第三章向量范数与矩阵范数
范数
‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
Frobenius范数:
|| A ||F
| a ij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
i 1 j 1
n
n
|| 可以证明,对方阵 A R nn和 x R n 有: ， Ax ||2 || A ||F || x ||2
|| A || 1
② ( I A)1 A( I A)1 ( I A)( I A)1 I
( I A)1 I A( I A)1
|| ( I A)1 || 1 || A || || ( I A)1 ||
§1.5 线性方程组的性态（误差分析）
算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数: 由向量范数 || · p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数: ||
利用Cauchy 不等式 则 || AB ||p || A ||p || B ||p || Ax ||p || A ||p max max|| Ax ||p y | ||x || || y || |x 2 2 x 0 || x|| p 1 || x ||p || Ax || || A || || x ||
如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立，
那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的.
定理1.4.2 对任意一种向量范数‖· ‖而言，向量 序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是
lim || xk x || 0
* k
矩阵范数 ( matrix norms )
2 2 || A || 1,|| B || 1,|| AB AB 2 2 || AB |||| A |||| B || 从而
向量范数
计算方法
2
常用向量范数
设向量 x = ( x1 , x2 ,..., xn ) || x ||1 = ∑ | xi |
n i =1 n
T
|| x ||2 = ( ∑ | xi | ) = ( x , x ) = ( x T x )
i =1
1 2 2
1 2
1 2
|| x ||∞ = max{| xi |}
定义
设λi(i = 1,2 ,...,n)为矩阵 A的特征值 , 则称
1≤ i ≤ n
ρ ( A) = max{| λi |}
的谱半径。 为矩阵 A的谱半径。 矩阵A的谱半径 ρ ( A)不是A的一种范数 , 但易证
ρ ( A) ≤ A
定义2 定义2
若
Ax ≤|| A || ⋅ || x || ∀x ∈ R n , ∀A ∈ R n× n
称矩阵范数与向量范数是相容的. 称矩阵范数与向量范数是相容的. 相容的
2 − 1 例4 ： 设矩阵 A = − 2 4 , 求 || A ||1 , || A ||2, || A ||∞ 。 解： || A || = max{ 2+ | −2 |, | −1 | +4} = 5 1
1≤ i ≤ n
计算方法
T || || 例3：已知 x = (1, 2, − 3 ) , 求 || x ||1 ， x ||2 ， x ||∞
解： x
1
= x1 + x2 + x3 = 1+2+3= 6
2 2 x12 + x2 + x 3 = 1 + 4 + 9 = 14
x2=
x
∞
数值分析 向量范数与矩阵范数
x
5
3、范数的等价性
如
n 则 x R 设
x 2 x1 n x
2
P20习题14
二、矩阵范数 1、定义 2、矩阵范数与向量范数的相容性 3、诱导矩阵范数（矩阵的算子范数） 4、常用的矩阵范数
二、矩阵范数 1、定义
二、矩阵范数 1、定义 2、矩阵范数与向量范数的相容性
3、诱导矩阵范数（矩阵的算子范数）
思考：A的P-范数如何计算？
A的P-范数的计算 定理1.4 设
A R
n i 1
nn
则 A的列范数
证明
A 1 max aij
1 j n
A 2 max ( A A)
T
A的谱范数
A max aij
1 i n j 1
n
A的行范数
其中
max ( AT A) 表示矩阵 AT A 的最大特征值.
AB A B
x 1
AB max ABx max A Bx
A max Bx A B
x 1
证毕
4、常用的矩阵范数 （1）A的P-范数 （2）A的F-范数
★A的P-范数(由向量范数诱导的矩阵范数) 向量范数 x 且
p
矩阵范数
p
A p max Ax
x p 1
p
Ax p A p x
x2 x x
T
kx 2 (kxi ) k xi2 k x
2 i 1 i 1
n
n
2
x 2 xi2 xT x
i 1
n
x y 2 ( x y)T ( x y) xT x xT y yT y yT x x 2 2x y y
向量与矩阵的范数-PPT
|| A ||2
A'
A
10 14
15
14 20
221 5.46
|λE-A’A|=0 λ2-30λ+4=0
注：
A F
nn
a 2 ——弗罗贝尼乌斯
ij
(Frobenius)范数
j1 i1
简称F范数
|| A ||F 30 5.477
几种常用的矩阵范数：
n
max a11
a12
a1n
A1 1jn
则称该实数||X||为向量X的范数
几种常用的向量范数：设X=(x1,x2,...,xn)T
（1）向量的1—范数：
n
|| X ||1 | xi | | x1 | | x2 | ... | xn | i 1
（2）向量的2—范数：
n
|| X ||2
xi2 x12 x22 ... xn2
i 1
例：方程组
22.x0101xx21
x2 1
1
此方程组的准确解为x1=0, x2=-1。现将其右 端加以微小的扰动使之变为：
绝对误差
22.x0101xx12
x2 1
1.0002
b
0.00002
经计算可得它的解为x1=2, x2=-3.
这两个方程组的解相差很大，说明方程组的 解对常数项b的扰动很敏感。
3.5 向量与矩阵的范数
一、. 向量范数： 对n维实空间Rn中任一向量X ，按一定规则有一确
定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足下 面三个性质： (1)(非负性)||X||0，||X||=0当且仅当X=0。 (2)(齐次性)对任意实数 ，|| X||=| | ||X||。 (3)(三角不等式)对任意向量YRn，||X+Y||||X||+||Y||
向量与矩阵范数
向量与矩阵范数在欧氏空间与酉空间中，我们通过向量的内积定义了下列的长度，对于一般的线性空间，能否引入一个类似于长度而又比其更广泛的概念呢？这就是范数的概念。
向量范数与矩阵范数是应用非常广泛的重要概念，从范数可导出向量与向量，矩阵与矩阵之间的距离，进而引进向量序列和矩阵序列收敛性问题.它是矩阵分析与计算的基础.§1 向量范数定义1．1 设V 是数域()或C R 上的线性空间，如果对于任意V ∈x 按照某种法则对应于一个实数x，且满足：1） 非负性0≥x .当且仅当=x 0时，0=x ； 2） 齐次性k k =x x；3） 三角不等式 对任意,V ∈x y 总有，+≤+x y x y；则称实数x为线性空间V 上向量x 的范数.简称向量范数.定义了范数的线性空间V 称为赋范线性空间.由定义1.1可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值函数，它具有下列性质：（1） 当≠x 0时，11||||=x x ；（2） 对任意向量V ∈x ，有||||||||-=x x ；（3）||||||||||||||y -≤-x y x ； （4）||||||||||||||y -≤+x y x .性质（1）与（2）是显然成立的，下面证明性质（3） 因为||||||||||||||||=-+≤-+x x y y x y y ， 所以||||||||||||-≤-x y x y .同理可证||||||||||||||()||||||-≤-=--=-y x y x x y x y ， 即||||||||||||-≥--x y x y .综上有||||||||||||||y -≤-x y x .若用y -代替性质（3）中的y ，便得到性质（4）.n C 上最著名的范数是p 范数，也称赫尔德（hölder ）范数11()nppi pk x ==∑x，T 12(,,,)n n x x x =∈x C .这里1p ≤<∞，其中最常用的是1,2p =时的p 范数，即11nik x ==∑x ；12221()ni k x ==∑x 。
数值计算方法第3章3-04范数
是收敛的，称 A 为矩阵序列 A(k) 的收敛极限。
矩阵的收敛
记矩阵序列 A(k) 是收敛于 A 为： lim A(k) A 。 k
Rnn 上 的 矩 阵序 列 A(k) 是 收 敛 于 A 的 充 要 条件 为
lim
k
a(k ij
)
aij
。
其中
a(k ij
矩阵范数的另一个定义 设A Rnn ，矩阵A
A sup Ax
x 1 xR n
的范数
4 常用的矩阵范数
设 A [aij ]nn常用的矩阵范数有行（无穷）范数和列（一）范数。
n
A max aij 1in j1
n
A 1 max aij 1 jn i 1
)
和 aij
分别表示
A( k )
和
A
的第 i 行第
j
列的元素。
定义 设 A Rnn ，如果存在 R 使
Ax x
则称 为A 的一个特征值。x 就是特征值 对应的特征向量。
谱半径
定义 6：对于 Rnn 上的矩阵 A ，设 A 的特
征值为 1, 2 , , n ，称 ( A) max{1, 2 , ,n} 为 矩 阵 A 的 谱 半
但在各种范数下，考虑向量序列收敛性时结论时一致的，一致的含义
是收敛都收敛，且有相同的极限。
提出各种范数是为解不同问题时用的，即对某一个问题可能是某一种
范数方便，而另一种范数不方便。
向量范数的等价定理 给定 x Rn ，对于Rn
，
，总存在与x 无关的正常数m
，M
对一切 x Rn 成立。
矩阵范数和向量范数的关系
矩阵范数和向量范数的关系矩阵范数和向量范数是线性代数中常用的概念，它们之间存在一定的关系。
本文将从矩阵范数和向量范数的定义、性质以及它们之间的联系等方面进行阐述。
我们来介绍矩阵范数和向量范数的定义。
矩阵范数是定义在矩阵上的一种范数，它可以将一个矩阵映射为一个非负的实数。
常见的矩阵范数有Frobenius范数、1-范数、2-范数和∞-范数等。
以Frobenius范数为例，对于一个矩阵A，它的Frobenius范数定义为矩阵元素平方和的平方根，即∥A∥F = √(∑∑|aij|^2)。
向量范数是定义在向量空间中的一种范数，它可以将一个向量映射为一个非负的实数。
常见的向量范数有1-范数、2-范数和∞-范数等。
以2-范数为例，对于一个向量x，它的2-范数定义为向量元素平方和的平方根，即∥x∥2 = √(∑|xi|^2)。
矩阵范数和向量范数之间存在一定的联系。
首先，对于一个n维向量x，可以将其看作是一个n×1的矩阵。
此时，向量范数就可以看作是矩阵范数的一种特殊情况。
例如，向量的2-范数就是矩阵的2-范数。
因此，矩阵范数可以看作是向量范数的推广。
矩阵范数和向量范数之间满足一些性质。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，满足以下性质：1. 三角不等式：对于任意的矩阵A和向量x，有∥A∥ + ∥x∥ ≤∥A + x∥。
2. 齐次性：对于任意的矩阵A和实数α，有∥αA∥ = |α|∥A∥。
3. 子多重性：对于任意的矩阵A和B，有∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥。
我们来讨论矩阵范数和向量范数的联系。
通过定义可以看出，矩阵范数和向量范数都是对于矩阵或向量的度量。
矩阵范数可以看作是对矩阵的度量，而向量范数可以看作是对向量的度量。
矩阵范数和向量范数都满足范数的定义，即满足非负性、齐次性和三角不等式。
在应用中，矩阵范数和向量范数有着广泛的应用。
矩阵范数可以用于矩阵的相似性度量、矩阵的特征值估计等问题。
而向量范数可以用于向量的相似性度量、向量的正则化等问题。
向量和矩阵的范数
向量和矩阵的范数一、引言向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一，而范数则是线性代数中一个非常重要的概念。
范数可以用来度量向量或矩阵的大小，也可以用来衡量它们之间的距离。
在本文中，我们将讨论向量和矩阵的范数。
二、向量范数1. 定义向量范数是一个函数，它将一个向量映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的向量x，有||x||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和向量x，有||αx||=|α|·||x||；（3）三角不等式：对于任意的向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||。
2. 常见范数（1）L1范数：也称为曼哈顿距离或城市街区距离。
它定义为所有元素绝对值之和：||x||1=∑i=1n|xi| 。
（2）L2范数：也称为欧几里得距离。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||x||2=(∑i=1nxi^2)1/2 。
（3）p范数：它定义为所有元素p次方和的p次方根：||x||p=(∑i=1n|xi|^p)1/p 。
（4）无穷范数：它定义为所有元素绝对值中的最大值：||x||∞=ma xi|xi| 。
三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的矩阵A，有||A||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和矩阵A，有||αA||=|α|·||A||；（3）三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||。
2. 常见范数（1）Frobenius范数：也称为欧几里得范数。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||A||F=(∑i=1m∑j=1naij^2)1/2 。
（2）一范数：它定义为每列元素绝对值之和的最大值：||A||1=maxj(∑i=1m|aij|) 。
（3）二范数：它定义为矩阵A的最大奇异值：||A||2=σmax(A) 。
（4）∞范数：它定义为每行元素绝对值之和的最大值：||A||∞=maxi(∑j=1n|aij|) 。
数值代数向量范数与矩阵范数
及 A2 。
又
4 2 4 −3 20 −10 A A= 2 1 = −10 10 −3 1
T
AT A 的特征方程为 10 λ − 20 T λI − A A = =0 λ − 10 10
它的根为λ1 = 15 + 5 因而
§3 向量范数与矩阵范数 为了学习线性方程组的迭代解法并研究其收 敛性，对方程组的近似解作出误差分析，下面简 敛性，对方程组的近似解作出误差分析， 要介绍向量范数与矩阵的范数（ ），用于描述 要介绍向量范数与矩阵的范数（模），用于描述 向量与矩阵的大小。 向量与矩阵的大小。 (1) 向量的范数 对于空间直角坐标系 R 3 中的任意向量
X = ( x1 , x2 , x3 )T
，其长度为
X = ( x12 + x2 2 + x32 )1/ 2
我们用其度量向量的“大小” 我们用其度量向量的“大小”。
的一个实值函数， 实质上是向量 X 的一个实值函数， 它满足如下3个条件 个条件： 它满足如下 个条件： (1非负性 对任意 X ∈ R 3 ，都有 X ≥ 0 非负性). 非负性 当且仅当 X = 0 ，有 X = 0 (2齐次性 对任意 a ∈ R 和向量 齐次性). 齐次性
A
2
5, λ2 = 15 − 5 5
= 15 + 5 5 ≈ 5.1167
练习:已知矩阵 和向量 练习 已知矩阵A和向量 ，求 已知矩阵 和向量X，
X 1, X 2, X
∞
， A ∞, A1 及
A
2
。
其中 x = (1, 2, − 3) ,
1 2 0 A = − 1 2 − 1 0 1 0
范数
（假定A 可逆）
max ( x ) T x =1 ） （3 = A 1 A min ( x ) A
x =1
（假定A 可逆）
例 3.3.1
x2 x2
T ( z2 )
T(z1)
z2
z1 x1 x1
(a) 单位圆 （b）单位圆在线性变换下的像
矩阵从属范数在逼近论中的应用
例 3.2.5
3.3 范数的应用
3.3.1 线性变换的误差分析 设T是线性变换，A是与之对应的矩阵，即
T( x ) = Ax
下面我们研究在此线性变换下“单位圆” 的象。
的结论：
x =1 x =1
（） ( x ) = max = A 1 max T Ax
1 A
1
Ax （2 min ( x ) = min = ） T
若令 u =
x x v
，则
u
v
=1
，此时
Ax x
v
v
x = A x v
= Au
v
v
因此，我们可得到如下结论。
定理3.2.1
A = max Ax
x =1
v
定理3.2.2 任意从属范数都是范数，即对 A ∈ C m × n ， ∈ C m × n ， C ∈ C n× p B 任意 λ ∈ C ，都有：
设 A∈ R
n×n
b ∈ R n×1 非奇异， ，考虑如下线性
方程组 Ax = b . 由于误差，设用Gauss消去法得到的解 为
x ，满足 ( A + E ) x = b
∧
∧
其中E是由舍入引
起的误差矩阵.
设机器的有效数字为t，则
∧ ∧
第3章 范数
1
2
例题：设x = (3,12,0,4 ) , 计算 x 1 , x ∞ , x
T
2
x 1 = 3 + 12 + 0 + 4 = 19 x
∞
= max{3,12,0,4} = 12
x 2 = 32 + (12) 2 + 0 2 + (4) 2 = 13
向量和矩阵的范数
2 矩阵范数 定义
任一矩阵A ∈ R n×n，都对应于一个实数N ( A)( N ( A)为R n×n上的实值函数 ), N ( A) = A ，且满足以下条件：
1≤i ≤ n
( A的特征值按模的最大值)
为矩阵的谱半径。
若λi为实数，则λi 是指绝对值 若λi为复数（λi = a + bi），则λi 是指模, λi = a 2 + b 2
例题
1 0 1 设A = 2 2 1, 计算A的谱半径。 1 0 0 λ 1 0 1
解： λI A) = 2 det( 1
几种矩阵范数
设x ∈ R n , A ∈ R n×n , 则
(1) A 1 = max ∑ aij
1≤ j ≤ n n
( A的列范数 )
(2) A ∞ = max ∑ aij
1≤i ≤ n j =1
i =1 n
( A的行范数 )
(3) A 2 = λmax ( AT A) (其中λmax ( AT A)表示矩阵AT A的绝对值( 模)最大的特征值)
a11 a12 a13 三阶方阵A = a21 a22 a23 则A的行列式 a31 a32 a33 det( A) = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a12 a23a31 a13 a22 a31 a12 a21a33 a23 a32 a11
向量范数和矩阵范数
2. L1范数：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的L1范数定义为 ||x||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|。它表示向量各个元素的绝对值之和。
向量范数和矩阵范数
3. 无穷范数（L∞范数）：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为 ||x||∞ = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)。它表示向量各个元素的绝对值的最大值。
矩阵范数是对矩阵进行度量或衡量的方式，它是一个将矩阵映射到非负实数的函数。常见 的矩阵范数有谱范数、F范数和1-范数。
1. 谱范数：对于n×n矩阵A，它的谱范数定义为 ||A||2 = max(σ)，其中σ是A的特征值的 模的最大值。谱范数衡量了矩阵的最大特征值的大小，表示矩阵的最大奇异值。
向量范数和矩阵范数
2. F范数：对于m×n矩阵A，它的F范数定义为 ||A||F = √(∑∑|aij|^2)，其中aij表示A的第i 行第j列的元素。F范数衡量了矩阵所有元素的平方和的平方根。
3. 1-范数：对于m×n矩阵A，它的1-范数定义为 ||A||1 = max(∑|aij|)，其中∑表示对所有 列求和。1-范数衡量了矩阵列向量绝对值之和的最大值。
向量范数和矩阵范数
向量范数是对向量进行度量或衡量的方式，它是一个将向量映射到非负实数的函数。常见 的向量范数有欧几里得范数（L2范数）、L1范数和无穷范数（L∞范 ..., xn)，它的欧几里得范数定义为 ||x||2 = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。它表示向量的长度或大小，也可以理解为向量的2范数。
第3章向量和矩阵范数.ppt
若B满足 B 1, 则
I B非奇异, 且 ( I B)
1
1 1 B
证：假设det(I B) 0, ( I B) x 0有非零解 即存在x0 0，使Bx0 x0 Bx0 x0
x0 Bx0 B x0
B 1
与假设矛盾
定理1. 设 是Rnn上的一种算子范数 A Rnn , ,
1i n
1in
max xi max yi x
1in
y
x
显然
p
( x1
p
x2
p
xn
p
)
1
p
x的p 范数, p 1
x 1和 x
2
是 x p 在p 1和p 2时的特例
例：计算向量x (1, 2,3) 的各种范数。
比较这两个方程组可以看出，他们只是右端项有微小的差 1 别，最大相对误差为 105 , 但它们的解却大不相同，解分量 2 1 的相对误差至少为 。 2
定义： 如果矩阵A或常数项b的微小变化，引 起方程组Ax b解的巨大变化，则称此方程组 为“病态”方程组，矩阵A称为“病态”矩阵 （相对于方程组而言）。
矩阵范数例
与前述三种向量范数相容的三种矩阵范数：
A 2 max Ax 2 1 , 其中 1是 AT A的最大特征值。
x 2 1
又称为谱范数。
x 1 1
设A (aij )为n阶方阵。
n 1 j n
A 1 max Ax 1 max aij
i 1
, 为矩阵的
列向量的1－范数的最大值称为矩阵的列范数。
1 j n i 1
A max aij max{3,4,2} 4 1 i n
3.3向量和矩阵的范数
y
2
定理1：设 x R n , 则x的三种基本范数l, l 2 , l满足下面的不等式关系 ： 1
(1) x 2 x 1 n x (2) x (3) x
2
x2 n x x1n x
对于以上三种范数而言，它们的值是不同的。但有 如下的定义： 定义2(范数等价)：x R n， 对于任意两种范数 x 和 x 总存在两个与x无关的正实常数c1,c2,使得
k
记为： x (k) x * . lim
k
例如：按照
l 范数的定义 x (k) x * max x i( k ) x * i
1i n
故， x ( k ) x * x (k) x * lim
k
0(k ).
定理3 ：
设{x ( k ) }是R n中的一个向量序列，且 * R n，则lim x ( k ) x * x
例：有了距离，对
方程组Ax b的数值计算解x c与其准确解x *之间 的误差就可以度量了。 如定义其绝对误差为 x c x * ，相对误差为 x c x* x
*
。
例： x* (0.0002140.0003090.000397T 设 , , )
x (0.0001860.0003420.000504T , , ) c 当限定范数为 1范数时，请计算 与x* l x c 之间的绝对误差和相对 误差。
lim l p ( x i )
p i 1
n
p
1
p
在R n空间中，向量 [ x1 , , x n ]T 和y [ y1 , , y n ]T 的内积记作( x , y), x 可定义为 (x, y) x i y i x T y.
向量和矩阵的范数
一、向量的范数定义1 设x=(x1 ,x2,…,x n )n ,y=(y1 ,y2,…,y n )n∈R n (或C n )。
将实数(或复数),称为向量x,y的数量积。
将非负实数或称为向量x的欧氏范数。
对向量x,y的数量积有：1. (αx,y)=α(x,y).α为实数(或(x,αy)=(x,y),α为复数);2. (x,y)=(y,x)[(x,y)=(,)];3. (x1 +x2 ,y)=(x1 ,y)+(x2 ,y);4. (Cauchy-Schwarz不等式)(5.1)等式当且仅当x与y线形相关时成立。
对向量x的欧氏范数有：1. ‖x‖2≥0, ‖x‖2 =0当且仅当x=0时成立;2. ‖αx‖2=|α|‖x‖2，任意的α∈R(或α∈C),3. ‖x+y‖2≤‖x‖2 +‖y‖2 (三角不等式)，(5.2)注(5.1)和(5.2)有下面的事实得到(x+ty,x+ty)=(x,x)+2(x,y)t+(y,y)t2≥0由一元二次方程根的判别定理可知(5.1)成立；取t=1,再利用(5.1)得即得(5.2)。
定义2(向量的范数) 如果向量x∈R n (或C n )的某个实值函数N(x)=‖x‖, 满足条件：(1) ‖x‖≥0(‖x‖=0当且仅当x=0)(正定条件)，(2) ‖αx‖=|α|·‖x‖，任意的α∈R(或α∈C),(3) ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖(三角不等式)，则称N(x)是R n (或C n )上的一个向量范数(或模)。
下面我们给出几种常用的向量范数。
1. 向量的∞-范数(最大范数)：(5.3)2. 向量的1-范数：3. 向量的2-范数：(5.4)4. 向量的p-范数：(5.5)例6 计算向量x=(1,-2,3)T的各种范数。
解：定理6(N(x)的连续性) 设非负函数N(x)=‖x‖为R n上任一向量范数，则N(x)是x的分量x1 ,x2,…,x n的连续函数。
证明设其中e i=(0,…,1,0,…,0)T, . 只须证明当x→y时N(x)→N(y)即成。
向量与矩阵范数
9
算子范数性质
算子范数的性质
定理：设 || ·|| 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的 算子范数也记为 || ·|| ，则有
Ax A x
定理：设 || ·|| 是任一算子范数，则 ( A) A
定理：对任意 >0, 总存在一算子范数 || ·|| ，使得
1 n
3
范数性质
范数的性质
(1) 连续性 设 f 是 Rn 上的任意一个范数，则 f 关于 x 的每个分
量是连续的
(2) 等价性 设 || · ||s 和 || ·||t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在 常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 xRn 有
c1 x s x t c2 x
p xi , p [1, ) ，是 Rn 上向量范数 i 1
n 1 p
p
2
向量范数
常见的向量范数 ① 1-范数 ② 2-范数
x 1 xi
i 1 n
n 2 x 2 xi i 1
1 2
③ 无穷范数（最大范数）
x
max xi
8
矩阵范数性质
矩阵范数的性质
(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A
的每个分量是连续的
(2) 等价性：设 || ·||s 和 || ·||t 是 Rnn 上的任意两个矩阵 范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A Rnn 有
c1 A s A t c2 A s
本讲内容
向量范数
向量范数的定义 常见的向量范数
向量范数的性质
向量范数与矩阵范数
任2种范数在刻画收敛性时等价
定理1.2 对 Rn 上的任意二种向量范数|| ·||a ,|| ·||b ,
均有与向量 x 无关的常数 m 与 M (0<m<M)，使 下列的关系成立
m x x M x , x Rn.
a
b
a
证明略.
意义：向量x的某一种范数可以任意小（大）时， 该向量的其它任何一种范数也会任意小（大）。
|1| | 2 | | 3 |,
A
1
max
|
5
|
|1|
|
8
|,
14,
| 2 | | 0 | | 2 |
1 5 2
A 2 1
0
3 8 2
|1| | 5 | | 2 |,
A
max
|
2
|
|1|
|
0
|,
13,
| 3 | | 8 | | 2 |
A F
12 22 32
52
12
82
22
02
22
112,
14 21 4
AT
A
21
90
26
4 26 8
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
向量范数和矩阵范数知识点总结
向量范数和矩阵范数知识点总结《向量范数和矩阵范数知识点总结：一场有趣的数学冒险》嘿，大家好呀！今天咱来唠唠向量范数和矩阵范数这俩家伙，那可真是数学世界里一对有趣的“难兄难弟”啊！咱先说向量范数，它就像是给向量套上了一个“紧箍咒”，用来衡量这个向量的大小或长度。
想象一下，向量就像个调皮的小猴子，在数学丛林里上蹿下跳，而向量范数就是那个抓住它、给它定个大小的“如来佛祖的手掌”。
它能让我们清楚地知道这个向量到底有多“厉害”或者多“弱小”。
这玩意儿有好多类型呢，比如咱常见的1-范数、2-范数啥的。
它们各有各的特点，就像不同的魔法技能。
1-范数呢，就像是给向量的每个分量都贴上了个小标签，然后把这些标签加起来，简单粗暴。
而2-范数就有点高深了，它是通过一个神奇的公式算出来的，就像给向量做了一次美容，让它以最帅气的样子展现出来。
再来说说矩阵范数，这可是个大家伙。
它就像个“大管家”，管理着矩阵这个“大家庭”。
矩阵范数可以衡量矩阵的“能量”或者说“影响力”。
想象一下，矩阵就像个有很多房间的大房子，矩阵范数就是给这个房子估个价。
矩阵范数也有好多分类，像什么Frobenius 范数啊，那可是矩阵范数界的明星。
它把矩阵的每个元素都照顾到了，算出一个综合的值。
这就好像给矩阵进行了一次全面的体检，看看它到底有多健康。
学这些范数的时候啊，那可真是一场刺激的冒险。
有时候感觉就像在走迷宫，到处都是弯弯绕绕，一不小心就迷路了。
但当你突然找到了那条正确的路，哇，那种感觉简直爽翻了！就像你在黑暗中突然找到了一盏明灯。
不过别怕，虽然它们有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多做几道题，慢慢地就会和它们成为好朋友啦。
当你真正掌握了它们，就会发现它们其实也没那么可怕，反而还挺有趣的呢！总之，向量范数和矩阵范数就像是数学世界里的宝藏，只要我们勇敢地去挖掘，就一定能找到属于我们自己的惊喜。
加油吧，小伙伴们！让我们一起在这场有趣的数学冒险中勇往直前！。
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ò || f (t) ||p º
骣 琪 琪 桫
b a
|
f (t) |pdt
1/ p
,
p³
1
定义的 ||g||p 是 C[a, b]上的向量范数，称为 Lp 范数。
特别地，L1 范数、L2 范数和 L 范数分别为
b
ò || f (t) ||1 º
| f (t) |pdt
a
b
ò || f (t) ||2 º
面介绍的 ||g|| 和 ||g||1 。
向量范数
例 4 在赋范线性空间 V 中，定义任意两向量之间的
距离为
d( x, y) ? || x y ||, "x, y ? V 则称此距离 d( g, g) 为由范数 ||g|| 导出的距离。此时 按此式定义了距离的 V 满足度量空间的距离三公理
（对称性、三角不等式和非负性），所以赋范线性空 间按由范数导出的距离构成一个特殊的度量空间。
向量范数
向量范数
定义：设函数 f : Rn R，若 f 满足 (1) f(x) 0， xRn , 等号当且仅当 x = 0 时成立 （正定性） (2) f(x) = || ·f(x) ， xRn , R （齐次性） (3) f(x+y) f(x) + f(y) （三角不等式） 则称 f 为 Rn 上的（向量）范数，通常记为 || ·||
c1
x s
x t c2
x s
30
范数性质
(3) Cauchy-Schwarz 不等式
定理： (x, y) x y
2
2
(4) 向量序列的收敛性
证明：略
定义：设 x(k) 是 Rn 中的一个向量序列，其中
x(k)
x1(k),
x2(k),K
,
xn(k
)
T
如果
lim
k
x(k) i
xi
，则称
x(k)
由极限的两边夹法则，并注意到 lim n1/ p 1，即得
欲证结论。
p
这些范数在几何上如何理解呢？
例9 对任意 x ( x1, x2 ) T C 2，对应于 1, 2, , p 四
种范数的闭单位圆 || x || £ 1 的图形分别为
非常见向量范数
例 10 对任意 f (t)C[a, b] ，由
（3）(三角不等式) ||x y|| ||x|| ||y||，x、y V 则称 || x || 是向量 x 的向量范数，称定义了范数的线
性空间 V 为赋范线性空间。
9
拓扑空间
线性空间
Hausdorff空间
距离空间 (度量空间)
拓扑线性空间 距离线性空间
赋范空间
完备距离 线性空间
Banach空间
D(x, y) ?
max j
|
x
j
yj |;
n
å Ä Minkowski距离 D(x, y) ? | xj yj | ;
j= 1
å Ä Chebyshev距离 D( x, y) ? 骣琪琪琪ç桫j=n1 | xj
1
yj
|m m; ÷
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：
d 2( x, y) ? ( x y)T Σ- 1( x - y)T ,
称矩阵。大家已经知道，此函数是讨论线性和非线 性系统稳定性的重要工具。
例 12 （模式识别中的模式分类问题）
模式分类的问题指的是根据已知类型属性的观测样本
的模式向量 s1 ,L , sM ，判断未知类型属性的模式 向量 x 归属于哪一类模式。其基本思想是根据 x 与 模式样本向量 si 的相似度大小作出判断。
（3） ||x y|| ||x|| ||y||。
6
向量范数：向量的长度或模
例 2 n 维欧氏空间中向量 x 的长度或模定义为
|| x || ( x, x) x12 x22 L xn2 显然向量 x 的模 || x || 也具有下列三条性质：
(1) || x || 0 ，当且仅当 x 时，等号成立。 (2) || x || | | || x || ; ( R) （3） ||x y|| ||x|| ||y||。("x、y ? Rn )
UT AU = Λ = diag( λ1, λ2,L , λn)
这里 A 的特征值 λi (i = 1, 2,L , n) 都为正数。
从而有
A = UΛUT = U Λ ? ΛUT º BT B
此时
|| x||A xT Ax xT BT Bx (Bx)T Bx || Bx ||2
因此对任意 y Cn ， || x + y ||A = || B(x + y) ||2
1 2
时，取
(1, 0)T ,
(0,1)T，则
|| ||1 || ||1 1, || ||1 4
2
2
2
|| ||1 || ||1 || ||1
2
2
2
常见向量范数：极大范数
在广义实数范围内，P能否取到正无穷大呢？具体而 言，如何计算这种范数呢？
第三章 向量范数与矩阵范数
1
内容提要
范数的引入 向量范数的类型、定义与性质 矩阵范数的类型、定义与性质 方阵的谱半径 范数及其应用
2
本讲内容
范数的引入
原因
向量范数
定义、常见向量范数、性质
矩阵范数
定义、常见矩阵范数、性质
矩阵条件数
3
向量范数与矩阵范数
例 6 对任意 x ( x1, x2,L , xn) T F n，由
å || x ||p º
骣 琪 琪 琪 琪 桫i=n1 | xi |p
1/ p
,
p³
1
定义的||g||p 是 F n 上的向量范数，称为p -范数或 l p
范数。
常见向量范数：1-范数
特别地，p = 1 时，有
例 7 对任意 x ( x1, x2,L , xn) T F n，由
最简单的方法是用两向量之间的距离来表示相似度， 距离越小，相似度越大。最典型的是Euclidean距离
D(x, y) ? || x y ||2 = (x- y)T (x- y)
其他距离测度还包括
n
å Ä Manhat tan 距离 D( x, y) ? | xj yj | ;
j= 1
Ä
Chebyshev距离
这里 x, y 是从正态母体 N ( μ, Σ)中抽取的两个样本。
范数性质
范数的性质
(1) 连续性 定理：设 f 是 Rn 上的任一向量范数，则 f 关于 x 的每个分 量连续。
(2) 等价性
定理：设 || ·||s 和 || ·||t 是 Rn 上的任意两个范数，则存 在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 xRn 有
例 8 对任意 x ( x1, x2,L , xn) T F n ，由
|| x ||¥ º
lim
p? ?
|| x ||p
也就是
|| x ||¥
º
max i
|
xi
|
定义的||g|| 是 F n上的向量范数，称为 -范数或 l
范数或极大范数。
常见向量范数：极大范数
证明： 验证 || x 容易。下证 max |
当 x 时，|| x ||A = 0 ；当 x ¹ θ 时由 A 对称
正定知 xH Ax > 0 ，即 || x ||A > 0 。
对于任意 k C ，有
|| k x ||A = (kx)T A(kx) = | k | xT Ax = | k |?|| x ||A
由于 A 为Hermite正定矩阵，故存在酉矩阵 U ，使得
8
向量范数
定义 如果 V 是数域 F 上的线性空间，对 V 中的任
意向量 x Î V ，都有一个非负实数 || x || 与之对应，并
且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式）：
(1) (正定性) || x || 0; x || x || 0 (2) (正齐性) || x || | | || x || ; ( F)
5
向量范数：向量的长度或模
例 1 复数 x = (a, b) = a i + b j 的长度或模指的是量
|| x || a2 b2 显然复向量 x 的模 || x || 具有下列三条性质：
(1) || x || 0 ，当且仅当 x 时，等号成立。 (2) || x || | | || x || ; ( R)
内积空间
各类空间的层次关系
Hilbert空间
欧氏空间 Rn和 C n
常见向量范数
Rn 空间上常见的向量范数
1-范数： 2-范数： p-范数：
n
x 1
xi = |x1 | | x2 | L | xn |
i 1 1
x
2
n i1
xi2
2
x12 x22 L xn2
引入
为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛 性，我们需要对Rn中向量或Rn2中矩阵的“大小”引进某 种度量——范数。
4
向量范数
对于实数和复数，由于定义了它们的绝对 值或模，这样我们就可以用这个度量来表示它 们的大小（几何上就是长度），进而可以考察 两个实数或复数的距离。
对于n 维线性空间，定义了内积以后， 向量就有了长度（大小）、角度、距离等度量 概念，这显然是3维现实空间中相应概念的推 广。利用公理化的方法，可以进一步把向量长 度的概念推广到范数。