，ν=5Hz ， 2.5/u m s =，u

=λν

=0.5m ，00ϕ=

（2）0.5 1.57/m v A m s ωπ===，222

549.3/m a A m s ωπ===

（3）x =0.2m 处质点在t =1s 时的相位为(0.2,1)(10140.2)9.2ϕπππ=⨯-⨯= 与t 时刻前坐标原点的相位相同，则(0,)(1040)9.2t t ϕπππ=⨯-⨯= 得t =0.92s

（4）t =1s 时，0.05cos(104)0.05cos 4()y x x m πππ=-=

t =1.25s 时，0.05cos(12.54)0.05sin 4()y x x m πππ=-= t =1.50s 时，0.05cos(154)0.05cos 4()y x x m πππ=-=-

分别画出其波形图如下图所示：

图4

2. 设有一平面简谐波 0.02cos 2()0.010.3

t x

y π=- (SI)。 （1）求其振幅、波长、频率和波速。 （2）求x=0.1m 处质点振动的初相位。

解：（1）由波动方程有A =0.02m ，λ=0.3m ，ν=100Hz ，00ϕ=，且30/u m s λν==

（2）0

0.1

00.122()0.010.33

x π

ϕπ==-=-

3. 已知一沿x 轴正向传播的平面余弦波在t=1/3s 时的波形如图4所示，且周期T=2s 。 （1）写出O 点和P 点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）求P 点离O 点的距离。

解：解：由波形曲线可得A =0.1m ，λ=0.4m ，且0.2/u m s T

λ

==，2/rad s T

π

ωπ=

= （1）设波动表达式为0cos[()]x y A t u

ωϕ=-+ 由图可知O 点的振动相位为23

π

，即1003

2()3

3

Ot t s t π

πϕωϕϕ==+=

+=

得O 点的初相03

π

ϕ=

所以O 点的振动表达式为0.1cos()()3

O y t m π

π=+

同样P 点的振动相位为013

[()]

3

0.2

3

2

P

Pt t s x x t u

==-+=

-

+

=-

ππ

π

π

ϕωϕ，得

7

0.2330

P x m m =≈（）

所以P 点的振动表达式为50.1cos()()6

P y t m =-π

π （2）波动表达式为0.1cos[(5)]()3

y t x m π

π=-+

（3）P 点离O 点的距离为7

0.2330

P x m m =

≈（）

图1

三. 计算题

1. 一平面简谐声波的频率为500Hz ，在空气中以速度u=340m/s 传播。到达人耳时，振幅A=10-4cm ，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强（空气的密度ρ=1.29kg/m 3）。 解：人耳接收到声波的平均能量密度为22631

6.3710/2

w A J m ρω-=

=⨯ 人耳接收到声波的声强为3

2

2.1610/I wu W m -==⨯

2. 一波源以35000W 的功率向空间均匀发射球面电磁波，在某处测得波的平均能量密度为7.8×10-15J/m 3，求该处离波源的距离。电磁波的传播速度为

3.0×108m/s 。 解：设该处距波源r ，单位时间内通过整个球面的能量为2

4P SA S r π== 则4(4)(4) 3.4510r P S P wu m ππ=

==⨯

3. 一列沿x 轴正向传播的简谐波，已知t 1=0和t 2=0.25s 时的波形如图1所示。试求： （l ）P 的振动表达式； （2）此波的波动表达式； （3）画出O 点的振动曲线。

解：由图1中的波形曲线可知A =0.2m ，

1T s =， 0.6m =λ，1T s =，1

1Hz T

ν=

=， 0.6/u m s λν==

（1） 由P 点的振动状态知02

P π

ϕ=-，故P 点

的振动表达式为0.2cos(2)()2

P y t m π

π=-

（2）由O 点的振动状态知02

O π

ϕ=

，故O 点的振动表达式为0.2cos(2)()2

O y t m π

π=+

所以波动表达式为100.2cos[2()]0.2cos(2)()0.6232

x y t t x m ππ

πππ=-+=-+ （3）O 点的振动曲线如下图所示