立体几何知识点

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(2)作PF⊥平面ABCD，垂足为F，则F在AD上，
又∵PA＝PD，∴F为AD中点，连BF交AC于M，
∵PF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PF，
又AC⊥PB，PB∩PF＝P，∴AC⊥平面PBF，
人 教
A
∴AC⊥BF，
版 数
学
∵AD＝PA＝2，∴AF＝FD＝1，BC＝2，
原正方体中的位置关系是
A．平行 B．相交且垂直
(
)
人 教
A
版
数
学
C．不相交也不平行
D．相交成60°
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[解析] 本题是展开与折叠问题，考查空间想象能力，
如图折起后，B与D点重合，AB与CD成∠ABC＝60°，选D.
[答案] D
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[解析] (1)M为BC中点，△ABC为正三角形，
∴AM⊥BC，又侧面BCC1B1⊥底面ABC，
∴AM⊥平面BCC1B1，又BN⊂平面BCC1B1，
∴AM⊥BN，
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A
在正方形BCC1B1中，M，N分别为BC，CC1中点，
版 数 学
∴B1M⊥BN(想一想为什么？)，
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
一、转化的思想
[例1] 如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，
AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F.
求证：BD⊥平面AEF.
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A
版
数
学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[ 分 析 ] 要 证 BD⊥ 平 面 AEF ， 已 知 BD⊥AE ， 可 证
到局部、具体到抽象的原则，通过直观感知认识空间图
形．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
本章在第一章直观感知的基础上进行系统的理论研
究．以四个公理为基础，通过定义定理的形式，构建立体
几何的大厦．通过学习逐步形成和发展几何直观能力和空
间想象能力，以及运用几何语言、图形语言进行交流的能
人 教
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力．
版 数
(9)求二面角、直线与直线所成角：常先作出角然后组
成三角形，并通过解三角形求角．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
3．空间中的垂直关系、平行关系的判定方法归纳如下： 表1 直线与直线平行
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
文字语言
图形
定义：在同一个平
面内，没有公共点 直 的两条直线平行. 线
两个平面平行，其中一 个平面内的直线平行于 另一个平面.
图形
符号语言
直线a与平面α
无公共点
人 教
⇒a∥α
A 版
数
学
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
表3 两平面平行
文字语言
图形
定义：如果两个 平面没有公共点， 平 那么这两个平面 面 平行. 与 平 平面与平面平行 面 的判定定理：如 平 果一个平面内有 行 两条相交直线都 平行于另一个平 面，那么这两个 平面平行.
∴BN⊥平面AMB1.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(2)VB－AB1N＝VA－BB1N＝VA－BCB1＝VB1－
ABC
人
＝13V柱＝163 3，
教 A 版 数
学
或VB－AB1N＝VA－BB1N＝13S△BB1N·AM＝163
3 .
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
二、展开与折叠、旋转
[例4] 如图将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在
想．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
②点面距、线面距、面面距、点线距等它们之间也可
相互转化，例如求点面距时，可沿平行线平移，点面距→
线面距→点面距；或沿平面的斜线转移，例如求A到平面α
的距离，AB与α相交于点B，P为AB中点，就可转化为求P
人 教
A
到平面α的距离等等．
版 数
行 两平面平行的性质
定理：如果两个平
行平面同时和第三
个平面相交，那么
它们的交线平行.
图形
符号语言
人 教 A 版 数 学
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
表2 直线与平面平行
文字语言
定义：若一条直线和一 个平面没有公共点，则 这条直线与这个平面平 直 行. 线 直线与平面平行的判定 与 定理：如果不在平面内 平 的一条直线和这个平面 面 内的一条直线平行，那 平 么这条直线与这个平面 行 平行.
的定义．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(5)证面面平行：常用判定定理、定义、推论或证两平
面和同一条直线垂直，有时也用两平面与同一平面平行．
(6)证线线垂直：常用两直线所成的角是直角、线面垂
直的性质、面面垂直的性质．
人 教
A
(7)证线面垂直：常用判定定理、定义．
版 数
学
(8)证面面垂直：常用判定定理、定义．
表5 平面与平面垂直
文字语言
图形
符号语言
定义：如果两个
平面所成的二面
人
角是直二面角， 平 就称这两个平面 面 互相垂直.
教 A 版 数 学
与
平 平面与平面垂直
面 的判定定理：如
垂 果一个平面经过
直 另一个平面的一
条垂线，那么这
两个平面互相垂
直
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
4.本章所涉及的一些思想方法：
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
表4 直线与平面垂直
文字语言
图形
符号语言
定义：若一条直线
和一个平面内的任
人
何一条直线垂直，
直 则这条直线和这个
线 与
平面垂直.
教 A 版 数 学
平 直线与平面垂直的
面 判定定理：如果一
垂 条直线和一个平面
直 内的两条相交直线
都垂直，那么这条
直线垂直于这个平
面.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
BD⊥EF 或 AF ； 由 已 知 条 件 可 知 BC⊥ 平 面 ADC ， 从 而
BC⊥AF，故关键环节就是证AF⊥平面BDC，由AF⊥DC即
可获证．
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A
版
数
学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[解析] ∵AB为⊙O直径，C为⊙O上一点， ∴BC⊥AC，
DBCA⊂⊥平平面面AABBCC⇒DA⊥BC
(1) 数 学 研 究 的 对 象 有 两 大 块 —— 数 量 关 系 和 空 间 形
式．其中“空间形式”主要是由几何研究的．立体几何是
训练逻辑推理能力和空间想像能力的好素材．在训练发展
人 教
A
思维能力和空间想象能力上，具有其它内容不可替代的作
版 数
学
用．
第一章从对空间几何体的整体观察入手，遵循从整体
学
③通过将几何体补形或分割为常见的基本几何体，通
过等体积变换，使问题变为可求的转化策略．
④通过添加辅助线面，将空间问题化为平面几何问题
的降维转化策略．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(3)逐步体会、掌握立体几何特有的方法．
①平移，沿平行线转移，沿平面的斜线转移，沿平面
转移等．
②平行投影与中心投影，特别是正投影．
符号语言
α∩β＝
人 教
∅⇒α∥β
A 版
数
学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
文字语言
推论：如果一个 平面内的两条相 平 交直线分别平行 面 于另一平面内的 与 两条直线，则这 平 两个平面平行. 面 平 平行于同一平面 行 的两个平面平 行．(平行平面的 传递性)
图形
符号语言
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人
教
A
章末归纳总结
版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1．知识结构
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人 教 A 版 数 学
[点评] 证明线面垂直可转化为证线线垂直，而要证
线线垂直又转化为证线面垂直，本题就是通过多次转化而
获得证明的，这是证垂直问题的一个基本规律，须熟悉其
转化关系．
人 教
A
版
数
学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[例2] 四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且
与底面垂直，又底面ABCD为矩形，E是PD中点．
⇒AD⊥平面BDC
BD∩CD＝D
AD⊂平面ABD
人 教 A 版 数 学
⇒平面
ABD⊥平面BDC.同理可证平面ACD⊥平面BDC.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[例6] 已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4，
AB＝5.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得
几何体的体积．
的2倍得VP－BCD＝12VP－ABCD.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[例3] 正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，M，
N分别是BC，CC1的中点．
(1)求证：BN⊥平面AMB1；
(2)求三棱锥B－AB1N的体积．
人 教 A
[分析]
线面垂直与线线垂直转化，立几问题向平几
版 数
学
转化，等积变换．源自文库
[例5] 已知Rt△BAC中，AB＝AC＝a，AD为斜边BC
上的高，以AD为折痕使∠BDC折成直角．(如图所示)
求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[解析] 本题是折．叠．问．题．，考察折叠前后，图形的位 置关系，
AD⊥BD AD⊥CD
学
立体几何在中学数学中的重要地位还表现在它与平面
几何、集合、函数、方程的联系上．贯穿于立体几何中的
化归思想、分类讨论思想、数形结合思想以及立体几何特
有的平移法、正投影法、体积法、展开法、翻折法、割补
法等都极大地丰富了中学数学的思想和方法．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(2)深刻体会转化思想
立体几何中最重要的最常用的思想就是化归与转化思
与 直 直线与平面平行的 线 性质定理：如果一 平 条直线和一个平面 行 平行，经过这条直
线的平面和已知平
面相交，那么这条
直线和交线平行.
符号语言
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
文字语言
公理4：平行于同
一直线的两直线平
行．(平行线的传递
性)
直 线 与 直 线 平
直线与平面垂直的 性质定理：如果两 条直线垂直于同一 个平面，那么这两 条直线平行.
[点评] 等．积．变．换．问．题．，立几向平几的转．化．．．
利用直线PD与平面PBC相交，∵E为PD中点，∴E到
平面PBC距离等于D到平面PBC距离的一半得VE－PBC＝
1 2
VD
人 教 A 版
数
－PBC；利用三棱锥变换底面与高得VD－PBC＝VP－BCD；利用
学
三棱锥的高不变，底面积成原来的2倍，则体积也为原来
人 教 A 版
BC⊥AC
AC∩DA＝A
数 学
⇒BACF⊂⊥平平面面DDAACC ⇒
BC⊥AF
AF⊥DC
BC∩DC＝C
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
⇒ABFD⊥⊂平平面面DDCCBB⇒
BD⊥AF
人
BD⊥AE
教 A
AF∩AE＝A
版 数 学
⇒BD⊥平面AEF.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
文字语言
推论：如果两条平 行线中的一条垂直 于一个平面，那么 直 另一条也垂直于这 线 个平面. 与 平 平面与平面垂直的 面 性质定理：如果两 垂 个平面互相垂直， 直 那么在一个平面内 垂直于它们交线的 直线垂直于另一个 平面.
图形
符号语言
人 教 A 版 数 学
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
(1)求证：PB∥平面ACE；
(2)若PB⊥AC，且PA＝2，求三棱锥E－PBC的体积．
人 教
A
版
数
学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[解析] (1)设矩形ABCD对角线AC与BD交点为O，则O
为BD中点，又E为PD中点，∴EO∥PB，
PB⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴PB∥平面ACE.
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
△AMF∽△ADC，∴AAMD＝AACF，
设AB＝x，则A2M＝ 4＋1 x2，
人 教
A
又AM· 1＋x2＝x，解之得x＝ 2，
版 数
学
VE－PBC＝12VD－PBC＝12VP－BCD＝14VP－ABCD
＝14×13AB·BC·PF＝
2 6.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人
教
③等积变换与割补．
A 版
数
④展开、卷起、折叠、旋转．
学
数学思想与方法不是孤立的，不能截然分离开来，在
数学思想指导下研究解决具体问题的方法，而研究解决问
题的方法过程中又丰富了数学思想．
(4)类比的方法，类比平面几何的一些结论，可猜想立
体几何的一些结论，从而提供思维的方向．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.规律方法总结
(1)证点共线：常证明点在两个平面的交线上．
(2)证点线共面：常先据公理二及其推论确定一个平面，
再证其它元素都在这个平面内．
人 教
A
(3)证线线平行：常用公理4、线面平行的性质、面面
版 数
学
平行的性质、两直线与同一平面垂直．
(4)证线面平行：常用线面平行的判定定理，线面平行