《多变量最优化》PPT课件
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'-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0', 'x', 'y') >> subs(z, {x, y}, [s.x, s.y])
灵敏性分析 在向公司报告结论之前，应对我们关于彩电市场 和生产过程所做的假设进行灵敏性分析，以保证 结果具有稳健性。 我们主要关心的是决策变量x和y的值，因为公司 要据此来确定生产量。
计算机代数系统--matlab
>> [x, y] = meshgrid(0:400:10000, 0:400:10000); >> z = (339 - 0.01*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y
- (400000 + 195*x + 225*y); >> mesh(x, y, z)
554000 117
2
0.01 (21592000
/
39)
0.40
因此，19英寸彩电的价格弹性系数提高10%， 会使利润下降4%.
>> syms a >> z = (339 - a*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y
- (400000 + 195*x + 225*y) >> dzdx = diff(z, x) >> dzdy = diff(z, y) >> s = solve('-2*a*x + 144 - 7/1000*y = 0',
x, y 0
P=彩电销售的利润（美元/年）
目标：最大化利润函数P
选择建模方法 无约束多变量最优化问题
建立模型： P R C
(339 0.01x 0.003 y)x (399 0.004x 0.01 y) y (400000 195x 225 y) 144x 0.01x2 174 y 0.01 y2 0.007 xy 400000 求解模型： P 144 0.02x 0.007 y 0
x P 174 0.007 x 0.02 y 0 y 解得全局极大值点 x 4735, y 7043.
f 21592000 553641. 39
回答问题：
这家公司可以通过生成4735台19英寸彩电和 7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得 的净利润为553641美元，每台19英寸彩电的平 均售价为270.52美元，每台21英寸彩电的平均 售价为309.63美元。生产的总支出为2908000 美元，相应的利润率为19%。因此建议这家公 司应该实行推出新产品的计划。
计算可得，在a=0.01时，有
dx 66480000000 22160000000
da (40000a 49)2
41067
S( x, a) ( 22160000000)( 0.01 ) 400 1.1 41067 554000 / 117 351
S( y, a) 9695 0.27 36153
问题是：每种彩电应该各生产多少台？
提出问题：
变量：
x=19英寸彩电的售出数量（每年） y=21英寸彩电的售出数量（每年） p=19英寸彩电的销售价格（美元） q=21英寸彩电的销售价格（美元） R=彩电销售的收入（美元/年） C=生产彩电的成本（美元）
假设：
p 339 0.01x 0.003 y q 399 0.004x 0.01y R px qy C 400000 195x 225 y P RC
在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平 均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均 销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售会影响21英 寸彩电的销售，反之亦然。据估计，每售出一台21英寸彩电， 19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英 寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。
>> syms x y >> z = (339 - 0.01*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y
- (400000 + 195*x + 225*y); >> dzdx = diff(z, x) >> dzdy = diff(z, y) >> s = solve(‘-1/50*x + 144 - 7/1000*y = 0',
'-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0', 'x', 'y') >> dxda = diff(s.x, a) >> sxa = dxda * a / s.x >> a = 0.01 >> eval(sxa)
多变量最优化
例：竞争性产品生产中的利润最大化
一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸液晶平板 电视机，制造商建议零售价为339美元；另一种21英寸液晶 平板电视机，零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸 彩电每台195美元，21英寸彩电每台225美元，还要加上 400000美元的固定成本。
对19英寸彩电的价格弹性系数a的灵敏性进行分析.
P (339 ax 0.003 y)x (399 0.004x 0.01 y) y (400000 195x 225 y)
144x 0.01x2 174 y 0.01 y2 0.007 xy 400000
求偏导数并令其为零，可解得
x 1662000 400000a 49
y 8700 581700 40000a 49
可画出x和y关于a的曲线图.
19英寸彩电的价格弹性系数a的提高，会导致 19英寸彩电的最优生产量x的下降，及21英寸 彩电的最优生产量y的提高。而且，图中显示 x比y对于a更敏感。
如果将19英寸彩电的价格弹性系数提高10%，则 我们应将19英寸彩电的生产量缩小11%，21英寸 彩电的生产量扩大2.7%.
考虑y对于a的灵敏性。 计算可得，在a=0.01时，有
dP P dx P dy P da x da y da a
P a
x12
S(
y,
a)Baidu Nhomakorabea
灵敏性分析 在向公司报告结论之前，应对我们关于彩电市场 和生产过程所做的假设进行灵敏性分析，以保证 结果具有稳健性。 我们主要关心的是决策变量x和y的值，因为公司 要据此来确定生产量。
计算机代数系统--matlab
>> [x, y] = meshgrid(0:400:10000, 0:400:10000); >> z = (339 - 0.01*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y
- (400000 + 195*x + 225*y); >> mesh(x, y, z)
554000 117
2
0.01 (21592000
/
39)
0.40
因此，19英寸彩电的价格弹性系数提高10%， 会使利润下降4%.
>> syms a >> z = (339 - a*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y
- (400000 + 195*x + 225*y) >> dzdx = diff(z, x) >> dzdy = diff(z, y) >> s = solve('-2*a*x + 144 - 7/1000*y = 0',
x, y 0
P=彩电销售的利润（美元/年）
目标：最大化利润函数P
选择建模方法 无约束多变量最优化问题
建立模型： P R C
(339 0.01x 0.003 y)x (399 0.004x 0.01 y) y (400000 195x 225 y) 144x 0.01x2 174 y 0.01 y2 0.007 xy 400000 求解模型： P 144 0.02x 0.007 y 0
x P 174 0.007 x 0.02 y 0 y 解得全局极大值点 x 4735, y 7043.
f 21592000 553641. 39
回答问题：
这家公司可以通过生成4735台19英寸彩电和 7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得 的净利润为553641美元，每台19英寸彩电的平 均售价为270.52美元，每台21英寸彩电的平均 售价为309.63美元。生产的总支出为2908000 美元，相应的利润率为19%。因此建议这家公 司应该实行推出新产品的计划。
计算可得，在a=0.01时，有
dx 66480000000 22160000000
da (40000a 49)2
41067
S( x, a) ( 22160000000)( 0.01 ) 400 1.1 41067 554000 / 117 351
S( y, a) 9695 0.27 36153
问题是：每种彩电应该各生产多少台？
提出问题：
变量：
x=19英寸彩电的售出数量（每年） y=21英寸彩电的售出数量（每年） p=19英寸彩电的销售价格（美元） q=21英寸彩电的销售价格（美元） R=彩电销售的收入（美元/年） C=生产彩电的成本（美元）
假设：
p 339 0.01x 0.003 y q 399 0.004x 0.01y R px qy C 400000 195x 225 y P RC
在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平 均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均 销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售会影响21英 寸彩电的销售，反之亦然。据估计，每售出一台21英寸彩电， 19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英 寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。
>> syms x y >> z = (339 - 0.01*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y
- (400000 + 195*x + 225*y); >> dzdx = diff(z, x) >> dzdy = diff(z, y) >> s = solve(‘-1/50*x + 144 - 7/1000*y = 0',
'-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0', 'x', 'y') >> dxda = diff(s.x, a) >> sxa = dxda * a / s.x >> a = 0.01 >> eval(sxa)
多变量最优化
例：竞争性产品生产中的利润最大化
一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸液晶平板 电视机，制造商建议零售价为339美元；另一种21英寸液晶 平板电视机，零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸 彩电每台195美元，21英寸彩电每台225美元，还要加上 400000美元的固定成本。
对19英寸彩电的价格弹性系数a的灵敏性进行分析.
P (339 ax 0.003 y)x (399 0.004x 0.01 y) y (400000 195x 225 y)
144x 0.01x2 174 y 0.01 y2 0.007 xy 400000
求偏导数并令其为零，可解得
x 1662000 400000a 49
y 8700 581700 40000a 49
可画出x和y关于a的曲线图.
19英寸彩电的价格弹性系数a的提高，会导致 19英寸彩电的最优生产量x的下降，及21英寸 彩电的最优生产量y的提高。而且，图中显示 x比y对于a更敏感。
如果将19英寸彩电的价格弹性系数提高10%，则 我们应将19英寸彩电的生产量缩小11%，21英寸 彩电的生产量扩大2.7%.
考虑y对于a的灵敏性。 计算可得，在a=0.01时，有
dP P dx P dy P da x da y da a
P a
x12
S(
y,
a)Baidu Nhomakorabea