高中数学双曲线题型归纳
双曲线的综合问题-高中数学复习
2
是双曲线 － y 2＝1上的任意一点，则｜ AP ｜＝
9
（ −
10
（
9
min＝
2
5）2 ＋
9
−
− 1＝
10 2
9
− 10 + 24 ＝
（ − 5）2 ＋ 2 ＝
10
（ 2
9
− 9） + 24 ＝
9
3
9
2
） ＋ ，所以当 x ＝ 时，｜ AP ｜取得最小值，｜ AP ｜
2
2
2
3
=
3
100
300
x ，由൞
3
3
＝ ，
3
1，
可得
.
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PART
2
微专题 12
“三案”破解圆锥曲线中的离心率问题
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高中总复习·数学
离心率是圆锥曲线的一个重要元素，它的变化直接导致曲线形状
甚至是类型的变化，求圆锥曲线的离心率或范围问题是近几年高考的
热点，这类问题所涉及的知识点较多、综合性强，解法灵活，内涵丰
1
2
2
2
2
2
2
2
2
所以 b ＜ c ，即 b ＜ c ， a － c ＜ c ， a ＜2 c ，所以 e ＞ ，
2
即e＞
（
2
，又因为0＜ e ＜1，所以椭圆离心率的取值范围为
2
2
，1）.故选A.
2
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高中总复习·数学
）
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高中总复习·数学
解析：如图，以接报中心为原点 O ，正东、正北
方向分别为 x 轴， y 轴的正方向，建立平面直角坐标
高中数学双曲线题型归类(全)
高中数学双曲线题型归类目录曲线与方程题型1：曲线的方程的判断题型2：直接法求曲线的方程题型3：定义法求曲线的方程题型4：相关点法求曲线的方程题型5：参数法求曲线的方程题型6：交轨法求曲线的方程双曲线题型1：求轨迹(双曲线)方程题型2：求双曲线的标准方程题型2.1：已知双曲线上一点及焦点，定义法求双曲线标准方程题型2.2：已知双曲线上两点，待定系数法求双曲线标准方程题型2.3：已知a,b,c关系，求双曲线标准方程题型3：双曲线的定义题型4：双曲线的渐近线题型4.1：求双曲线的渐近线题型4.2：已知双曲线的渐近线题型5：双曲线的离心率题型5.1：双曲线的离心率值题型5.2：双曲线的离心率取值范围题型6：双曲线的弦中点题型7：双曲线的焦点三角形题型8：焦点到渐近线的距离题型9：双曲线的弦长、三角形面积题型10：直线与双曲线的位置关系题型10.1：直线与双曲线的位置关系题型10.2：双曲线的切线问题题型11：双曲线中求值问题题型12：双曲线中求取值范围题型13：双曲线中求最值问题题型14：双曲线的定值问题方法是先猜后证。
猜法：取特殊情况或极端情况。
题型14.1：和差相消为定值题型14.2：乘除相约为定值题型15：双曲线的定点问题方法是先猜后证。
猜法：取两种特殊情况或极端情况的交点，或利用对称性判断定点在某直线上。
题型1：曲线的方程的判断1.已知曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则“f 1(x 0,y 0)=f 2(x 0,y 0)”是“点M(x 0,y 0)是曲线C 1与C 2的交点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.方程|y|-1=表示的曲线是()A.两个半圆B.两个圆C.抛物线D.一个圆3.方程x 2-xy+2y+1=0表示的曲线经过点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10),D 中的()A.1个B.2个C.3个D.4个4.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是()A. B. C. D.题型2：直接法求曲线的方程1.到（0,2）和（4，-2）距离相等的点的轨迹方程___________2.设动点P 到点F(-1,0)的距离是到直线y=1的距离相等，求点P 的轨迹方程，并判定此轨迹是什么图形.3.动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？题型3：定义法求曲线的方程1.由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为．2.过点（-2,0）的直线与圆221x y +=相交于A，B，求弦AB 中点M 的轨迹方程。
高中数学双曲线知识归类总结
高中数学双曲线知识归类总结一、双曲线上点到坐标轴上点的距离最大值及最小值根据两点距离公式,利用双曲线方程,借助代入消元法,消去其中一个变量,得到双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量的函数表达式,将点点之间距离的最值问题转化成常见函数——二次函数的最值问题进行求解,注意变量的取值范围. 先看例题：已知双曲线224:y C x -=求点(1,0)P 到此双曲线上的点的最近距离.整理：焦点在x 轴上的双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任一点(),P x y , (),0M m ,2222222||()()(1)x PM x m y x m b a =-+=---()0,N n ,2222222||()(1)()y PN x y n a y n b =+-=++-两点距离的最值问题转化成二次函数的最值问题进行求解,注意变量,x y 的取值范围,其中||,x a ≥y R ∈焦点在y 轴上的双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 类似处理. 再看一个例题,加深印象例：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率25=e ,点A （0,1）与双曲线上的点的最小距离是5302,求双曲线的方程．总结：1.根据双曲线不同形式的标准方程及两点距离公式,写出双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量x或y的函数表达式.2.根据变量,x y的取值范围,求出二次函数的最值,进而求出双曲线上点到坐标轴上点的距离最值.练习：1.已知双曲线C:221x y-=,点A(a,0) (a>0) 到双曲线上的点的最近距离为d,求解析式d=f(a).2.已知双曲线C:2214xy-=,P是C上的任意点.(Ⅰ)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (Ⅱ)设点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值.答案：1.解：2222222()()12()122a a d x a y x a x x =-+=-+-=-+-,||1x ≥0＜a ≤2时,点A(a ,0)到双曲线的距离的最小值()|1|f a a ==-；当 a ＞2时,点A(a ,0)到双曲线的距离的最小值()f a =(Ⅱ)设P 的坐标为(x ,y ),则|PA |2＝(x －3)2＋y 222(3)14x x =-+-25124()455x =-+.∵|x|≥2, ∴当125x =时,|PA|2的最小值为45,即|PA |的最小值为5.二、有关双曲线中线段的和的最值问题本内研究双曲线中线段之和的最值.根据双曲线的第一定义,利用三角形中两边之和大于第三边,三角形中两边之差小于第三边,处理线段之和的最值问题时,画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值. 先看例题：例：已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线上的动点,则|PF |+|PA |的最小值为________.思考：P 是双曲线右支上的动点,答案如何？例如：已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|PA |的最小值为________.整理：根据双曲线的第一定义,利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三 边画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.设P 为平面内一动点,A 、B 为两定点,则||||||PA PB AB +≥当且仅当点P 在线段AB 上时取得最小值；BA图1||||||||AB PA PB AB -≤-≤ 当且仅当点P 在线段AB （或BA ）的延长线时取等号．B A P P图2再看一个例题,加深印象：例：已知F 是双曲线22: 2C x y -=的右焦点,P 是C 的左支上一点,()0,2A .当APF ∆ 周长最小时,求P 的坐标.总结：1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时,常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a-=）及三角形三边关系.2.注意双曲线上点的位置,在哪一支上,影响所求最值.1.已知F是双曲线C:2218yx-=的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,).当△APF周长最小时,该三角形的面积为________.2.已知F是双曲线221412x y-=的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________.3.已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=,离心率e=（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如图,点A的坐标为(,B是圆22(1x y+=上的点,点M在双曲线右支上,求MA MB+的最小值,并求此时M点的坐标；（Ⅱ）设点D的坐标为,则点A 、D 为双曲线的焦点,||||22MA MD a -== 所以||||2||||2||MA MB MB MD BD +=+++≥ ,B是圆22(1x y +=上的点,其圆心为C ,半径为1,故||||11BD CD -=≥从而||||2||1MA MB BD ++≥由方程组2244x y y x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩得x y ==∴M .三、双曲线中另一种线段之和的最值问题本内容主要研究双曲线中线段之和1+||eM MFA（|MF|为焦半径,A是定点）的最值.根据双曲线的第二定义,利用三角形中两边之和大于第三边,三角形中两边之差小于第三边,处理线段之和的最值问题时,画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.先看例题：例：已知点A（5,3）,F（2,0）,在双曲线2213yx-=上求一点P,使1||||2PA PF+的值最小.显然直线垂直于准线时合题意,且在双曲线的右支上,此时P点纵坐标为3,所以所求点P的坐标为P(2,3)注意：题目中PF的系数并不是任意的,它与双曲线的离心率有关.再看一个例题,加深印象例：已知P是双曲线221169yx-=右支上的动点,点F是双曲线的右焦点,定点()8,4A,求45PF PA+的最小值.解：由所求45PF PA+和54e=的特殊性,巧用第二定义化归为平几最值求解.总结：1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时,常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a-=）及三角形三边关系.2.注意双曲线上点的位置,在哪一支上,影响所求最值.练习：1.已知点A（3,2）,F（2,0）,在双曲线2213yx-=上求一点P,使1||||2PA PF+的值最小.2.已知P是双曲线2211620yx-=右支上的动点,点P是双曲线的右焦点,定点()7,6A,求23PF PA+的最小值.答案： 1.解：∵a=1，c=2，e=2ca=， 设点P 到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d ，则||12,||2PF PF d d =∴=即在双曲线上求点P ,使P 到定点A 的距离与到准线的距离之和最小,显然直线垂直于准线时合题意,且在双曲线的右支上,此时P 点纵坐标为2,∴所求的点为P（3,2）.2.四、双曲线中线段之差的最值问题本内容主要研究双曲线中线段之差的最值.根据双曲线的第一定义和第二定义,利用三角形中两边之和大于第三边,三角形中两边之差小于第三边,处理线段之和的最值问题时,画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.例：已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线上的动点,则|PF |-|PA |的最大值为________.解：由双曲线的图象,连接F A 延长交双曲线于点P ,满足|PF |-|P A |最大.由两点间距离公式，A (1,4),F (-4,0)求得最大值为||AF =整理：根据双曲线第一定义和第二定义利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边,画出图形利用几何图形的性质,三点共线线段之和取得最值.例如：设P为平面内一动点,A、B为两定点,则||||||PA PB AB+≥当且仅当点P在线段AB上时取得最小值；BA图1||||||||AB PA PB AB-≤-≤当且仅当点P在线段AB（或BA）的延长线时取等号．BAP P图2再看一个例题：例：P为双曲线x2－y215＝1右支上一点,M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点,则|PM|－|PN|的最大值为__________．解：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2－y215＝1的两焦点．如图：当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大， |PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和， 同样|PN |最小＝|PF 2|－1，从而|PM |－|PN |的最大值为|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.总结：1.在遇到双曲线中线段差的最值问题时,常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a-=）及三角形三边关系.2.双曲线上到的双曲线内（不含焦点的区域）一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与双曲线的交点.3.注意双曲线上点的位置,在哪一支上,影响所求最值.练习：1．P 为双曲线2218-=y x 右支上一点,M 、N 分别是圆(x ＋3)2＋y 2＝4和(x －3)2＋y 2＝1上的点,则|PM |－|PN |的最大值为__________．2．设圆C与两圆2222(4,(4x y x y +=+=,中的一个内切,另一个外切. (Ⅰ)求C 的圆心轨迹L 的方程;(Ⅱ)已知点M且P 为L 上动点.求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标.答案：1.解：已知两圆圆心(－3,0)和(3,0)(记为F1和F2)恰为双曲线2218yx-=的两焦点．当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|－|PN|最大，|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和，同样|PN|最小＝|PF2|－1，从而|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2a＋3＝5.五、双曲线中另一种线段之差的最值问题本内容主要研究双曲线中线段之差1-||eM MFA（|MF|为焦半径,A是定点）的最值.根据双曲线的第二定义,利用三角形中两边之和大于第三边,三角形中两边之差小于第三边,处理线段之和的最值问题时,画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.先看例题：例：已知点A（5,3）,F（2,0）,在双曲线2213yx-=上求一点P,使1||||2-PA PF的值最大.解：∵a=1，c=2，e=2ca=，设点P到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d，则||12,||2PFPF d d=∴=即在双曲线上求点P，使P到定点A的距离与到准线的距离之差最大，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的左支上，此时P点纵坐标为3，∴所求的点为P（-2，3）.注意：题目中PF的系数并不是任意的,它与双曲线的离心率有关. 整理：根据双曲线的第二定义,将1||MF e 转化为点到准线的距离,利用三角形两边之和大于第三边,或三角形两边之差小于第三边, 画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之差取得最值.例：已知P 是双曲线221169y x -=右支上的动点,点F 是双曲线的右焦点,定点()5,4A ,求45PF PA-的最大值.解：由所求4|PF|-5|PA|和45=e 的特殊性，巧用第二定义化归为平几最值求解.设P 1为P 在右准线上的射影，A 1为A 在右准线上的射影， 则4|PF|-5|P A |=5（|P A 1|-|P A |）≤5|A 1A |.当且仅当A ,P ,P 1，A 1共线时取最大值. 此时的最大值为116955(5)5955AA =-=⨯=.即4|PF |-5|P A |的最大值为9.总结：1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时,常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a-=）及三角形三边关系.2.注意双曲线上点的位置,在哪一支上,影响所求最值.练习：1.已知点A （3,2）,F （2,0）,在双曲线2213y x -=上求一点P,使1||||2-PA PF 的值最大.2.已知P 是双曲线2211620y x -=右支上的动点,点P 是双曲线的右焦点,定点()7,6A ,求23PF PA-的最大值.答案： 1.解：∵a=1，c=2，e=2ca=， 设点P 到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d ，则||12,||2PF PF d d =∴=即在双曲线上求点P ,使P 到定点A 的距离与到准线的距离之差最大,显然直线垂直于准线时合题意,且在双曲线的左支上,此时P 点纵坐标为2,∴所求的点为P （3-,2）.2.解：设P 1为P 在右准线上的射影,A 1为A 在右准线上的射影,则2|PF |-3|P A |=3（|P A 1|-|P A |）≤3|A 1A |. 当且仅当A ,P ,P 1，A 1共线时取最大值. 此时的最大值为1163AA 3(7)196=-=.即4|PF |-5|P A |的最大值为19.。
双曲线的定义,距离之间的绝对值解读
A．(1， 3) B．( 3，2 2) C．(1＋ 2，＋∞)
D．(1,1＋ 2)
答案 D
4、设P为双曲线
x2 a2
y2 b2
1右支上的一点，若
| PF1
|
4 | PF2
|，
求e的范围
答案： 1 e 5 3
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高考调研
题型四
高中数学（新课标版·理）
直线与双曲线
引例 1、 已知双曲线 C：x32－y2＝1.
高考调研
高中数学（新课标版·理）
双曲线的定义，距离之间的绝对值
精辟讲解版
高考调研
高中数学（新课标版·理）
1．双曲线定义：平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2| ＝2c>0)的 距离之差的绝对值 为常数 2a(2a<2c)，则点 P 的轨迹叫双曲线．
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高考调研
高中数学（新课标版·理）
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设点 E(x1，y1)，F(x2，y2)，
则 x1＋x2＝1－4kk2，x1x2＝－1－6 k2.
所以|EF|＝ x1－x22＋y1－y22
＝ 1＋k2x1－x22
＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝
1＋k2·2
2 3－k2 |1－k2| .
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题型二 双曲线的标准方程
例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与已知双曲线 x2－4y2＝4 有共同渐近线且经过点(2,2)；
变式：与已知双曲线 x2－4y2＝4 有共同焦点且过点(3,1) 变式：与已知双曲线 x2－4y2＝4 有相同离心率且过点(3,1)
高中数学圆锥曲线复习(二)——双曲线
圆锥曲线复习（二)---—双曲线一.双曲线的定义第一定义:平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y图形性质 焦点F 1（-)0,c ，F 2()0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 ｜ F 1F 2|=2c222c b a =+范围R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称 顶点 (-a ，0）。
（a ，0） （0，—a ）（0，a ） 轴 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率)1(>=e ac e 准线 c a x 2±=ca y 2±= 渐近线0=±bya x 0=±ayb x 到焦点的,c a =-最近距最远距无b Rt ∆焦渐距，第二个二、常见的结论：（1）与双曲线22221x y a b -=共同的焦点的双曲线22221x y a k b k-=-+(2）与双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0),有共同渐近线的双曲线系方程为λ=-2222by a x (a 〉0，b>0，λ≠0）, 当 λ>0 时，所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 当 λ〈0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 (3）等轴双曲线的性质：离心率为2，渐近线方程为y=±x 等轴双曲线可以设为x 2-y 2=λ≠0（4）双曲线形状与e 的关系：b k a ===，e 越大,即渐开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。
三、求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或定义法(强调取一支还是两支）。
高中数学双曲线经典考点及例题讲解
双曲线考纲解读 1.根据双曲线的定义和性质求标准方程；2.根据双曲线的标准方程求双曲线的性质：离心率、渐近线等；3.利用双曲线定义及性质解决简单的直线与双曲线的关系问题．[基础梳理]1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程与几何性质x2y2y2x2[三基自测]1．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( )A ．32 B.5 C ．2 5 D ．45答案：C2．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3 答案：B3.x 22＋m －y 2m ＋1＝－1表示双曲线，则m 的范围为________． 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为________． 答案：y ＝±3x考点一 双曲线定义及应用|易错突破[例1] (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．x ＝0 B.x 22－y 214＝1(x ≥2) C.x 22－y 214＝1 D.x 22－y 214＝1或x ＝0 (2)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，求△F 1PF 2的面积．[解析] (1)动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2.故得|MC 1|－|MC 2|＝22；在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2. 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2.已知|C 1C 2|＝8，根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝14，其方程为x 22－y 214＝1.(2)由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，故三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.[答案] (1)D[易错提醒][纠错训练]1．(2018·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2－y 2＝9右焦点F 2的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( )A ．19B ．26C ．43D ．50解析：如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ， ①|QF 2|－|QF 1|＝2a ， ②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ | ＝4a ＋|PQ |＋|PQ |＝4×3＋2×7＝26.答案：B2．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，求|AP |＋|AF 2|的最小值．解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5.考点二 双曲线的方程及性质|方法突破命题点1 求双曲线的方程[例2] (1)已知焦点在y 轴上的双曲线C 的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的标准方程为( )A.y 29－x 23＝1 B.x 29－y 23＝1 C.y 24－x 26＝1 D.x 24－y 26＝1 (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________。
高三数学双曲线知识点总结归纳
高三数学双曲线知识点总结归纳双曲线是高中数学中重要的一章，它不仅在数学理论体系中具有重要作用，还在实际生活中有广泛的应用。
下面是对高三数学双曲线知识点的总结与归纳。
一、双曲线的定义和基本形态双曲线是平面上各点到两个定点的距离之差等于常数的轨迹。
双曲线由两个分离的支线组成，其基本形态可以分为两种类型：横轴双曲线和纵轴双曲线。
横轴双曲线的中心在横轴上，纵轴双曲线的中心在纵轴上。
二、双曲线的方程1. 横轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$2. 纵轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$x=\pm \frac{a}{b} \sqrt{y^2-a^2}$三、双曲线的性质1. 焦点和准线：横轴双曲线有两个焦点和两条准线，纵轴双曲线也有两个焦点和两条准线。
2. 对称性：双曲线关于横轴、纵轴和原点对称。
3. 渐近线：横轴双曲线有两条渐近线，纵轴双曲线也有两条渐近线。
4. 离心率：双曲线的离心率定义为焦距与准线之间的比值，离心率大于1。
5. 直径：双曲线的直径是通过焦点的直线段，并且双曲线上的每一点都在某条直径上。
四、双曲线的图像与应用1. 横轴双曲线的图像横轴双曲线的图像呈现出两个分离的支线，它在物理学、电子学和光学中有广泛的应用，例如抛物面反射器、双折式天线等。
2. 纵轴双曲线的图像纵轴双曲线的图像同样由两个分离的支线构成，它在物理学、力学、天文学等领域有广泛的应用，例如行星运动的轨道、卫星发射轨道等。
五、双曲线的解析几何应用1. 双曲线的切线双曲线的切线过双曲线上的一点$P(x_0, y_0)$，切线方程为$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。
2. 双曲线的渐近线横轴双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x$，纵轴双曲线的渐近线方程为$x=\pm \frac{a}{b} y$。
高中数学最全双曲线二级结论大全
双曲线1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 12．AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-.14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15．若PQ 是双曲线22221x y a b -=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b -=+;(2) L =17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222002222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1,PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=⋅-.19．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot 2F PF S b γ∆=，2(cot )2b Pc γ± . 21．若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立.25．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29．设A,B 为双曲线2222x y k a b -=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ时，有0min ()x =32．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.35．经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知双曲线22221x y a b -=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -.37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP b a-=-. 39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设双曲线方程22221x y a b-=,则斜率为k(k ≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-. 44．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A到双曲线两焦点的距离，则ab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b θ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=()2222()a n m a ma mb n a --⇔=-++. 52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e 是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc eα≤（当且仅当||PF b =时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||ab PA c=时取等号）. 54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =. 55．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a+⋅≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=+. 57．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=.58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-； ()22||||4c AB CD a a b a+≥==61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()bx a y e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b --=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a -.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a-+=--（除原点）。
双曲线高考6大常考基础题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第20讲双曲线高考6大常考基础题型总结【考点分析】考点二：双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22b a．考点三：双曲线常考性质结论①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数ab c;②双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；考点四：双曲线焦点三角形面积为2tan2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）【题型目录】题型一：利用双曲线定义解题题型二：求双曲线的标准方程题型三：双曲线焦点三角形面积题型四：双曲线的渐近线有关题型题型五：双曲线的离心率问题题型六：双曲线的最值问题【典型例题】题型一：利用双曲线定义解题【例1】已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，0y +=，若点M在双曲线C 上，且15MF =，则2MF =（）A ．9B ．1C ．1或9D ．1或7【例2】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=【例3】已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为．【答案】121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+= 【例4】已知曲线C 的方程为221mx ny +=，下列说法正确的是（）A ．若0mn >，则曲线C 为椭圆B ．若0mn <，则曲线C 为双曲线C ．若曲线C 为焦点在x 轴的椭圆，则0m n >>1n【题型专练】1.设双曲线221169x y -=的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆2216x y +=相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN MO -=（）A ．12B ．1C ．32D ．22.已知F 1、F 2分别为双曲线C :29x -227y =1的左、右焦点，点A 为C 上一点，点M 的坐标为(2，0)，AM为∠F 1AF 2的角平分线．则|AF 2|=.3.方程132m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A ．23m -<<B ．20m -<<C ．2m <-或3m >D ．32m -<<题型二：求双曲线的标准方程【例1】与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=【答案】C 【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得a 的值，再由b =b 的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆C 的焦点坐标为()0,2±，设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，由双曲线的定义可得2a =-=，a ∴2c = ，b ∴=因此，双曲线的方程为22122y x -=.故选：C.【例2】已知圆22:(4)16M x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点(4,0)A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=【例3】已知双曲线H ：219x y a -=（0a >），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 的面积为4a ，则双曲线的方程为（）A ．22199x y -=B ．221189x y -=C ．221279x y -=D ．221369x y -=【例4】已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线C 的右支上，12MF MF ⊥，若1MF 与C 的一条渐近线l 垂直，垂足为N ，且12NF ON -=，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2212016x y -=B ．221204x y -=C ．221416x y -=D ．221420x y -=，【题型专练】1．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在y ，则双曲线的标准方程是（）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212xy -=D ．2212y x -=2．已知双曲线C 的焦点为1F ，)2F ，点P 在双曲线C 上，满足112PF F F ⊥，14PF =，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22132x y -=D ．22123x y -=3．已知圆M ：()2224x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点()2,0A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=4.已知双曲线方程为222x y k -=，焦距为6，则k 的值为________.故答案为：±6.5．（2022·重庆·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（）A ．1PQA △的周长B ．1PF Q 的周长与2PQ之差C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅【答案】BD 【解析】【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y y a xx aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ．【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PF Q 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ++=+++=+所以1PF Q 的周长与2PQ之差为4a ，故B 正确；设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-，由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确；由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x aαβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅==-+---为常量，故D 正确；故选：BD题型三：双曲线焦点三角形面积【例1】设双曲线2222:1(00)x y C a b a b，-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F．P 是C 上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：ca=c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥ ，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ，又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．【例2】已知1F ，2F 是双曲线C ：()2210,0436x y a b -=>>的左、右焦点，M ，N 是C 上关于原点对称的两点，且12MN F F =，则四边形12MF NF 的面积是______．，即可求得四边形【题型专练】1．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅= ，则（）A ．PB ．12PF =C ．12PF F △的周长为4D ．12PF F △的面积为42.设1F ，2F 是双曲线2:13C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则△12PF F 的面积为（）A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ．题型四：双曲线的渐近线有关题型焦点在x 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b y a x x a b y 焦点在y 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b x a y x b a y 若双曲线的方程为122=+ny mx ，要求渐近线只需令022=+ny mx ，解出即可即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
高中数学双曲线
双曲线一、知识梳理1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a题型一双曲线的定义及标准方程例1△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 例2 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.引申探究：本例中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？跟踪训练 (1)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________.(2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B.210 C. 5 D.25题型二 求双曲线方程例3 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1) 虚轴长为12，离心率为54； (2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)过两点P (－3,27)和Q (－62，－7).(4)过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线,题型三 双曲线的几何性质例4 (1)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B.x ±2y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0(2) 已知O ，F 分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的中心和右焦点，点G ，M 分别在E 的渐近线和右支上，FG ⊥OG ，GM ∥x 轴，且|OM |＝|OF |，则E 的离心率为( )(3) A.52 B.62 C.72D.2 跟踪训练 已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32C. 3D.2三、课时作业1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n＝0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )2已知双曲线x 2a 2－y 2＝1的一条渐近线方程是y ＝33x ，则双曲线的离心率为( ) A.33 B.63 C.32 D.2333.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53 B.355 C.63 D.624.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1D.x 24－y 26＝1 5.已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(－1,3) B.(－1，3) C.(0,3) D.(0，3) 6.已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A.32B.16C.84D.47. 已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( ) A.233 B. 2 C. 2 D.2638.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc 3，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.53 C.132 D.1339.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在曲线C 的右支上存在点P ，使得△PF 1F 2的内切圆半径为a ，圆心记为M ，又△PF 1F 2的重心为G ，满足MG 平行于x 轴，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B.3C.2D.58.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤1，52B.⎝⎛⎦⎤1，72C.⎣⎡⎭⎫52，＋∞D.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ 10.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.11.设动圆C 与两圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝4，C 2：(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为____________. 12.设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 13.已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( ) A.3 B.2 C.－3 D.－2 14.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠P AQ ＝π3且OQ →＝5OP →，则双曲线C 的离心率为( ) A.213 B.2 C.72D.3 15.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________.。
高中数学复习-双曲线的定义、方程及性质
）
解析：设｜ PF 2｜＝ m ，｜ PF 1｜＝3 m ，则｜ F 1 F 2｜＝
2 + 92 − 2 × 3 × × cos60° ＝ 7 m ，所以 C 的离心率 e
｜1 2 ｜
2
7
7
＝ ＝ ＝
＝
＝ .
2
2
2
｜1 |−|2 ｜
目录
高中总复习·数学
BE ｜＝1，｜ CD ｜＝｜ CF ｜，所以｜
CA ｜－｜ CB ｜＝5－1＝4.根据双曲线定
义，所求轨迹是以 A ， B 为焦点，实轴长为4
的双曲线的右支（右顶点除外），即 c ＝3，
a ＝2，又 c 2＝ a 2＋ b 2，所以 b 2＝5，所以顶
2
2
点 C 的轨迹方程为 － ＝1（ x ＞2）.
9 + 28 = 1，
经过点 P （3，2 7 ）， Q （－6 2 ，7），所以ቊ
72 + 49 = 1，
解得 ൞
＝ −
1
＝ .
25
1
，
75
2
2
故所求双曲线标准方程为 － ＝1.
25
75
目录
高中总复习·数学
双曲线的几何性质
考向1 双曲线的渐近线
【例3】
2
2
（1）已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1（ a ＞0， b ＞0）的焦距为
PF 2｜＝4 a ，∴｜ PF 1｜＝3 a ，｜ PF 2｜＝ a .在△ PF 1 F 2中，由余弦定
｜1 ｜2 ＋｜2 ｜2 −|1 2 ｜2
1
理的推论可得 cos 60°＝
，即 ＝
高中数学复习考点知识专题练习28 双曲线
【答案】1
【解析】由题意知：直线݈方程为： ݕൌ ݔ 1
由双曲线方程可知，双曲线渐近线方程为：ݕ
ൌ
േ
ݔ
设 ， ܣሺݔଵ, ݕଵሻ ܤሺݔଶ, ݕଶሻ
由 得： ܤሬሬሬሬܯሬሬറ ൌ 2ሬܣሬሬሬܯሬሬറ ݔଶ ൌ 2ݔଵ
联立直线方程݈与渐近线方程可得：ݔଶ
若∆OTM 的周长为4a，则双曲线的渐近线的方程为( )
．A
y=
3x 4
【答案】B
【解析】
．B y = ± 4 x 3
．C y = ± 3 x 5
．D y = ± 5 x 3
3/8
解：连 OT，则 ⊥ ， OT F1T
在直角三角形 中， ． OTF1 |F1T| = OF12 − OT 2 = c2 − a2 = b 连 ， PF2 M 为线段 F1P 的中点，O 为坐标原点
±
b a
x
，
由过 E 的右顶点作 x 轴的垂线与 E 的渐近线相交于 ，A B 两点，且四边形 OAFB 为菱形，
则对角线互相平分，所以c = 2a ， b = 3 ，所以结合选项可知，只有 D 满足， a
由 ，解得 ， ，
x2 a2
−
y2 b2
=1
x2 + y2 = c2 = 4a2
7 xA = 2 a
与 E 在第一象限的交点是 P，且 PF = 7 −1，则双曲线 E 的方程是( )
．A x2 − y2 = 1 62
【答案】D
．B x2 − y2 = 1 26
．C x2 − y2 = 1 3
．D x2 − y2 = 1 3
高中数学,解析几何,双曲线渐近线题型归纳(含答案)
高中数学，解析几何，双曲线渐近线题型归纳（含答案）引言在高中数学的解析几何中，双曲线是一个重要的内容。
双曲线具有很多特性，其中之一就是它们的渐近线。
渐近线是指双曲线在无穷远处逼近的直线，它们对于研究双曲线的性质和图像特点非常有用。
本文将对双曲线的渐近线题型进行归纳总结，并给出详细的解答。
渐近线的定义在双曲线的解析几何中，渐近线是指双曲线在无穷远处逼近的直线。
具体来说，对于双曲线的方程为当的绝对值趋近于1时，双曲线与直线的距离趋近于0，即是双曲线的渐近线。
渐近线题型归纳题型一：确定双曲线的渐近线题目：确定双曲线的渐近线方程。
解答：首先，根据双曲线的定义，我们知道渐近线方程的斜率为±1。
计算可知，当的绝对值趋近于1 时，双曲线与直线的距离趋近于0。
所以，我们将代入双曲线方程得到：化简得：继续化简得：解得：因此，渐近线的斜率为±1，通过经过点 (±4, 0)，所以渐近线的方程为：题型二：判断点是否在双曲线的渐近线上题目：判断点 (3, 4) 是否在双曲线的渐近线上。
解答：如果点在双曲线的渐近线上，则点到渐近线的距离趋近于0。
双曲线的方程为：渐近线方程为：计算点到渐近线的距离：由于点到渐近线的距离不为0，所以点 (3, 4) 不在双曲线的渐近线上。
结论通过以上题目的解答，我们总结出了一些关于双曲线渐近线的规律。
对于题型一，我们可以通过计算得到双曲线方程中的绝对值趋近于1时的限制条件来确定渐近线方程。
对于题型二，我们可以通过计算点到渐近线的距离是否趋近于0来判断点是否在渐近线上。
双曲线的渐近线在解析几何中有着重要的作用，它们帮助我们更好地理解双曲线的形态和性质。
通过解答以上题目，我们可以更加熟练地处理双曲线的渐近线问题，并且加深对双曲线的理解。
以上就是关于高中数学，解析几何，双曲线渐近线题型的归纳总结。
希望能对大家的学习有所帮助！。
高中数学双曲线知识点及题型总结(学生版)
，两准线之距为 K 1K 2 21 双曲线定义：① 到 两 个 定 点 F 1 与 F 2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ < |F 1F 2| ） 的 点 的 轨 迹PF 1 PF 2 2a F 1F 2 （ a 为常数）） 这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点： （1）距离之差的绝对值 .（ 2）2a < |F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同 . 当|MF1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点 F 1所对应的一支； 当 2a=|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以 F 1、F 2 为端点向外的两条射线； 当 2a > | F 1F 2| 时，动点轨迹不存在 .②动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e （e > 1）时，这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线2 2 2 22.双曲线的标准方程： x2 y2 1和 y 2 x 2 1（a >0，b >0）.这里 b 2 c 2 a 2，其中| F 1 F 2 |=2c. a 2 b 2 a 2 b 2 要注意这里的 a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同 .223.双曲线的标准方程判别方法是： 如果x 2项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 y 2 项的系数是正数， 则焦点在 y 轴上 .对于双曲线， a 不一定大于 b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在 哪一条坐标轴上4. 求双曲线的标准方程 ，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数 法求解 .5. 曲线的简单几何性质在 y 轴上）双曲线知识点及题型总结④特别地当 b时可设为 x 2 离心率 eb y= x ， a 2 b y= － x a 两渐近线互相垂直，分别为 （什么是共轭双曲线 ?）⑸准线： l 1：x=－y= x ，此时双曲线为等轴双曲线，a 2 a 2，l 2：x=ca 2c22xy2 － 2 =1（a >0，b >0）a2 b 2⑴范围： |x|≥a ， y ∈R⑵对称性：关于 x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点 A 1（－ a ，0），A 2 ⑷渐近线： a ，0）yM1M 2PF 1 A 1 K 1 o K 2 A 2 F 2①若双曲线方程为 2x 2a 2y b2 2x渐近线方程 2ay b 2②若渐近线方程为 b y0 双曲线可设为2x2 a2y b2 ③若双曲线与 2x 2 a2 y b2 1有公共渐近线，可设为 2x 2a2 y b 20 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点y1 k 12 y 2 y 1⑹焦半径： PF 1PF 2 a 2e(x )c2 e(a x) cex ex a ，(点 P 在双曲线的右支上a ，(点 P 在双曲线的右支上 当焦点在 y 轴上时，标准方程及相应性质(略) 2 ⑺与双曲线 x 2 a 2 x 2 ⑻与双曲线 x 2 a 2 2 yb 2 2 y b 2 1共渐近线的双曲线系方程是 1共焦点的双曲线系方程是2 x a 2x 2a 2k2 y b 2 2 y b 2 6 曲线的内外部 (1) 点 P(x 0,y 0) 在双曲线 (2) 点 P(x 0,y 0) 在双曲线 2 x2 a2 x 2 a2y b2 2 y b2 1(a 1(a 7 曲线的方程与渐近线方程的关系 (1 )若双曲线方程为 2 x 2 a 2 y b 2 0,b 0,b (2) 若渐近线方程为 bx a x a )； x a )；0)0) 的内部0) 的外部 渐近线方程： b y 0 2 x 2a 2 yb 2双曲线可设为2 (3) 若双曲线与 x 2 a 2 在 y 轴上) . 2 y b 2 1有公共渐近线，可设为2 x 2a 2y b 2 8 双曲线的切线方程 2 x (1) 双曲线 x 2 a 2 yb 2 1(a 2 x0 2a2 x 0y 02b 22 y 0 b 21. 1.bx .a2x 2 a2 y b2 0 ，焦点在 x 轴上，0,b 0) 上一点 P(x 0,y 0 )处的切线方程是 02 02 1. ab 0 ，焦点2 x 2 a 2x 3)双曲线 x 2 a 2 2)过双曲线 b 2 2 b y 2 1(a b1(a 0,b 0)外一点 P(x 0,y 0)所引两条切线的切点弦方程是 22 0,b 0)与直线 Ax By C 0 相切的条件是 A 2a 2 x 0x2 a22B 2b2y 0y1 b 02 1.2c .AB (x 1 x 2) 2 (y 1 y 2)2 若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB ， A 、B 两点分别为 A(x 1，y 1)、 AB 9 线与椭圆相交的弦长公式 B(x 2,y 2)，则弦长x 2 x 122 k 2)[( x 1 x 2)24x 1x 2] 1(1 12) [(y 1 y 2)2 4y 1y 2] ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； k 2(1A. 10B. 5C. 3x 2y 21 已知双曲线 x a2 － y b 2 = 1 (a > 0,b > 0)的左右焦点分别为∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 45 A ．3 B ．3 2y22.已知 F 1,F 2 是双曲线 于 A 、B 两点 ,若A. 2x 23.过双曲线 M: C,且|AB|=|BC|, 则双曲线F 1、 F 2，点 P 在双曲线的右支上，且) 7D ．7322 x2 y21,(a b 0 )的左、右焦点,过 F 1且垂直于 x 轴的直线与双曲线的左支交 a2b 2ABF 2 是正三角形 ,那么双曲线的离心率为 ( )B. 32 y b 2C ．２ C. 2 D. 31 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于M 的离心率是 ( )105D. 2B 、题型一：双曲线定义问题A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件222. 若 k R ，则“ k 3”是“方程 x y 1表示双曲线”的 ( )k3k3A.充分不必要条件 .B.必要不充分条件 .C.充要条件 .D. 既不充分也不必要条件 .22 3. 给出问题： F 1、F 2是双曲线 x－ y =1 的焦点，点 P 在双曲线上 .若点 P 到焦点 F 1的距离等于 16 20P 到焦点 F 2的距离 .某学生的解答如下： 双曲线的实轴长为 8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1 或 17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面 横线上 . _____ .4. 过双曲线 x 2-y 2=8的左焦点 F 1有一条弦 PQ 在左支上，若 | PQ|=7 ，F 2是双曲线的右焦点，则△ PF 2Q 的周长 是 .题型二：双曲线的渐近线问题题型三：双曲线的离心率问题高考题型解析1.“ ab<0”是“曲线ax 2+by 2=1 为双曲线”的 ( 9，求点x 21.双曲线43 A. y=± x22 y=1 的渐近线方程是92.过点( 2，－ 2) 22yx A. － =1 242B.y=± x3x 22 2y 2=12 C.y=±9x 4D.y= ± 4 x9且与双曲线2 xB. － 4－y 2=1 有公共渐近线的双曲线方程是22yx C. － =1 422 x D. － 22 y 2=1414.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 2，焦点到相应准线的距离为 2，则该双曲线的离心率为 ( ) A. 22题型四：双曲线的距离问题2x－ 1y6 =1 的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 题型五：轨迹问题1.已知椭圆 x 2+2y 2 =8 的两焦点分别为 F 1、 F 2， A 为椭圆上任一点。
高中数学双曲线习题及答案解析
双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。
高中数学双曲线知识点及题型总结(学生版)
双曲线知识点及题型总结1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx (什么是共轭双曲线?)⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x 0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 6曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 7曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.9线与椭圆相交的弦长公式 AB =若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x 表示双曲线”的( )A .充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.3.给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _________.4.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x－y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43B ．53C ．２D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )A.2 B.3 C. 2 D. 33.过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 (4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( ) A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-by a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞) 题型四：双曲线的距离问题1.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( ) A.1或5 B.6 C .7 D.92.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3] 3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。
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高中数学双曲线题型归纳
类型一 双曲线的定义
【例1】已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．
1-1设P 是双曲线120
162
2=-
y x 上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( ) A ．1 B ．17 C ．1或17 D ．以上答案均不对
1-2已知F 是双曲线112
42
2=-
y x 的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点， 则|PF |＋|P A |的最小值为( ) A ．5 B ．5＋43 C ．7 D ．9
1-3已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．
类型二 几何性质
【例2】设F 1，F 2分别为双曲线122
22=-b
y a x (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右
支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0
B ．3x ±5y ＝0
C ．4x ±3y ＝0
D ．5x ＋4y ＝0
2-1若双曲线()01322
2>=-b b y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的4
1，则该双
曲线的虚轴长是（ ） A .2
B .1
C .
5
5 D .
5
5
2
2-2设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线122
22=-b
y a x (a ＞0，
b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．
2-3中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2， 且F 1F 2＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；
(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．
类型三双曲线的标准方程
【例3】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则双曲线的方程是( )
3-1双曲线mx2+ y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（）
A.- 1
4B.-4 C.4 D.1
4
3-2设双曲线与椭圆
1
36
27
2
2
=
-
y
x
有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为
(15，4)，则此双曲线的标准方程是．3-3根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为5 4；
(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(3)经过两点P(－3，27)和Q(－62，－7)．
类型四直线与双曲线的位置关系
【例4】(1)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为23.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．
【例4】(2)双曲线1
2=
2
x的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）-y
A. 1
y D. 3
=x
2+
=x
2-
y
2-
=x
y B. 2
2-
=x
y C. 3
4-1已知双曲线,问过点A （1，1）能否作直线,使与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
4-2已知点N （1，2），过点N 的直线交双曲线12
2
2
=-y x 于A 、B 两点，且
)(2
1
+=
，求直线AB 的方程。
12
2
2
=-y x l l l。