运算能力和推理能力

Liaoning Normal University题目：运算能力和推理能力学院：数学学院年级：2014级学科教学学号：201412000301学生姓名：张姗姗2014年10月15日运算能力一．运算能力的课标要求运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。

学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力去学习和掌握关于各种运算的知识及技能。

《课程标准》在学段目标的“知识技能”部分，对各学段运算分别提出了明确的要求：第一学段：经历从日常生活中抽象出数的过程，理解万以内数的意义，初步认识分数和小数；理解常见的星；体会四则运算的意义，掌握必要的运算技能，能准确进行运算；在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。

第二学段：体验从具体情境中抽象m数的过程，认识万以上的数；理解分数、小数、百分数的意义，了解负数的意义；掌握必要的运算技能；理解估算的意义；能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程。

总之，运算不仅是数学课程中“数与代数”的重要内容，“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”也都与运算有着密切的联系，是不可或缺的内容。

在《课程标准》所提出的课程目标中的很多方面，如获得“四基”（基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力等，都与运算的学习有关，运算对实现课程目标发挥着重要的支撑作用。

二．运算能力的定义根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量,通过计算得出确定结果的过程，称为运算。

能够按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。

不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力。

《课程标准》指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律，正确地进行运算的能力。

培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

三．运算能力的特征运算的正确、灵活、合理和简洁是运算能力的主要特征。

首先要保证运算的正确，为此，必须要正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学知识，明确意识到实施运算的依据。

然后，在适度训练、逐步熟悉的基础上，清楚地意识到实施运算中的算理。

不断总结正反两方面的经验和教训，逐渐减少在实施运算中，思考概念、法则、公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算顺畅，力求避免失误。

一题多解和多题一解出现在运算过程中是十分普遍的，即一般性与特殊性往往同时出现在实施运算的过程中，一题多解体现了运算的灵活性，多题一解则体现了运算的普适性。

一题多解和多题一解的交替出现，相互比较，循环往复，不断优化，促使学生越来越感悟到：实施运算，解决问题，不仅要正确，而且要灵活、合理和简洁。

要充分重视估算。

《课程标准》在每个学段的学段目标和内容标准中，都强调了估算，提出了具体的要求。

第一学段：在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。

在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计（例3）；能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用（例6）。

第二学段：理解估算的意义。

结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计（例23）；在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算（例26，例27）；会用方格纸估计不规则图形的面枳（例33）。

需要指出的是，运算能力的形成不是一蹴而就的，运算能力的发展总是从简单到复杂、从低级到高级、从具体到抽象，有层次地发展起来的。

因此，在实际教学过程中，既不能让学生的运算能力在已有的水平上停滞不前，也不能超越知识的内容和其他能力水平孤立地发展运算能力。

应该贯穿于师生共同参与数学教学活动的全过程中，并体现发展的适度性、层次性和阶段性。

四．运算能力的培养与发展运算能力的培养与发展是一个长期的过程，应伴随着数学知识的积累而深化。

正确理解相关的数学概念，是逐步形成运算技能、发展运算能力的前提。

运算能力的培养与发展包括运算技能的逐步提高，运算思维素质的提升和发展。

在义务教育阶段，运算能力的培养、发展要经历如下几个过程。

第一，由具体到抽象。

其中第一学段理解万以内的数，初步认识仆数和分数，初步学习整数的四则运算，以及简单的分数和小数的加减运算。

第二学段认识万以上的数，进一步学习整数的四则运算（包括混合运算），小数和分数的四则运算（包括混合运算），了解并初步应用运算律。

第二，由法则到算理。

学习和掌握数与式的运算，解方程的运算，让学生在反复操练、相互交换的过程中，不仅会逐步形成运算技能，还会引发对“怎样算？”“怎样算的好？”“为什么要这样算？”等一系列问题的思考。

这是由法则到算理的思考，使运算从操作的层面提升到思维的层面，这是运算能力发展的重要内容。

《课程标准》规定了一系列与算理相关的内容。

如在第二学段指出：探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算。

了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

第三，由单向思维到逆向、多向思维。

逆向思维是数学学习的一个特点。

在第二学段，《课程标准》规定“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。

”在第三学段，又增加了乘方与开方的互逆关系。

到高中阶段，更有指数与对数、微分与积分等互逆关系。

运算的互逆关系，是逆向思维的重要表现形式之一。

运算也是一种推理，在实施运算分析和解决问题的过程中，“由因导果”和“执果索因”的推理模式也是经常要用到的，表现为有效探索运算的条件与结论，已知与未知的相互联系及相互转化，思维方向是互逆的，更是相辅相成的。

在实施运算的过程中，还会遇到多因素的情况，各个因素相互联系，相互制约，又相辅相成，更加需要不同的思维方向、不同的解题思路和不同的解题方法，通过比较，加以择优选用。

同时，由于思维定势的消极作用，逆向思维和多向思维的难度较大，在实施运算的过程中，教师对分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序等各个环节都要引导学生进行周密的思考，力求使运算符合算理，达到正确熟练、灵活多样、合理简洁，实现运算思维的优化及运算能力的逐步提高。

五．如何提高运算能力1.明白算理，降低学生运算的错误机率。

数学是讲理的学科，往往出错是因为对算理不清，例如在讲座中讲分式方程，学生不验根，就是对为什么出现增根这一知识点理解不清楚。

知道了错误的原因，也就避免出错或不出错。

2、重视通性通法的教学，让学生学会举一反三。

在初中阶段，一些通性通法贯穿始终。

如王老师所讲到的待定系数法、消元法、配方法等等，掌握了通性通法，就掌握了数学运算的破解钥匙，一通则百通。

3、重视训练题的梯度，由浅入深，再结合变式练习，提高学生运算的熟练性。

训练是需要数量的，但不是简单的重复，而是从难度和角度等各方面进行训练，使学生对训练充满挑战的同时保持他们的兴趣，进而提高他们的熟练性。

4、重视规范书写解题过程，提高运算的准确性。

从学生规范的书写解题过程中可以看到学生思维过程，每书写一次就是对思维过程的完美再现，运算结果也不容易出现错误。

推理能力一．推理能力定义《标准(2011年版)》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

”从数学本身看，数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方法。

它与数学证明紧密关联，共同构成了数学最重要的基础。

所以在数学学习中，培养学生的数学推理能力至为重要。

二．课表中的推理能力依据推理的功能不同，我们可将数学推理分为合情推理和演绎推理。

对这两种推理能力的培养即构成《标准(2011年版)》对推理能力培养的核心要求。

合情推理是数学家乔治·波利亚对归纳推理、类比推理等或然性推理(即推理的结论不一定成立的推理)的特称。

归纳推理(这里指不完全归纳)是特殊到一般的推理。

而类比推理则是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它在另一属性上也相同或相似的一种推理。

比如，类比整数乘法得到小数乘法运算定律、类比二维空间图形性质得到三维空间图形性质等等。

而演绎推理则是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)确定的规则出发，得到某个具体结论的推理，它是必然性推理(即只要推理前提真，得到的结论一定真)。

它的思维进程是从一般到特殊，其基本形式是三段论，只不过在实际运用中，三段论的格式被简化成了“因为……所以……”的“连锁式”形式。

上述两种推理在数学中都重要。

《标准(2011年版)》强调：“在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

”在传统数学教学中，往往把推理看成是一种严格的、通过充足的理由去证明和计算的逻辑思维形式，学生很少经历探索结论、提出猜想的活动过程。

经过多年的课改这种情况有所改变，但也出现了另一方面的担忧，即在有些教师的课堂上将合情推理得到的结论不加说明地作为普遍性结论使用，对学生产生了一定误导，这种情况应该引起重视。

三．增养学生数学推理能力应注意的问题。

对学生推理能力的培养在整个义务教育阶段都是内容学习和目标达成的一条主线，也是一个逐渐提升的长期过程。

就第一、二学段来说应该注意这样几个方: （推理能力的培养“应贯穿于整个数学学习过程中”。

这是《标准(2011年版)》提出的非常明确的要求。

它应该有这样几层含义：(1)它应贯穿于整个数学课程的学习内容中，即不仅图形与几何、数与代数、统计与概率及综合实践等所有内容，都是培养推理能力的载体。

比如，在数与代数中大量的计算需要依据特定的公式、法则、算律，这种对运算算理的要求就是推理能力的表现。

而在用符号、代数式、方程、图形、图表表达数量关系或构建数学模型时，也必须借助正确的分析和推理。

(2)它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程。

如在概念教学中，让学生经历从特定对象的本质属性入乎，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生有条理地表述概念定义；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，把握条件、结论间的逻辑关系；在解决问题教学中，要让学生经历发现、提出、分析、解决问题的活动过程，在问题解决的逻辑序中感悟推理的力量和魅力。

(3)它也应贯穿于整个数学学习的环节，如预习、复习、课堂教学、自我练习、测验考试……在所有的这些学习环节，逐步要求学生做到言必有据，合乎逻辑。

当然，“贯穿整个数学学习过程”也应包括推理能力的培养应贯穿于整个小学阶段，做到合理安排，循序渐进，协调发展。

推理能力的培养要注意为学生提供多样化的学习活动方式。

反思传统教学，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑推理的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。

显然，这样的认识是带有局限性的。

《标准(2011年版)》强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力。