概率论与数理统计课后习题答案()

习 题 一

1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数.

A =‘两次点数之和为10’

，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；

（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；

（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；

（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。

解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =， 135{,,}A e e e =。 （2）

{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S =

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；

{(4,6),(5,5),(6,4)}A =；

{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。

（3）

{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)

S =

（4）

{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------

(,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其

中‘-’表示空盒；

{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。

（

5

）

{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，

试用,,A B C 表示下列事件：

（1）仅A 发生；

（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ；

（3）

A B C 或

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

；

（4）ABC ABC ABC ； （5）

AB

AC

BC

或

ABC

ABC

ABC

ABC ；

3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A ；（3）123123123A A A A A A A A A ；（4）121323A A A A A A 。

4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537

5

40

()0.662C P A C =；

（2）设B =‘5只中有两只坏的’，则

2

3

337

540

()0.0354C C P B C =.

6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求

（1）3个球的最小号码为5的概率；

（2）3个球的最大号码为5的概率. 解 （1）设A =‘最小号码为5’，则

253101

()12

C P A C ==；

（2）设B =‘最大号码为5’，则

2

43101

()20

C P B C ==.

7．（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率；

（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解 （1）设A =‘他们的生日都不相同’，则

365

()365

r r

P P A =； （2）设B =‘至少有两个人的生日在同

一个月’，则

212223214121141241212

441()1296

C C P C C C P C P B +++==

； 或

4124

41

()1()11296

P P B P B =-=-

=

. 8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.

解 设A =‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则 26

7

6

(22)

()0.011077

C P A -=

=. 9．将,,,,,,CCEEI N S 等7个字母随机地

排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率是多少？

解1 设A =‘恰好排成SCIENCE ’ 将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：

字母C 在7个位置中占两个位置，共有27C 种占法，字母E 在余下的5个位置中占两个位置，共有25C 种占法，字母,,I N C 剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为22753!1260C C ⋅⋅=，而A 中的基本

事件只有一个，故

22

7511

()3!1260

P A C C =

=⋅⋅； 解2 七个字母中有两个E ，两个C ，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n 个元素，其中第一种元素有1n 个，第二种元素有2n 个…，第k 种元素有k n 个12()k n n n n +++=，将这n 个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为

12!

!!!

k n n n n ，

对于本题有

141

()7!7!12602!2!

P A =

==

. 10．从0,1,2,,9

等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：

1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.

解 3

813107

()15

C P A C ==.

333998233310101014

()15

C C C P A C C C =+-=，

或

182231014

()1()115

C P A P A C =-=-=，

2833107

()30

C P A C ==.

11．将n 双大小各不相同的鞋子随机地分成n 堆，每堆两只，求事件A =‘每堆各成一双’的概率.

解 n 双鞋子随机地分成n 堆属分组问题，不同的分法共

(2)!(2)!

2!2!2!(2!)n

n n =‘每堆各

成一双’共有!n 种情况，故

12．设事件A 与B 互不相容，()0.4,()P A P B ==，求()P AB 与()P A B 解

()1()1()()0.3P AB P A B P A P B =-=--= 因为,A B 不相容，所以A B ⊃，于是