高中数学幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)

高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数

【第一部分】知识复习

【第二部分】典例讲解

考点一：幂函数

例1、比较大小

例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞）上是减函数，又，则m= A．0B．1C．2D．3

解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1．

例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性．

∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴．

(2)，．

当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；

当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数．

例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系

(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).

变式训练：

1、下列函数是幂函数的是（）

A．y=2x B．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y=

2、下列说法正确的是（）

A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数

C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数

3、下列函数中，定义域为R的是（）

A．y=B．y=C．y=D．y=x－1

4、函数的图象是（）

A．B．C．D．

5、下列函数中，不是偶函数的是（）

A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－1 6、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（）

A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1) C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5) 7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a )) 8、已知，则下列正确的是（）

A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数

C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数

9、若函数f(x)=x2＋ax是偶函数，则实数a=（）

A．－2B．－1 C．0D．1

10、已知f(x)为奇函数，定义域为，又f(x)在区间上为增函数，且f(－1)=0，则满足f(x)>0的的取值范围是（）

A．B．(0，1) C．D．

11、若幂函数的图象过点，则_____________．

12、函数的定义域是_____________．

13、若，则实数a的取值范围是_____________．

14、是偶函数，且在上是减函数，则整数a的值是_____________．DACAD ABACD

9、，函数为偶函数，则有f(－x)=f(x)，即x2－ax=x2＋ax，所以有a=0．

10、奇函数在对称区间上有相同的单调性，则有函数f(x)在上单调递增，则当x<－1时，f(x)<0，当－10，又f(1)=－f(－1)=0，故当01时，f(x)>0．则满足f(x)>0的．

11、解析：点代入得，所以．

12、解：

13、解析：，解得．

14、解：则有，又为偶函数，代入验证可得整数a的值是5．

考点二：指数函数

例1、若函数y=a x＋m－1(a>0)的图像在第一、三、四象限内，则（）

A.a>1

B.a>1且m<0

C.00

D.0

例2、若函数y=4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，试确定x的取值范围．

例3、若关于x的方程有负实数解，求实数a的取值范围．

例4、已知函数．

(1)证明函数f(x)在其定义域内是增函数；(2)求函数f(x)的值域．

例5、如果函数（a>0，且a≠１）在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．

例1、解析：y=a x的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须

将y=a x向下移动．而当0

三、四象限．只有当a>1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故a>1．又图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，

图像恰好经过原点和第一、三象限．欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移

超过一个单位，故m－1<－1，∴m<0．故选B．

答案：B

例2、分析：在函数y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，则y=t2－3t＋3是t的二次函数，由y ∈[1,7]可以求得对应的t的范围，但t只能取正的部分. 根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围．

解答：令t=2x,则y=t2－3t＋3，依题意有：

∴x≤0或1≤x≤2，即x的范围是(－∞，0]∪[1,2]．

小结：当遇到y=f(a x)类的函数时，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再

结合指数函数的性质得到原问题的解．

例3、分析：求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式．

解答：因为方程有负实数根，即x＜0，

所以，

解此不等式，所求a的取值范围是

例4、分析：对于(1)，利用函数的单调性的定义去证明；对于(2)，可用反解法求得函数的值域．

解答：(1)，设x1＜x2，则

．

因为x1＜x2，所以2x1＜2x2，所以,所以．又＋1＞0, ＋1＞0,所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在其定义域(－∞，＋∞)上是增函数．

(2)设，则，因为102x＞0，所以，解得－1＜y＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．

例5、分析：考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域．

解：设t=a x>0，则y=t2＋2t－1，对称轴方程为t=－1．

若a>1，x∈[－1，1]，∴t=a x∈，∴当t=a时，y max=a2＋2a－1=14．

解得a=3或a=－5(舍去)．

若0

∴当时，．解得（舍去）．

∴所求的a值为3或．

变式训练：

1、函数在R上是减函数，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

2、函数是（）