立体几何知识点
高中立体几何知识点总结
一、空间点、线、面的位置关系1.1 点与点•点的定义：空间中的任意一点。
•点的坐标表示：a⃗=(a x,a y,a z)。
1.2 直线与直线•直线的定义：无限延伸的平面内的所有点。
•直线的方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。
1.3 直线与平面•直线的平面方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。
•直线与平面的交点表示：设直线上的点为P(x0,y0,z0)，则有Ax0+ By0+Cz0+D=0。
1.4 平面与平面•平面的定义：无限延伸的平面内的所有点。
•平面的方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。
1.5 平面与空间体•平面与空间体的交线表示：设空间体上的点为P(x0,y0,z0)，则有Ax0+By0+Cz0+D=0。
二、空间几何体2.1 柱体•柱体的定义：底面为圆形或矩形，顶面与底面平行的空间几何体。
•柱体的体积公式：V=底面积×高。
2.2 锥体•锥体的定义：底面为圆形或三角形，顶点在底面内的空间几何体。
•锥体的体积公式：V=1底面积×高。
32.3 球体•球体的定义：所有点与球心等距的空间几何体。
•球体的体积公式：V=4πR3。
32.4 空间四边形•空间四边形的定义：四个顶点在空间中的四边形。
•空间四边形的面积公式：S=12|a⃗×b⃗⃗|，其中a⃗和b⃗⃗为四边形的两条对角线。
三、空间角的计算3.1 线线角•线线角的定义：两条直线之间的夹角。
•线线角的计算公式：θ=arccos(|a⃗⃗⋅b⃗⃗||a⃗⃗||b⃗⃗|)，其中a⃗和b⃗⃗为两条直线的方向向量。
3.2 线面角•线面角的定义：直线与平面之间的夹角。
•线面角的计算公式：θ=arccos(|n⃗⃗⋅a⃗⃗||n⃗⃗||a⃗⃗|)，其中n⃗⃗为平面的法向量，a⃗为直线的方向向量。
3.3 面面角•面面角的定义：两个平面之间的夹角。
•面面角的计算公式：θ=arccos(|n⃗⃗1⋅n⃗⃗2||n⃗⃗1||n⃗⃗2|)，其中n⃗⃗1和n⃗⃗2为两个平面的法向量。
立体几何复习知识点
立体几何复习知识点在数学的学习中，立体几何是一个重要且富有挑战性的部分。
它要求我们具备空间想象能力、逻辑推理能力以及对各种几何概念和定理的熟练掌握。
接下来，让我们一起系统地复习一下立体几何的相关知识点。
一、空间几何体（一）棱柱棱柱是由两个互相平行且全等的多边形底面，以及侧面都是平行四边形的多面体。
棱柱根据侧棱与底面的关系可分为直棱柱和斜棱柱。
直棱柱的侧棱垂直于底面，斜棱柱的侧棱不垂直于底面。
（二）棱锥棱锥是由一个多边形底面和若干个有公共顶点的三角形侧面所组成的多面体。
如果棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫做正棱锥。
（三）棱台棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。
（四）圆柱以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
（五）圆锥以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
旋转轴为圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线。
（六）圆台用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台。
（七）球以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
二、空间几何体的表面积和体积（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和。
（二）圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积圆柱的侧面积公式为＼（S_{侧}＝2\pi rh\），表面积公式为＼（S ＝ 2\pi r(r ＋ h)＼）；圆锥的侧面积公式为＼（S_{侧}＝＼pi rl\），表面积公式为＼（S ＝＼pi r(r ＋ l)＼）；圆台的侧面积公式为＼（S_{侧}＝＼pi （r ＋ R)l\），表面积公式为＼（S ＝＼pi （r^2 ＋R^2 ＋ rl ＋ Rl)＼）。
数学立体几何知识点归纳(优秀10篇)
数学立体几何知识点归纳（优秀10篇）立体几何是高中数学知识点中重要内容之一，也是每年高考中都会占有一定的分值，不管是在选择题、填空题还是应用大题，都是必出的题型，而且出题难度系数较大。
山草香分享了10篇数学立体几何知识点归纳，希望对于您更好的写作立体几何知识点有一定的参考作用。
立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
立体几何的全部知识点
立体几何的全部知识点立体几何是九年级数学中常见的概念，属于几何学知识，包括三维空间中各种形状和投影，以及它们之间的关系，有助于我们研究物体的结构和代数运算，为物体的准确表达提供帮助。
立体几何的知识点包括：一、定义和符号：（1）体积：体积V是在某一时刻，某一物体的容积所表示的实际大小。
（2）表面积：Surface Area S 是在某一时刻，某一物体的整个表面的面积总和。
（3）立体角：立体角也称为穹顶角，它由三条相交的边组成，表示物体上某一点到其他三面所角度的总和。
（4）体积和表面积的符号分别为V和S。
二、投影：（1）正投影：正投影是指沿着平面对物体进行投影，显示物体的各面的立体效果，物体被投影到平面上，形成新的三维形体。
（2）侧投影：侧投影是把物体投影到平面上，只显示物体上与投影面垂直的一部分，不会显示其上斜角或斜面。
三、变换：（1）平移：平移是把物体移动到新位置，沿着一个给定的方向进行移动。
（2）旋转：旋转是把物体局部或整体移动到新位置，沿着一定角度和指定的锥形旋转。
（1）水平投影：水平投影指通过把物体置于水平平面上来进行投影，表达投影物作为物体的一部分的立体视觉效果。
（3）正交投影：正交投影是将物体的正面以一个给定的垂线作为视轴，把物体投影到一个直角坐标系上，以呈现其真实模样。
(4) 仿射投影：仿射投影是把物体投射到平面上，同时保留物体形状和位置的相对关系，物体经过一个仿射变换，可以在平面上表示一种实体的完整的立体形状。
五、三角形几何：（1）三角形的周长：三角形的周长是指给定三角形的三条边之和。
（3）余弦定理：余弦定理是指在一个三角形中，要么是给定三条边，要么是两条边和夹角之间存在性质，充分表示相应之间关系。
（4）余切定理：余切定理是指在一个三角形中，无论如何，两条边的余切值都是一定的。
（5）三角函数：三角函数是以这三个角的正弦、余弦和正切为变量表示的函数，三角函数可以用来求解复杂的三角形。
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结一、点、线、面的基本概念1. 点：在几何中，点是最基本的概念，它没有长度、宽度和高度，只有位置，可以用来确定物体的位置。
2. 线：由无数个点组成，是一维的几何图形，没有宽度和高度，只有长度，可以用来表示物体的轨迹或连接两个点。
3. 面：由无数条线组成，是二维的几何图形，有长度和宽度，没有高度，可以用来表示物体的表面。
二、立体几何的基本元素1. 点、线、面的组合：在立体几何中，可以通过将点、线、面进行组合和运算得到更复杂的几何体，如球体、立方体等。
2. 立体体积：立体体积是指一个物体所占据的空间大小。
常见的表示立体体积的单位有立方米、立方厘米等。
3. 立体表面积：立体表面积是指一个物体外表面的总面积。
通常用平方米、平方厘米等单位来表示。
4. 立体的投影：立体的投影是指立体在不同平面上的投影图形。
常见的投影有正投影和斜投影两种。
三、常见的立体几何图形1. 球体：球体是由所有到一个点的距离相等的点组成的几何图形。
它具有无限个面，其中每个面都是一个圆。
2. 圆柱体：圆柱体是由两个平行的圆面和一个连接这两个圆面的侧面组成的。
它的底面和顶面是圆，侧面是矩形。
3. 圆锥体：圆锥体是由一个圆面和一个连接这个圆面和一个点的侧面组成的。
它的底面是圆，侧面是三角形。
4. 立方体：立方体是由六个相等的正方形组成的几何图形。
它的六个面都是正方形，每个面都有相同的边长。
5. 正四面体：正四面体是由四个相等的三角形组成的几何图形。
它的四个面都是等边三角形，每个面都有相同的边长。
四、常见的立体几何性质1. 对称性：立体几何中的许多图形具有对称性，即通过某个中心轴或中心点将图形分为两个相互对称的部分。
2. 平行性：立体几何中的平面和直线可以平行，即它们在空间中不相交，且永远保持相同的距离。
3. 垂直性：立体几何中的直线和平面可以垂直，即它们相互垂直交于一个点，形成直角。
4. 相似性：在立体几何中，如果两个图形的形状相似，则它们的对应边长比相等，对应角度相等。
高中数学—立体几何知识点总结(精华版)
立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直，那么这条直线垂直于这个平面。
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
行，那么这条直线和这个平面平行。
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
面，那么这两个平面平行。
行。
8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结立体几何是数学的一个重要分支，研究空间中的物体的形状、大小、位置、运动以及它们之间的关系。
本文将对立体几何的一些重要知识点进行总结，以帮助读者理解和应用这些知识。
一、点、线、面的性质1.点：点是几何的最基本概念，没有大小和形状，只有位置。
2.线：线是由无数点连成的，没有宽度和厚度，它可以是直线、曲线、射线等。
3.面：面是由无数条线连成的，有无数个点，有长度和宽度但没有厚度，它可以是平面、平行四边形等。
4.直线与直线的关系：两条直线可以相交、平行或重合。
5.直线与平面的关系：直线可以与平面相交，与平面平行，或者位于平面内部。
二、多面体1.三棱锥：具有一个底面和三个或四个侧面的多面体。
2.四棱锥：具有一个底面和四个侧面的多面体。
3.五棱锥：具有一个底面和五个侧面的多面体。
4.六棱锥：具有一个底面和六个侧面的多面体。
5.正多面体：所有面都是相等的正多边形，且每个顶点周围的面数相等。
6.等边多面体：所有边都相等的多面体，例如正方体、正五边形等。
7.对称多面体：具有其中一种对称性质的多面体，例如正方体、正八面体等。
三、球与圆的性质1.球：球是由无数点等距离地离一个固定点所组成的集合。
2.半径：球心到球上任意一点的距离称为半径。
3.圆：圆是由无数点与一个固定点等距离所组成的集合。
4.直径：通过球心的一条线段，它的两个端点在球的表面上，称为直径。
5.弦：不通过球心的球面上的两点的连线称为球弦。
6.弧：球面上两点之间的一段弧，它的两个端点在球的表面上。
四、多面体、球与圆的体积和表面积1.多面体的体积：三棱锥的体积等于底面积乘以高除以3，四棱锥的体积等于底面积乘以高除以4，五棱锥的体积等于底面积乘以高除以5，六棱锥的体积等于底面积乘以高除以62.球的体积：球体积等于4/3乘以π乘以半径的立方。
3.圆的面积：圆面积等于π乘以半径的平方。
4.多面体的表面积：三棱锥的表面积等于底面积加上底面积与侧面之间的面积之和，四棱锥的表面积等于底面积加上底面积与侧面之间的面积之和，五棱锥的表面积等于底面积加上底面积与侧面之间的面积之和，六棱锥的表面积等于底面积加上底面积与侧面之间的面积之和。
立体几何初步知识点全总结
立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。
1. 棱柱。
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。
- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。
2. 棱锥。
- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。
- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。
- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
3. 棱台。
- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。
- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。
- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。
4. 圆柱。
- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。
- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。
5. 圆锥。
- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。
- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。
6. 圆台。
- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
立体几何知识点
§09. 立体几何 知识要点一、平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a=，则ba ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[)180,0∈θ） （直线与直线所成角(]90,0∈θ）（斜线与平面成角()90,0∈θ）（直线与平面所成角[]90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 12方向相同12方向不相同距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面） 三、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”） [注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理），得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA . ● 三垂线定理的逆定理亦成立.这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）] ⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.POAa2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”） 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ， 因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM,,,则OBPM OA PM⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn dnml +++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都取加则必有⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ）7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图）⑵最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：ChS=（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.四棱行六面体直平行六面体长方正四棱方体底面是侧棱垂直底面底面是矩形底面是正方形侧面与⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. 图1θθ1θ2图2P αβθM A B O②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1c o s c o s c o s 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2c o s c o s c o s 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3VShV ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch21S =（底面周长为C ，斜高为'h ）③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α） 附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --. 则la S ⋅=211①，bl S ⋅=212②，ba =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =.lab c注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. ⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直简证：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令b AC c AD a AB ===,,得c a c b AD BC c AD a b AB AC BC-=⋅⇒=-=-=,，已知()(),0=-⋅=-⋅c a b b c a 0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC .iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC BO O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGHFG EF ⇒=为正方形.3. 球：⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=.⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.BDFEH GBCDAO 'O r附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：hr V 231π=（r 为半径，h 为高）③锥形体积：ShV31=（S 为底面积，h 为高）4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，ah 36=，243aS =底，243aS =侧得aa a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅.注：球内切于四面体：hS R S 313R S 31V 底底侧ACDB ⋅=⋅+⋅⋅⋅=-②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式. 六. 空间向量.1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立] ②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]③若a ∥b ，则存在小任一实数λ，使b a λ=.（×）[与0=b 不成立] ④若a 为非零向量，则00=⋅a .（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α平行，记作a ∥α. （4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量P 与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使by a x P+=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC 四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP)1(P 、A 、B 、C 四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.OR2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使cz b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使OCz OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ++=用MQAM AQ+=即证.3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅ a∥)(,,332211R b a b a b a b∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321aaa ++==(a a =⇒⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，ADCB21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CECD ABμλ+=.（常设CECD ABμλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.A一、四面体.：1、①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心； ②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，该点叫此四面体内接球的球心； ③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1； ④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角和为180°. 2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理： S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2△ACD.3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.（在等腰四面体ABCD 中，记BC = AD =a ，AC = BD = b ，AB = CD = c ，体积为V ，外接球半径为R ，内接球半径为r ，高为h ），则有 ①等腰四面体的体积可表示为22231222222222cb a ba c ac b V-+⋅-+⋅-+=；②等腰四面体的外接球半径可表示为22242cb a R++=；③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为22232cb a m ++=；④h = 4r.二、常用结论、方法和公式1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;cos cos cos 21θθθ=OAB CD3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线； （2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为θ，则S 侧cos θ=S 底；9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα因此有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2;10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V ,面数为F,棱数为E.那么V+F －E=2；并且棱数E ＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.13.直棱柱的侧面积和全面积 S直棱柱侧= c (c 表示底面周长， 表示侧棱长) S棱柱全=S 底+S 侧14．棱锥的体积:V 棱锥=Sh 31，其中S 是棱锥的底面积，h 是棱锥的高。
立体几何知识点
立体几何知识点立体几何知识点概述1. 立体图形的基本概念- 体积与表面积- 多面体、旋转体的定义和分类2. 多面体- 棱柱和棱锥- 正方体和长方体- 正棱锥和正棱台- 棱镜和棱镜体- 多面体的体积和表面积公式- 棱柱体积公式：V = Bh（B为底面积，h为高）- 棱锥体积公式：V = (1/3)Bh（B为底面积，h为高） - 正多面体的表面积公式：A = 面积单位 * 面数3. 旋转体- 圆柱、圆锥和圆台- 体积公式：V = πr²h（r为半径，h为高）- 球体- 体积公式：V = (4/3)πr³- 表面积公式：A = 4πr²- 旋转椭球体和旋转抛物面4. 空间几何图形的性质- 线面关系- 平行与垂直- 线面角和面面角- 面面关系- 平行与相交- 二面角- 体积与表面积的计算5. 立体图形的构造- 利用基本几何体构造复杂图形- 几何体的切割与组合6. 空间向量与立体几何- 空间向量的基本概念- 向量的加法、数乘、数量积和向量积 - 利用空间向量解决立体几何问题7. 立体几何的应用- 建筑设计- 工程测量- 计算机图形学8. 立体几何的解题技巧- 利用对称性- 转化与化归- 空间想象能力的培养9. 典型例题解析- 计算多面体和旋转体的体积与表面积 - 解决线面、面面关系问题- 空间向量在立体几何中的应用10. 立体几何的数学思想- 空间直观与抽象- 几何变换- 极限与微积分初步以上是立体几何的主要知识点概述，每个部分都包含了该领域的核心概念、公式、性质和应用。
在实际教学或学习中，应根据具体情况深入探讨每个部分的细节，并结合实际问题进行练习和应用。
立体几何知识点归纳总结
立体几何知识点归纳总结立体几何是数学中研究三维空间中几何形状和它们之间关系的学科。
它不仅在数学理论中占有重要地位，而且在工程、建筑、物理学等多个领域都有广泛的应用。
以下是立体几何的一些关键知识点的归纳总结：1. 空间直线与平面：立体几何的基础是理解空间中的直线和平面。
直线是一维对象，而平面是二维对象。
在空间中，直线与平面可以相交、平行或位于同一平面内。
2. 空间角：立体几何中的空间角包括直线与直线之间的角度、直线与平面之间的角度以及平面与平面之间的角度。
这些角度的测量是立体几何中的重要内容。
3. 多面体与多边形：多面体是空间中由多条边和多个面组成的封闭形状，如立方体、四面体等。
多边形是平面上的封闭形状，如三角形、矩形等。
立体几何中研究多面体的面、边、顶点以及它们之间的关系。
4. 体积与表面积：计算立体图形的体积和表面积是立体几何中的核心问题。
对于规则的几何体，如立方体、球体、圆柱体等，有固定的公式来计算它们的体积和表面积。
5. 向量：向量是具有大小和方向的量，它在立体几何中用于描述空间中的位置、运动和力。
向量运算，如向量加法、标量乘法和点积，是解决立体几何问题的重要工具。
6. 坐标系：在立体几何中，通常使用笛卡尔坐标系来确定空间中点的位置。
通过三个坐标轴（通常是x、y和z轴），可以精确地描述空间中的任何一点。
7. 对称性：立体几何中的对称性包括反射对称、旋转对称和滑移对称。
对称性是理解几何形状和它们的性质的关键。
8. 投影：在立体几何中，投影是将三维对象映射到二维平面上的过程。
这在工程图纸和建筑设计中非常重要。
9. 锥体与柱体：锥体和柱体是常见的立体几何形状。
它们由一个底面和连接底面各点到一个共同顶点的线段组成。
锥体和柱体的体积和表面积的计算是立体几何中的重要内容。
10. 曲面：曲面是立体几何中的二维表面，它们可以是平面的，也可以是弯曲的。
曲面的研究包括曲面的方程、曲面的几何性质以及曲面上的路径等。
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。
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立体几何知识点【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。
2、 空间两条直线的三种位置关系，并会判定。
3、 平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线 平行及角相等的方法。
4、 异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范 围，会求异面直线的所成角。
5•理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算 ；掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6•了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念•掌握棱柱,棱锥的性质，并会灵活应用，掌握球的表面积、体积公式；能画出简单空间图形的三视图， 能识别上述的三视图所表示的立体模型， 会用斜二测法画出它们的直观图•7•空间平行与垂直关系的论证 •8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题 ，进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题9•理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转 化法、向量法）•对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。
【知识络构建】<— 翅MJL 何体的峯构特征一袞间几何怀的表面锲和体枳 —I 吩间儿何体的三视图和吒现图 空何向話的槪念线性运算空间向园数呈积理和坐标运算【重点知识整合】1. 空间几何体的三视图专间儿何体空问点仁n线、平面ft置关系宀VIHI向虽与<体儿何(1) 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2) 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3) 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.2. 斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1) 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox, Oy,建立直角坐标系；(2) 画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox', Oy',使/ x Oy = 45。
立体几何知识点总结高考
立体几何知识点总结高考1. 立体几何基本概念（1）点、线、面、体的概念立体几何中的基本概念有点、线、面、体等。
点是没有大小、只有位置的几何图形，用大写字母表示；线是由无限多个点连在一起形成的，具有长度的图形，用小写字母表示；面是由无限多个线构成的，具有面积的图形，用小写字母加上一个尖角字母表示；体是由无限多个面构成的，具有体积的图形，用大写字母加上一个倒三角字母表示。
（2）平行线、垂直线平行线是在同一个平面内，既不相交也不相交的直线，用平行线符号“||”表示；垂直线是两条直线相交的两条线段的夹角为90度。
（3）平面与直线的位置关系平面与直线的位置关系有相交、平行、重合等。
2. 空间几何图形的性质（1）点、线、面、体的性质点没有面积，没有长度；线有长度，但没有面积；面有面积，但体积为零；体有体积，具有长度、宽度和高度。
（2）平行线的性质平行线的性质包括对顶角相等，内错角相等等。
3. 空间几何图形的计算（1）立体图形的表面积和体积立体图形的表面积和体积是对立体几何知识点的重点掌握内容。
包括长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体等的表面积和体积的计算方法。
（2）空间几何图形的相似性空间几何图形的相似性是指两个或两个以上的几何图形的形状和大小都相同，称为相似图形。
在计算中，可利用相似三角形的性质进行计算。
4. 空间几何图形的展开（1）立体图形的展开立体图形的展开是将一个立体图形展开成平面图形的过程。
对不同的立体图形有不同的展开方式和规则，需要灵活运用。
5. 线段和角的表示（1）线段的表示线段是由两个端点所确定的一段直线。
用两个大写字母表示。
（2）角的表示角是由两条射线分界的平面角色，用三个字母表示，其中中间字母是角的顶点。
6. 平面几何图形和立体几何图形的关系平面几何图形和立体几何图形在空间中是相互联系、相互影响的。
在图形的计算和应用中，需要注意两者之间的转化和联系。
以上就是对高考立体几何知识点的总结，掌握这些知识可以帮助学生在高考数学中取得更好的成绩。
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结立体几何是几何学的一个分支，研究与空间中的几何形体相关的概念、性质和关系。
在学习立体几何时，我们会遇到一些基本概念和定理，本文将对其中的一些重要知识点进行总结。
1. 点、线、面和体在立体几何中，我们常常遇到的基本元素包括：点、线、面和体。
点是几何中最基本的元素，没有大小和形状；线是由无数个点组成的，具有长度和方向；面是由无数个线组成的，具有长度和宽度；而体是由无数个面组成的，具有长度、宽度和高度。
2. 直线与平面的关系直线与平面是立体几何中的两个基本要素。
在平面上有无数个直线，而直线可以与平面相交于一个点，也可以平行于平面。
平面也可以与平面相交，形成一条直线。
一个平面与另一个平面相交时，它们的交线是两个平面的公共边界。
3. 多面体的分类多面体是指由平面组成的立体几何体，常见的多面体有立方体、正方体、六面体、五面体等。
多面体可以根据其形状和边数进行分类。
例如，边数相等的多面体称为正多面体，而边数不等的多面体称为非正多面体。
4. 立体几何的性质在研究立体几何时，我们常常关注一些基本性质。
例如，体积是指一个立体几何体所占据的空间大小，可以通过计算底面积与高度的乘积得到。
另一个重要性质是表面积，它指的是一个立体几何体外部的面积总和。
此外，我们还关注边长、对角线长度、角的大小等几何特征。
5. 正方体的性质正方体是一种特殊的立方体，它的六个面都是正方形，边长相等。
正方体具有一些独特的性质，例如，正方体的对角线长度与边长之间的关系是√3：1。
正方体的体积可以通过边长的立方得到，而表面积则是边长的平方乘以6。
6. 球体的性质球体也是立体几何中的重要形体。
球体可以通过一个点向外作半径相等的线段，形成所有点到该点距离相等的集合。
球体的体积可以通过半径的立方乘以π得到，而表面积则是半径的平方乘以4π。
7. 圆柱体的性质圆柱体是指具有两个平行底面的立体几何体。
它的体积可以通过底面积乘以高度得到，而表面积则是底面积加上侧面的面积。
立体几何知识点总结(全)
立体几何知识点总结(全)垂直直线：相交成直角的直线。
三．点与平面的位置关系点在平面上：点在平面内部；点在平面外：点在平面的一侧；点在平面上方或下方：只有在三维空间中才有，点在平面上方或下方的判断需要借助向量的概念。
四．直线与平面的位置关系直线在平面上：直线的每一个点都在平面上；直线与平面相交：有且只有一个交点；直线与平面平行：没有交点，且方向与平面的法向量垂直；直线与平面垂直：直线方向与平面的法向量相同或相反。
五．平面与平面的位置关系两个平面相交：有且只有一条公共直线；两个平面平行：没有公共直线；两个平面重合：所有点都相同。
改写：一。
空间几何体的三视图在空间几何体中，正视图是指光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和长度。
侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和宽度。
俯视图是指光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，反映了物体的长度和宽度。
三视图中反应的长、宽、高的特点有“长对正”，“高平齐”，“宽相等”。
二。
空间几何体的直观图斜二测画法的基本步骤包括建立适当的直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）、建立斜坐标系x'O'y'，使x'O'y'=45（或135）以及画对应图形。
在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半。
直观图与原图形的面积关系为S直观图= S原图/4.三。
空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积为S侧面=2πr×l，圆锥侧面积为S侧面=πr×l，圆台侧面积为S侧面=πr×l+πR×l。
柱体的体积为V柱体=S×h，锥体的体积为V锥体=S×h/3，台体的体积为V台体=S上+S下+√S上×S下×h/3.球的表面积和体积分别为S=4πR2和V球=4πR3/3.正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥，正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结立体几何知识点总结立体几何是研究空间形体的一个分支学科，它主要关注物体的形状、大小、位置以及各个部分之间的关系。
在数学中，立体几何经常与代数、几何学以及物理学等学科相结合。
本文将对立体几何的一些基本概念、性质和定理进行总结和概述。
1. 点、线、面和体在立体几何中，基本要素有点、线、面和体。
点是最基本的单位，没有长度、面积或体积，只有位置；线是由无数个点组成的，有长度但没有宽度；面是由无数个线组成的，有面积但没有厚度；体是由无数个面组成的，有体积。
2. 立体几何中的基本名词在立体几何中，有一些基本名词需要了解，如顶点、边、面和多面体等。
顶点是两条边或两个面的交点，边是连接两个顶点的线段，面是由三条或以上的线连成的封闭空间，而多面体是由若干个面组成的立体。
3. 多面体的特点多面体有一些特点，如：多面体的各个面都是平面；多面体的两个面之间的交线是边；多面体的每一个顶点周围都有若干个面相交；多面体的两个面之间的交角是面对面所对的角的两倍。
4. 立体的投影当一个立体在某个平面上投影时，我们可以观察到不同的形状。
立体的投影可以是正交投影或透视投影。
正交投影是指物体与平面之间的投影是垂直的，而透视投影是指物体与平面之间的投影不垂直。
5. 立体的表面积和体积表面积是指立体的所有面的表面积之和，而体积是指立体所占据的空间大小。
计算表面积和体积的方法因不同的立体而异。
例如，计算正方体的表面积是将六个面的面积相加，而计算正方体的体积是将边长的立方相乘。
6. 立体的相似与全等当两个立体的所有对应的边长比相等，并且对应的角度也相等时，我们称这两个立体相似。
而当两个立体的所有对应的边长和角度都相等时，我们称这两个立体全等。
7. 空间角的性质和计算空间角是指两个面所对的角，它有一些特性需要了解。
例如，空间角叠加定理指的是如果两个空间角的两个边分别相等并且在同一平面内，那么这两个空间角之和等于它们在同一平面内的共面角的对角。
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结一、立体几何的概念立体几何也叫三位几何，是一门关于无限的空间内的形体的概念的数学研究。
其中形体是关于空间和大小、形状等特征的实体对象，它们是由若干抽象线段、平面、曲面等等的部分的集合构成的。
立体几何不仅考虑各个物体的大小，位置和形状，还考虑它们之间的相互关系。
二、立体几何中的基本概念1. 在立体几何中，线是由两点组成的，表示在空间中点之间的相互联系。
2. 平面是立体几何中最基本的对象，它能够容纳多种元素，如点、线、多边形等。
3. 立体几何中的空间是容纳多种形状的体积，它由多个面和边构成，其中面指的是空间中的平面，而边则指的是空间中连接不同面的线段。
4. 网格是立体几何中表示空间中面之间关系的一种结构，它由若干平行的网格线构成，网格线交点构成多边形，多边形就可以定义一个体积。
5. 角是立体几何中形状体由边和面所组成的几何形体中的微小体积，它由三条线段所构成，三条线段之间的角的最小单位为度，一个角的弧度R可用度D表示：D=180°/π，即1弧度=180°/π。
三、立体几何的基本概念1. 向量是一阶矢量，其定义为从点A到点B的有向线段。
2. 点是立体几何中的基本概念，它代表空间中的微小单位，它可以用在空间中的任何位置，其坐标只有x,y,z三个维度，用符号(x, y, z)来表示。
3. 距离是立体几何中表示空间两点之间距离的概念，它用以描述两点之间的距离（线段长度），距离由充分条件表示出来，平面上的距离可以用勾股定理表示出来，三维空间的距离可以用直线长度公式表示出来，即d=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2。
4. 法向量是代表空间运动物体移动方向的一个单位变化量，一般用法向量积来表示空间变换，用叉乘来表示空间变向。
5. 随机变换是立体几何中表示体经旋转、平移、缩放等运动而发生的空间变换手法，一般用3×3的阵列来表示，一般用其表示的变换指数和变换矩阵来表征随机变换。
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文字语言
推论：如果两条平 行线中的一条垂直 于一个平面，那么 直 另一条也垂直于这 线 个平面. 与 平 平面与平面垂直的 面 性质定理：如果两 垂 个平面互相垂直， 直 那么在一个平面内 垂直于它们交线的 直线垂直于另一个 平面.
图形
符号语言
人 教 A 版 数 学
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人
教
A
章末归纳总结
版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1．知识结构
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人 教 A 版 数 学
两个平面平行，其中一 个平面内的直线平行于 另一个平面.
图形
符号语言
直线a与平面α
无公共点
人 教
⇒a∥α
A 版
数
学
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
表3 两平面平行
文字语言
图形
定义：如果两个 平面没有公共点， 平 那么这两个平面 面 平行. 与 平 平面与平面平行 面 的判定定理：如 平 果一个平面内有 行 两条相交直线都 平行于另一个平 面，那么这两个 平面平行.
[点评] 证明线面垂直可转化为证线线垂直，而要证
线线垂直又转化为证线面垂直，本题就是通过多次转化而
获得证明的，这是证垂直问题的一个基本规律，须熟悉其
转化关系．
人 教
A
版
数
学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[例2] 四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且
与底面垂直，又底面ABCD为矩形，E是PD中点．
原正方体中的位置关系是
A．平行 B．相交且垂直
(
)
人 教
A
版
数
学
C．不相交也不平行
D．相交成60°
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[解析] 本题是展开与折叠问题，考查空间想象能力，
如图折起后，B与D点重合，AB与CD成∠ABC＝60°，选D.
[答案] D
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(1) 数 学 研 究 的 对 象 有 两 大 块 —— 数 量 关 系 和 空 间 形
式．其中“空间形式”主要是由几何研究的．立体几何是
训练逻辑推理能力和空间想像能力的好素材．在训练发展
人 教
A
思维能力和空间想象能力上，具有其它内容不可替代的作
版 数
学
用．
第一章从对空间几何体的整体观察入手，遵循从整体
表5 平面与平面垂直
文字语言
图形
符号语言
定义：如果两个
平面所成的二面
人
角是直二面角， 平 就称这两个平面 面 互相垂直.
教 A 版 数 学
与
平 平面与平面垂直
面 的判定定理：如
垂 果一个平面经过
直 另一个平面的一
条垂线，那么这
两个平面互相垂
直
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
4.本章所涉及的一些思想方法：
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(2)作PF⊥平面ABCD，垂足为F，则F在AD上，
又∵PA＝PD，∴F为AD中点，连BF交AC于M，
∵PF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PF，
又AC⊥PB，PB∩PF＝P，∴AC⊥平面PBF，
人 教
A
∴AC⊥BF，
版 数
学
∵AD＝PA＝2，∴AF＝FD＝1，BC＝2，
想．
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
②点面距、线面距、面面距、点线距等它们之间也可
相互转化，例如求点面距时，可沿平行线平移，点面距→
线面距→点面距；或沿平面的斜线转移，例如求A到平面α
的距离，AB与α相交于点B，P为AB中点，就可转化为求P
人 教
A
到平面α的距离等等．
版 数
人 教 A 版
BC⊥AC
AC∩DA＝A
数 学
⇒BACF⊂⊥平平面面DDAACC ⇒
BC⊥AF
AF⊥DC
BC∩DC＝C
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
⇒ABFD⊥⊂平平面面DDCCBB⇒
BD⊥AF
人
BD⊥AE
教 A
AF∩AE＝A
版 数 学
⇒BD⊥平面AEF.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[点评] 等．积．变．换．问．题．，立几向平几的转．化．．．
利用直线PD与平面PBC相交，∵E为PD中点，∴E到
平面PBC距离等于D到平面PBC距离的一半得VE－PBC＝
1 2
VD
人 教 A 版
数
－PBC；利用三棱锥变换底面与高得VD－PBC＝VP－BCD；利用
学
三棱锥的高不变，底面积成原来的2倍，则体积也为原来
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
一、转化的思想
[例1] 如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，
AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F.
求证：BD⊥平面AEF.
人 教
A
版
数
学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[ 分 析 ] 要 证 BD⊥ 平 面 AEF ， 已 知 BD⊥AE ， 可 证
学
立体几何在中学数学中的重要地位还表现在它与平面
几何、集合、函数、方程的联系上．贯穿于立体几何中的
化归思想、分类讨论思想、数形结合思想以及立体几何特
有的平移法、正投影法、体积法、展开法、翻折法、割补
法等都极大地丰富了中学数学的思想和方法．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(2)深刻体会转化思想
立体几何中最重要的最常用的思想就是化归与转化思
∴BN⊥平面AMB1.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(2)VB－AB1N＝VA－BB1N＝VA－BCB1＝VB1－
ABC
人
＝13V柱＝163 3，
教 A 版 数
学
或VB－AB1N＝VA－BB1N＝13S△BB1N·AM＝163
3 .
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
二、展开与折叠、旋转
[例4] 如图将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在
⇒AD⊥平面BDC
BD∩CD＝D
AD⊂平面ABD
人 教 A 版 数 学
⇒平面
ABD⊥平面BDC.同理可证平面ACD⊥平面BDC.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[例6] 已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4，
AB＝5.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得
几何体的体积．
符号语言
α∩β＝
人 教
∅⇒α∥β
A 版
数
学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
文字语言
推论：如果一个 平面内的两条相 平 交直线分别平行 面 于另一平面内的 与 两条直线，则这 平 两个平面平行. 面 平 平行于同一平面 行 的两个平面平 行．(平行平面的 传递性)
图形
符号语言
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.规律方法总结
(1)证点共线：常证明点在两个平面的交线上．
(2)证点线共面：常先据公理二及其推论确定一个平面，
再证其它元素都在这个平面内．
人 教
A
(3)证线线平行：常用公理4、线面平行的性质、面面
版 数
学
平行的性质、两直线与同一平面垂直．
(4)证线面平行：常用线面平行的判定定理，线面平行
与 直 直线与平面平行的 线 性质定理：如果一 平 条直线和一个平面 行 平行，经过这条直
线的平面和已知平
面相交，那么这条
直线和交线平行.
符号语言
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
文字语言
公理4：平行于同
一直线的两直线平
行．(平行线的传递
性)
直 线 与 直 线 平
直线与平面垂直的 性质定理：如果两 条直线垂直于同一 个平面，那么这两 条直线平行.
学
③通过将几何体补形或分割为常见的基本几何体，通
过等体积变换，使问题变为可求的转化策略．
④通过添加辅助线面，将空间问题化为平、平面之间的位置关系
(3)逐步体会、掌握立体几何特有的方法．
①平移，沿平行线转移，沿平面的斜线转移，沿平面
转移等．
②平行投影与中心投影，特别是正投影．
人
教
③等积变换与割补．
A 版
数
④展开、卷起、折叠、旋转．
学
数学思想与方法不是孤立的，不能截然分离开来，在
数学思想指导下研究解决具体问题的方法，而研究解决问
题的方法过程中又丰富了数学思想．
(4)类比的方法，类比平面几何的一些结论，可猜想立
体几何的一些结论，从而提供思维的方向．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[解析] (1)M为BC中点，△ABC为正三角形，
∴AM⊥BC，又侧面BCC1B1⊥底面ABC，
∴AM⊥平面BCC1B1，又BN⊂平面BCC1B1，
∴AM⊥BN，
人 教
A
在正方形BCC1B1中，M，N分别为BC，CC1中点，
版 数 学
∴B1M⊥BN(想一想为什么？)，
行 两平面平行的性质