关于旅行商问题的数学模型

如表 2 所示，重点解决下面两个问题。
16：00, 16：30, 17：00
问题一：从景石出发，步行游览以下 儿童科普体验区
30-60 分钟
9：00-17：00
景点: ①游客服务中心，②阳光草坪，③ 儿童戏水场
20-60 分钟
9：00-17：00
森林小剧场，④儿童科普体验区，⑤儿童 湿地博物馆
30-60 分钟
写出约束方程组，建立 0-1 规划模型，对方程组求解。
ti
在第 i 个景点游览的时间
问题二：在第一问的基础上结合表 2 对游览时间的要求，改
进方程组，建立满足开放时间、浏览时间要求的 0-1 规划模型， 4 模型的建立与求解
求解出一条从指定起点到指定终点并能游览完全部景点且游
4.1 问题一模型的建立和求解
6
游客服务中心
15：46：30
10
15：56：30
9：00-17：00
戏水场，⑥湿地博物馆，⑦湿地商业街。通 湿地商业街
30 分钟以上
9：00-21：30
过建立数学模型，找出以景石起点，以⑦
湿地商业街为终点，并且经过①—⑥所有景点至少 1 次的距离
3 符号说明
最短的路线，求出该路线的长度。注：在每个景点不用停留。
符号
意义
问题二：如果某游客 12:00 从景石出发，要求他 17:00 前
组，建立 0-1 规划模型，求出最短路径。
本文参照 2018 年五一杯数学建模竞
赛 A 题，给出如下的假设下，提出下列两
个问题。
假设：
表 2 各景点游览时间
a,任意两个景点之间的最短距离如表
游览时间
开放时间wk.baidu.com
1 所示。
时间
b.第二问假设步行速度 v=2km/h。
景点
c.游客在景区停留的时间近由“景点
之间的步行时间”、“景点游览时间”构成， 游客服务中心
到达湿地商业街，17:30 离开湿地商业街。建立数学模型，为该 i，j
第 i 个或者第 j 个景点（i，j＝1，2…8）
游客设计一条能游览完全部景点(景点①—⑦)并且游览总时间 wij
从第 i 个景点到第 j 个景点的距离
最长的游览路线。
2 问题的分析
从第 i个到第 j 个景点的决策变量为“是”
问题一：仅考虑每个景点在不用停留的特殊情况下，找出从
由软件 lingo 对上述模型进行求解，得出最短路径以及最短 路径的步行时间。再根据得到的最短路径结合景点开放时间与 游览时间规定建立下列约束方程组求出每个景点的游览时间。
目标函数:
用 lingo 对上述模型求解得到最长的游览时间，最终结果 如表 4:
表 4 问题二结果表格(游览时间最长的路线信息)
摘 要：对于旅行商问题，即旅行者由起点出发，经过所有给定的点之后，最后再回到原点的问题，该问题属于最短路径问题。
本文章通过建立 0-1 规划模型来对旅行商问题进行求解，根据问题的具体要求，列出约束的方程组，由 lingo 计算结果，求出最短
路径并得到最短路程。
关键词：0-1 规划；旅行商问题；lingo
由软件 lingo 对上述模型进行求解，得出最短路径结果如表 3：
表 3 问题一结果表格
出发景点
到达景点
景石
森林小剧场
森林小剧场
儿童戏水场
儿童戏水场
游客服务中心
游客服务中心 阳光草坪
阳光草坪
儿童科普体验区
儿童科普体验区 湿地博物馆
湿地博物馆
湿地商业街
总步行距离（最短路线距离）
最短路线（请用①~⑥序号标出）
中图分类号：N945.12
文献标识码：A
文章编号：2096-4390（2019）17-0019-02
1 问题的提出 旅行商问题，即 TSP 问题，这是一种 路线规划问题。0-1 规划是决策变量仅能 取 0 或 1 的一类特殊的整数规划。根据旅 行商问题的具体要求，列出约束的方程
表 1 景点之间的最短距离(单位：米)
Á)8$Â09!%Ã6@"&C17A#'D2(BE345ÉÅÇÆÄÈÁÃÇÅÉÆÄÈÁÃ!ÉÇ"ÄÈÅÆ#$%Á&Ã'()ÇÉÈ0ÆÄ12Á3Å4Ã52019.17科学技术创新-19-
关于旅行商问题的数学模型
孙娴 （西华大学，四川 成都 610039）
步行距离（米） 210 265 285 380 230 260 190 1820 景石～③～⑤～①～②～④～⑥～⑦
4.2 问题二模型的建立和求解
在 问 题 一 的 基 础 上 ，增 加 时 间 矩 阵 ，由
,求
出时间矩阵 t：
结合时间点和景点开放时间的约束，得出 x03=0,将此约束条 件加入到问题一的模型中，即可得出符合题目要求的景点之间 步行时间最短的路径。
从第 i个到第 j 个景点的决策变量为“否”
景石出发，步行游览完所有景点，且每个景点至少游览 1 次的最 0.1
7
分别代表景石，游客服务中心……湿地商
业街
短的游览路线。通过题意确立这是一个指定顶点与终点的最短 tij
从第 i 个景点到第 j 个景点的步行时间
路径问题，根据每个点的进出情况和该路线不能构成环的条件，
客游览时间最长的路线，再求出每个景点的游览时间。
首先，根据表 1，建立各个景点之间的距离矩阵 w。
作者简介：孙娴（1998，1，21-），女，民族：汉，籍贯:安徽省马鞍山市。
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再根据题目给出的条件，仔细分析得出约束条件：起点景石 出去比进入多 1 次，终点湿地商业街进入比出去多 1 次，其他景 点进出平衡，除终点外所有景点必须有出，除起点外所有景点 必须有进，不能形成环。由此建立 0-1 规划模型，如下：
由此建立 0-1 规划模型，如下：
目标函数:
序号
景点名称
达到时间点
游览时间
离开时间点
（单位分钟）
1
景石
12：00
0
12：00
2
阳光草坪
12：10：48
58.2
13：09
3
儿童科普体验区 13：15：54
30
13：45：54
4
森林小剧场
14：00
30
14：30
5
儿童戏水场
14：37：57
60
15：37：57
10-30 分钟
9：00-16：00
其他时间忽略不计，游客游览必须符合各 阳光草坪
20-60 分钟
9：00-17：00
个景点开放和游览时间的要求，时间要求 森林小剧场
30 分钟
9：00,9：30,10：00,10：30,11：00,11：30,12：00,
12：30,13：00,13：30,14：00,14：30,15：00, 15：30,