解线性方程组直接方法
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过一系列的消元操作，将线性方程组转化为阶梯型方程组，从而求解未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成增广矩阵的形式。
增广矩阵是一个n行n+1列的矩阵，其中前n列是线性方程组的系数矩阵，第n+1列是等号右边的常数。
3.通过初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
具体步骤如下：a.首先，找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第一行。
b.将第一行的第一个非零元素（主元）变成1，称为主元素。
c.将主元所在列的其他元素（次元素）变为0，使得主元所在列的其他元素只有主元素是非零的。
d.再找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第二行，并重复上述步骤，直到将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
4.根据阶梯型矩阵求解未知数的值。
具体步骤如下：a.从最后一行开始，依次求解每个未知数。
首先，将最后一行中非零元素所在的列作为含有该未知数的方程，将该未知数的系数设为1b.将含有该未知数的方程中其他未知数的系数设为0，并对其他方程进行相应的变换，使得该未知数所在列的其他元素都为0。
c.重复上述步骤，直到求解出所有未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂、容易实现，但当线性方程组的系数矩阵接近奇异矩阵时，计算精度可能会降低。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是解线性方程组的另一种直接方法。
它通过对系数矩阵求逆，然后与常数矩阵相乘，得到未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成矩阵方程的形式，即Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n维列向量。
3.求系数矩阵A的逆矩阵A^-1a. 首先，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
b. 判断det(A)是否为0，如果det(A)=0，则该线性方程组无解或有无穷多解；如果det(A)≠0，则系数矩阵A可逆。
解线性方程组的直接方法
(1.5)
消去法的回代过程是解上三角形方程组(1.5).我们从方程组(1.5)的第三个方 x3 6 / 6 1 ; 程解得 然后将它代入第二个方程得到
x2 ( 5 x3 ) / 3 2;
最后，将 x3 1, x2 2 代第一个方程得到
x1 (3 2 x2 3 x3 ) / 2 2.
②
（n＋1）n/2次运算
i 1 l11 bi lij x j l21 l22 j 1 A xi , i 1, , n lii l l l nn n1 n 2
③
（n＋1）n/2次运算
n u11 u12 u1n bi uij x j u22 u2 n j i 1 A x , i n, ,1 i uii u nn
1,2,...,n)
（ 1 .2 ）
Ax b,
a1n a2 n , ann
§1 1.1 Gauss 消去法 本章主要介绍求解线性方程组(1.1)的直接法。所谓直接法，就是不考虑 计算过程的舍入误差时，经有限次数的运算便可求得方程组准确解的方法.我 们还将在§5中对计算过程中的舍入误差作一些初步分析．
a11 a 21 A, b ... an 2
之间有一对应关系.不难看出:
a12 a22 ... an 2
... ... ... ...
a1n a2 n ... ann
b1 b2 ... bn
（1.3）
（1）交换矩阵(1.3)的第p,q两行(记作 的第p,q两个方程；
(1.8)
(1.9)
(1.9)式是消元过程的一般计算公式.式中作分母的元素
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，它可以用于描述多个未知数之间的关系。
解决线性方程组的问题是求解未知数的具体取值，从而得到方程组的解。
本文将介绍几种常见的解线性方程组的方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。
它通过矩阵变换的方式，将线性方程组转化为一个三角矩阵，从而简化求解过程。
以下是高斯消元法的步骤：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中最后一列为常数项。
2. 选取一个非零元素作为主元，在当前列中将主元素所在的行作为第一行，然后通过初等行变换将其他行的主元素变为0。
3. 重复第2步，直到所有的主元素都变成1，并且每个主元素所在的列的其他元素都变为0。
4. 反向代入，从最后一行开始，依次回代求解未知数的值。
二、矩阵的逆矩阵法矩阵的逆矩阵法是利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组。
以下是逆矩阵法的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，将方程组两边同时左乘A的逆矩阵AI，得到x=A^(-1)b。
2. 通过求解矩阵A的逆矩阵来得到未知数向量x的值。
3. 如果矩阵A不可逆，那么线性方程组没有唯一解，可能有无穷多解或者无解。
三、克拉默法则克拉默法则是另一种解决线性方程组的方法，它利用行列式的性质来求解未知数的值。
以下是克拉默法则的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，令|A|=D，其中D表示矩阵A的行列式。
2. 分别计算将矩阵A的第i列替换为常数列b所得到的行列式|A_i|。
3. 未知数向量x的第i个分量可以通过x_i = |A_i|/D来得到。
克拉默法则的优点是简单直观，但是当方程组的规模很大时，计算行列式将变得非常复杂。
四、矩阵的广义逆法矩阵的广义逆法是一种应对方程组无解或者有无穷多解的情况的方法。
对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A不可逆，我们可以通过求解广义逆矩阵A^+来得到一个特解x_0。
1. 分别计算A^+ = (A^T·A)^(-1)·A^T和x_0 = A^+·b。
数值分析--解线性方程组的直接方法
值 为A的特征值，x为A对应的特征向量，A的全体特征值
分 析
称为A的谱，计作 ( A),即 ( A) {i ,i 1,2,, n}, 则称
》
( A)
max
1in
|
i
|
为矩阵A的谱 半 径.
三、特殊矩阵
第5章 解线性方程组的直接方法
1) 对角矩阵
2) 三对角矩阵
3) 上三角矩阵
4) 上海森伯(Hessenberg)阵
分 析
1.00x 1.00y 2.00
》 解法1： 1.00105 x 1.00 y 1.00
(1.00 1.00105) y (2.00 1.00105)
1.00105 x 1.00 y 1.00
1.00
105
y
1.00
105
x 0.00,
y 1.00
第5章 解线性方程组的直接方法
1
Ly b y 3,Ux y x 1.
2
1
第5章 解线性方程组的直接方法
§3 高斯主元素消去法
若ak(kk) 0,或ak(kk)很接近于0，会导致其他元素数量级严重 增长和舍入误差的扩散，使得计算结果不可靠.
《例3’采用3位十进制，用消元法求解
数 值
1.00105 x 1.00y 1.00
L21L1 U2U11
L21L1
U
U 1
21
I
(因为上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵
从而上式两边都必须等于单位矩阵)
《 数
L1 L2 , U1 U2
1 1 1
值分例2
析
.例1中，A
0
4
-1，将A作LU分解。
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种求解方法1.高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
该方法的基本思想是通过对方程组进行一系列简化操作，使得方程组的解易于求得。
首先将方程组表示为增广矩阵，然后通过一系列的行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形，最后通过回代求解出方程组的解。
2.列主元高斯消元法列主元高斯消元法是在高斯消元法的基础上进行改进的方法。
在该方法中，每次选取主元时不再仅仅选择当前列的第一个非零元素，而是从当前列中选取绝对值最大的元素作为主元。
通过选取列主元，可以避免数值稳定性问题，提高计算精度。
3.LU分解法LU分解法是一种将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U的方法。
首先进行列主元高斯消元法得到行阶梯形矩阵，然后对行阶梯形矩阵进行进一步的操作，得到L和U。
最后通过回代求解出方程组的解。
4.追赶法（三角分解法）追赶法也称为三角分解法，适用于系数矩阵是对角占优的三对角矩阵的线性方程组。
追赶法是一种直接求解法，将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，然后通过简单的代数运算即可求得方程组的解。
5.雅可比迭代法雅可比迭代法是一种迭代法，适用于对称正定矩阵的线性方程组。
该方法的基本思想是通过不断迭代求解出方程组的解。
首先将方程组表示为x=Bx+f的形式，然后通过迭代计算不断逼近x的解。
6.高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法。
该方法在每一次迭代时，使用已经更新的解来计算新的解。
相比于雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法的收敛速度更快。
7.松弛因子迭代法松弛因子迭代法是一种对高斯-赛德尔迭代法的改进方法。
该方法在每一次迭代时，通过引入松弛因子来调节新解与旧解之间的关系。
可以通过选择合适的松弛因子来加快迭代速度。
以上是一些常用的线性方程组求解方法，不同的方法适用于不同类型的线性方程组。
在实际应用中，根据问题的特点和要求选择合适的求解方法可以提高计算的效率和精度。
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法1.1 主元的选取与算法的稳定性1.1.1问题提出Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。
但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。
主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。
1.1.2实验内容考虑线性方程组n n n R b R A b Ax ∈∈=⨯,,编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。
1.1.3实验要求（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。
取10n =计算矩阵的条件数。
让程序自动选取主元，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能。
每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。
若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。
（3）取矩阵阶数20n =或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
（4）将上述矩阵A中的主元改为0.00006再重新作一次数值实验看看。
（5）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。
重复上述实验，观察记录并分析实验结果。
1.1.4实验过程（1）程序：clear;clc;a=input('是否调整消元次序（是：1，否：0）');n=input('系数矩阵的阶数:');%构造题中给定形式的矩阵A(1,1)=6;A(1,2)=1;A(1,n+1)=7;%第n+1列取题中的bfor i=1:(n-2);A(i+1,i)=8;A(i+1,i+1)=6;A(i+1,i+2)=1;A(i+1,n+1)=15;end;A(n,n-1)=8;A(n,n)=6;A(n,n+1)=14;%自动消元if a==0;for i=1:(n-1);for j=(i+1):n;x=A(j,i)/A(i,i);for k=1:(n+1);A(j,k)=A(j,k)-x*A(i,k);end;end;end;y(n)=A(n,n+1)/A(n,n);for i=2:n;y(n-i+1)=A(n-i+1,n+1);for j=1:(i-1);y(n-i+1)=y(n-i+1)-A(n-i+1,n-j+1)*y(n-j+1);end;y(n-i+1)=y(n-i+1)/A(n-i+1,n-i+1);end;yend;%手动控制消元次序if a==1;for i=1:(n-1);A %显示每步消元的结果m=input('请选取作为主消元行的行号');for l=1:(n+1);c=A(i,l);A(i,l)=A(m,l);A(m,l)=c;end;for j=(i+1):n;x=A(j,i)/A(i,i);for k=1:(n+1);A(j,k)=A(j,k)-x*A(i,k);end;end;end;y(n)=A(n,n+1)/A(n,n);for i=2:n;y(n-i+1)=A(n-i+1,n+1);for j=1:(i-1);y(n-i+1)=y(n-i+1)-A(n-i+1,n-j+1)*y(n-j+1);end;y(n-i+1)=y(n-i+1)/A(n-i+1,n-i+1);end;yend;（2）数值实验结果及分析：1、根据要求当10n=时用Matlab算得Cond(A)=1727.6，让程序自动选主元，x=与精确解一致。
线性方程组的解法
线性方程组的解法一、引言线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，包括物理学、经济学、工程学等。
解决线性方程组有多种方法，本文将介绍常见的三种解法：高斯消元法、矩阵法和克拉默法。
二、高斯消元法高斯消元法是一种基于矩阵变换的解法，可以将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵，从而快速求解解向量。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵形式；2. 选择一个非零首元，在该列中其余元素乘以某个系数并相减，使得除首元外该列其他元素变为零；3. 重复第二步，直至将矩阵转化为简化行阶梯形矩阵；4. 从简化行阶梯形矩阵中读出解。
三、矩阵法矩阵法是一种基于矩阵运算的解法，将线性方程组转化为矩阵形式，并求解矩阵的逆矩阵，从而得到解向量。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式；2. 求解矩阵的逆矩阵；3. 用逆矩阵乘以等号右边的向量，得到解向量。
四、克拉默法克拉默法是一种利用行列式性质求解线性方程组的方法，适用于方程组个数与未知数个数相等的情况。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式；2. 计算行列式的值；3. 分别用等号右边的向量替换矩阵中对应的列，再求解行列式的值；4. 将第三步得到的值除以第二步得到的值，得到解向量。
五、比较与应用场景1. 高斯消元法在实际计算中具有高效性和稳定性，适用于任意线性方程组求解；2. 矩阵法需要先求解矩阵的逆矩阵，计算过程相对复杂，适用于方程组个数与未知数个数相等的情况；3. 克拉默法计算过程较为复杂，不适用于大规模方程组的求解，但对于小规模方程组求解比较便捷。
六、总结线性方程组的解法有多种，本文介绍了高斯消元法、矩阵法和克拉默法三种常见方法。
应根据具体情况选择合适的方法来求解线性方程组，以达到高效、准确的目的。
对于大规模方程组的计算，高斯消元法更具优势；对于方程组个数与未知数个数相等的情况，矩阵法和克拉默法更适用。
随着数学计算方法的不断发展，越来越多的解法将出现，为解决复杂的线性方程组提供更多选择。
求解线性方程组
求解线性方程组线性方程组是数学中的一类重要方程组，它可用于描述许多实际问题。
解线性方程组的目标是找到满足所有方程条件的未知数的值。
本文将介绍解线性方程组的基本方法和步骤。
方法一：高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一。
它的基本思想是通过一系列行变换将线性方程组化简为阶梯形或行最简形。
以下是高斯消元法的步骤：1. 将线性方程组表示为增广矩阵的形式，其中未知数的系数构成方程组的系数矩阵A，常数构成列向量B。
2. 利用行变换，将增广矩阵化简为阶梯形矩阵。
行变换包括互换两行、某一行乘以非零常数、某一行乘以非零常数后加到另一行上。
3. 根据化简后的阶梯形矩阵，可以直接读出方程组的解。
如果存在零行，即无解；如果存在形如0 = c（c为非零常数）的方程，即无解；其他情况下，解的个数等于未知数的个数减去方程数的个数。
方法二：矩阵求逆法矩阵求逆法也是一种求解线性方程组的方法。
它的基本思想是通过求解系数矩阵的逆矩阵，进而得到方程组的解。
以下是矩阵求逆法的步骤：1. 将线性方程组表示为矩阵方程的形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数的列向量，B为常数的列向量。
2. 检查系数矩阵A是否可逆。
若可逆，则方程组有唯一解；若不可逆，则方程组可能没有解或有无穷多个解。
3. 若A可逆，计算系数矩阵的逆矩阵A^(-1)。
4. 解方程组的解为X = A^(-1) * B。
需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况。
方法三：克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的求解线性方程组的方法。
它的基本思想是根据克拉默法则公式，求解未知数的值。
以下是克拉默法则的步骤：1. 将线性方程组表示为矩阵方程的形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数的列向量，B为常数的列向量。
2. 计算系数矩阵A的行列式值D，即|A|。
3. 对每个未知数，将系数矩阵的列向量替换为方程组常数向量，得到新的矩阵A_i。
4. 计算新的矩阵A_i的行列式值D_i。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中一个重要的概念，它描述了一组线性方程之间的关系。
解决线性方程组的问题在数学和应用领域都具有重要的意义。
下面将为你介绍几种常见的线性方程组的解法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组最常用的方法之一。
其思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为最简形式，即上三角矩阵。
例如，考虑一个包含n个未知数的线性方程组：a11 * x1 + a12 * x2 + ... + a1n * xn = b1a21 * x1 + a22 * x2 + ... + a2n * xn = b2...an1 * x1 + an2 * x2 + ... + ann * xn = bn首先，将线性方程组的系数矩阵进行初等行变换，消去其中下标为1的元素，使得第1行第1列及以下元素为0。
接着，将第2行第2列及以下元素为0。
依次进行下去，直到将整个系数矩阵化为上三角矩阵。
然后通过回代求解各个未知数的值，即可得到线性方程组的解。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种解决线性方程组的方法。
它利用了矩阵的乘法和逆运算的特性。
对于一个线性方程组AX=B，其中A是一个可逆矩阵，X和B分别是未知数向量和常数向量。
我们可以通过将方程组左右两边同时乘以A的逆矩阵，得到如下形式：X = A^{-1}B即未知数向量X等于矩阵A的逆乘以常数向量B。
三、克莱姆法则克莱姆法则是解决线性方程组的另一种方法，它适用于方程组的系数矩阵是一个方阵的情况。
对于一个包含n个未知数的线性方程组：a11 * x1 + a12 * x2 + ... + a1n * xn = b1a21 * x1 + a22 * x2 + ... + a2n * xn = b2...an1 * x1 + an2 * x2 + ... + ann * xn = bn如果系数矩阵A可逆，那么未知数的解可以表示为：xi = (det(Ai) / det(A))其中，det(Ai)表示将矩阵A的第i列替换为常数向量Bi后的行列式，det(A)表示系数矩阵A的行列式。
线性方程组的解法
线性方程组的解法在数学中，线性方程组是由一系列线性方程组成的方程集合。
解决线性方程组是数学中的一个重要问题，在实际应用中也有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见且经典的方法。
它通过一系列的行变换，将线性方程组化简为一个上三角矩阵，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组写成增广矩阵的形式。
步骤2：选取一个非零的系数作为主元素，并将该系数所在行作为当前行。
步骤3：将主元素所在列的其他行元素都通过初等变换变为0。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到将矩阵化简为上三角形式。
步骤5：回代求解，得到线性方程组的解。
高斯消元法是一种直观且容易理解的解法，但对于某些特殊的线性方程组，可能会遇到无解或者无穷多解的情况。
二、矩阵的逆乘法矩阵的逆乘法是另一种解决线性方程组的方法，它通过矩阵的逆和向量的乘法，将线性方程组表示为一个矩阵方程，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组表示为增广矩阵的形式。
步骤2：判断增广矩阵的系数矩阵是否可逆，如果可逆，则存在矩阵的逆。
步骤3：计算增广矩阵的系数矩阵的逆。
步骤4：将原始线性方程组表示为矩阵方程形式，即AX = B。
步骤5：求解矩阵方程，即X = A^(-1)B。
矩阵的逆乘法是一种简便且高效的解法，但需要注意矩阵的可逆性，在某些情况下可能不存在逆矩阵或者矩阵的逆计算比较困难。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式求解线性方程组的方法。
它通过计算方程组的系数行列式和各个未知数在方程组中的代数余子式，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组的系数和常数项构成一个矩阵。
步骤2：计算系数矩阵的行列式，即主行列式D。
步骤3：分别将主行列式D中的每一列替换为常数项列，计算得到各个未知数的代数余子式。
步骤4：根据克拉默法则的公式，未知数的值等于其对应的代数余子式除以主行列式D。
线性方程组的直接解法
线性方程组的直接解法
线性方程组（linear equation system）是一类几何问题，也是解决线性系统和代数问题的重要方法，线性方程组由多个联立方程组成，这些方程中也可能含有未知量。
直接解法是把数学模型转换为数值模型，并给出实现其解题步骤的算法，它不同于间接求解的方法，既不做任何假设，也不处理不确定性问题，只是简单地直接求解线性方程组。
解线性方程组的直接解法主要分为三种，分别是高斯消元法、列主元消去法和列坐标变换法。
高斯消元法是一种比较常用的方法，主要是把线性方程组的未知量从左到右一步步求出来，其中用到的主要技术是把矩阵中部分元素消去为零，以便求解不定线性方程组的未知量。
而列主元消去法则是以一列为主元，去消除其他联立方程中出现的此列中的变量，从而最终求出其他未知变量的值。
最后，列坐标变换法是将线性方程组转换为一个更有利于求解的矩阵，其中未知量可以直接求得解答。
除了这三种常见方法外，还有一些更特殊的直接解法，比如要解常微分方程的未知函数，可以用拉格朗日方法和分部积分方法，再比如求解雅各比方程的根，可以通过主副方程互解求解，这种方法也叫作特征根法。
综上，解线性方程组的直接解法有高斯消元法、列主元消去法、列坐标变换法等；特殊问题可以采用拉格朗日方法、分部积
分法和特征根法等。
每种方法都有自己的优势，因此在使用时，可以根据问题的特点，选择适合的方法来解决。
第三章 解线性方程组的直接法
第三章 解线性方程组的直接法3.1 引言许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组。
例如，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条函数问题，解非线性方程组的问题，用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程的边值等，最后都归结为求解线性代数方程组。
关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。
1. 直接法直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（假设计算过程中没有舍 入误差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。
本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。
2. 迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法需要的计算机存储 单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变，这些都是迭代法的优点；但是存在收敛性和收敛速度的问题。
迭代法适用于解大型的稀疏矩阵方程组。
为了讨论线性方程组的数值解法，需要复习一些基本的矩阵代数知识。
3.1.1 向量和矩阵 用nm ⨯R表示全部n m ⨯实矩阵的向量空间，nm C⨯表示全部n m ⨯复矩阵的向量空间。
()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⇔∈⨯nn n n n n ij nm a a aa a aa a a a212222111211A R A 此实数排成的矩形表，称为m 行n 列矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇔∈n n x x x 21x R x x 称为n 维列向量矩阵A 也可以写成)(n 21a ,,a ,a A = 其中 a i 为A 的第i 列。
同理⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T n 21b b b A其中T i b 为A 的第i 行。
矩阵的基本运算：（1） 矩阵加法 )( ,n m n m R C ,R B ,R A B A C ⨯⨯⨯∈∈∈+=+=n m ij ij ij b a c . （2） 矩阵与标量的乘法 ij j a ci αα== ,A C （3） 矩阵与矩阵乘法 p nk kjik b acij ⨯⨯⨯=∈∈∈==∑m p n n m R C ,R B ,R A AB C ( ,1（4） 转置矩阵 ji ij T nm a c ==∈⨯ , ,A C RA（5） 单位矩阵 ()n n ⨯∈=R e ,,e ,e I n 21 ，其中 ()Tk e 0,0,1,0,0 = k=1,2,…,n（6） 非奇异矩阵 设nn ⨯∈RA ，nn ⨯∈RB 。
计算方法第三章线性方程组的直接解法
5 3
3 1
r3
r1 6
6 1 18 2
1 0
4 5 1 3
3 1
r3 r225
1 0
4 1
5 3
3 1
0 25 48 16
0 0 27 9
林龙
计算方法
6
化原方程组为三角方程组的过程为消元过程. 解三角方程组的过程为回代过程.
也可将上边的增广矩阵进一步化简.
1 4 5 3
1 0 7 1
xi
Di D
(i
1, 2,3,
)，由于方程含有n 1个
行列式.如对每个行列式按展开定理来计算.
用克莱姆法则求解,所需要的乘除运算量为
n!(n2 1) n次,若n 20用每秒一千万次的
计算机要三百万年,所以并不是凡直接法都
可以用来做实际运算.
林龙
计算方法
4
设有
§3.1直接法
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2
解 : 10
7
0
7
r1 r2
5 1 5 6
林龙
计算方法
16
10 3 5
7 2 1
0 6 5
7 4 6
r2
3 10
r1
r3
5 10
r1
10
0
0
7 0.1 2.5
0 7 6 6.1 5 2.5
r2 r3
r3
1 25
r2
10 7 0 7 x3 1
0
2.5
5
2.5
x2
2.5 5x
nn
a11 a12 .... a1n 1 0 0
a21
a22
第3章 线性方程组求解的直接解法
线性方程组求解的直接法5.2线性方程组直接解法概述直接解法就是利用一系列公式进行有限步计算，直接得到方程组的精确解的方法．当然，实际计算结果仍有误差，譬如舍入误差，而且舍入误差的积累有时甚至会严重影响解的精度．这是一个众所周知的古老方法，但用在计算机上仍然十分有效．求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法．消去法的基本思想是，通过将一个方程乘以或除以某个常数，以及将两个方程相加减这两种手段，逐步减少方程中的变元的数目，最终使每个方程仅含一个变元，从而得出所求的解．高斯（Gauss ）消去法是其中广泛应用的方法，其求解过程分为消元过程和回代过程两个环节．消元过程将所给的方程组加工成上三角方程组，所归结的方程组再通过回代过程得出它的解．Gauss 消去法由于添加了回代的过程，算法结构稍复杂，但这种改进的算法明显减少了计算量．直接法比较适用于中小型方程组．对高阶方程组，即使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足．5.3直接解法5.3.1Gauss 消去法Gauss 消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，由它改进而来的选主元法是目前计算机上常用的有效的求解低阶稠密矩阵线性方程组的方法．例5.1用Gauss 消去法解方程组1231231232221(5.3.1)1324 (5.3.2)2539(5.3.3)2x x x x x x x x x ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解〖JP4〗第1步，式35.3.12⨯-（）（）加到式(5.3.2)上，式()15.3.1()2⨯-加到式(5.3.3)上，得到等价方程组123232322211(5.4.4)282(5.4.5)x x x x x x x ⎧++=⎪⎪-+=-⎨⎪⎪+=⎩第2步，式()2⨯5.3.4加到式(5.3.5)上得等价的方程组12323322211100(5.3.6)x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩第3步，回代法求解方程组(5.3.6)，即可求得该方程组的解为32110,1,.2x x x ===-.用矩阵描述其约化过程即为233(2)22221011100100r r r ⨯+⇒⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦→[]122133(1)3()21()222212221,3241/201111395/20282r r r r r r A b ⨯-+⇒⨯-+⇒⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦→.这种求解过程称为具有回代的Gauss 消去法．由此例可见，Gauss 消去法的基本思想是：用矩阵的初等行变换将系数矩阵A 化为具有简单形式的矩阵（如上三角阵、单位矩阵等），而三角形方程组是很容易回代求解的．一般地，设有n 个未知数的线性方程组为11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++=⎩L L MM M L (5.3.7)1212)(,,)(,,)T T ij n n n n A a X x x x b b b b ⨯===L L （，，，则方程组(5.3.7)化为AX b =.方便起见，记()(1)det 0A AA ==≠，(1)b b =，且()1A的元素记为()()11,ij a b ，的元素记为()1i b ，则消去法的步骤如下：第1步：1110a≠（），，计算(1)11(1)11(2,3,4),i i a m i n a ==L 用()1i m -乘方程组(5.3.7)中的第1个方程加到第i个方程中()2,3,i n =L ，即进行行初等变换()112,3,i i i R m R R i n -⋅→=L ，消去第2个到第n个方程中的未知数1,x ,得等价方程组111121(2)(2)(2)22222(2)(2)(2)2inn n n nn n x a a b x a a b ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LMM LM M L (5.3.8)记为(2)(2)A X b =，其中(2)(1)(1)(2)(1)(1)1111(,2,3),2,3,ij ij i j i i i a a m a i j n b b m b i n =-==-=L L ，，第k 步()1,2,1k n =-L：继续上述消元过程．第1步到第1k -步计算已完成，且得到与原方程组等价的方程组(1)(1)(1)(1)1112111(2)(2)(2)222223()()()()()()nn k k k kkkn k n k k k nk nn n a a a b x a a b xx aa b x a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L LLOM L M MMM L(5.3.9)记为()(()K k A X b =，进行第k 步消元：设()0k kka≠，计算乘数()()(1,)k ikk ik kka m k k n a ==+L ，用ik m -乘方程组(5.3.9)中第k 个方程加到第i 1)i k n =+L （，，，个方程上消去方程组(5.3.9)中第i 1)i k n =+L （，，个方程的未知数k x ，得到与原方程组等价的方程组：(1)()()(1)()()(1)(1)()(,1,)( 1.)k k k ij ij ik kj k k k i i ik k k k k k a a m a i j k n b b m b i k n A A k b b k ++++⎧=-=+⎪=-=+⎨⎪⎩L L （）与前行元素相同，与前个元素相同 (5.3.10) 记为(1)(1)k k A X b ++=其中(1)(1,k k A b ++）中元素计算公式为(1)()()(1)()()(1)(1)()(,1,)( 1.)k k k ij ij ik kj k k k i i ik k k k k k a a m a i j k n b b m b i k n A A k b b k ++++⎧=-=+⎪=-=+⎨⎪⎩L L （）与前行元素相同，与前个元素相同 (5.3.11)重复上述过程，且设()0(1,2,1)k kk a k n ≠=-L ，共完成1n -步消元计算，得到与方程组(5.3.7)等价的三角形方程组1111211(2)(2)(2)22222()()n n n n n nn n x a a b x a b ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LMOM M (5.3.12)再用回代法求方程组(5.3.12)的解，计算公式为()()()()1()(),(1,2,1)n n n nn n i i i ij j j i i i ii b x a b a x x i n n a =+⎧=⎪⎪⎨-⎪==--⎪⎩∑L (5.3.13)元素()k kka 称为约化的主元素．将方程组(5.3.7)化为方程组(5.3.12)的过程称为消元过程．方程组(5.3.12)的求解过程(5.3.13)称为回代过程．由消元过程和回代过程求解线性方程组的方法称为Gauss 消去法．定理5.1（Gauss 消去法）设AX b =。
第4章线性方程组的数值解法(直接法)
为了减少计算过程中的舍入误差对解的影响， 应选择 绝对值尽可能大的主元作除数， 基于这种思想导出了选主 元消去法。
2. Gauss 列主元消去法 基本思想： 在第 k 步消元前，从 A( k ) 的第 k 列 n-k+1
准确到小数点后第9位的解为 x1 2.000010000, x2 0.999989999.
如果计算过程用四位十进制浮点数（仿机器实际计算） , 用第一个方程消去第二个方程中的, 得 10 4 0.1000 x1 10 0.2000 x2 10 0.2000 6 6 10 0.2000 x2 10 0.2000 由此解得 x2 1, x1 0, 显然它不是原方程的解.
适宜于求解大型(n 1000)稀疏的(零元素较多)线性方程组。
主要方法有：
1). 雅可比（Jacobi）迭代法 2). 高斯 — 赛德尔（Guass Seidel）法
是G S方法的加速 3). 超松弛（SOR）法： 优点：速度高，计算机存储量小，程序设计简单； 缺点：有误差，需要事先确定迭代算法的收敛性及收敛速度。
(1) a12 (2) a22
(1) a1 k (2) a2 k (k ) akk
(1) a1, k 1 (2) a2, k 1 (k ) ak ,k 1
(1) a1 n (2) a2 n
0 0 0
(k ) akn
0 0
( k 1) ( k 1) ak a 1,k 1 k 1,n
3). 改进的Gauss消去法： 实际计算中常用的有效方法。
如：列（行）主元法， 全主元法， LU分解法， 平方根法， 追赶法等
（2）迭代法： 利用不动点理论将方程组变形为某种等价的迭代公式，
数值分析第五章解线性方程组的直接法
数值分析第五章解线性方程组的直接法解线性方程组是数值分析中的一个重要问题，对于大规模的线性方程组来说，直接法是一种常用的求解方法。
本文将介绍解线性方程组的直接法，包括高斯消元法和LU分解法，并对其稳定性和计算复杂度进行讨论。
高斯消元法是一种常用的直接法，用于求解非奇异线性方程组。
其基本思想是通过初等行变换将线性方程组转化为上三角方程组，然后通过回代求解得到方程的解。
高斯消元法的步骤如下：1.将线性方程组表示为增广矩阵[A，b]，其中A是系数矩阵，b是常数向量。
2.从第一行开始，选择一个非零元素作为主元，通过行变换将主元下方的元素全部消为零。
3.重复第2步，直到矩阵变为上三角矩阵。
4.通过回代求解上三角矩阵，得到方程组的解。
高斯消元法的主要优点是简单直接，容易实现，但存在一些问题。
首先，如果系数矩阵A是奇异矩阵，即行列式为零，那么高斯消元法无法得到方程组的解。
其次，如果系数矩阵A的其中一行或几行接近于线性相关，那么在消元过程中会引入大量的舍入误差，导致计算结果不准确。
这也说明了高斯消元法的稳定性较差。
为了提高稳定性，可以使用LU分解法来解线性方程组。
LU分解法将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。
这样，原始的线性方程组可以表示为LUx=b，进而可以通过两个步骤来求解方程组：1.进行LU分解，将系数矩阵A分解为L和U。
2.分别用前代和回代的方法求解方程组Ly=b和Ux=y。
LU分解法相对于高斯消元法的优点是，可以在求解多个右端向量时，避免重复计算LU分解，从而提高计算效率。
同时，LU分解法的稳定性也较高，对于多个右端向量求解时，舍入误差的累积相对较小。
然而，LU分解法也存在一些问题。
首先，LU分解法的计算复杂度较高，需要进行两次矩阵乘法和一次矩阵向量乘法，而且LU分解过程中需要对系数矩阵A进行大量的行变换，增加了计算量。
其次，当系数矩阵A的一些元素非常小或非常大时，LU分解法容易出现数值不稳定的情况，即舍入误差的累积较大，导致计算结果不准确。
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用且直接的方法。
它的基本思想是通过一系列的代数运算，将方程组化为一个三角方程组，然后从最后一行开始，逐步回代求解未知数。
下面以一个二元一次方程组为例，说明高斯消元法的具体步骤：例如，给定方程组：a₁₁x₁+a₁₂x₂=b₁a₂₁x₁+a₂₂x₂=b₂其中，a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₂₂,b₁,b₂为已知系数。
1.检查a₁₁的值是否为0，若为0则交换第一行与非零行。
2.将第一行的每个元素除以a₁₁，使a₁₁成为13.将第一行乘以(-a₂₁)并加到第二行上，使第二行的第一个元素变为0。
4.引入一个新的未知数y₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂，并代入第二行，化简方程组。
5.使用回代法求解方程组。
高斯消元法的优势在于其直接的解题思路和较高的计算精度，但是其缺点是计算复杂度较高，对于大规模的方程组不太适用。
二、逆矩阵法逆矩阵法是解线性方程组的另一种直接方法，它通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，并将其与方程组的常数向量相乘，得到方程组的解向量。
下面以一个三元一次方程组为例，说明逆矩阵法的具体步骤：例如，给定方程组：a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃=b₁a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃=b₂a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃=b₃其中，a₁₁,a₁₂,a₁₃,a₂₁,a₂₂,a₂₃,a₃₁,a₃₂,a₃₃,b₁,b₂,b₃为已知系数。
1.计算系数矩阵A的行列式D=，A。
2. 求解系数矩阵A的伴随矩阵Adj(A)。
3. 计算逆矩阵A⁻¹=Adj(A)/D。
4.将常数向量b用列向量表示。
5.计算解向量x=A⁻¹b。
逆矩阵法的优势在于其求解过程相对简单，计算量较小，并且不需要对系数矩阵进行消元操作。
但是逆矩阵法的限制在于当系数矩阵不可逆时无法使用。
三、克莱姆法则克莱姆法则是解线性方程组的另一种直接方法，它通过定义克莱姆行列式和克莱姆向量，利用行列式的性质求解方程组的解向量。
计算方法实验：解线性方程组的直接法
实验二解线性方程组的直接法一、实验目的用列主元素高斯消去法和三角分解法解线性方程组Ax=b。
式中，A为n阶非奇异方阵，x，b是n阶列向量，并分析选主元素的重要性。
二、实验方法（1）列主元素高斯消去法通过变换，将系数矩阵换成等价的上三角矩阵，在每步消元过程中，选列主元素。
对k=1,2,……n-1，逐次计算l ik=a ik(k-1)/a kk(k-1) (i=k+1,k+2,……,n)a ij(k)=a ij(k-1)-l ik a kj(k-1) (i,j=k+1,k+2,……,n)b i(k)=b i(k-1)-l ik b k(k-1) (i=k+1,k+2,……,n)逐步回代气的原方程组的解X n=b i(n-1)/a nn(n-1)X k=(b k(k-1)_a kj(k-1)x j)/a kk(k-1) (k=n-1,n-2, (1)（2）直接三角分解法由于两个矩阵相等就是它们的对应元素相等，因此通过比较A与LU的对应元素，即可得到直接计算L,U的元素的公式。
设A=L×U，其中U的第一行、L的第一列的元素分别为对(依次：U的第二行，L的第二列，U的第三行，L的第三列……)，有由上述两种方法得到矩阵A的LU分解后，求解Ly=b与Ux=y的计算公式为∑+=n1kj三、实验内容解下列方程组·=四、实验程序（1）列主元素高斯消去法（2）直接三角分解法0147.06721.109998.42371.13142.17643.89217.44129.35435.15330.27875.15301.04017.31651.18326.31348.14321xxxx9237.164231.183941.65342.9五、实验结果（仅供参考）精确解为:(1,1,1,1)T六、结果分析实验的数学原理很容易理解，也容易上手。
把运算的结果带入原方程组，可以发现符合的还是比较好。
这说明列主元消去法计算这类方程的有效性。
第5章 解线性方程组的直接方法
第5章
解线性方程组的直接方法
定理3 若A∈Rnⅹn 为对称矩阵.如果det(Ak) ＞0(k=1,2,…,n),
或A得特征值λi＞0（i=1,2, …,n ）.则A为对称正定矩阵。
《 数 值 分 析 》
有重特征值的矩阵不一定相似于对角矩阵，那么一般n阶 矩阵A在相似变换下能简化到什么形状？
定理4(若尔当（Jordan）标准型） 设A为n阶矩阵，则 存在一个非奇异矩阵P使得
a1(1) x1 b1(1) n ( 2) ( 2) a2 n x2 b2 ( k ) . (2.8) (k ) akn xk bk (k ) (k ) ann xn bn
（2.12 ）
(2.7)
简记为
A（2）X=b（2） ，
( ( ( aij2) aij1) mi1 a11) , j
其中A（2），b（2）的元素计算公式为
(i, j 2,3,, n),
bi( 2) bi(1) mi1 b1(1) , (i 2,3,, n).
第k步：若
(k akk ) 0,
a11 ... ... Ak ak1 ... ... , akk
《 数 值 分 析 》
a
1k
k 1,2, n.
（3）A的特征值λi＞0（i=1,2, …,n ）. （4）A的顺序主子式都大于零，即det(Ak) ＞0(k=1,2,…,n)
(1)）=(a
), b(1)=b. ij
第5章 解线性方程组的直接方法 （1）消元过程 1 (1 第1步：设 a (1) 0,首先计算乘数 mi1 ai(1 ) / a11) , i 2,3n, 11 用－mi1乘（2.1）的第1个方程组，加到第i个中，消去方程组（2.1）的从 第2个方程到第n个方程中的未知数X1，得到与方程组（2.1）等价的线性方 程组 《 数 值 分 析 》
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想是通过逐次消元计算，把一般线性方程组的求解转化为
等价的上三角形方程组的求解。
§1.1 顺序Gauss消去法
为了清楚起见,先看一个简单的例子.
考虑线性方程组
第2页/共57页
2x1 4x2 2x3 2
x1
3x2
3x3
1
4x1 2x2 2x3 3
消去后两个方程中的x1得
2x1 4x2 2x3 2 5x2 2x3 2
的直接解法。方程组(2.1)的矩阵形式为
（2.1）
Ax=b
其中
a11 a12 ... a1n
x1
A
a 21 ...
a 22 ...
... ...
a2n ...
,
x
x2 ...
a n1 a n2 ... a nn第1页/共57页 x n
b1
,
b
b2 ...
bn
若矩阵A非奇异,即det(A)≠0,则方程组(2.1)有唯一解。
2
4
2
2
r3
6 5
r2
2
4
2
2
~ 0 r32r1 0
5 6
2 6
2 ~ 0 1 0
5 0
2
42 5
2
7 5
这是Gauss消去法的计算形式,新的增广矩阵对应的线性
方程组就是上三角形方程组,可进行回代求解。
现在介绍求解线性方程组（2.1)的顺序Gauss消去法:
记
A(1)
A, b(1)
b,
a
(1) ij
第2章 解线性方程组的直接法
本章讨论n元线性方程组
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
.a..2..1.x..1.....a..2.2..x..2............. .a...2.n..x..n.
b2 ........
an1x1 an2 x2 ... ann xn bn
a ij , bi(1)
bi
则,线性方程组(2.1)的增广矩阵为 第4页/共57页
a1(11)
a
(1) 12
a1(13)
...
a
(1) 1n
b1(1)
a
(1) 21
a
(1) 22
a
(1) 23
...
a
(1) 2n
b
(1) 2
( A (1)Βιβλιοθήκη ,b(1))
a
(1) 31
a
(1) 32
a
(1) 33
(b
(i) i
n
ji1
a
(i) ij
x
j
)
a
(i) ii
,
i n 1, n 2, ,1
顺序Gauss消去法求解n元线性方程组的乘除运算量是：
n2-1 +(n-1)2-1 +…+22-1 +1+2+…+n
n
(k 2
1)
n
k
n(n 1)(2n 1) n n(n 1)
k1
k1
6
2
1 (n3 3n 2 n) 3
6x2 6x3 1
再消去最后一个方程的x2得
2x1 4x2 2x3 5x2 2x3
2 2
消元结束,经过回代得452解x3:第3页75x/共357页16 ,
x2
1, 3
x1
1 2
上述求解的消元过程可用矩阵表示为:
(A,b)=
2 1
4 3
2 3
2 1
4 2 2 3
r2
1 2 r1
...
a
(1) 3n
b
(1) 3
... ... ... ... ... ...
a
(1) n1
a
(1) n2
a
(1) n3
...
a
(1) nn
b
(1) n
第一步.设 a1(11) 0
,依次用
li1
ai(11) a1(11)
,
乘矩阵的第1行加到第i行,得到矩阵:
(i 2,3,..., n)
n=20时,顺序Gauss消去法只需3060次乘除法运算.
顺序Gauss消去法通常也简称为Gauss消去法.
顺序Gauss消去法中的
a
(k) kk
(k
1,2,...,
n)
称为主元素.
主元素都不为零矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.
(i 3,4,..., n)
其中
a
(1) 11
a1(12)
a
(1) 13
...
a
(1) 1n
0
a
(2) 22
a
(2) 23
...
a
(2) 2n
( A (3)
,
b (3)
)
0
0
a
(3) 33
...
a
(3) 3n
... ... ... ... ...
0
0
a
(3) n3
...
a
(3) nn
ai(j3) ai(j2) li2a2(2j) , i, j 3,4,..., n
(2) 2n
b
(2) 2
(A
(n)
,
b
(n)
)
0
0
a
(3) 33
...
a
(3) 3n
b 3( 3)
... ... ... ... ... ...
0
0
0
...
a
(n) nn
b
(n n
)
这就完成了消元过程。对应的方程组变成：
a1(11) x1 a1(12) x2 ... a1(1n) xn b1(1)
所谓直接解法是指，若不考虑计算过程中的舍入误差，
经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解的方法。
但由于实际计算中舍入误差的存在，用直接解法一般也只
能求出方程组的近似解。
Cramer法则是一种不实用的直接法，下面介绍几种实
用的直接法。
§1 Gauss消去法
Gauss消元法是一种规则化的加减消元法，其基本思
a
(1) 11
a
(1) 12
a1(13)
...
a
(1) 1n
b1(1)
0
a
(2) 22
a
(2) 23
...
a
(2) 2n
b
(2) 2
(A
(2)
,
b
(2)
)
0
a
(2) 32
a
(2) 33
...
a
(2) 3n
b
(2) 3
... ... ... ... ... ...
0
a a (2) (2)
第n52页/共57n页3
a2(22) x2 ... a2(2n) xn b2(2)
.......... .......... .......... .......... ........
an(nn) xn bn(n)
对此方程组进行回代，就可求出方程组的解。
第7页/共57页
x n
b
(n) n
a
(n) nn
x i
...
a
(2) nn
b
(2) n
其中
ai(j2) ai(j1) li1a1(1j) , i, j 2,3,..., n
bi(2) bi(1) li1b1(1) , i 2,3,..., n
第二步.设
a
(2) 22
0
,依次用
li2
ai(22) a 2( 22 )
,
乘矩阵的第2行加到第i行,得到矩阵:
bi(3)
bi(2)
li2b2(2) ,
i 3,4,..., n
第6页/共57页
b1(1)
b
(2) 2
b
(3) 3
...
b
(3) n
如此继续消元下去,第n-1步结束后得到矩阵:
a
(1) 11
a
(1) 12
a1(13)
...
a
(1) 1n
b1(1)
0
a
(2) 22
a
(2) 23
...
a