中考数学之三角形五心定律
三角形的五心
三角形的五心
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心扫三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心；
（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心,或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.
三角形的五心
一定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.
垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.。
三角形的五心
三角形的五心内心（三角形三条内角平分线交点）三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。
性质设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。
1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。
2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。
3、r=S/p。
证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。
4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。
5、∠BOC=90°+∠A/2。
6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。
7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。
8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c))，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。
9、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr。
10、内角平分线分三边长度关系：如图：△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，d=AD。
设R1是△ABD的外接圆半径，R2是△ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC证明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=2R1sinBAD，CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC11、内切圆半径r=外心外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心, 外心, 垂心, 内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理, 外心定理, 垂心定理, 内心定理, 旁心定理的总称.之马矢奏春创作一、二、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明, 十分简单.（重心原是一个物理概念, 对等厚度的质量均匀的三角形薄片, 其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名）重心的性质：1、重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个极点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个极点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中, 重心的坐标是极点坐标的算术平均, 即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3, （Y1+Y2+Y3)/3.二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心, 叫做三角形的外心.外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点, 该点即为该三角形外心.2、若O是△ABC的外心, 则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时, 外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时, 外心在斜边上, 与斜边的中点重合.4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个极点连向另外两个极点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3, c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c ).5、外心到三极点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点, 该点叫做三角形的垂心.垂心的性质：1、三角形三个极点, 三个垂足, 垂心这7个点可以获得6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线, 且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一极点距离为此三角形外心到此极点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部份乘积相等.定理证明已知：ΔABC中, AD、BE是两条高, AD、BE交于点O, 连接CO 并延长交AB于点F , 求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此, 垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心, 叫做三角形的内心.内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.2、直角三角形的内心到边的距离即是两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3、P为ΔABC所在平面上任意一点, 点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心, A、B、C分别为三角形的三个极点, 延长AO交BC边于N, 则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心, 叫做三角形的旁心.旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两极点处的外角平分线交于一点, 该点即为三角形的旁心.2、每个三角形都有三个旁心.3、旁心到三边的距离相等.如图, 点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心, 而且一定在三角形外.附：三角形的中心：只有正三角形才有中心, 这时重心, 内心, 外心, 垂心, 四心合一.有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心, 重外垂内和旁心, 五心性质很重要, 认真掌握莫记混．重心三条中线定相交, 交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”, 重心性质要明了,重心分割中线段, 数段之比听分晓；长短之比二比一, 灵活运用掌握好．外心三角形有六元素, 三个内角有三边．作三边的中垂线, 三线相交共一点．此点界说为外心, 用它可作外接圆．内心外心莫记混, 内切外接是关键．垂心三角形上作三高, 三高必于垂心交．高线分割三角形, 呈现直角三对整,直角三角形有十二, 构成六对相似形, 四点共圆图中有, 细心分析可找清.内心三角对应三极点, 角角都有平分线, 三线相交定共点, 叫做“内心”有根源；点至三边均等距, 可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”, 如此界说理固然．。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
之巴公井开创作一、二、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形五心性质
三角形的五心定理一、三角形五心定义 内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心． 重心是三角形的三条中线的交点.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点. 三角形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点 .三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心二、三角形五心性质内心: 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.2、P 为ABC ∆所在平面上任意一点，点O 是ABC ∆内心的充要条件是：向量重心: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.2、若O 是ABC ∆的外心，则A BOC ∠=∠2（A ∠为锐角或直角）或A BOC ∠-=∠23600（A ∠为钝角）.3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：1d ，2d ，3d 分别是三角形三个顶点连4、外心到三顶点的距离相等.垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O 、重心G 和垂心H 三点共线，且2:1:=GH OG .（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line ））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅旁心: 1、每个三角形都有三个旁心.2、旁心到三边的距离相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
三、三角形五心性质证明 垂心：已知：ΔABC 中，AD 、BE 是两条高，AD 、BE 交于点O ，连接CO 并延长交AB 于点F ，求证：CF ⊥AB .证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A 、B 、D 、E 四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO ∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD ∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF ⊥AB重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍.证明：如图：△ABC 中D 为BC 中点，E 为AC 中点，F 为AB 中点，G 为△ABC 重心做BG 中点H ，GC 中点I∴HI 为△GBC 的中位线∴HI//BC,且 2HI=BC同理：FE 是△ABC 中位线∴FE//BC,且 2FE=BC∴FE//HI,且 FE=HI∴四边形FHIE 是平行四边形∴HG=GE又H 为BG 的中点∴HG=BH∴HG=BH=GE∴2GE=BG∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍四、有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混．重 心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好.五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：1、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。
三角形五心定律
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为<<X1+X2+X3）/3，<Y1+Y2+Y3）/3）。DXDiTa9E3d
外心
三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．
垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清.
内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
有关诗歌
三角形五心歌<重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。5PCzVD7HxA
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3>/2c，(c1+c3>/2c，(c1+c2>/2c >。jLBHrnAILg
三角形的五心定理
三角形的五心定理重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三条内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形的一条内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。
它们都是三角形的重要相关点。
三角形的重心重心三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍.△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF 交于P ，则.2===PFCP PE BP PD AP三角形的内心内心和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.例：⊙O 是△ABC 的内切圆，△ABC 是⊙O 的一个外切三角形，点O 叫做△ABC 的内心.三角形的三条内角平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三边的距离相等，就是三角形的内心.三角形有且只有一个内切圆.三角形的外心外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.例：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的一个内接三角形，点O叫做△ABC的外心.三角形三边的垂直平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三个顶点的距离相等，就是三角形的外心.三角形有且只有一个外接圆.三角形的垂心垂心三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内（图1）；直角三角形的垂心在直角的顶点（图2）；钝角三角形的垂心在三角形外（图3）.三角形的旁心旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心.三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.三角形有三个旁切圆，三个旁心.补充：三角形的中心当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。
三角形五心
1三角形五心目录1、重心2、外心3、内心4、垂心1、重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。
重心坐标为三顶点坐标平均值。
2、外心三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形的外心。
外心到三顶点距离相等。
过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
三角形有且只有一个外接圆。
外心公式：3、内心三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形有且只有一个内切圆。
内心坐标公式：4、垂心三角形三边上的三条高线交于一点，称为垂心。
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。
垂心坐标公式：5、旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。
三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。
旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。
三角形有三个旁切圆，三个旁心。
这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。
五心的性质:三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．(9)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质:1:垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。
三角形的五心
三角形的五心一、定理重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽．二、定理的证明1．首先证明重心定理证法1 如图1，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G、连EF，则EF得GB＝2GE，GC=2GF．设AD、BE交于G′，同理可证G′B=2G′E，G′A=2G′D，即G、G′都是BE 上从B到E的三分之二处的点，故G′、G重合．即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．证法2 设BE、CF交于G(图2)，BG、CG中点为H、I．连HI、HF、所以 EFHI为平行四边形．即 AG=2GD．定理证毕．后半部分同证法1(略)．2．证明外心定理证明如图3，设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC 的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．3．证明垂心定理在塞瓦定理一章，我们曾给出过它的一个证明，但垂心定理还有下面一个巧妙的证明．证明如图4，AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对C′A，从而AD为B′C′的中垂线；同理BE、CF也分别为A′C′、A′B′的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证．4．证明内心定理关于内心定理，我们也曾在塞瓦定理一章给出过一个证明，下面是它的另一个证明．证明如图5设∠A、∠C的平分线相交于I、过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．上述定理的证法完全适用于旁心定理，如图6，我们不再另行论证．三、引伸与推广1．重要性质及其相互间的联系三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；(2)三角形的外心到三顶点的距离相等；(3)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；(4)三角形的内心、旁心到三边距离相等；(5)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；(6)三角形的外心是它的中点三角形的垂心；(7)三角形的重心也是它的中点三角形的重心；(8)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．上述性质读者可自行证明，下面我们给出几个推广．2．重心定理的推广证明如图7，直线CKF截ΔABD，由梅涅劳斯定理，有虽然当n=2时，有S△GHK=0，G、H、K重合于重心.如果我们称n(≥3)边形某顶点同除该点以外的n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线，为n边形的中线，(当n-1=2时，n-1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心)那么重心定理可推广如下：定理2 n边形的各条中线(若有重合，只算一条)相交于一点，各中线被该点分为：(n-1)∶1的两条线段，这点叫n边形的重心．证明当n=3时为重心定理，结论成立，假设n=k-1，(k≥4)时，命题成立，则当n=k时，在k边形A1A2…Ak中，如图8，若S是k-2边形A1A2…Ak-2的重心，则Ak-1S、AkS分别是k-1边形A1A2…Ak-2Ak-1和A1A2…Ak-2Ak的中线．设Ok-1和O′k-1分别是k-1边形A1A2…Ak-2Ak-1和A1A2…Ak-2Ak的重心，则根据假设有连接AkOk-1、Ak-1O′k-1，则它们是k边形的两条中线，且交于一点，设交点为O，连接Ok-1O′k-1，则有Ok-1O′k-1∥Ak-1Ak，所以ΔOOk-1O′k-1∽ΔOAk-1Ak．因此，k边形A1A2…Ak的相邻两条中线Ak-1O′k-1，AkOk-1交于O点，且被O点内分为(k-1)∶1．同理可证k边形A1A2…Ak的任意相邻两条中线的交点内分每条中线为(k-1)∶1，由此推得，k边形的所有中线过一点，且被这点内分为(k-1)∶1．综上所述，定理得证．3．外心定理的推广定理3 过ΔABC三边中点D、E、F分别作与三边倾斜角均为α的斜线且顺序一致，三斜线相交得ΔGHK，则SΔGHK=cos2α·SΔABC．证明如图9，首先我们证ΔKGH∽ΔABC，因为∠KFA=α=∠KEA，因为 A、K、F、E四点共圆，所以∠GKH=∠BAC．同理可证∠G=∠B，∠H=∠C，故ΔKGH∽ΔABC．又由正弦定理，有同理，B、G、D、F共圆，有①+②得显然，当α=90°，即S△KGH=0时正是外心定理．对外心定理，还有下面的推广证明略．4．垂心定理的推广定理5 从ΔABC三顶点分别作对边的斜线，与对边的交角为α，且顺序一致，三斜线相交成ΔGHK．则SΔGHK=4cos2α·SΔABC．证明如图10，过A、B、C分别作对边的平行线交得ΔA′B′C′，则A、B、C分别为ΔA′B′C′三边的中点，由定理3有SΔGHK=cos2α·SΔA′B′C′=4cos2α·SΔABC．显然，α=90°时为垂心定理．垂心定理还可理解为三角形一顶点与另两条高交点的连线垂直于对边，那么对五边形，我们有定理6 在一五边形中，若有四个顶点向对边所作的高交于一点，则第五个顶点与其交点的边线也垂直于对边．证明如图11，设在五边形ABCDE中，AF⊥CD、BG⊥DE、CH⊥AE，DI⊥AB；且AF、BG、CH、DI交于O点，连接EO并延长交BC于K，连HG，则四边形AHFC、AIFD、BIGD、OHEG各内接于圆．所以 OA·OF=OH·OC，OA·OF=OI·OD．OI·OD=OB·OG，∠1=∠2．所以 OH·OC=OB·OG，故C、B、H、G内接于圆．所以∠2=∠3，则∠1=∠3．所以四边形BEGK内接于圆．而BG⊥DE，故EK ⊥BC，命题得证．此结论可推广到2n+1边形．四、定理的应用例1 设G为△ABC的重心，M、N分别为BC、CA的中点，求证：四边形GMCN 和△GAB的面积相等．证明如图12，连GC，则例2 三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．证明如图13，O为ΔABC的外心，H为垂心，连CO交ΔABC外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥BC，又AH⊥BC，BH⊥AC．又 DB=2OM，所以AH=2OM．同理可证 BH=2ON，CH=2OK．证毕．例3 AD是ΔABC的一条高；以AB、AC为边向外作正方形ABEF和ACGH，连BG、EC，求证：AD、BG、CE相交于一点．证明如图14，延长DA至K，使AK=BC，连FK、KH；则ΔKAH≌ΔBCA，ΔKAF ≌ΔCBA，连KC、KB，则可得ΔKAC≌ΔBCG，ΔKAB≌ΔCBE．于是∠ACK=∠CGB，∠KBA=∠BEC，且它们分别为∠KCG及∠KBE的余角．所以 BG⊥KC，CE⊥KB，从而AD、BG、CE为ΔKBC的三条高线，故它们相交于一点．例4 在ΔABC中，AB=AC，圆O内切ΔABC的外接圆于D，且与边AB、AC分别相切于P、Q，证明：线段PQ的中点是ΔABC的内心．证明如图15，连接AD、PD、QD，易知AD平分∠PDQ及∠A，因为 PQ∥BC，所以∠APQ=∠ABC ①又 AB切⊙O于P，则∠APQ=∠PDQ=2∠PDM ②再连BD、BM，由于∠PBD=∠PMD=90°，故P、B、D、M四点共圆．所以∠PBM=∠PDM．③由①、②、③可得：∠PBM=∠MBC．即BM是∠ABC的平分线，而AM是∠A的平分线，所以交点M是ΔABC的内心．这是第20届国际数学奥林匹克竞赛试题，其实当AB≠AC时，结论也成立，这个问题留给有兴趣的读者进一步探究．练习与思考1．证明本章“引伸与推广部分命题(1)—(8)．2．G为ΔABC的重心，∠A=90°，求证：GB2+GC2=5GA2．3．ΔABC的外心和垂心分别为O、H，∠A=60°，求证：AO=AH．4．ΔABC中，BC=14cm，BC边上的高AD=12cm，内接圆半径r=4cm，求AB、AC之长．。
三角形五心定理
三角形五心定理
三角形五心定理是关于三角形的重要性质，分别对应重心定理、外心定理、内心定理、旁心定理和重内心定理等。
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到三边的距离相等；外心定理：三角形三条边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等；
内心定理：三角形的三条内角平分线交于一点，这点到三边的距离相等；
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。
旁心又叫作外心，可利用重内心定理证明；
重内心定理：三角形的重心是三边上的力的三等分交点，内心是三个顶点对它的张力的中心。
三角形五心定律
三角形五心定律
————姚志雄
一、三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。
二、三角形外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角。
三角形五心
三角形五心三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。
三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心。
重心、外心、内心、垂心只有一个，但旁心有三个。
与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。
重心定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。
重心坐标为三顶点坐标平均值（在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]）。
三条中线相交的点叫做重心。
外心三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。
外心到三顶点距离相等。
过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
三角形有且只有一个外接圆。
内心三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。
这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形有且只有一个内切圆。
垂心三角形三边上的三条高或其延长线交于一点，称为三角形垂心。
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。
旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。
三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。
旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。
三角形有三个旁切圆，三个旁心。
这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。
五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：垂心性质三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。
初中数学三角形必须掌握的五心知识详解
三角形的五心1.内心三角形三条内角平分线的交点。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等，都等于内切圆的半径。
这个三角形叫做圆的外切三角形。
每个三角形有且只有一个内切圆。
①在ABC ∆中，若c b a ,,为三边，S 为三角形面积，则内切圆半径为：cb a S r ++=2。
②在ABC ∆中，内切圆分别与CA BC AB ,,相切于R Q P ，，，则2ac b AR AP -+==，2b c a BQ BP -+==，2c a b CQ CR -+==，22tan )(A a c b r ⋅-+=③在任意ABC ∆中，S 为三角形面积，C 为三角形周长，则CSr 2=④拓展——欧拉定理在ABC ∆中，r R 和分别为外接圆和内切圆的半径，外心和内心的距离为d ，则有：RrR d 222-=2.外心三角形三边垂直平分线的交点。
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。
①锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外，等边三角形的外心与内心为同一点。
②三角形的外心到该三角形三个顶点的距离相等。
③在ABC ∆中，C B A ,,为三角形三个顶点，P 为外心，那么有向量关系：|P |=|P |=|P |3.重心三角形三条中线的交点。
①重心到顶点与到对边中点的比为12：。
即：12===GF CG GE BG GD AG ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
③等边三角形的重心到3个顶点的距离平方的和最小。
④在平面直角坐标系中，三角形三个顶点坐标分别为),(11Y X ，),(22Y X ，),(33Y X 重心的坐标为),(Y X ，那么重心的坐标是顶点坐标的算数平均数。
即：33(),(321321Y Y Y X X X Y X ++++=，同理，在空间直角坐标系中，X 坐标：)3(321X X X ++，Y 坐标：3(321Y Y Y ++，Z 坐标：3(321Z Z Z ++，⑤重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的五心性质以及典型问题
B C E D A 三角形的五心三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 一．三角形的外心 定理1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 定理2：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 定理3：锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．二．三角形的内心定理1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 定理2：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 定理3：内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．定理4：I 为三角形的内心，A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于N ，则有AI: IN=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 定理5：,2190A BIC ∠+=∠B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
4.如图，在ABC ∆中，点D 、E 是ABC ∠，ACB ∠的三等分线的交点，当︒=∠60A 时，求BDE ∠度数三．三角形的重心三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）定理1：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
定理2：重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
定理3：重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
定理4：在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
7.证明ABC ∆的三条中线可以围成一个三角形，并求所围成的三角形与ABC ∆的面积之比AB COABCD EFG8.设K 是ABC ∆内任意一点，KAB ∆，KBC ∆，KCA ∆的重心分别为F E D ,,，求ABC DEF s S ∆∆:9.若ABC ∆的重心为G ，2=AG ，3=BG ，5=CG ，求ABC ∆的面积.四．三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心． 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
三角形的五心
三角形的五心
一定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
外心：垂直平分线交点，到各顶点距离相等，所以是外接圆圆心，简称外心；内心：角平分线交点，到各边距离相等，所以是内切圆圆心，简称内心；
垂心：各边高（垂线）交点，所以叫垂心：
重心：各边中线的交点，
.三角形共有六心内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积
旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点
性质：到三边的距离相等。
界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。
性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
三角形的五心性质以及典型问题初中数学竞赛
三角形的五心三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．一．三角形的外心定理1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．定理2：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．定理3：锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．定理4：AOBC AOC B BOC A Ð=ÐÐ=ÐÐ=Ð21,21,211.如图所示，在锐角ABC D 中，BC AD ^于D ，AC DE ^于E ，AB DF ^于F ，O 为ABC D 的外心. 求证：（1）AEF D ∽ABC D (2)EFAO ^O F E DCBA2.设O 为锐角A B C D 的外心，连接CO BO AO ,,并延长分别交对边于N M L ,,，则CNBMAL 111++的值是_______________.(设R 为ABC D 外接圆半径) 二．三角形的内心定理1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．定理2：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．定理3：内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ．特别的，在直角三角形中,有r =12(a +b －c )．ABC OIK HE FD ABCMBCDAIBCEDA定理4：I 为三角形的内心，A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于N ，则有AI: IN=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 定理5：,2190ABIC Ð+=ÐB CIA Ð+=Ð2190 ，C AIB Ð+=Ð2190 。
3.如图所示，⊙1O 与⊙2O 相交于B A ,两点，且2O 在⊙1O 的圆周上，弦C O 2交⊙2O 于D 。
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三角形五心定律
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称. 重心定理：三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点
可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
定理证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB
证明：连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、D、E四点共圆
∴∠ADE=∠ABE
又∵∠ODC=∠OEC=90度
∴O、D、C、E四点共圆
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度
∴∠ACF+∠BAC=90度
∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
内心定理：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
6、（内角平分线分三边长度关系）
△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
7、内心到三角形三边距离相等。
旁心定理：三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，
叫做三角形的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
五星定理巧记歌
三角形五心歌（重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．
外心
三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．
垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.
内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好。