全等三角形常见的几何模型

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全等三角形常见模型

全等三角形常见模型1 什么是等边三角形等边三角形，又称直角三角形，是一种有色形状，三条边的长度相等，且所有的夹角相等的三角形。

它是一种三角形的特殊情况，是由三条等长线段组成的。

这三条边的长度为a，三个内角的度数为60°。

由于它具有三条边相等的特点，所以又称为等边三角形，它在几何学中广泛应用，可用于解决很多问题，例如概率和测量计算等。

2 等边三角形的特征等边三角形是一种特殊的三角形类型，它有三个边，长度都是相等的，并且三个内角的度数均为60°。

此外，它的最大角落一般是朝向上和向右的，如果将其旋转，那么角的位置就可能有所不同。

等边三角形的特点在于，它是不可细分的，哪怕它看起来只有三个内角，但是它的特性决定可以构成整体的特性。

3 全等三角形模型全等三角形模型是对等边三角形的一个进一步分类，它具有三角形的基本特征，但是每个角落均一样，而且每个角落夹角均为60°，可比较常见的模型有：30-60-90三角形、45-45-90三角形、以及平行四边形等。

30-60-90三角形指的是三条边的角为30°，60°，90°的三角形，它的三个边长为对等数值的关系，例如a：b：c=1:√3:2。

45-45-90三角形指的是三个角为45°，45°，90°的三角形，它的三条边关系为a：b：c=1:1:√2。

平行四边形指的是两个平行边既垂直也等长的四边形，它的内角为90°，边长比例为1：2。

4 等边三角形在日常生活中的应用等边三角形在日常生活中非常普遍，其特殊的几何形状可以应用于许多场景。

其中最常见的应用是几何结构，它可以被用于建造公共工程和住宅式建筑，例如屋顶、床垫等；此外，等边三角形也可以被用于制作精美的装饰品，例如吊坠、耳环、脚链等。

甚至在日常生活中还可以看到一些以等边三角形为特色的食品，例如三角包、三角饼等等。

人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结

人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结全等三角形的常见模型总结全等三角形是数学中的一个重要概念，它代表着两个三角形的所有对应部分完全相等。

在八年级数学教材中，全等三角形的学习是一个重要的内容。

本文将对人教版八年级数学中常见的全等三角形模型进行总结。

一、三个已知条件1. SAS（边角边）判定法SAS判定法是指如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

这个模型通常用于根据已知条件构造全等三角形。

例如，已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，要求证明△ABC≌△DEF。

2. ASA（角边角）判定法ASA判定法是指如果两个三角形的两角和一边分别相等，则这两个三角形全等。

这个模型常用于证明两个三角形全等。

例如，已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，要求证明△ABC≌△DEF。

3. SSS（边边边）判定法SSS判定法是指如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

这个模型常用于证明两个三角形全等。

例如，已知△ABC和△PQR，已知AB=PQ，BC=QR，AC=PR，要求证明△ABC≌△PQR。

二、全等三角形的性质1. 对应部分相等对应的顶点、边和夹角都相等。

2. 全等三角形的性质相等全等三角形的各个角、边的性质都相等，比如角平分线和中线相等、高和中线相等等。

三、应用实例1. 建筑几何模型全等三角形在建筑几何中有着广泛的应用。

例如，在建造房屋的过程中，根据所给定的尺寸，可以通过构造全等三角形来确定某些未知尺寸，确保建筑物的稳定性和均衡性。

2. 测量和导航全等三角形在测量和导航中也有着重要的应用。

例如，在测量高楼大厦时，可以通过测量一些已知长度和角度，利用全等三角形模型来计算难以测量的高度。

在导航中，利用全等三角形的性质可以确定船只或飞机的位置和方向。

3. 几何证明全等三角形的模型在几何证明中也是常见的。

许多几何定理的证明需要利用全等三角形构造相等的边或角来推导。

全等三角形常见模型整理

全等三角形几何模型归纳总结《全等三角形几何模型归纳总结——那些年我们一起追的“全等”》嘿，各位小伙伴们！今天咱来唠唠全等三角形几何模型这档子事。

这可是咱在几何世界里摸爬滚打的一大法宝呀！全等三角形就像是一对双胞胎，长得一模一样，各种特征都完全相符。

咱和它们打交道的过程，那真是有苦有乐啊！就比如说那“手拉手”模型吧，就像是两个好兄弟手牵手一起走。

看到这种模型，咱就得赶紧瞪大眼睛，找到那关键的对应边和对应角，一旦弄清楚了，那解决问题就跟玩似的。

有时候我都感觉自己像是个小侦探，在各种图形里寻找线索呢！还有那个“一线三等角”模型，嘿，这可神奇了！一条线上面整出来三个等角，就像变魔术一样。

刚开始遇到的时候，还真有点摸不着头脑，心里直犯嘀咕：“这是啥玩意呀？”不过随着咱经验的积累，慢慢地也能看穿它的小把戏啦。

有时候碰到那些复杂的图形，感觉就像是掉进了一个大迷宫，找不着北。

但咱可不能气馁，得静下心来仔细分析分析，说不定就能找到那隐藏的全等三角形。

一旦找到了，就像是找到了迷宫的出口，那叫一个痛快！不过，也有犯迷糊的时候。

明明感觉能找到全等三角形，可就是差那么一点点，死活对不上。

这时候就恨不得给自己脑袋上敲两下，让自己清醒清醒。

但咱不能怕失败呀，失败是成功的妈妈嘛，多总结总结经验，下次咱就能一眼看穿啦。

在这个过程中，咱也得学会和小伙伴们一起探讨。

有时候自己一个人苦思冥想半天，还不如小伙伴的一句话点拨呢。

这样大家一起研究，一起进步，多有意思呀！全等三角形几何模型就是咱几何世界里的宝藏，等着咱去挖掘。

虽然有时候会遇到困难，但每次突破难关的时候，那种成就感真是无与伦比。

所以呀，大家可别小瞧了这些模型，好好研究它们，咱就能在几何的海洋里畅游啦！让我们一起加油，把全等三角形几何模型玩得团团转！哈哈！。

专题四全等三角形常见模型

第十二章全等三角形
专题四全等三角形常见模型
建议用时：30分钟
类型一 “平移”模型
利用平行找“等角”，利用公共线段找“等边”.
1. 如图，已知 C 是线段 AB 的中点， CD ∥ BE ，且 CD ＝ BE ，求证：∠ D ＝∠ E .
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2. 如图，在△ ABC 和△ DEF 中，∠ A ＝∠ D ，点 B ， E ， C ， F 在同一条直线上，
有如下三个关系式：① AB ∥ DE ；② BE ＝ CF ；③ AC ＝ DF .
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题 (用序号写出命题形式：“如果……，那么……”)；
解：(1)如果①②，那么③；如果①③，那么②.
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(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由.
4. 如图，要测量河两岸上 A ， B 两点的距离，在点 B 所在河岸一侧平地上取一点 C ，使 A ， B ， C 在一条直线上，另取点 D ，使 CD ＝ BC ，测得∠ DCB ＝100°， ∠ ADC ＝65°，在 CD 的延长线上取点 E ，使∠ E ＝15°.这时测得 DE 的长就是 A ， B 两点的距离，为什么？
解：(3) AB ＝8.
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类型四 “一线三等角”模型
利用“三等角”找“对应角相等”，再结合对应边相等选择适当的判定方法.
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初中数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全初二

初二数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全掌握它轻松搞定全等题！全等是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握~全等变换类型：（一）平移全等：平行等线段（平行四边形）（二）对称全等模型：角平分线或垂直或半角1：角平分线模型；2：对称半角模型；（三）旋转全等模型：相邻等线段绕公共顶点旋转1.旋转半角模型2.自旋转模型3.共旋转模型4.中点旋转如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE分析：将△ACE平移使EC与BD重合。

B\D，上方交点，左右两个三角形，两边和大于第三边！1：角平分线模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

2：对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、 45+ °、对称（翻折）15°+30°直角三角形对称（翻折） 30+60+90直角三角形对称（翻折）翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

1.半角：有一个角含1/2角及相邻线段2.自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等3.共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等（共顶点）4.中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题（专题七）1、旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

2、自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称3、共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过“8”字模型可以证明。

（接上------共旋转模型）模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形混用。

全等三角形中的常见五种基本模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

模型介绍全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模型二、平移全等模型模型三、对称全等模型模型四、旋转全等模型模型五、手拉手全等模型例题精讲模型一、截长补短模型【例1】.如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝．变式训练【变式1-1】．如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB ＝60°，且CA+AP＝BC，则∠CAB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．【变式1-3】．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB 上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC 于F．（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．模型二、平移全等模型【例2】．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB＝6时，求CD的长．变式训练【变式2-1】．如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．【变式2-2】．如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【变式2-3】．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD＝1，∠ADC＝60°，求CD的长．模型三、对称全等模型【例3】．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．（1）求∠PAD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．变式训练【变式3-1】．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN．【变式3-2】．如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AB＝12，AE＝6，将正方形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，求CF的长度．【变式3-3】．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．模型四、旋转全等模型【例4】．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．变式训练【变式4-1】．已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．【变式4-2】．如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA＝3，PB＝4，则PC的最大值是3+4．模型五、手拉手全等模型【例5】．如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．（1）求证：△AEC≌△ADB．（2）猜想CE与DB之间的关系，并说明理由．变式训练【变式5-1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°．恒成立的结论有几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-2】．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【变式5-3】．（1）如图1，等腰△ABC 与等腰△DEC 有公共点C ，且∠BCA ＝∠ECD ，连接BE 、AD ，若BC ＝AC ，EC ＝DC ，求证：BE ＝AD ．（2）若将△DEC 绕点C 旋转至图2、图3、图4情形时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗？为什么？实战演练1.如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒2．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4，则BC2＝．4．正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，CE＝2DE，将△ADE沿AE折叠至△AFE，＝6；延长EF交BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②S△FGC③EG＝DE+BG；④BG＝GC．其中正确的有（填序号）．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．（1）求证：AF＝CF（2）求AF的长度．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝3cm，则BE＝cm．（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）求证：CD＝2BE+DE．8．如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．（1）若设BE＝a，CF＝b，满足+|b﹣5|＝+，求BE及CF的长．（2）求证：BE2+CF2＝EF2．（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．9．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE 交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．（1）线段AE与DB的数量关系为；请直接写出∠APD＝；（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．10．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC＝AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D＝∠C，又因为∠AC'D ＞∠B，所以∠C＞∠B．感悟与应用：（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，试判断AC 和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC＝16，AD＝8，DC＝BC＝12，①求证：∠B+∠D＝180°；②求AB的长．11．如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．（1）李明同学作了如图乙的辅助线，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP'，可说明△APP'是直角三角形从而问题得到解决．请你说明其中理由并完成问题解答．（2）如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且AP＝，BP＝，PC＝1：类比第一小题的方法求∠BPC的度数，并直接写出正方形ABCD的面积．12．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，∠ADE的度数为．（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB＝12，求CF的最大值．。

专题02 全等三角形中的六种模型梳理

专题02 全等三角形中的六种模型梳理一、概述全等三角形是初中数学中一个重要且常见的概念，对于几何学的学习具有重要的意义。

在全等三角形的学习中，有六种基本模型，它们是解决全等三角形问题的重要工具。

本文将对全等三角形中的六种模型进行深入探讨和梳理，帮助读者更加全面地理解和掌握这一知识点。

二、模型一：SSS全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的三条边分别相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是SSS全等模型。

如果已知两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形一定是全等的。

模型二：SAS全等模型SAS全等模型是指如果两个三角形的一条边和夹角以及另一边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的一个角和两边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型三：ASA全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的一个角和两个角边相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是ASA全等模型。

如果已知两个三角形的一个角和两个角边分别相等，那么可以确认这两个三角形是全等的。

模型四：HL全等模型HL全等模型是指如果两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型五：LL全等模型LL全等模型是指如果两个三角形的两个角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的两个角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型六：对顶全等模型对顶全等模型是指如果两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

三、总结与回顾通过上述对全等三角形中六种模型的梳理，我们可以发现几何学中的相似和全等的概念是非常重要的。

在实际问题中，我们可以通过判断形状的相似或全等，推断出一些未知的信息，帮助我们解决问题。

(完整版)全等三角形常见的几何模型

1、绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060（2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC（2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC（7） GF ∥AC变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHCHFG E DEBD变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：(1)△ABE≌△DBC(2)AE=DC(3)AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM 和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例4、例题讲解：1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.(1) 如图1，当点D在边BC上时，求证：① BD=CF ‚②AC=CF+CD.(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。

全等三角形八大基本模型

全等三角形八大基本模型摘要：一、全等三角形的概念和性质二、全等三角形的判定方法三、八大基本模型概述1.手拉手模型2.一线三垂直模型3.一线三等角模型4.等腰三角形中边边角模型5.背对背模型6.半角旋转模型7.角分线模型8.正方形手拉手模型四、八大基本模型的应用举例五、总结与展望正文：全等三角形是初中数学中的一个重要内容，掌握全等三角形的性质和判定方法对于解决几何问题具有重要意义。

全等三角形的判定方法主要包括SSS、SAS、ASA、AAS 和HL 五种，其中SSS 和HL 是全等三角形的常见判定方法。

在实际应用中，全等三角形八大基本模型可以帮助我们更好地理解和解决几何问题。

这八大基本模型分别是：1.手拉手模型：这种模型是通过两个全等三角形的对应边相互牵手而形成的。

比如，若ABC 和DEF 是两个全等三角形，那么我们可以通过AB 与DE、BC 与EF、AC 与DF 的相互牵手形成一个新的全等三角形ABC。

2.一线三垂直模型：这种模型是通过一条直线与三个垂直的线段组成的。

比如，若AB 是直线，BC、CD 和DE 是垂直于AB 的线段，那么三角形ABC 和三角形DEB 是全等的。

3.一线三等角模型：这种模型是通过一条直线与三个相等的角组成的。

比如，若AB 是直线，∠ABC、∠BCD 和∠CDA 是相等的角，那么三角形ABC 和三角形CDA 是全等的。

4.等腰三角形中边边角模型：这种模型是通过对等腰三角形的一腰和一底边以及一个顶角进行操作而形成的。

比如，若AB=AC 是等腰三角形的腰，BC 是底边，∠ABC 是顶角，那么三角形ABC 和三角形ACB 是全等的。

5.背对背模型：这种模型是通过两个全等三角形的对应边背靠背而形成的。

比如，若ABC 和DEF 是两个全等三角形，那么我们可以通过AB 与DF、BC 与DE、AC 与EF 的相互背靠背形成一个新的全等三角形ABC。

6.半角旋转模型：这种模型是通过将一个全等三角形绕其一边的一半旋转而形成的。

全等三角形常见模型整理

全等三角形常见模型整理1. 全等三角形的定义全等三角形是指具有相等三边或者三角形之间所有对应边、对应角均相等的三角形。

当两个三角形的三边分别相等，或者三个对应角分别相等时，我们可以判断这两个三角形是全等的。

全等三角形的形状和大小是完全相同的，只是位置、方向可能不同。

2. 全等三角形的性质（1）三边相等：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。

（2）两边一角相等：如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

（3）两角一边相等：如果两个三角形的一对对应角和其中一边分别相等，则这两个三角形是全等的。

（4）全等三角形的特点：全等三角形的对应边和对应角是一一对应的，也就是说对应角相等的对应边也是相等的，反之亦然。

3. 全等三角形的判定方法（1）SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形是全等的。

（2）SAS判定法：如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

（3）AAS判定法：如果两个三角形的一对对应角和其中一边分别相等，则这两个三角形是全等的。

（4）ASA判定法：如果两个三角形的一对对应角和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

（5）HL判定法：如果两个直角三角形的一对直角和斜边分别相等，则这两个三角形是全等的。

4. 全等三角形的常见模型在几何学中，全等三角形的常见模型有很多，下面我们来整理一些常见的模型及其解题方法。

（1）对顶角相等模型对顶角相等是指两个三角形的一个内角与另一个对应角相等。

解题方法：根据对顶角相等的性质，可以很容易判断两个三角形是否全等。

（2）一边一角一边相等模型一边一角一边相等是指两个三角形的一个角和与之相邻的一条边分别相等。

解题方法：根据一边一角一边相等的性质，可以通过对应边和对应角的关系来判断两个三角形是否全等。

（3）SAS模型SAS（边角边）是指两个三角形的两条边和夹角分别相等。

解题方法：通过给定的边和角的信息，可以判断两个三角形是否全等。

(专题)全等三角形常用模型(含答案解析)

(专题)全等三角形常用模型(含答案解析)全等三角形常用模型(含答案解析)全等三角形是初中数学中一个重要的内容，也是高中几何学的基础。

掌握全等三角形的基本性质和判定条件，对于解题和证明都有重要的作用。

在这篇文章中，我们将介绍全等三角形的常用模型，并给出答案解析。

一、全等三角形的基本性质全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。

它们的内角相等，对应的边长也相等。

了解全等三角形的基本性质，对于后面的模型理解和应用非常重要。

1. 边边边（SAS）判定法当两个三角形的两边分别相等，并且夹角也相等时，可以判定它们全等。

2. 边角边（SAS）判定法当两个三角形的一对边分别相等，并且夹角也相等时，可以判定它们全等。

3. 角边角（ASA）判定法当两个三角形的两个角分别相等，并且夹边也相等时，可以判定它们全等。

二、全等三角形的常用模型及答案解析下面将介绍一些常见的全等三角形模型，它们在实际解题中经常出现，了解并掌握它们对于解题有很大的帮助。

1. 等腰三角形等腰三角形是指两边相等的三角形。

当两个等腰三角形的底边相等，并且底边夹角也相等时，可以判定它们全等。

答案解析：设两个等腰三角形为ΔABC和ΔDEF，已知AB = DE，∠BAC = ∠EDF，同时∠ABC = ∠DEF。

根据角边角（ASA）判定法，可以判定ΔABC ≌ ΔDEF。

2. 直角三角形直角三角形是指一个角为直角（90°）的三角形。

当两个直角三角形的一条直角边相等，并且斜边也相等时，可以判定它们全等。

答案解析：设两个直角三角形为ΔABC和ΔDEF，已知∠BAC =∠EDF = 90°，并且AB = DE，AC = DF。

根据边边边（SAS）判定法，可以判定ΔABC ≌ ΔDEF。

3. 等边三角形等边三角形是指三条边都相等的三角形。

当两个等边三角形的一条边相等时，可以判定它们全等。

答案解析：设两个等边三角形为ΔABC和ΔDEF，已知AB = DE。

初中数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

2：对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、 45+ 22.5°、对称（翻折）15°+30°直角三角形对称（翻折） 30+60+90直角三角形对称（翻折）翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

通过“8”字模型可以证明。

（接上------共旋转模型）模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形混用。

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)(学生版)

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)1.题型一：一线三等角模型2.题型二：手拉手模型3.题型三：半角模型4.题型四：旋转模型5.题型五：倍长中线法6.题型六：截长补短法题型一一线三等角模型过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等(AAS)常见的两种图形：题型二手拉手模型【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；12题型三半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧：在图1中，△AEB 由△AND 旋转所得，可得△AEM ≌△AMN ，∴BM +DN =MN∠AMB =∠AMNAB =AH△CMN 的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC 旋转至△BEF ，易得△BED ≌△BCD 同理得到边角之间的关系；总之：半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转--证全等--得到相关结论.题型四旋转模型31一、奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。

我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题2二、费马点模型费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点.最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的.题型五倍长中线法三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等4在△ABC 中AD 是BC边中线延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE延长MD 到N ，使DN =MD ，连接CD截长补短法截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a +b =c 时，用截长补短．1.补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2.截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。

全等三角形中常见的模型。

全等三角形是指具有相同形状和相等大小的三角形。

在几何学中，全等三角形是一个重要的概念，它在各种数学问题中都有广泛的应用。

下面将介绍几个常见的全等三角形模型。

1. 证明两个三角形全等的模型：当我们需要证明两个三角形全等时，可以使用一些常见的模型来证明。

例如，使用SAS（边-角-边）准则，我们可以根据两个三角形的两边和夹角是否相等来判断它们是否全等。

此外，还可以使用SSS（边-边-边）准则、ASA（角-边-角）准则、AAS（角-角-边）准则等来进行证明。

2. 利用全等三角形的性质解决几何问题：全等三角形的性质可以帮助我们解决各种几何问题。

例如，当我们需要求解一个三角形的边长或角度时，可以利用已知的全等三角形进行推导。

根据全等三角形的性质，我们可以得出相应的结论，从而解决问题。

3. 利用全等三角形解决实际问题：全等三角形的概念不仅在几何学中有用，也可以应用于实际问题的解决中。

例如，在建筑或工程项目中，我们可以利用全等三角形的性质来测量高度、距离等。

通过确定已知和未知的全等三角形，我们可以得出所需的测量结果。

4. 利用全等三角形解决图形相似问题：全等三角形与相似三角形有密切的关系。

当两个三角形全等时，它们也一定是相似的。

因此，我们可以利用全等三角形的性质来解决图形相似问题。

通过找到全等三角形的对应边和对应角，我们可以确定相似三角形的比例关系，从而解决相似三角形的各种问题。

5. 利用全等三角形解决三角函数问题：全等三角形的概念也与三角函数有关。

在解决三角函数问题时，我们经常需要利用全等三角形的性质来推导和证明各种三角函数的性质和恒等式。

通过利用全等三角形的角度和边长关系，我们可以得出各种三角函数的重要结论。

全等三角形是几何学中常见的模型之一。

它不仅有助于证明两个三角形的全等关系，还可以应用于解决各种几何问题、实际问题、图形相似问题和三角函数问题。

掌握全等三角形的性质和应用，对于理解和应用几何学知识具有重要意义。

八上：全等三角形的常见模型

全等三角形是初中几何的重点，是研究图形性质的基础，在几何证明中有着广泛的应用，在几何证明的过程中，存在着一些全等三角形的经典的模型．这一讲我们会把常见的全等模型分享给大家，希望能让大家对全等的理解更进一步！一、手拉手模型1、等边三角形手拉手已知：如图，ABC△均为等边三角形．△和ADE结论：ABD∠．∠=︒；AP平分BPE△≌ACE△；60BPC2、等腰直角三角形手拉手已知：如图，ABC△均为等腰直角三角形．△和ADE结论：ABD∠．∠=︒；AP平分BPEBPC△；90△≌ACE3、等腰三角形手拉手已知：如图，ABC∠=∠．△均为等腰三角形，且BAC DAE△和ADE结论：ABD∠．∠=∠；AP平分BPE△；BPC BAC△≌ACE二、三垂直模型1、已知：如图，正方形EFGH的各顶点在正方形ABCD的边上．结论：EAF△．△≌HDE△≌GCH△≌FBG2、已知：如图，正方形ABCD中，AG BH⊥，CE DF⊥．⊥，BH CE结论：ABG△．△≌DAF△≌BCH△≌CDE3、已知：如图，正方形ABCD中，点F为CD上一点，连接BF，作AE BF⊥交BC于点E．结论：ABE△．△≌BCF三、角含半角模型1、正方形角含半角已知：如图，正方形ABCD中，点,E F分别为边BC,CD上的点，且45∠=︒．EAF结论：EF DF BE =+；AEF ABE ADF S S S =+△△△．2、等腰直角三角形角含半角已知：如图，等腰直角三角形ABC △中，点D ,E 为斜边BC 上的点，且45DAE ∠=︒．结论：222DE BD CE =+．3、对角互补模型1）已知：如图，90AOB DCE ∠=∠=︒，OC 平分AOB ∠．结论：CD CE =；OD OE +； 212ODCE S OC =四边形． 2）已知：如图，2120AOB DCE ∠=∠=︒，OC 平分AOB ∠．结论：CD CE =；OD OE OC +=；2ODCE S =四边形．全等三角形是初中几何的重点，是研究图形性质的基础，这一讲我们对于全等三角形中常见的模型进行了总结，但是这些内容更偏重理论，希望能够在此抛砖引玉，引发大家对学习方法上的思考，并能在平时学习中对全等三角形的模型多加理解和运用．。

三角形中常见的全等模型

三角形中常见的全等模型引言三角形是几何学中重要的概念之一，全等三角形则是指具有相同形状和相等大小的三角形。

在几何学中，全等三角形是一种非常重要的概念，它们之间存在着一些特殊的性质和关系。

本文将介绍三角形中常见的全等模型，以便读者更好地理解和应用这些几何学概念。

等腰三角形全等模型等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，由于两边长度相等，可以得出两边的夹角相等的结论。

根据全等三角形定义，如果两个三角形的两边长度相等，且夹角也相等，那么这两个三角形是全等的。

具体而言，如果两个等腰三角形的两个边分别相等，且两个等腰三角形的夹角也相等，那么这两个等腰三角形是全等的。

这个模型可以用来解题中寻找全等三角形的依据。

直角三角形全等模型直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。

在直角三角形中，根据勾股定理可以得到较为简单的边长关系。

如果两个直角三角形的一个直角角度相等，且两个直角三角形的一个边相等，那么这两个直角三角形是全等的。

具体而言，如果两个直角三角形的一个直角角度相等，且两个直角三角形的一个边相等，那么这两个直角三角形是全等的。

这个模型可以用来解题中确定全等三角形的条件。

一般三角形全等模型一般三角形指没有特殊性质的三角形，即三个边都不相等且三个角也不相等的三角形。

对于一般三角形，我们可以利用边角边（SAS）全等判定法来确定两个三角形是否全等。

具体而言，如果两个三角形的一对边分别相等，并且这对边之间的夹角也相等，那么这两个三角形是全等的。

这个模型可以应用于解题中确定一般三角形的全等关系。

总结通过分析等腰三角形、直角三角形和一般三角形的全等模型，我们可以更好地理解和应用三角形的全等概念。

等腰三角形全等模型通过边长和夹角的相等关系来确定全等，直角三角形全等模型通过直角角度和一边的相等关系来确定全等，一般三角形全等模型通过边角边的相等关系来确定全等。

通过熟练掌握这些全等模型，我们可以更好地解决与全等三角形相关的几何问题。

模型构建：全等三角形中的常见七种解题模型全攻略(解析版)

专题11模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型【考点导航】目录【典型例题】 (1)【模型一平移型模型】 (1)【模型二轴对称型模型】 (8)【模型三四边形中构造全等三角形解题】 (12)【模型四一线三等角模型】 (19)【模型五三垂直模型】 (25)【模型六旋转型模型】 (30)【模型七倍长中线模型】 (39)【典型例题】【模型一平移型模型】例题：（2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）如图，点E ，C 在线段BF 上，AB DE ∥，AB DE =，BE CF =．(1)求证：ABC DEF ≌；(2)若40B ∠=︒，70D ∠=︒，求ACF ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)110︒【分析】（1）首先根据，AB DE ∥可得B DEF ∠=∠，再根据BE CF =，可得出BC EF =，即可判定ABC DEF ≌△△；（2）首先根据（1）中两三角形全等，可得70A D ∠=∠=︒，在ABC 中根据外角的性质即可求出ACF ∠．【详解】（1）证明： AB DE ∥，B DEF∴∠=∠BE CF = ，BE EC CF EC ∴+=+，即BC EF =，∴在ABC 和DEF 中，AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC DEF ≌△△．（2） ABC DEF ≌△△，40B ∠=︒，70D ∠=︒，70A D ∴∠=∠=︒，ACF ∠ 是ABC 的外角，110ACF A B ∴∠=∠+∠=︒．【点睛】此题主要考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练运用性质定理，即可解题．【变式训练】1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ACD 和CEB 中，点A 、B 、C 在一条直线上，D E AD EC AD EC ∠=∠=，∥，．求证：ACD CBE ≌．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出A ECB ∠=∠，再根据全等三角形的判定定理ASA 证明ACD CBE ≌．【详解】AD EC ∥ ，A ECB ∴∠=∠，在ACD 和CEB 中，A ECB AD ECDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)ACD CBE ∴△≌△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知ABC DEF ≌△△，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上．(1)若140BED ∠=︒，75D ∠=︒，求ACB ∠的度数；(2)若2BE =，3EC =，求BF 的长．【答案】(1)65︒(2)7【分析】（1）由三角形外角性质，得65F BED D ∠=∠-∠=︒，由三角形全等知65ACB F ∠=∠=︒；（2）由条件可推出5BC BE EC =+=，由三角形全等知5BC EF ==，故7BF BE EF =+=．【详解】（1）解：∵140BED ∠=︒，75D ∠=︒，∴65F BED D ∠=∠-∠=︒．∵ABC DEF ≌△△，∴65ACB F ∠=∠=︒；（2）解：∵2BE =，3EC =，∴5BC BE EC =+=∵ABC DEF ≌△△，∴5BC EF ==，∴257BF BE EF =+=+=．故答案为：7．'='时的情形，求此时△ADE（1）如图2，善思小组的同学画出了BA BD（2）如图3，点F是BC的中点，在△ADE平移过程中，连接E F''交射线'=始终成立！请你证明这一结论；现OE OF拓展延伸：（3）请从A，B两题中任选一题作答，我选择______题.A.在△ADE平移的过程中，直接写出以F，A'，D¢为顶点的三角形成为直角三角形时，ABC 是等边三角形，6AB =3AD CD ∴==，BD AC ⊥，将△ADE 从图1的位置开始，沿射线∴A D ''3AD ==，A B BD '=' ，BD AC ⊥，13ADE 是等边三角形，3AD =60DAE ∴∠=︒，3AE =，将△ADE 从图1的位置开始，沿射线60D A E DAE ∴∠=∠'=''︒，A E 'ABC 是等边三角形，6AB =190CD F ∴='∠︒，60C ∠=︒ ，30D FC ∴='∠︒，1322CD CF ∴='=，33322DD CD CD ''∴=-=-=；同理可得32A C '=，39622AA AC A C ''∴=-=-=；△ADE 平移的距离是92；综上所述，以F ，A '，D ¢为顶点的三角形成为直角三角形时，△当A '与C 重合时，如图：A D E ''' 是等边三角形，60E A D A D E E '''''∴∠=∠''=∠=︒，3A F A D '''== ，30A FD A D F ''''∴∠=∠=︒，90FD E A D F A D E ∴∠=∠'''''''+∠=︒，即以F ，D ¢，E '为顶点的三角形成为直角三角形，此时336DD CD A D =+='+'='，△ADE 平移的距离是6；当90D E F ∠=''︒时，如图：60A E D E A D ∠=︒'=∠''''' ，30A E O D E F A E D ∴∠=∠'''''''-∠=︒，30A OE D A E A E O '''''∴∠=∠'-∠='︒，A E O A OE ∴∠='∠'''，3A O A E '''∴==，由()2知A OE '' ≌COF ，3CO A O '∴==，333312DD CD CO A O A D '''∴=+++=+++='，△ADE 平移的距离是12；综上所述，以F ，D ¢，E '为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE 平移的距离是6或12．【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，平移变换等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．【模型二轴对称型模型】例题：（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图，AB AD =，BC DC =，求证：B D ∠=∠．【答案】见解析【分析】根据SSS 证明ABC ADC △≌△，得出B D ∠=∠即可．【详解】证明：∵在ABC 和ADC △中AB AD AC AC BC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS ABC ADC ≌△△，∴B D ∠=∠．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明ABC ADC △≌△．【变式训练】1．（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，EAB FAC ∠=∠，且AE AF =，求证：EDB FDC ∠=∠．【答案】见解析【分析】由等腰三角形的性质得AD BC ⊥，BAD CAD ∠=∠，再证(SAS)AED AFD △≌△，得ADE ADF ∠=∠，即可得出结论．【详解】解：证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥，BAD CAD ∠=∠，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，EAB FAC ∠=∠ ，EAB BAD FAC CAD ∴∠+∠=∠+∠，即DAE DAF ∠=∠，在AED △与AFD △中，AE AF DAE DAF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)AED AFD ∴△≌△，ADE ADF ∴∠=∠，ADB ADE ADC ADF ∴∠-∠=∠-∠，即EDB FDC ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，点E 、F 是线段AB 上的两个点，CE 与DF 交于点M ．已知AF BE =，AC BD =，A B ∠=∠．(1)求证：C D ∠=∠；(2)若60FME ∠=︒．求证：MFE 是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)证明ACE BDF ≌△△即可．(2)根据ACE BDF ≌△△得到ME MF =，根据有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形证明．【详解】（1）证明：∵AF BE =，∴AF FE BE FE +=+，∴AE BF =，∵AE BF A B AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACE BDF ≌，∴C D ∠=∠．（2）∵()SAS ACE BDF ≌，∴DFE CEF ∠=∠，∴FM EM =，∵60FME ∠=︒，∴MFE 是等边三角形．【点睛】本题考查了三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定是解题的关键．3．（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB AD =，BC DC =，AC 、BD 相交于点O ，求证：(1)ABC ADC △≌△；(2)AC BD ⊥．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）分别利用SSS 证ABC ADC ≌即可；（2）由ABC ADC ≌得ACB ACD ∠∠=，利用等腰三角形的性质即可得AC BD ⊥．【详解】（1）证明：在ABC 和ADC 中，AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABC ADC ≌（SSS ）．（2）证明：由（1）得ABC ADC ≌，∴ACB ACD ∠∠=，∵BC CD =，∴AC BD ⊥．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理．【模型三四边形中构造全等三角形解题】例题：（2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）已知：如图，AC BC =，AD BD =，E 、F 分别是AC 和BC 的中点．求证：DE DF =．【答案】证明见解析．【分析】由三边对应相等的两个三角形是全等三角形可证ADC BDC ≌ ，再根据全等三角形的性质可由两边对应相等以及它们的夹角相等的两个三角形全等可证CDE CDF ≌ ，即可得出结论．【详解】证明：连接CD在ADC △与BDC 中，AC BC CD CD AD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩()SSS ADC BDC ∴≌ ，ACD BCD ∴∠=∠，【变式训练】1．（2023春·广西玉林·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．(1)小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图，在筝形ABCD 中，AB AD =，CB CD =．求证：___________．证明：___________(2)小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是___________．（写出一条即可）【答案】(1)B D ∠=∠，见解析(2)AC BD ⊥（或AC 垂直平分线段BD ）【分析】（1）B D ∠=∠，连接AC ，证明ABC ADC △△≌，即可得结论；（2）根据全等三角形的性质即可得筝形的两条对角线互相垂直．【详解】（1）解：证明：连接AC ，在ACB △和ACD 中，AB AD AC AC BC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ABC ADC ∴≌ ，B D ∴∠=∠；（2）证明：如图，连接BD ，交AC 于点O ，由（1）知ABC ADC △△≌，BAO DAO ∴∠=∠，在ABO 与ADO △中，AO AO BAO DAO AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABO ADO ∴≅ BO DO ∴=，AOB AOD ∠=∠，180AOB AOD ︒∠+∠= ，90AOB AOD ∴∠=∠=︒，∴AC BD ⊥，∴两条对角线互相垂直．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．2．如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC ，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC ，证明△ACE ≌△ACF ，则S △ACE ＝S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF＝S △ACF ＋S △ACE 求解即可；（2）由△ACE ≌△ACF 可得∠FCA ＝∠ECA ，∠FAC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠FAC ＋∠ECA ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠ECF ．可得∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC(1)解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE AF CE CF AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩3．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：证明：在ABD ∆和ACD ∆中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，【模型四一线三等角模型】例题：（2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）（1）问题发现：如图1，射线AE 在MAN ∠的内部，点B 、C 分别在MAN ∠的边AM 、AN 上，且AB AC =，若90BAC BFE CDE ∠=∠=∠=︒，求证： ≌ABF CAD ；（2）类比探究：如图2，AB AC =，且BAC BFE CDE ∠=∠=∠．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在ABC 中，AB AC =，AB BC >．点E 在BC 边上，2CE BE =，点D 、F 在线段AE 上，BAC BFE CDE ∠=∠=∠．若ABC 的面积为15，2DE AD =，求BEF △与CDE 的面积之比．【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解；（3）1:4【变式训练】1．已知CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面问题：①如图1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，求证：BE CF =；②如图2，若180BCA α∠+∠=︒，探索三条线段EF BE AF ，，的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．【答案】(1)①见解析；②EF BE AF =-，见解析(2)不成立，EF BE AF =+，见解析【分析】（1）①利用垂直及互余的关系得到ACF CBE ∠=∠，证明BCE ≌CAF V 即可；②利用三等角模型及互补证明ACF CBE ∠=∠，得到BCE ≌CAF V 即可；（2）利用互补的性质得到EBC ACF ∠=∠，证明BCE ≌CAF V 即可．【详解】（1）①证明：∵90EE CD AF CD ACB ⊥⊥∠=︒，，，∴90BEC AFC ∠=∠=︒，∴9090BCE ACF CBE BCE ∠+∠=︒∠+∠=︒，，在BCE 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌CAF V ()AAS ，∴BE CF =；②解：EF BE AF =-．证明：∵180BEC CFA ACB αα∠=∠=∠∠+∠=︒，，∴180180CBE BCE ACF ACB BCE BCE αα∠=︒-∠-∠∠=∠-∠=︒-∠-∠，，∴ACF CBE ∠=∠，在BCE 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌CAF V ()AAS ，∴BE CF CE AF ==，，∴EF CF CE BE AF =-=-；（2）解：EF BE AF =+．理由：∵BEC CFA BCA αα∠=∠=∠∠=∠，，又∵180180EBC BCE BEC BCE ACF ACB ∠=∠=∠=︒∠+∠+∠=︒，，∴EBC BCE BCE ACF ∠+∠=∠+∠，∴EBC ACF ∠=∠，在BCE 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌CAF V ()AAS ，∴AF CE BE CF ==，，∴EF BE AF =+．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键．2．（2023春·上海·七年级专题练习）在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE △的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【详解】（1）解：DE ＝BD +CE ，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，【模型五三垂直模型】例题：（2023春·辽宁本溪·七年级统考期末）已知90ACB ∠=︒，AC BC =，AD NM ⊥，BE NM ⊥，垂足分别为点D ，E ．(1)如图①，求证：AD BE DE=+(2)如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段AD BE DE ，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)（1）中的结论不成立．结论：DE AD BE =+，理由见解析【分析】（1）证明()AAS ADC CEB ≌△△，推出CD BE =，AD CE =，再利用线段间的代换即得结论；（2）证明()AAS ADC CEB ≌△△，推出CD BE =，AD CE =，利用线段间的代换即可得到结论，进而作出判断．【详解】（1）证明：∵AD NM ⊥，BE NM ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒∵90ACB ∠=︒，∴90BCE ACD ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠，在ADC △和CEB 中ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ADC CEB ≌△△，∴CD BE =，AD CE =，∴CE CD DE BE DE =+=+，∴AD BE DE =+；（2）（1）中的结论不成立．结论：DE AD BE =+；理由如下：∵AD NM ⊥，BE NM ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒∵90ACB ∠=︒，∴90BCE ACD ∠+∠=︒，∴CAD BCE∠=∠在ADC △和CEB 中ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADC CEB ≌△△，∴CD BE =，AD CE =，∵DE CD CE =+，∴DE AD BE =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·甘肃酒泉·八年级校联考期末）在ABC 中，90ACB ∠= ，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC CEB △≌△；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；【答案】(1)①见解析，②见解析(2)见解析【分析】（1）①由已知推出90ADC BEC ∠=∠= ，90DAC ACD ∠+∠=o 推出DAC BCE =∠∠，根据角角边即可推出．②由①得到,AD CE CD BE ==，即可求出答案．（2）与（1）类似证出ADC CEB △≌△，得到,AD CE CD BE ==代入已知即可知道答案．【详解】（1）①证明：AD DE ⊥ ，BE DE ⊥，90ADC BEC ∴∠=∠= ，90ACB ∠= ，90ACD BCE ∴∠+∠= ，90DAC ACD ∠+∠=o ，DAC BCE ∴∠=∠，在ADC △和CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ADC CEB ∴△≌△．②证明：由（1）知：ADC CEB △≌△，AD CE ∴=，CD BE =，DC CE DE += ，AD BE DE ∴+=．（2）证明：BE EC ⊥ ，AD CE ⊥，90ADC BEC ∴∠=∠= ，90EBC ECB∴∠+∠=o，90ACB∠=，90ECB ACE∴∠+∠= ，ACD EBC∴∠=∠，在ADC△和CEB中，ACD CBEADC BECAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AASADC CEB∴△≌△，AD CE∴=，CD BE=，DE EC CD AD BE∴=-=-．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等根据已知条件证出符合全等的条件是解题的关键．2．如图，已知：在ABC中，90ACB∠=︒，AC BC=，直线MN经过点C，AD MN⊥，BE MN⊥．（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：ADC CEB≅；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE AD BE=-；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；（2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．（3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，∴∠DAC =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ECB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ECB +∠ACE =90°，∴∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =EC -CD =AD -BE ．（3）DE =BE -AD ；如图3，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠ACD +∠DAC =90°，∴∠DAC =∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =CD -CE =BE -AD ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．【模型六旋转型模型】例题：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，点D 是直线时针旋转90°，得到线段CE ，连接EB ．（1）操作发现如图1，当点D 在线段AB 上时，请你直接写出AB 与（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，【变式训练】（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，【类比探究】（2）当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图的数量关系和位置关系，并说明理由．【拓展延伸】【详解】（1）∵ABC 和DBE 是两个都含有45︒角的大小不同的直角三角板，∴90DBE ABC ∠=∠=︒，AB BC =，BD BE =，∴()SAS DBA EBC ≅ ，∴AD CE =；（2）AD CE =，AD CE ⊥，理由如下：∵90DBE ABC ∠=∠=︒，∴90DBA BCE DBC ∠=∠=︒-∠，∵AB BC =，BD BE =，∴()SAS DBA EBC ≅ ，∴AD CE =，ADB CEB ∠=∠，延长AD 与CE 交于点O ，∵90BDE BED ∠+∠=︒，∴90BDE BEC CED ∠+∠+∠=︒，∴90BDE ADB CED ∠+∠+∠=︒，∴90ODE OED ∠+∠=︒，∴90O ∠=︒，∴AD CE ⊥；（3）过A 作AC AM ⊥交CD 延长线于M ，过A 作AN CD ⊥交CD 于N ，∵45ACD ∠=︒，∴45ACD M ∠=∠=︒，∴AC AM =，∵90,BAD AB AD∠=︒=∴90BAC DAM DAC ∠=∠=︒-∠【答案】(1),BC AD BC AD =⊥；(2)45︒；(3)见解析，45︒；(4)存在，2BM AM OM=+【分析】（1）由条件根据三角形全等判定定理SAS 得BOC AOD ≌△△，可证；（3）类比上面思路，通过构建三角形全等BON AOM ≌△△推出ON OM =，进而易得45COM ∠=︒，（4）根据（3）的结论，推导出NOM △是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，化简即可得到答案．【详解】（1）由题意得，AO BO =，OC OD =，90AOB COD ∠=∠=︒，()SAS BOC AOD ∴≌△△，BC AD ∴=，CBO DAO ∠=∠，在Rt AOD 中，90DOA ADO ∠+∠=︒，90CBO ADO ∴∠+∠=︒，90BMD ∴∠=︒，即BC AD ⊥，故答案为：,BC AD BC AD =⊥.（2）45OCD ODC ∠=∠=︒ ，CD BO ∥，45COB OCD ∴∠=∠=︒，又90AOB ∠=︒，45AOC AOB BOC ∴∠=∠-∠=︒,即45α=︒，故答案为：45︒.（3）如图，过O 点作NO OM ⊥，交MB 于N 点，由（1）易知()SAS BOC AOD ≌，CBO DAO ∴∠=∠，BON NOA NOA AOM ∠+∠=∠+∠ ，BON AOM ∴∠=∠，又AO BO =，易得()ASA BON AOM ≌△△，【模型七倍长中线模型】例题：（2023春·全国·七年级专题练习）[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在ABC ∆中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD 到点E ，使DE AD =，连结BE ，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△，其理由是什么？(2)AD 的取值范围是什么？[感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中．[问题解决](3)如图3，AD 是ABC ∆的中线，BE 交AC 于点F ，且AE EF =，试说明AC BF =．【答案】(1)见解析(2)17AD ＜＜(3)见解析【分析】（1）根据AD DE =，ADC BDE ∠=∠，BD DC =推出ADC ∆和EDB ∆全等即可；（2）根据全等得出6BE AC ==，2AE AD =，由三角形三边关系定理得出86286AD -<<+，求出即可；（3）延长AD 到M ，使AD DM =，连接BM ，根据SAS 证ADC MDB ∆∆≌，推出BM AC =，CAD M ∠=∠，根据AE EF =，推出CAD AFE BFD ∠=∠=∠，求出BFD M ∠=∠，根据等腰三角形的性质求出即可．【详解】（1）在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆∆≌，∴全等的理由是：SAS ；（2）由（1）知：ADC EDB ∆∆≌，6BE AC ∴==，2AE AD =，在ABE ∆中，8AB =，由三角形三边关系定理得：86286AD -<<+，17AD ∴<<；（3）证明：延长AD 到M ，使AD DM =，连接BM ，AD 是ABC ∆中线，CD BD ∴=，在ADC ∆和MDB △中DC DB ADC MDB DA DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ΔΔ()ADC MDB SAS ∴≌，BM AC ∴=，CAD M ∠=∠，AE EF = ，CAD AFE ∴∠=∠，AFE BFD ∠=∠ ，BFD CAD M ∴∠=∠=∠，BF BM AC ∴==，即AC BF =．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握中线倍长模型，添加辅助线是关键．【变式训练】如图①，在ABC 中，若5AB =，3AC =，求BC 边上的中线延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，这样就把AB ，AC 关系可判断线段AE 的取值范围是；则中线AD 的取值范围是（2）问题解决：如图②，在ABC 中，D 是BC 边的中点，DE DF ⊥于点D ，【答案】（1）28,14AE AD <<<<；（2）EF EB CF >+，见解析；（3）BE DF EF+=【分析】（1）延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，证明(SAS)ADC EDB ≌△△，可得AC BE =，再由三角形三角关系可得28AE <<，14AD <<；（2）延长FD 至G ，使FD DG =，连接BG ，证明(SAS)CFD GBD ≌，可得BG FC =，连接EG ，可知EFG 是等腰三角形，则FE EG =，在EBG 中，EG EB BG >+，即EF EB CF >+；（3）延长AB 至H 使BH DF =，连接CH ，证明(SAS)CBH CDF ≌，可推导出80CEH ∠=︒，再证明(SAS)FCE HCE ≌，则EH EF =，能推导出BE DF EF +=．【详解】解：（1）延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，CD BD = ，ADC BDE ∠=∠，AD DE =，(SAS)ADC EDB ∴△≌△，AC BE ∴=，在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，28AE ∴<<，2AE AD = ，14AD ∴<<，故答案为：28AE <<，14AD <<；（2）延长FD 至G ，使FD DG =，连接BG ，CD BD = ，CDF BDG ∠=∠，FD DG =，(SAS)CFD GBD ∴ ≌，BG FC ∴=，连接EG ，ED FD ⊥ ，FD DG =，EFG ∴△是等腰三角形，FE EG ∴=，在EBG 中，EG EB BG >+，即EF EB CF >+；（3）延长AB 至H 使BH DF =，连接CH ，180ABC D ∠+∠=︒ ，180ABC CBH ∠+∠=︒，D CBH ∴∠=∠，CD CB = ，BH DF =，(SAS)CBH CDF ∴ ≌，CH CF ∴=，BCH DCF ∠=∠，160BCD ∠=︒ ，80ECF ∠=︒，80DCF ECB ∴∠+∠=︒，80CEH ∴∠=︒，FC CH = ，EC EC =，(SAS)FCE HCE ∴ ≌，EH EF ∴=，BE BH EH += ，BE DF EF ∴+=．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角形三边关系是解题的关键．2．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在ABC 中，6AB =，4AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长AD 到E ，使得DE AD =；②连接BE ，通过三角形全等把AB 、AC 、2AD 转化在ABE ③利用三角形的三边关系可得AE 的取值范围为AB BE AE -<______．方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（2）如图2，AD 是ABC 的中线，AE 是ADC △的中线，且中：直接写出所有正确选项的序号是______．①CAE DAE∠=∠②2AB AE =③DAE DAB ∠=∠④【问题拓展】（2）由“SAS ”可证AEC HED △≌△，可得AC DH =，ACD HDC ∠=∠，由“SAS ”可证ADB ADH ≌，可得AB AH =，BAD DAE ∠=∠，即可求解；（3）由“SAS ”可证AEO CEH △≌△，可得AO CH =，A HCO ∠=∠，由“SAS ”可证BOD HCO △≌△，可得BD OH =，可得结论；（4）由全等三角形的性质可得AEO CEH S S =△△，BOD HCO S S =△△，D COE ∠=∠，由三角形的面积公式可求解．【详解】解：（1）如图1中，延长AD 至点E ，使ED AD =．在ADC △和EDB △中，DA DE ADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADC EDB ∴△≌△，4AC BE ∴==，=6AB ，6464AE ∴-<<+，2210AD ∴<<<，15AD ∴<<，故答案为：15AD <<；（2）如图2，延长AE 至H ，使EH AE =，连接DH ，AE 是中线，DE EC ∴=，又AEC DEH ∠=∠ ，AE EH =，(SAS)AEC HED ∴△≌△，AC DH ∴=，ACD HDC ∠=∠，ADB ADC ACD ∠=∠+∠ ，ADH ADC CDH ∠=∠+∠，∴∠=∠，ADB ADH为中线，AD∴=，BD CD，=AC CD∴===，BD DC AC DH又AD AD=，∴△≌△，ADB ADH(SAS)∴=，BAD DAEAB AH∠=∠，∴=，AB AE2故答案为：②③；=，连接CH，（3）证明：如图3，延长OE至H，使EH OE是AC的中点，E∴=，AE CE又OE EH=，AEO CEH∠=∠，∴△≌△，(SAS)AEO CEH∠=∠，∴=，A HCOAO CH∴∥，AO CH∴∠+∠=︒，180AOC HCO与COD∠AOB∠互补，∴∠+∠=︒，AOC BOD180∴∠=∠，BOD OCH=，又CH OA OB，OC OD==∴△≌△，BOD HCO(SAS)∴=，BD OH。

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