高中数学双曲线题型归纳

高中数学双曲线题型归纳

类型一 双曲线的定义

【例1】已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．

1-1设P 是双曲线120

162

2=-

y x 上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( ) A ．1 B ．17 C ．1或17 D ．以上答案均不对

1-2已知F 是双曲线112

42

2=-

y x 的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点， 则|PF |＋|P A |的最小值为( ) A ．5 B ．5＋43 C ．7 D ．9

1-3已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．

类型二 几何性质

【例2】设F 1，F 2分别为双曲线122

22=-b

y a x (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右

支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0

B ．3x ±5y ＝0

C ．4x ±3y ＝0

D ．5x ＋4y ＝0

2-1若双曲线()01322

2>=-b b y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的4

1，则该双

曲线的虚轴长是（ ） A .2

B .1

C .

5

5 D .

5

5

2

2-2设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线122

22=-b

y a x (a ＞0，

b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．

2-3中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2， 且F 1F 2＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；

(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．

类型三双曲线的标准方程

【例3】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则双曲线的方程是( )

3-1双曲线mx2+ y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（）

A.- 1

4B.-4 C.4 D.1

4

3-2设双曲线与椭圆

1

36

27

2

2

=

-

y

x

有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为

(15，4)，则此双曲线的标准方程是．3-3根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为5 4；

(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；

(3)经过两点P(－3，27)和Q(－62，－7)．

类型四直线与双曲线的位置关系

【例4】(1)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为23.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．

【例4】(2)双曲线1

2=

2

x的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）-y

A. 1

y D. 3

=x

2+

=x

2-

y

2-

=x

y B. 2

2-

=x

y C. 3

4-1已知双曲线,问过点A （1，1）能否作直线,使与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

4-2已知点N （1，2），过点N 的直线交双曲线12

2

2

=-y x 于A 、B 两点，且

)(2

1

+=

，求直线AB 的方程。

12

2

2

=-y x l l l