数值分析实验三 函数的数值逼近
数值分析实验报告2
实验报告实验项目名称函数逼近与快速傅里叶变换实验室数学实验室所属课程名称数值逼近实验类型算法设计实验日期班级学号姓名成绩512*x^10 - 1280*x^8 + 1120*x^6 - 400*x^4 + 50*x^2 - 1并得到Figure，图像如下：实验二：编写程序实现[-1,1]上n阶勒让德多项式，并作画（n=0,1，…，10 在一个figure中）。
要求：输入Legendre(-1,1,n)，输出如a n x n+a n-1x n-1+…多项式。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现勒让德多项式的程序代码如下：function Pn=Legendre(n,x)syms x;if n==0Pn=1;else if n==1Pn=x;else Pn=expand((2*n-1)*x*Legendre(n-1)-(n-1)*Legendre(n-2))/(n);endx=[-1:0.1:1];A=sym2poly(Pn);yn=polyval(A,x);plot (x,yn,'-o');hold onend在command Windows中输入命令：Legendre（10），得出的结果为：Legendre(10)ans =(46189*x^10)/256 - (109395*x^8)/256 + (45045*x^6)/128 - (15015*x^4)/128 + (3465*x^2)/256 - 63/256并得到Figure，图像如下：实验三：利用切比雪夫零点做拉格朗日插值，并与以前拉格朗日插值结果比较。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现拉格朗日插值多项式的程序代码如下：function [C,D]=lagr1(X,Y)n=length(X);D=zeros(n,n);D(:,1)=Y';for j=2:nfor k=j:nD(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));endendC=D(n,n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)));m=length(C);C(m)= C(m)+D(k,k);end在command Windows 中输入如下命令：clear,clf,hold on;k=0:10;X=cos(((21-2*k)*pi)./22); %这是切比雪夫的零点Y=1./(1+25*X.^2);[C,D]=lagr1(X,Y);x=-1:0.01:1;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,'.');grid on;xp=-1:0.01:1;z=1./(1+25*xp.^2);plot(xp,z,'r')得到Figure ，图像如下所示：比较后发现，使用切比雪夫零点做拉格朗日插值不会发生龙格现象。
数值分析讲义第三章 函数逼近
P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
k
n2
b, s.t.
(充分性)：设[a, b]上至少有n 2个点a x1 x2 x P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
一致逼近或 均匀逼近 均方逼近或 平方逼近
max a x b f ( x) P( x)
f ( x) P( x) 2
b
a
f ( x) P( x) dx
2
存在性问题： f(x)C[a,b], 是否存在
Pn(x) f(x)(uniformly)?
Th1. (Weierstrass定理)设f(x)C[a,b]， >0, 多项式P(x)， s.t. f ( x) P( x) 在[a,b]上一致成立。 Weierstrass,德，
3个重要推论
推论1
证
最佳逼近多项式唯一
设f ( x)有两个最佳逼近多项式P( x), Q( x), 则x [a, b] - En P( x) f ( x) En , - En - En Q( x) f ( x) En , P( x) Q( x) f ( x) En 2 P( x) Q( x) R( x) 也是f ( x)的最佳逼近多项式， 2 且R ( x) f ( x)的n 2个交错点组x1 x2 x n 2 满足 R ( xk ) f ( xk ) 1 En
k
En R( xk ) f ( xk )
P( xk ) f ( xk ) Q( xk ) f ( xk ) 2 2
(*)
数值分析实验报告-插值、逼近
实验报告：函数逼近&插值多项式补充1 2k 1问题1 :对于给函数f (x) 2，取点X k cos , k取0, 1,…，n。
n取101+25x 2n 2或20。
试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。
1 问题2 :对于给函数f(x) 2在区间卜1，1］上取x i=-1+0.2i ------------------------------------------ (i=0,1,2,…,10)，试求31+25x次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。
实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和函数逼近，加深对多项式插值的理解。
应用所编程序解决实际算例。
实验要求：1 .认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用；2. 编写相关程序并进行实验；3. 调试程序，得到最终结果；4. 分析解释实验结果；5. 按照要求完成实验报告。
实验原理：详见《数值分析第5版》第二章、第三章相关内容。
实验内容：(1)问题1 :这里我们可以沿用实验报告一的代码，对其进行少量修改即可。
当n=10时，代码为：clear allclck=0:10;n=len gth(k);x1=cos((2*k+1)/2/n*pi);y1=1./(1+25.*x1.A2);f=y1(：);for j=2: nfor i=n :-1:jf(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms F x p;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2: nF(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));P(i)=f(i)*F(i)；end syms P P=sum(p);P10=vpa(expa nd(P),5); xO=-1:O.OO1:1; yO=subs(P,x,xO);y2=subs(1/(1+25*x A 2),x,x0); plot(x0,y0,x0,y2) grid on xlabel('x') ylabel('y')由 此 我 们 可 以 得 到P i0(x)=-46.633*xA10+3.0962e-14*xA9+130.11*xA8-7.2714e-14*xA7-133.44*xA6+7.1777e- 14*xA5+61.443*xA4-1.5805e-14*xA3-12.477*xA2-1.6214e-16*x+1.0并可以得到牛顿插值多项式在 [-1 , 1]上的图形，并和原函数进行对比，得Fig. 1。
数值分析实验(3)
实验三函数逼近与快速傅里叶变换P95专业班级：信计131 班姓名：段雨博学号：2013014907一、实验目的1、熟悉 matlab 编程。
2、学习最小二乘法及程序设计算法。
二、实验题目1、对于给函数f x1在区间1,1 上取 x i 1 0.2i i0,1,10 ，试求3次125x2曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题 2 的结果进行对比。
2、由实验给出数据表x0.00.10.20.30.50.8 1.0y 1.00.410.500.610.91 2.02 2.46试求 3 次、 4 次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。
3.给定数据点 x i , y i如表所示00.50.60.70.80.91x x i1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00y i用最小二乘法求拟合数据的二次多项式，并求平方误差。
三、实验原理与理论基础1．最小二乘原理与线性拟合：在函数的最佳平方逼近中 f ( x)C[ a,b] ，如果 f ( x) 只在一组离散点集 { x i , i 0,1..., m} 上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据｛{( x i, y i ), i 0,1...m} ｝的曲线拟合，这里y i f (x i)(i0,1...m) ，要求一个函数y S * ( x) 与所给数据 {( x i , y i ), i 0,1...m} 拟合，若记误差(01 ,... m ) T，设0 ( x),1 (x),... n (x) 是C[a,b]上线性无关函数族，在span{0 ( x),1 ( x),...n (x)} 中找一函数 S * (x) 使误差平方和m m m222[ S * ( x)y i ]2min[ S( x i )y i ] ，这2ii 0i0i 0里S(x)a0 0 ( x)a0 1 ( x)... a n n ( x) （ n m ）。
数值分析(本科)函数逼近
������������ ������ , ������������ ������ , ⋯ , ������������ ������ 是������的一个基，并记
������ = ������������������������ ������������ ������ , ������������ ������ , ⋯ , ������������ ������ 注：该线性空间上的加法和数乘运算，即为通常的函数加法和
������
≔
−������
������ ������������ + ������ ������������ = ������
正交
四、函数逼近之正交多项式
定义：设,������, ������-上有连续函数系������������ ������ , ������������ ������ , ⋯，且满足 ������, = ������ > ������, ������ ������ ≠ ������ ������ = ������
������ ������ ∈������
若考虑 若考虑
∞ ，则称该问题为最佳一致逼近问题 ������ ，则称该问题为最佳平方逼近问题
四、函数逼近之正交多项式
定义：设������ ������ , ������ ������ ∈ ������,������, ������-，则称
������
������, ������ =
则
������ − ������ ������ − ������
∞Байду номын сангаас
= ������������������ −������ − ������ = ������
������≤������≤������ ������ ������
数值分析 第3章 函数逼近与曲线拟合)
在[a, b]上一致成立 。
定理：设X为一个内积空间,u1,u2,…,un∈X,矩阵
(u1, u1) (u2 , u1)
G
(u1, u2
(u1, un
) )
(u2 , u2 )
(u2 , un )
(un , u1)
(un , u2 )
(un
, un
)
称为格拉姆矩阵,则G非奇异的充分必要条件是 u1,u2,…,un线性无关 。
n1(x) (x an )n (x) n n1(x)
(n 0,1,...)
其中 0 (x) 1, －1(x) 0, n (xn (x),n (x)) /(n (x),n (x)), n (n (x),n (x)) /(n1(x),(n1(x))
(n 1,2,.....)
并且(
中找一个元素 * (x) 使 f (x) *(x) 在某种意义下
最小.
3、 范数的定义
设S为线性空间,x∈S,若存在唯一实数 || || 满足条件：
(1)‖x‖≥0;当且仅当x＝0时,‖x‖＝0; (正定性)
(2)‖αx‖＝|α|‖x‖,α∈R; (齐次性)
(3)‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖,x,y∈S. (三角不等式)
类较简单的便于计算的函数类B中，求函数 P(x) B , 使P(x)与f(x)
之差在某种度量意义下最小” . 函数类A通常是区间[a，b]上的连续 函数，记作C[a，b]；函数类B通常是代数多项式，分式有理函数或 三角多项式．
2、函数空间 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予
集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.
1 2n n!
dn dxn
{(
《数值分析》第3讲：函数逼近与计算
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数 新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的 定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算
数值分析 逼近
数值逼近
数值分析
5/88
Rn 上三种常用范数 ∥x∥∞ = max{|xi|} ∥x∥1 = |x1| + · · · + |xn| ( )1/2 2 2 ∥x∥2 = |x1| + · · · + |xn|
. 第三章 函数逼近 . . §1 基本概念 . . 一 . 、函数逼近与函数空间 在数值计算中经常要计算函数值。 1. 当函数只在有限个点集给定函数值， 要在包含该点集的区间用公式给出表达 式； 2. 用简单函数逼近复杂函数。
.. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. .
性质 1. {φn}∞ n=0 是首项系数为 1 的正交多项 式。
.. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. .
数值逼近
数值分析
16/88
2.Hn = span{φ0(x), φ1(x), · · · , φn(x)}， φ0(x), φ1(x), · · · , φn(x) 是正交基。 3.φn(x)(n ≥ 1) 与任何次数小于 n 的多项 式 P (x) ∈ Hn−1 正交。 4.φn(x)(n ≥ 1) 在区间 (a, b) 内有 n 个不 同零点。
数值分析实验报告--实验3--函数逼近与曲线拟合
数值分析实验三：函数逼近与曲线拟合1曲线逼近方法的比较1.1问题描述曲线的拟合和插值，是逼近函数的基本方法，每种方法具有各自的特点和特定的适用范围，实际工作中合理选择方法是重要的。
考虑实验2.1中的著名问题。
下面的MATLAB程序给出了该函数的二次和三次拟合多项式。
x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.*x);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);hold on;p3=polyfit(x,y,3);yy=polyval(p3,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);hold off;实验要求：(1) 将拟合的结果与拉格朗日插值及样条插值的结果比较。
(2) 归纳总结数值实验结果，试定性地说明函数逼近各种方法的适用范围，及实际应用中选择方法应注意的问题。
1.2算法设计对于曲线拟合，这里主要使用了多项式拟合，使用Matlab的polyfit函数，可以根据需要选用不同的拟合次数。
然后将拟合的结果和插值法进行比较即可。
本实验的算法比较简单，此处不再详述，可以参见给出的Matlab脚本文件。
1.3实验结果1.3.1多项式拟合1.3.1.1多项式拟合函数polyfit和拟合次数N的关系1 / 13首先使用polyfit函数对f(x)进行拟合。
为了便于和实验2.1相比较，这里采取相同的参数，即将拟合区间[-1,1]等分为10段，使用每一段区间端点作为拟合的数据点。
分别画出拟合多项式的次数N=2、3、4、6、8、10时，f(x)和多项式函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment3_1_1.m。
Figure 1 多项式拟合与拟合次数N的关系可以看出，拟合次数N=2和3时，拟合效果很差。
增大拟合次数，N=4、6、8时，拟合效果有明显提高，但是N太大时，在区间两端附近会出现和高次拉格朗日插值函数类似的龙格现象。
数值分析上机报告函数逼近与数据拟合
二、方法描述
1. 函数的最佳平方逼近 设 s ( x ) a* 其中 0 , 1 , j j ( x) 为函数 f 的最佳平方逼近函数，
* j 0 n
, n 为 n+1 个
线性无关的函数。 当权函数 ( x) 1 ， 根据最佳平方逼近函数的定义， 求函数 f 的 最佳平方逼近函数，等价于求多元函数
对于定义在区间上的函数，其 Chebyshev 级数为
f ~ C0 CkTk ( x) 2 k 1
其中，
Ck 2
1
1 1 x2
1
f ( x)Tk ( x)dx
2
1
x 2 ln(2 x) 1 x2
1
Tk ( x)dx ， k 0,1, 2,
取前 n+1 项部分和
* Sn ( x)
C0 n CkTk ( x) 2 k 1
即可得到 f 在区间上的近似最佳一致逼近多项式。 3. 插值余项极小化 在插值法的计算中， 采用等距节点的 Lagrange 插值会出现 Runge 现象。 在差
2
数值分析课程上机报告
值余项极小化的方法中，取 Chebyshev 多项式的零点
移项有
b
a
[ a j j ( x) f ( x)]k ( x)dx 0 ， k 0,1,
j 0
n
,n
( , )a
j 0 k j
n
j
( f , k ) ， k 0,1,
,n
此方程是关于 a0 , a1 ,
, an 的线性方程组，也称为法方程。其中，
(k , j ) k ( x) j ( x)dx
数值分析—第3章函数逼近与数据拟合法
称为广义多项式。
数值分析
三、函数的最佳平方逼近 对于给定的函数 f ( x) C[a, b] 如果存在 使
* ( x) Span 0 , 1 , , n } {
b
a
( x) f ( x) ( x) dx min
* 2
( x ) a
mn mn0 mn0
(2) 递推关系
相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式： T0 ( x ) 1, T1 ( x ) x (n 1, 2, ) Tn1 ( x ) 2 x Tn ( x ) Tn1 ( x ) Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
连续函数在[a, b]上线性无关的充分必要条件是它们 的Gramer行列式Gn 0，其中
( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , n ) G n G n ( 0 , 1 , , n ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) (1 , n ) ( n , 0 ) ( n , 1 ) ( n , n )
(n 1, 2, )
(3) 奇偶性： 当n为偶数时，Pn (x)为偶函数； 当n为奇数时，Pn (x)为奇函数。 (4) Pn (x)的n个零点都是实的、相异的，且全
部在区间[-1, 1]内部。
数值分析
2．切比雪夫(Tchebyshev)多项式 称多项式
Tn ( x) cos(narc cos x)
Span{ 0 , 1 , , n }
并称 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是生成集合的一个基底。 设函数系{
0 ( x), 1 ( x), , n ( x) ，…}线性无关，
数值分析3+-+函数的数值逼近
构造插值多项式的方法： (1) 先求插值基函数。
共线时
(2) 构造插值多项式。
以下的问题：如何分析插值的余项？
三、插值多项式的余项 插值多项式的余项
截断误差: Rn(x) f (x) Ln(x)
定理3（插值多项式余项）
即 Ln( x j ) yj
(1)
设已知y
f (x)函数表(xi , f (xi )),
( x) 0, (xi) 0 (i 0,1,...,n)，即(t)在[a,b]上有n 2个互异的零点，
(n) (t )在[a, b]连续， (n1)(t)在(a,b)存在，且 (n1)(t) f (n1)(t) k( x) (n1)!
由Rolle定理可知，(t)在(a, b)内至少有n 1个互异的零点，
第三章 函数的数值逼近
引言
代数多项式插值 分段线性插值与“保形”插值 三次样条函数插值
插值问题
曲线拟合的最小二乘法
曲线拟合问题
§1 引言
一、函数的工程化表达
1. 对于很多实际工程计算问题，函数是通过实验或观测得到的， 表达形式上为函数表，无解析表达形式。
2. 虽然有些函数存在解析的表达式，但形式过于复杂而不易使 用。
y0 y1
(2)
a0 a1 xn an xnn yn
插值多项式的唯一性 方程组(2)有唯一解
范德蒙行列 式不为零
a0, a1, a2, ⋯ , an 存在唯一
Vn ( x0 , x1 ,, xn )
1 x0
x
2 0
x 0n
1 x1 x12 x1n
( xi x j )
0 jin
≠0 (xi≠xj)
其中k( x)为与x有关的待定函数
数值分析函数逼近与曲线拟合
数值分析函数逼近与曲线拟合第三章函数逼近和曲线拟合 1 函数的逼近和基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有分析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()kk k f x a x ∞==∑，()(0)!k k f a k =在[1,1]-上收敛。
当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。
这个误差分布是不均匀的。
当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。
为了使[1,1]-的所有x 满足()()nf x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。
插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。
更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。
如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。
由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。
如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
1.2范数和逼近一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。
最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作nR ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式和多项式加法及数和多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间。
数值分析Ch3函数逼近与计算
函数逼近与计算§1. 引言1. 引例某气象仪器厂要在某仪器中设计一种专用计算芯片，以便于计算观测中经常遇到的三角函数以及其它初等函数。
设计要求x 在区间[]b a ,中变化时，近似函数在每一点的误差都要小于某一指定的正数ε。
(1) 由于插值法的特点是在区间[]b a ,中的1+n 个节点处，插值函数)(x P n 与被插值函数)(x f 无误差，而在其它点处)()(x f x P n ≈。
对于i x x ≠，)(x P n 逼近)(x f 的效果可能很好，也可能很差。
在本问题中要求)(x P n 在区间[]b a ,中的每一点都要“很好”地逼近)(x f ，应用一般的插值方法显然是不可行的，龙格现象就是典型的例证。
采用样条插值固然可以在区间的每一点上满足误差要求。
但由于样条插值的计算比较复杂，需要求解一个大型的三对角方程组，在芯片中固化这些计算过程较为复杂。
(2) 可以采用泰勒展式解决本问题。
将)(x f 在特殊点0x 处做泰勒展开，10)(00)(000)()!1()()(!)())(()()(+-++-++-'+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x f x f ξ 。
取其前1+n 项作为)(x f 的近似，即)()(!)())(()()(00)(000x f x x n x f x x x f x f x P n n n ≈-++-'+= 。
但泰勒展式仅对0x 附近的点效果较好，为了使得远离0x 的点的误差也小于ε，只好将项数n 取得相当大，这大大增加了计算量，降低了计算速度。
因此，从数值计算的角度来说，用泰勒展式做函数在区间上的近似计算是不合适的。
(3) 引例提出了一个新的问题，即能否找到一个近似函数)(x P n ，比如说，它仍然是一个n 次多项式，)(x P n 不一定要在某些点处与)(x f 相等，但)(x P n 却在区间[]b a ,中的每一点处都能“很好”地、“均匀”地逼近)(x f 。
数值分析实验三 函数的数值逼近
数值分析实验三函数的数值逼近-插值与曲线拟合一、实验目的（一）学习MATLAB中多项式的表示及多项式运算（二）学习用典型的插值和拟合方法求函数的近似值或近似表达式（三）掌握拉格朗日、牛顿插值法的基本理论及MATLAB实现，解决一些实际问题。
二、实验内容（一）多项式表示及运算1、在MATLAB命令窗口中输入以下语句，观察结果，分析语句功能（1）p=[1,-5,6,-33]，poly2sym(p)（2）syms xf=4*x^3+6*xsym2poly(f)分析函数poly2sym和sym2poly的功能。
2、多项式运算在MATLAB命令窗口中输入以下语句，观察结果p=[3,2,1]; a=1:2:5;polyval (p,a)，分析函数polyval功能（二）拉格朗日插值法、Newton插值理论的MATLAB实现Lagrange插值的参考程序：X=[];Y=[]; %X,Y存放已知数据点syms x sn=length(X);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(x-X(j))/(X(k)-X(j));endends=s+p*Y(k);ends; s=simplify(s);Newton插值的参考程序：X= [];Y= [];n=length(X);for i=1:1:n-1CS(i,1)=(Y(i+1)-Y(i))/(X(i+1)-X(i));endfor j=2:1:n-1for i=j:1:n-1CS(i,j)=(CS(i,j-1)-CS(i-1,j-1))/(X(i+1)-X(i+1-j));endendsyms N x bN=Y(1);a=0;b=(x-X(1));for i=1:1:n-1a=CS(i,i);N=N+a*(b);b=(b)*(x-X(i+1));endfprintf('插值多项式为')N用Lagrange或Newton插值完成课本P48 第2题, P34例5，P28 例2. （三）函数拟合理论的MATLAB实现1、多项式拟合的MATLAB实现（1）学习多项式拟合函数polyfit的使用，其调用格式为：p=polyfit(x,y,n)其中，参数x代表已知数据点自变量组成的向量；参数y代表已知数据点函数值组成的向量；参数n代表所求得拟合多项式系数向量；参数p代表拟合多项式的次数。
MATLAB与数值分析第二部分—函数的数值逼近
只需证明ai 的存在且唯一
判断系数矩阵的奇异性
n x0 ... x0 1 n x1 ... x0 1 A n xn ... xn 1
范德蒙矩阵 (Vandermonde)
只要xi与xj互易
det( A) ( xi x j ) 0
插值公式：
P 2 ( x) yk 1lk 1 ( x) yk lk ( x) yk 1lk 1 ( x)
满足
P2 ( xi ) yi (i k 1, k , k 1)
例：已知lg10=1,lg15=1.1761,lg20=1.3010,利用二次 多项式插值计算 lg12的近似值。
拉格朗日二次插值多项式为： P1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x) 1 1.1761 ( x 20)( x 15) ( x 10)( x 20) 50 25 1.3010 ( x 10)( x 15) 50
故： lg12 1.0766 只有三位有效数值。（因为 lg12 1.0792)
多项式函数xn 最常用的插值函数是 …?
此外，常用插值函数有：sinc函数，即sin(x)/ x
2014-4-4 电子工程学院 7
4.1 多项式的插值问题
构造n次多项式 Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+…+ anxn 使满足 Pn(xi)= yi (i=0,1,2,…,n)，
讨论的主要内容： 如何求出插值函数； 插值函数的存在性； 收敛性和误差估计。
7 6 5 4 3 2 1 0 0
0.2
0.4
0.6
数值分析_第三章_函数逼近与计算
有二个交错点组 ， 故 P（ x） ＝ （ M ＋ m）／２ 即为所求 畅 １］ 上不变号 ５畅 解 设 f （ x） ＝ x ，P１ （ x） ＝ ax ．f″（ x） 在 ［０ ， 且连续 ，P１ （ x） 是 f （ x） 的最佳一次逼近式 畅 因 ［ f′（ x） － P′１ （ x）］ ＝ ３ x － a 在区间内只有一个零点 （这是
３
（２） 对 f （ x） ＝ sin x 在 ０ ，
π 上求一次和三次 Bernsten 多项 ２
（２） 当 f （ x） ＝ x 时 ，Bn （ f ，x） ＝ x ．
最佳一致逼近多项式 畅
唯一 ？ ６畅 求 f （ x） ＝ sin x 在 ０ ， 计误差 畅
x
π 上的最佳一次逼近多项式 ， 并估 ２
＋
８ ３ ６ ３ ２ １ － ２ t ＋ ３t t ２ π π π
相应的 M aclaurin 级数为 比较误差 ： ‖ ２ t － sin t ‖ π
∞
２ ３ ３ １ ６ t ＋ ２ （ ３ － ２） t ＋ ３ （２０ － １２ ３） t ． t ≈ t － ＝ maxπ
∫
１ ０
x d x 的上界 ，并用 １ ＋ x
６
积分中值定理估计同一积分的上下界 ， 并比较其结果 畅 １９畅 选择 a ， 使下列积分取得最小值 ：
上求一元素 ， 使其为 x ∈ C［０ ， １］ 的最佳平方逼近 ， 并比较其结果
２
２０畅 设 Φ１ ＝ span（１ ，x） ，Φ２ ＝ span（ x
０ ≤ t≤ ２
t ． ３！
３
２ t － sin t π
＝ １１０
２ ２ ２ arccos － sinarccos π π π
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数值分析实验三函数的数值逼近-插值与曲线拟合
一、实验目的
（一）学习MATLAB中多项式的表示及多项式运算
（二）学习用典型的插值和拟合方法求函数的近似值或近似表达式
（三）掌握拉格朗日、牛顿插值法的基本理论及MATLAB实现，解决一些实际问题。
二、实验内容
（一）多项式表示及运算
1、在MATLAB命令窗口中输入以下语句，观察结果，分析语句功能
（1）p=[1,-5,6,-33]，poly2sym(p)
（2）syms x
f=4*x^3+6*x
sym2poly(f)
分析函数poly2sym和sym2poly的功能。
2、多项式运算
在MATLAB命令窗口中输入以下语句，观察结果
p=[3,2,1]; a=1:2:5;polyval (p,a)，分析函数polyval功能（二）拉格朗日插值法、Newton插值理论的MATLAB实现
Lagrange插值的参考程序：
X=[];Y=[]; %X,Y存放已知数据点
syms x s
n=length(X);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(x-X(j))/(X(k)-X(j));
end
end
s=s+p*Y(k);
end
s; s=simplify(s);
Newton插值的参考程序：
X= [];Y= [];
n=length(X);
for i=1:1:n-1
CS(i,1)=(Y(i+1)-Y(i))/(X(i+1)-X(i));
end
for j=2:1:n-1
for i=j:1:n-1
CS(i,j)=(CS(i,j-1)-CS(i-1,j-1))/(X(i+1)-X(i+1-j));
end
end
syms N x b
N=Y(1);
a=0;
b=(x-X(1));
for i=1:1:n-1
a=CS(i,i);
N=N+a*(b);
b=(b)*(x-X(i+1));
end
fprintf('插值多项式为')
N
用Lagrange或Newton插值完成课本P48 第2题, P34例5，P28 例2. （三）函数拟合理论的MATLAB实现
1、多项式拟合的MATLAB实现
（1）学习多项式拟合函数polyfit的使用，其调用格式为：
p=polyfit(x,y,n)
其中，参数x代表已知数据点自变量组成的向量；参数y代表已知数据点函数值组成的向量；
参数n代表所求得拟合多项式系数向量；参数p代表拟合多项式的次数。
（2）在对问题求解过程中，如需计算多项式p在某点x处的值f，可用以下语句：
f=polyval(p, x)
（3）在多项式拟合过程中，如需画出数据点的散点图，可用MATLAB绘图函数plot，plot函数的调用格式：plot(x,y,s)，其中，参数x,y的意义同多项式拟合polyfit()，参数s为用于修饰图形线型的字符串，详情寻求MATLAB在线帮助:>>help plot
试验举例
对向量X=[-2.8 -1 0.2 2.1 5.2 6.8]和Y=[3.1 4.6 2.3 1.2 2.3 -1.1]分别进行阶数为3、4、5 的多项式拟合，并画出图形进行比较。
参考程序：
>> x=[-2.8 -1 0.2 2.1 5.2 6.8];>> y=[3.1 4.6 2.3 1.2 2.3 -1.1];
% 用不同阶数的多项式拟合x 和y
>> p3=polyfit(x, y, 3); p4=polyfit(x, y, 4); p5=polyfit(x, y, 5);
>> xcurve= -3.5:0.1:7.2; % 生成x 值
% 计算在这些x 点的多项式值
>> p3curve=polyval(p3, xcurve);
>> p4curve=polyval(p4, xcurve);
>> p5curve=polyval(p5, xcurve);
>> plot(xcurve,p3curve,'--',xcurve,p4curve,'-.',xcurve,p5curve,'-',x,y,'*');
上机习题：
例已知某乡镇企业1990-1995年的生产利润如下表所示
问题：试预测该企业1996、1997年利润．
2、用MATLAB实现非线性拟合
（1）调用MATLAB非线性拟合函数fit，fit函数的调用格式:
f = fit(x,y,model)
其中，参数x代表已知数据点自变量组成的列向量，参数y代表已知数据点函数值组成的列向量，参数model代表根据需要自定义得拟合模型，参数f代表所选模型的待定参数.
model为由函数fittype所定义的字符串描述的模型类型，如
model=fittype('a*exp(b*x) ')
定义了指数模型bx
=
y ae
（2）实验实例
例在某次阻尼振荡试验中测得如下表3所列的18组数据点,用阻尼振荡对应的函数w x
)x(f=作为拟合函数，求拟合函数的待定参数w
a
e)
cos(
kx
,.
k
a,
参考程序.
解：输入已知数据
x=[];y=[];
用fittype()函数定义模型
model=fittype('a*cos(k*x)*exp(w*x)')
调用fit()求解参数a,k,w，f= fit(x',y',model)
执行语句plot(x,y,'r*',x,f(x))可得的拟合效果图.。