范数及条件数

对称矩阵范数
证明：由AT A知
T 2 2 || A ||2 ( A A ) ( A ) | ( A ) | 2 max max max
所以有
|| A ||2 | max ( A) |
又因为A非奇异，则 ( A) 0,由 ( A1 ) -1 ( A)得
—— 单位向量 —— 当x y时，||x|| ||y||
(3) | ||x|| – ||y|| | || x – y ||
Cn上的常见范数有： 1) 1-范数
|| x ||1 i 1 | xi |
n
2) 2-范数
|| x ||2
2 | x | i1 i n
称为欧氏范数
3) -范数
T
解得1 23.466, 2 1.534，故 || A ||2 23.466 4.844。 || A ||F [22 (1) 2 (2) 2 4 ] 5
1 2 2
矩阵的谱半径
定义 设λi (i 1, 2,...,n)为矩阵A的特 征值, 则称 ( A) max{| i |}
(3) x + y ≤ x + y 前两个条件显然，第三个条件在几何上解释为三角形一边 的长度不大于其它两边长度之和。因此，称为三角不等式。
向量范数的一般概念： 定义 1： 设V是数域 F上的向量空间，对 V中任一向量 α，都 有唯一实数α 与之对应，满足如下三个条件： 1) 正定性：α ≥ 0，且α = 0 α = 0
1 || A1 ||2 || max ( A1 ) |||| min ( A) ||
例题
2 1 例 设矩阵A , 求 || A || p ( p 1, 2, )及 || A ||F 2 4 解 :|| A ||1 max{2 | 2 |,| 1| 4} 5 || A || max{2 | 1|,| 2 | 4} 6 2 2 2 1 8 10 因为A A 1 4 2 4 10 17 8 10 T 由 | I A A | 0 10 17
设系数矩阵有微小的扰 动 0.0001 0 A 0 0 1.0001 0.99 x1 1.99 0.99 0.98 x 1.97 2
即
x1 0.99x2 1.99 1.0001 所以 ，解得 0.99x1 0.98x2 1.97
矩阵的谱半径
定义：设A R 的特征值为
nn
( A) max i
1i n

i
(i 1, 2,
, n) 称
为A的谱半径。
定理： ( A) A ,
( Ax x
A 为 A 的任意矩阵范数
x , Ax A x
x A x A ( A) A )
x
~ (1)
(50,48.5)T
若右端有微小变动 0.0001 b 0 . 0001 0.99 x1 1.9899 1 0.99 0.98 x 1.9701 2
~ ( 2)
则 解得 x
(2.97,0.99)T
对常用范数，容易验证下列不等式：
1 x1 x x1 n x x1 n x
x

x2 n x

矩阵的范数
定义：对任意n阶方阵A，按一定的规则由一实 数与之对应，记为 A 。若 A 满足 1, 2, 3, 4， A 0 , 且 A 0当且仅当 A 0; (正定) (齐次)
x 1
反之，若 A 0
x 1
Ax 0 Ax A 0.
2， A max Ax max Ax
x 1
max Ax A .
x 1
3,对任意两个n阶方阵A和B， A B max ( A B ) x max Ax Bx
x 1 x 1
x 1 x 1
A B 5，对任意n维向量x，都有 Ax A x 。 这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。 可由三种常用的向量范数诱导出矩阵范数。
矩阵范数
设A (aij )为n阶方阵 1. A 2 max Ax 2 1 ,其中1是 AT A的最大特征值。
x 2 1
又称为谱范数。
max( Ax Bx ) max Ax max Bx
x 1 x 1 x 1
A B .
矩阵的范数性质（续1）
4，对任意n维非零向量x, 有 Ax x A 即
x 1
Ax A x .
x 1
故有 AB max ( AB) x max A( Bx) max A Bx max A B x
§5.4 向量的范数与矩阵的范数
在线性方程组的数值解法中，经常需要分析解向量的 误差，需要比较误差向量的“大小”或“长度”。那么怎 样定义向量的长度呢？ 我们在初等数学里知道，定义向量的长度，实际上就 是对每一个向量按一定的法则规定一个非负实数与之对应， 这一思想推广到n维线性空间里，就是向量的范数或模。 用 Rn 表示 n 维实向量空间，用 Cn 表示 n 维复向量空间， 首先将向量长度概念推广到Rn(或Cn)中。
2 2 2 2
x 2 1 0 ( 1) 2 6
x

max( 1,0, 1 ,2) 2
有了范数的概念，就可以讨论向量序列的收敛性问题。 定 义 2 ： 设 给 定 Cn 中的向量序列 {xk} ，即 x0 ， x1 ， … ， xk，… 其中 xk x , x , ..., x
2) 齐次性：kα = |k| α ，这里k F
3) 三角不等式：α+ α + 则称 α 为 α 的范数。定义了范数的向量空间称为赋范向量 空间. 简单性质： (1) x 0 (2) ||x|| = || – x ||
x 1 || x ||
(k ) 1 (k ) 2 (k ) T n

若对任何i (i = 1, 2,…, n)都有 lim xi( k ) xi*
k
* T ) 称为向量序列 {xk} 的极限，或者说 则向量 x* ( x1* , ..., xn
向量序列{xk}依坐标收敛于向量x*，记为 lim xk x *
2. A 1 max Ax 1 max aij
x 1 1 1 j n i 1
n
n
, 为矩阵的
列向量的1－范数的最大值称为矩阵的列范数。
3. A max Ax
x 1
max aij , 为矩阵的行
1i n j 1
向量的1－范数的最大值称为矩阵的行范数。
k
定理 5 ： 定义在 Cn 上的向量范数 ||x|| 是变量 x 分量的连续函 数。（f(x) = ||x||） 定理6：在Cn上定义的任何两个范数都是等价的。
即存在正数k1与k2(k1≥ k2 > 0)，对一切xCn，不等式
k1|| x ||b || x ||a k2|| x ||b 成立。
1. 向量的范数
向量的范数可以看作是描述向量“大小”的一种度量. 范数的最简单的例子，是绝对值函数： x x2 有三个熟知的性质：
(1) x 0 x > 0 x = 0当且仅当x = 0
(2) ax = a x a为常数 (3) x + y ≤ x + y
谱半径
定理 设A R nn , 则 (1) ( A) || A ||,这里 || A ||为A的任意一种算子范数 ; 证明 （ 1）设 , x为矩阵A的任一特征对，即Ax x, 则 (2) 若AT A, 则 ( A) || A ||2 。

x
x Ax A
1i n
为矩阵A的谱半径。 矩阵A的谱半径 ( A)不是A的一种范数, 但可能与A的任何一种范数有某种关系。
例题
2 1 求矩阵A 的谱半径。 2 4 2 1 解：由|| I A || 0 2 4 特征值 所以
得：
1 3 3 , 2 3 3。 ( A) 3 3
1. 向量的范数
范数的另一个简单例子是三维欧氏空间的长度 设x = (x1, x2, x3)，则x的欧氏范数定义为：
2 2 || x || x12 x2 x3
欧氏范数也满足三个条件： x，y R3，a为常数 (1) x ≥ 0，且 x = 0 x = 0
(2) ax = a x
x
由于x 0，故有
A
由的任意性，有 ( A) max{ } A 。
(2) 因为AT A ，故 || A ||2 | max ( A) | ( A)。 2 1 显然 A , ( A) 3 3,|| A ||2 5,|| A || 6, 2 4 || A ||2 4.844,|| A ||F 5，所以 ( A) || A || p 。
例：设A = (aij)nn，||A||为其算子 范数，如果||A|| < 1,则 I – A可逆， 1 且 1 || ( I A) ||
1 || A ||
5.5 误差分析
例 设线性方程组 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解 该方程组的精确解为x (1,1)T 。
|| x || max | xi |
1i n
不难验证，上述三种范数都满足定义的条件。 注：上述形式的统一：
|| x || p (i 1 | xi | p )1/ p