人教版数学高二-人教A版选修2-3学案 2.3.2 离散型随机变量的方差
高中数学人教A版选修2-3课件2-3-2离散型随机变量的方差
得 P(A)=
64
=
21
32
或 P(A)=1-P(X>3)=121
所以需要补种沙柳的概率为 .
32
15+6+1
64
6
=
21
32
1
64
.
探究一
探究二
探究三
规范解答
当堂检测
离散型随机变量的均值与方差问题
典例 甲袋和乙袋中都装有除颜色外其他都相同的红球和白球,已
知甲袋中共有m个球,乙袋中共有2m个球,从甲袋中摸出1个球为红
若各射击3次,则两名射手中靶次数的方差分别为(
)
.8,0..4,2.1
.48,0..16,0.21
解析:两名射手独立射击3次的中靶次数都服从二项分布,即
X~B(3,0.8),Y~B(3,0.7),
所以D(X)=3×0.8×0.2=0.48,D(Y)=3×0.7×0.3=0.63.
答案:C
探究一
探究二
2
球的概率为 ,从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P
2.
5
(1)若m=10,求甲袋中红球的个数;
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出1个红球的概率
1
是 3 ,求P2的值;
1
(3)设P2= 5 ,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出1个
球,并且从甲袋中摸1次,从乙袋中摸2次.设ξ表示摸出红球的总次数,
差.
解:(1)由题意知司机遇上红灯次数X服从二项分布,
且 X~B 6,
1
3
1
,
1
1
4
∴E(X)=6×3=2,D(X)=6×3 × 1- 3 = 3.
人教A版高中数学选修2-3 2.3《离散型随机变量的方差》教学设计
离散型随机变量的方差宁波市效实中学 范丽观1．教学内容解析《离散型随机变量的方差》是人教A 版选修2-3第二章《随机变量及其分布列》中第3.2节的内容．是离散型随机变量的另一个重要数字特征,是用来度量随机变量与其数学期望之间的偏离程度．在高中数学中.这块内容的教学要求是“了解”．重点：了解离散型随机变量方差的概念、含义及计算过程．难点：离散型随机变量的方差公式的引入，第二个方差公式22()=()()D X E X E X（）的推导． 2．教学目标设置（1）知识与技能：会根据离散型随机变量的分布列求方差,推导两点分布、猜想二项分布的方差公式,并会依据期望、方差这两个重要的数字特征分析解决实际生活中的问题． （2）过程与方法：运用类比思想，建立统计中样本数据的方差与概率论中离散型随机变量的方差的联系,引入离散型随机变量的方差的公式，并通过实例体会方差的意义． （3）情感、态度与价值观：培养学生直觉思维中的类比、数据处理、抽象概括建立数学模型等数学核心素养，进一步体会运用概率思想思考和解决问题的乐趣． 3．学生学情分析在初中(或必修3)时学生已经学过了统计中样本平均值与方差的概念,现在又刚刚学习了概率论中“离散型随机变量的分布列”与“离散型随机变量的期望”这两块知识，所以学生对于离散型随机变量的方差概念的理解不至于产生大的困难．而且离散型随机变量的方差及标准差的计算，教材没有进一步的展开介绍其他公式，只要求会根据定义求出离散型随机变量的方差(或标准差)．但学生在解决实际问题的过程中，如何利用离散型随机变量思想描述和分析随机现象，通过期望及方差的数值分析来处理问题时存在困难． 4．教学策略分析本节课借助于PPT ，运用探究式教学． 第一环节：展示问题，探寻方法．以投资理财中所承担的风险作为问题情境，让学生探索思考寻找合适的解决问题的手段． 第二环节：直觉类比，探求新知．利用直觉类比的方法，对统计中的样本平均值、方差与概率中变量的期望、方差概念进行同化或顺应，然后再进行整合，得到离散型随机变量的方差概念． 第三环节：学以致用，归纳提升提进式设计例题， 熟练方差计算公式并挖掘出求方差的简便方法，既了解了方差的意义，又掌握了方差的性质及常用分布列中计算方差的公式． 5．教学过程第一环节：展示问题，探寻方法概率论中关于离散型随机变量知识的学习已近尾声.大家越来越感到这块知识与现实生活有着千丝万缕的联系，正如英国经济学家所说：概率论是生活的真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们将寸步难行，无所作为。
人教A版高中数学选修2-3_2.3《离散型随机变量的方差》优质教学设计(5页)
《离散型随机变量的方差》教学设计高中数学选修2-3第二章2.3.2离散型随机变量的方差外国语学校一、教学内容解析1、教材的地位和作用（1）方差是紧接着均值学习之后又一个度量离散型随机变量的特征数。
通过实例使学生理解取有限值离散型随机变量方差的含义：随机变量的方差刻画了随机变量取值的稳定性。
离散型随机变量的均值刻画了它的平均水平，而方差则是从另一个侧面刻画了随机变量的取值特点。
（2）通过比较使学生知道随机变量的方差与样本的方差的联系与区别：随机变量的方差是常数，但样本的方差是一个随机变量，它随着样本的变化而变化。
并且通过本节的学习让学生再一次领会到从样本到总体的思想，为后续课程连续型随机变量的特例正态分布的学习做好铺垫。
（3）利用方差解决实际问题。
在一些决策问题中，会有很多可供选择方案，那么如何科学地选择好的方案？在随机变量均值相同的情况下比较方差是其中一种方法。
2、教学重点与难点重点：离散型随机变量方差的概念及其实际含义。
难点：如何利用均值与方差在实际问题中作出科学的决策。
二、教学目标设置[知识与技能目标]通过实例，让学生理解离散型随机变量方差的概念，了解其实际含义。
会计算简单的离散型随机变量的方差，并解决一些实际问题。
[过程与方法目标]经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。
通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。
[情感与态度目标]通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度。
在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。
三、学生评价及教学策略分析1、评价学生学习过程本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身与数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法。
2、评价学生的基础知识，基本技能和发现问题、解决问题的能力教学中通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，教师根据反馈适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的两点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上。
人教版数学高二A版选修2-3课前引导2.3.2离散型随机变量的方差
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精心校对版本 2.3.2 离散型随机变量的方差
课前导引
问题导入
随机变量的期望显示了随机变量取值的平均水平，但这还不足以描述随机变量的其它特征.在许多实际问题中，除了考虑随机变量的期望，还要研究它的各个值与平均值之间的离散程度.而方差就反映出了随机变量与平均值之间的差别程度.
知识预览
1.方差、标准差.
则(x i -EX)2描述了x i (i=1,2, …,n)相对于均值EX 的偏离程度.而DX=∑=-n N i i P EX X
12)(为这
些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度，我们称DX 为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差，记作σX.
2.随机变量函数的方差
对随机变量函数y=ax+b(a 、b 的常数)而言，EY=E(ax+b)=aEX+b,则DY=a 2DX
3.两点分布与二项分布的方差
(1)若X 服从两点分布，则DX=p(p-p)
(2)若X —B(n,p),则DX=npq(q=1-p).。
高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差学案 新人教A版选修2-3(2021年整理)
2016-2017学年高中数学2.3.2 离散型随机变量的方差学案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学2.3.2 离散型随机变量的方差学案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学2.3.2 离散型随机变量的方差学案新人教A版选修2-3的全部内容。
2.3.2 离散型随机变量的方差1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．（重点)3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法,会利用公式求它们的方差．（难点）［基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的方差的概念阅读教材P64～P66上面第四自然段，完成下列问题．1．离散型随机变量的方差、标准差(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则(x i－E（X)）2描述了x i(i＝1，2，…，n）相对于均值E(X)的偏离程度，而D（X）＝错误!为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D（X）为随机变量X的方差，其算术平方根D X为随机变量X的标准差．（2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数,样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．1．下列说法正确的有________(填序号）．①离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值;②离散型随机变量ξ的方差D(ξ）反映了ξ取值的平均水平；③离散型随机变量ξ的期望E（ξ)反映了ξ取值的波动水平；④离散型随机变量ξ的方差D（ξ)反映了ξ取值的波动水平．【解析】①错误．因为离散型随机变量ξ的期望E（ξ）反映了ξ取值的平均水平．②错误．因为离散型随机变量ξ的方差D(ξ）反映了随机变量偏离于期望的平均程度．③错误．因为离散型随机变量的方差D(ξ）反映了ξ取值的波动水平,而随机变量的期望E（ξ）反映了ξ取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知．【答案】④2．已知随机变量ξ,D(ξ)＝19,则ξ的标准差为________．【解析】ξ的标准差错误!＝错误!＝错误!.【答案】错误!3．已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ－101P错误!错误!错误!则ξ的均值为________【解析】均值E(ξ）＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝（－1)×错误!＋0×错误!＋1×错误!＝－错误!；方差D(ξ）＝（x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E（ξ)）2·p2＋（x3－E（ξ)）2·p3＝错误!。
数学：2.3离散型随机变量的均值与方差 教案一(新人教A版选修2-3)
2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
授课类型：新授课 课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差 教学过程： 一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5. 分布列:ξx 1 x 2 … x i …P P 1P 2 … P i …6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.二项分布:ξ～B (n ，p )，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．ξ 0 1 … k … nPn n q p C 00 111-n n q p C … kn k k n q p C - 0q p C n n n8.几何分布： g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．ξ123…k … Pp pq2q p … 1k q p -…9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值12. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 13.若ξB （n,p ），则E ξ=np二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=； （3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为ξ 1 2 3 4 5 6P16 16 16 16 16 16从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X DX σ=≈.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X 1/元1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P 1 0.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X 2/元1000 1400 1800 2000 获得相应职位的概率P 20.40.3 0.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为ξ 1 2 … nPn 1 n 1 …n1 求D ξ解：（略）12n E ξ+=, 2n -1D 12ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为1ξ1 2 3 4 5 6 7P71 71 71 71 71 71 71 离散型随机变量2ξ的概率分布为2ξ3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3P71 71 71 71 71 71 71 求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .点评：本题中的1ξ和2ξ都以相等的概率取各个不同的值，但1ξ的取值较为分散，2ξ的取值较为集中．421==ξξE E ，41=ξD ，04.02=ξD ，方差比较清楚地指出了2ξ比1ξ取值更集中．1σξ＝2，2σξ=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）4.02.02=⨯；同理有8.0,922==ξξD E由上可知，21ξξE E =，12D D ξξ<所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，1ξ和2ξ所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21ξξE E ==9，这时就通过1ξD =0.4和2ξD =0.8来比较1ξ和2ξ的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例6．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床 次品数ξ1 0123次品数ξ1123概率P0.7 0.2 0.06 0.04概率P0.8 0.06 0.04 0.10问哪一台机床加工质量较好解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差D ξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,D ξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264. ∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和 答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）=43129= 当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P （ξ=1）=449119123=⨯ 当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P （ξ=2）=2209109112123=⨯⨯ 当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P （ξ=3）=220199101112123=⨯⨯⨯ 所以，E ξ=10322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯ 3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E ξ，D ξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB （200，1%），从而可用公式：E ξ=np ，D ξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB （200，1%）因为E ξ=np ，D ξ=npq ，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E ξ=200×1%=2,D ξ=200×1%×99%=1.984. 设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差D ξ=P(1-P)后，我们知道D ξ是关于P(P ≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，E ξ=0×(1-p)+1×p=p则 D ξ=（0-p ）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p) 412)p 1(p 2=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤5. 有A 、B 两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下： ξA 110 120 125 130 135 ξB 100 115 125 130 145 P0.10.20.40.10.2P0.1 0.2 0.4 0.1 0.2其中ξA 、ξB 分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好分析： 两个随机变量ξA 和ξB &都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA 取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB 取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A 种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性解：先比较ξA 与ξB 的期望值，因为E ξA =110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E ξB =100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为D ξA =(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，D ξB =(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.所以，D ξA < D ξB .因此，A 种钢筋质量较好6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题 意，可得ξ的分布列为ξ 0 5 25 100P400391 501 5001200012.02000110050012550154003910E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ答：一张彩票的合理价格是0．2元．五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要六、课后作业： P69练习1,2,3 P69 A 组4 B 组1,21.设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E ξ=np D ξ= np （1－p ）∴⎩⎨⎧=-=4)1(12p np np ∴⎪⎩⎪⎨⎧==3218p n2.已知随机变量ξ服从二项分布即ξ~B(6、31)求b (2；6，31) 解：p(ξ=2)=c 62(31)2(32)43.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，已知ξ和 η的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况解：由0.1+0.6+a+1⇒a=0.3 0.3+0.3+b=1⇒a=0.4 ∴E ξ=2.3 , E η=2.0 D ξ=0.81 , D η=0.6七、板书设计（略）八、教学反思：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要ξ1 2 3 pA0.10.6η1 2 3 p0.3b0.3。
人教版高中数学选修2-3教学案：2.3.2离散型随机变量的方差
2． 3． 2失散型随机量的方差本P64～ 67，思虑并达成以下1．失散型随机量的方差及准差的定是什么？2．方差拥有哪些性？3．两点散布与二散布的方差分是什么？[新知初探 ]1．失散型随机量的方差(1)失散型随机量 X 的散布列X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p nn称 D(X )＝( x i－ E(X ))2p i随机量 X 的方差，其算平方根 D X 随机量i＝ 1X的准差．(2)随机量的方差和准差都反应了随机量取偏离于均的均匀程度，方差或准差越小，随机量偏离于均的均匀程度越小．2．几个常的(1) D(aX＋ b)＝ a2D (X )．(2) 若 X 听从两点散布， D (X )＝ p(1－ p)．(3) 若 X ～ B(n， p)， D(X )＝ np(1－ p) ．[小身手 ]1．判断以下命能否正确．(正确的打“√”，的打“×”)(1) 失散型随机量的方差越大，随机量越定．()(2)若 a 是常数，D (a)＝ 0． ()(3)失散型随机量的方差反应了随机量偏离于希望的均匀程度．()答案： (1) × (2) √ (3) √2．若随机量 X 听从两点散布，且成功的概率 p＝ 0．5, E (X )和 D(X )分 () A． 0．5 和 0．25B．0．5 和 0．75C．1和 0．25D．1 和 0．75答案： A3． D( ξ－D (ξ)) 的值为 ()A．没法求B． 0C． D(ξ)D． 2D (ξ)答案： C4．牧场的 10 头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0． 02，设发病牛的头数为X ，则 D (X )等于 ________．答案： 0． 196求失散型随机变量的方差题点一：用定义求失散型随机变量的方差1．已知随机变量X 的散布列为：X012345P0．1 0． 15 0． 25 0．25 0． 15 0． 1则 D (X)＝ ________．分析：因为 E(X )＝ 0． 1×0＋ 0． 15×1＋ 0． 25×2＋ 0． 25×3＋ 0． 15×4＋0． 1×5＝ 2． 5，所以 D(X )＝ (0－ 2．5)2×0．1＋ (1－ 2． 5)2×0．15＋ (2－ 2．5)2×0．25＋ (3－ 2．5)2×0． 25＋(4－ 2． 5)2×0． 15＋ (5－ 2． 5)2×0． 1＝ 2． 05．答案： 2． 05题点二：两点散布的方差2．某运动员投篮命中率p＝ 0． 8 ，则该运动员在一次投篮中命中次数ξ的方差为________．分析：依题意知：ξ听从两点散布，所以 D(ξ)＝ 0． 8×(1－ 0． 8)＝ 0． 16．答案： 0． 16题点三：二项散布的方差3．一出租车司机从某饭馆到火车站途中有 6 个交通岗，假定他在各交通岗碰到红灯这一事件是互相独立的，而且概率是1 3．(1) 求这位司机会到红灯数ξ的希望与方差；(2) 若碰上红灯，则需等候30 秒，求司机总合等候时间η的希望与方差．解： (1)易知司机会上红灯次数ξ听从二项散布，且ξ～ B6，1，311× 1－14∴ E (ξ)＝ 6×＝ 2， D(ξ)＝ 6×3＝．333(2)由已知η＝ 30ξ，∴E (η)＝ 30E (ξ)＝ 60， D(η)＝ 900D(ξ)＝ 1 200．求失散型随机变量X 的方差的步骤(1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的所有值；(2)求 X 取各个值的概率，写出散布列；(3)依据散布列，由希望的定义求出E (X)；(4)依据公式计算方差．失散型随机变量方差的性质[典例 ]已知随机变量X 的散布列是X01234P0．2 0．2 0．3 0． 2 0．1试求 D(X )和 D (2X－ 1)．[解 ]E(X )＝ 0×0． 2＋ 1×0． 2＋ 2×0． 3＋ 3×0． 2＋ 4×0． 1＝ 1． 8．∴D (X)＝ (0－ 1． 8)2×0． 2＋ (1－ 1． 8) 2×0． 2＋ (2－ 1． 8)2×0． 3＋ (3－ 1． 8)2×0． 2＋ (4－1． 8)2×0． 1＝ 1． 56．利用方差的性质D(aX ＋ b)＝ a2D(X )．∵D (X)＝ 1． 56, ∴ D (2X－ 1)＝ 4D(X)＝ 4×1． 56＝ 6． 24．求随机变量函数Y＝ aX＋ b 方差的方法求随机变量函数 Y＝aX ＋b 的方差，一是先求 Y 的散布列，再求其均值，最后求方差；二是应用公式 D(aX＋ b)＝ a2D (X )求解．[活学活用 ]已知随机变量ξ的散布列为：ξ01xP 11p 23若 E (ξ)＝ 2．3(1) 求 D (ξ)的值；(2) 若 η＝ 3ξ－ 2，求 D η 的值．解： 由散布列的性质，得1＋ 1＋ p ＝ 1，解得2 3p ＝ 1，61 1 12 ∵ E (ξ)＝ 0× ＋ 1× ＋ x ＝ ， ∴ x ＝ 2．23 6 3(1) D(ξ)＝ 0－2 21 2 2 12 2 1 15 53×＋ 1－3 ×＋ 2－3 × ＝27 ＝ ．23 6 9(2) ∵ η＝ 3ξ－ 2，∴ D (η)＝ D (3ξ－ 2)＝ 9D(ξ)＝ 5，∴D η ＝ 5．方差的实质问题[典例 ]为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个互相独立的随机变量ξ， η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于 6 环，且甲射中的 10,9,8,7 环的概率分别为 0．5,3a ，a,0．1，乙射中 10,9,8环的概率分别为 0． 3,0．3,0． 2．(1) 求 ξ， η的散布列；(2) 求 ξ， η的数学希望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．[解 ] (1)依题意 ， 0． 5＋ 3a ＋ a ＋ 0． 1＝ 1，解得 a ＝ 0．1． ∵ 乙射中 10,9,8 环的概率分别为0． 3,0． 3,0． 2，∴ 乙射中 7 环的概率为 1－ (0．3＋ 0． 3＋ 0． 2)＝ 0． 2．∴ ξ， η的散布列分别为ξ10 9 8 7P 0． 5 0．3 0．1 0．1η10 9 8 7P 0． 3 0．3 0．2 0．2(2) 由 (1)可得E(ξ)＝ 10×0． 5＋ 9×0． 3＋8×0． 1＋ 7×0． 1＝ 9． 2(环 )；E(η)＝ 10×0． 3＋ 9×0． 3＋ 8×0． 2＋ 7×0． 2＝ 8． 7(环 )；D(ξ)＝ (10－ 9．2)2×0．5＋ (9－ 9．2)2×0．3＋ (8－ 9．2)2×0．1＋ (7－ 9．2)2×0．1＝0．96；D(η)＝ (10－ 8．7)2×0．3＋ (9－ 8．7)2×0．3＋ (8－ 8．7)2×0．2＋ (7－ 8．7)2×0．2＝1．21．因为 E(ξ)>E (η)，说明甲均匀射中的环数比乙高；又因为 D(ξ)<D (η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳固．所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会．利用均值和方差的意义解决实质问题的步骤(1) 比较均值：失散型随机变量的均值反应了失散型随机变量取值的均匀水平，所以，在实质决议问题中，需先计算均值，看一下谁的均匀水平高．(2)在均值相等的状况下计算方差：方差反应了失散型随机变量取值的稳固与颠簸、集中与失散的程度．经过计算方差，剖析一下谁的水平发挥相对稳固．(3)下结论：依照均值和方差的几何意义做出结论．[活学活用 ]甲、乙两个野生动物保护区有同样的自然环境，且野生动物的种类和数目也大概相等，而两个保护区内每个季度发现违犯保护条例的事件次数的散布列分别为：甲保护区：X0123P0． 3 0．3 0．2 0．2乙保护区：Y012P0．1 0．50． 4试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数X 的数学希望和方差为E(X )＝ 0×0． 3＋ 1×0． 3＋ 2×0． 2＋ 3×0． 2＝ 1． 3，D(X )＝ (0－1．3)2×0．3＋ (1－ 1．3)2×0． 3＋ (2－ 1．3)2×0． 2＋ (3－1．3)2×0．2＝ 1．21．乙保护区的违规次数Y 的数学希望和方差为：E(Y)＝ 0×0． 1＋ 1×0． 5＋ 2×0． 4＝ 1． 3，D(Y)＝ (0－ 1． 3)2×0． 1＋ (1－ 1． 3)2×0． 5＋ (2－ 1． 3)2×0． 4＝ 0． 41．因为 E(X)＝ E (Y)， D (X )＞ D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的均匀次数同样，但甲保护区的违规事件次数相对分别和颠簸，乙保护区内的违规事件次数更为集中和稳固．层级一学业水平达标1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10 株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X 甲)＝ 11， D(X乙 )＝ 3． 4．由此能够预计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖齐整B．乙种水稻比甲种水稻分蘖齐整C．甲、乙两种水稻分蘖齐整程度同样D．甲、乙两种水稻分蘖齐整程度不可以比较分析：选 B∵ D(X甲)>D (X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖齐整．2．若 X～ B(n，p)，且 E (X)＝ 6， D (X) ＝3，则 P(X＝ 1)的值为 ()A． 3·22B． 2－4－－10－ 8 C． 3·2D． 2分析：选C E(X)＝ np＝6， D (X)＝ np(1－ p)＝ 3，∴p＝1， n＝ 12，则 P(X ＝ 1)＝ C112×1×111＝ 3·2－10．22 23．设随机变量X 的概率散布列为k1－kP(X ＝k)＝ p ·(1－ p)(k＝ 0,1)，则 E(X)， D(X )的值分别是()A．0和 1B． p 和 p2C． p 和 1－ p D． p 和 (1－ p)p分析：选 D由 X 的散布列知， P( X＝ 0)＝ 1－ p，P(X＝ 1)＝ p，故 E (X)＝ 0×(1－ p)＋ 1×p ＝ p，易知 X 听从两点散布，∴ D(X )＝ p(1－ p)．4．已知随机变量X＋η＝ 8，若 X～ B(10,0． 6)，则 E (η)，D (η)分别是 ()A．6和 2．4B．2 和 2．4C．2和 5．6D．6 和 5．6分析：选 B∵X～B(10,0．6)，∴ E (X )＝10×0．6＝6，D( X)＝10×0．6×(1－0．6)＝2．4，∴E (η)＝ 8－ E (X )＝ 2， D (η)＝ (－ 1)2D (X)＝ 2． 4．．设≤≤4，x ＝ 105，随机变量ξ取值 x ，x ，x ，x ，x 的概率均为0．2，105112345510 x1<x2<x3<x4随机变量ξ取值x1＋ x2，x2＋ x3x3＋ x4x4＋ x5 x5＋ x1的概率也均为0． 2，若记 D(ξ，，，2222221)，，ξ的方差，则 ()D(ξ2)分别为ξ12A． D(ξ1)>D(ξ2)B．D (ξ1)＝ D(ξ2)C． D(ξ1)<D(ξ2)D． D(ξ1)与 D (ξ2)的大小关系与 x1， x2， x3， x4的取值相关分析：选 A 由题意可知 E(ξ1)＝ E (ξ2)，又由题意可知，ξ1的颠簸性较大，进而有D(ξ1)>D(ξ2)．6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0． 25，则该事件在一次试验中发生的概率为 ________．分析： 事件在一次试验中发生次数记为ξ，则 ξ听从两点散布， 则 D(ξ)＝ p(1－ p)，所以p(1－ p)＝ 0． 25，解得 p ＝ 0． 5．答案： 0． 57 已知随机变量 X 听从二项散布 B(n ， p)．若 E (X)＝ 30， D (X )＝ 20，则 p ＝________．np ＝ 30， 分析： 由 E(X)＝ 30，D (X )＝ 20，可得np－ p ＝ 20，解得 p ＝13．答案：138．已知失散型随机变量X 的散布列以下表：X － 1 0 1 2 Pabc1 12若 E (X)＝0， D(X)＝ 1，则 a ＝ ________， b ＝ ________．分析： 由题意1a ＋b ＋c ＋ 12＝ 1，－ ×a ＋ 0×b ＋ 1×c ＋ 2×1＝ 0，12－1－2×a ＋ －2×b ＋ －2×c ＋ －2×1＝ 1，12解得 a ＝ 5 ， b ＝ c ＝ 1． 12 4答案：51 12 49． A ， B 两个投资项目的收益率分别为随机变量X 1 和 X 2，依据市场剖析， X 1 和 X 2 的散布列分别为X 15% 10%P 0．8 0．2X 2 2%8%12%P0． 2 0．50． 3在 A ，B 两个项目上各投资100 万元，Y 1 和 Y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获取的收益，求方差 D (Y 1)， D(Y 2)．解： 由题设可知 Y 1 和 Y 2 的散布列分别为Y1510P0．8 0．2Y22812P0． 2 0．5 0．3E(Y1)＝ 5×0． 8＋ 10×0． 2＝ 6，D(Y1)＝ (5－ 6)2×0． 8＋ (10－ 6)2×0． 2＝ 4；E(Y2)＝ 2×0． 2＋ 8×0． 5＋12×0． 3＝ 8，D(Y2)＝ (2－ 8)2×0． 2＋ (8－ 8)2×0． 5＋ (12－ 8)2×0． 3＝ 12．10．依据过去统计资料，某地车主购置甲种保险的概率为0． 5，购置乙种保险但不购买甲种保险的概率为0． 3．设各车主购置保险互相独立．(1) 求该地 1 位车主起码购置甲、乙两种保险中的 1 种的概率；(2) X 表示该地的100 位车主中，甲、乙两种保险都不购置的车主数，求X 的均值和方差．解：设事件 A 表示“该地的 1 位车主购置甲种保险”，事件 B 表示“该地的 1 位车主购置乙种保险但不购置甲种保险”，事件 C 表示“该地的 1 位车主起码购置甲、乙两种保险中的 1 种”，事件 D 表示“该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购置”，则 A， B 互相独立．(1)由题意知 P(A)＝ 0． 5， P( B)＝ 0． 3， C＝ A∪ B，则 P(C)＝P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)＝ 0． 8．(2)D＝ C ， P(D )＝1－ P(C)＝1－ 0． 8＝ 0．2．由题意知X～ B(100,0． 2)，所以均值E(X)＝ 100×0． 2＝ 20，方差 D( X)＝ 100×0． 2×0． 8＝ 16．层级二1．设二项散布X～ B( n， p)的随机变量散布的参数n， p 的值为 ()应试能力达标X 的均值与方差分别是2．4 和1． 44，则二项A． n＝ 4， p＝ 0． 6B． n＝ 6， p＝ 0． 4 C． n＝ 8， p＝ 0． 3D． n＝ 24， p＝ 0． 1分析：选 B由题意得，np＝2．4，np(1－p)＝1．44，∴ 1－ p＝ 0． 6，∴ p＝ 0． 4， n＝6．2．若ξ是失散型随机变量，P(ξ＝ x1)＝ 2，P(ξ＝ x2)＝ 1，且33x1<x2，又已知E(ξ)＝ 4，D( ξ)32＝9，则x1＋ x2的值为 ()5 7 A ．3 B ．311C ． 3D ． 3 分析：选C2 1 4，3 x 1＋ x 2＝3 3x 1， x 2 知足4 224 2 12x 1 －x 2－ ，3 × ＋3 × ＝33 91＝ 1，x 1＝ 5，3解得 x或∵ x 1<x 2，∴ x 1＝ 1， x 2＝ 2，∴ x 1＋ x 2＝ 3．2＝ 22xx 2＝ 3.3．某各种子每粒抽芽的概率是90% ，现播种该种子 1 000 粒，关于没有抽芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X ，则 X 的数学希望与方差分别是 ()A ． 100,90B ． 100,180C ． 200,180D ． 200,360分析：选D由题意可知播种了1 000 粒，没有抽芽的种子数 ξ听从二项散布，即 ξ～B(1 000,0 ．1)．而每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X ，故 X ＝ 2ξ，则 E(X)＝ 2E(ξ)＝ 2×1000 ×0． 1＝ 200，故方差为 D (X )＝D (2ξ)＝ 22·D(ξ)＝ 4×1 000 ×0． 1×0． 9＝ 360．14．若随机变量 ξ的散布列为 P(ξ＝ m)＝ 3， P(ξ＝ n)＝ a ，若 E(ξ)＝ 2，则 D (ξ)的最小值等于 ( )A ． 0B ． 1C ． 4D ． 2分析：选A由散布列的性质，得a ＋ 1＝ 1， a ＝ 2．3 3 ∵ E (ξ)＝ 2，∴ m ＋2n＝ 2． ∴ m ＝ 6－ 2n ．3 3∴ D (ξ)＝13×(m － 2)2＋ 23×(n － 2)2＝23×(n － 2)2＋ 13×(6－ 2n －2)2＝ 2n 2－ 8n ＋ 8＝ 2(n － 2)2．∴ n ＝ 2 时， D (ξ)取最小值 0．5．随机变量 ξ的取值为 0,1,2．若 P(ξ＝ 0)＝ 1， E (ξ)＝ 1，则 D (ξ)＝ ________．5分析： 由题意设 P(ξ＝ 1)＝ p ，则 ξ的散布列以下：ξ 0 1 2P1 p4－ p55由 E (ξ)＝ 1，可得 p＝3，5所以 D(ξ)＝ 12123212．×＋ 0×＋ 1× ＝5555答案：256．已知失散型随机变量X 的可能取值为x1＝－ 1，x2＝ 0，x3＝1，且 E( X)＝ 0．1，D (X)＝0． 89，则对应 x1， x2， x3的概率 p1， p2， p3分别为 ________， ________， ________．分析：由题意知，－p1＋ p3＝ 0． 1，1． 21p1＋ 0．01p2＋ 0． 81p3＝ 0． 89．又 p1＋ p2＋ p3＝ 1，解得 p1＝ 0． 4， p2＝ 0． 1， p3＝0． 5．答案： 0．4 0．1 0．57．有甲、乙两个建材厂，都想招标参加某要点建设项目，为了对要点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数以下：ξP0．1 0．2 0．4 0．1 0．2η100115125130145P0．1 0．20．4 0．10．2此中ξ和η分别表示甲、乙两厂资料的抗拉强度，比较甲、乙两厂资料哪一种稳固性好．解： E (ξ)＝ 110×0． 1＋ 120×0． 2＋ 125×0． 4＋ 130×0． 1＋ 135×0． 2＝ 125，E(η)＝ 100 ×0． 1＋ 115 ×0． 2＋ 125 ×0． 4＋ 130 ×0． 1＋ 145 ×0． 2＝ 125，D(ξ)＝ 0． 1×(110－ 125)2＋ 0． 2×(120－ 125)2＋ 0． 4×(125－ 125)2＋ 0． 1×(130－ 125)2＋0． 2×(135－ 125)2＝ 50，D(η)＝ 0． 1×(100－ 125)2＋ 0 ． 2×(115－ 125)2＋ 0． 4×(125－ 125)2＋ 0． 1×(130－125)2＋0． 2×(145－ 125)2＝ 165，因为 E(ξ)＝ E( η)， D (ξ)<D (η)，故甲厂的资料稳固性较好．8．设在12 个同种类的部件中有 2 个次品，抽取 3 次进行查验，每次抽取一个，而且拿出不再放回，若以X 和 Y 分别表示拿出次品和正品的个数．(1)求 X 的散布列、均值及方差；(2)求 Y 的散布列、均值及方差．解： (1)X 的可能值为 0,1,2．若 X ＝ 0，表示没有拿出次品，0 3 6其概率为 P(X ＝ 0)＝ C 2C 10C 123＝ 11，同理，有 P(X ＝ 1)＝ C 21C 102 9，3 ＝ 22C 12 2 1 1C 2C 10P(X ＝ 2)＝ C 123 ＝ 22．∴ X 的散布列为X 0 1 2 P6 9 1 112222∴ E (X )＝0×6 ＋ 1×9 ＋ 2×1＝ 1．1122222D(X )＝ 0－ 1 2×6＋ 1－1 2×9＋ 2－ 1 2×1＝ 15．2 11 2 22 2 22 44 (2) Y 的可能值为 1,2,3，明显 X ＋Y ＝ 3．P(Y ＝ 1)＝ P(X ＝ 2)＝ 1，229P(Y ＝ 2)＝ P(X ＝ 1)＝ 22，P(Y ＝ 3)＝ P(X ＝ 0)＝ 6．11 ∴ Y 的散布列为Y 1 2 3 P1 9 6 222211∴ Y ＝－ X ＋3，∴ E (Y)＝E (3－ X )＝ 3－ E (X)＝ 3－12＝ 52，215D(Y)＝ (－ 1) D(X)＝ 44．。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差学案(含解析)新人教A版选修2-
2．3.2 离散型随机变量的方差[目标] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法．[重点] 离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．[难点] 离散型随机变量的方差的计算与应用．知识点一 离散型随机变量的方差、标准差[填一填]1．方差及标准差的定义 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)方差D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i . (2)标准差为D (x ). 2．方差的性质 D (aX ＋b )＝a 2D (X )．[答一答]1．方差与标准差有什么实际意义？提示：随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D (X )越小，稳定性越高，波动越小．显然D (X )≥0，随机变量的标准差与随机变量本身有相同的单位．2．你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？ 提示：设x 1、x 2、…、x n 为样本的n 个数据，x ＝x 1＋…＋x n n ，则该样本数据的方差s 2＝∑i ＝1n(x i －x )2·1n ，由于x 相当于离散型随机变量中的E (X )，而1n相当于每个数据出现的频率(概率)p i ，故离散型随机变量X 的方差可定义为：D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i (i ＝1,2，…，n )．3．随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个客观存在的常数，不随抽样样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随着样本的不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．知识点二 两个常见分布的方差[填一填]1．若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． 2．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．[答一答]4．两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系．1．对随机变量X 的方差、标准差的理解(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)D (X )越小，稳定性越高，波动越小．(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 2．剖析方差的性质当a ，b 均为常数时，随机变量η＝aξ＋b 的方差D (η)＝D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)．特别地： (1)当a ＝0时，D (b )＝0，即常数的方差等于0.(2)当a ＝1时，D (ξ＋b )＝D (ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身．(3)当b ＝0时，D (aξ)＝a 2D (ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．类型一 离散型随机变量的方差及性质【例1】 已知η的分布列如下：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．【分析】 (1)首先求出均值E (η)，然后利用D (η)的定义求方差；(2)由于E (η)是一个常数，所以D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)．【解】 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)＝4×384＝1 536.(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率．(2)利用离散型随机变量X 的方差的性质：当a ，b 为常数时，随机变量Y ＝aX ＋b ，则D (Y )＝D (aX ＋b )＝a 2D (X )，可以简化解答过程，提高解题效率．某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者． (1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及方差． (2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 解：(1)ξ的可能取值为0,1,2. 由题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C ，男生甲被选中的种数为C 25＝10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C 14＝4，所以P (C )＝C 14C 25＝410＝25，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.类型二 二项分布的方差【例2】 已知某运动员投篮命中率p ＝0.6. (1)求一次投篮命中次数ξ的数学期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的数学期望与方差．【分析】 解本题的关键是正确地判断出第(1)小题属于两点分布，第(2)小题属于二项分布，利用相应的公式计算可得解．【解】 (1)投篮一次命中次数ξ的分布列为：ξ 0 1 P0.40.6则E (ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D (ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意知重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B (5,0.6)． 由二项分布的数学期望与方差的公式得： E (η)＝5×0.6＝3，D (η)＝5×0.6×0.4＝1.2.解此类题的一般步骤如下：第一步，判断随机变量X 服从什么分布(两点分布还是二项分布).第二步，代入相应的公式，X 服从两点分布时，D (X )＝p (1－p )；X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )时，D (X )＝np (1－p ).甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是p ＝0.51，乙每局赢的概率是p ＝0.49.甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局，哪一个技术比较稳定？解：用X 表示10局中甲赢的次数，则X 服从二项分布B (10,0.51)．E (X )＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y 表示10局中乙赢的次数，则Y 服从二项分布B (10,0.49)．E (Y )＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．又D (X )＝10×0.51×0.49＝2.499，D (Y )＝10×0.49×0.51＝2.499.所以他们技术一样稳定．类型三 离散型随机变量方差的应用【例3】 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列，数学期望及方差．②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解】 (1)当n ≥16时，y ＝16×(10－5)＝80. 当n ≤15时，y ＝5n －5(16－n )＝10n －80.得：y ＝⎩⎨⎧10n －80(n ≤15)，80(n ≥16)(n ∈N )．(2)①X可取60,70,80.P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X 607080P 0.10.20.7E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.②购进17枝时，当天的利润的期望值为y＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.由76.4>76得，应购进17枝．有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分别为D (X 甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， D (X 乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80. 由上面数据，可知E (X 甲)＝E (X 乙)，D (X 甲)<D (X 乙)．这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．离散型随机变量期望与方差的综合应用【例4】 设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求abc .【思路分析】 第一问关键是分清取出2个球所得分数之和的所有情况，然后分类讨论，根据情况算出相应的概率、写出分布列；第二问类似地写出分布列，根据期望、方差的公式建立方程求解．【解】 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知η的分布列为η 1 2 3 paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝(1－53)2·a a ＋b ＋c ＋(2－53)2·b a ＋b ＋c ＋(3－53)2·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故abc ＝321.【解后反思】 离散型随机变量的分布列和期望是理科数学考题中的高频考点之一，其中，浙江省又多以摸球为背景，以对立事件、相互独立事件、两点分布、二项分布等知识为载体，综合考查事件发生的概率及随机变量的分布列、数学期望与方差．解题时首先要理解关键词，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，后面一般就是计算问题．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数．(1)求方差D (ξ)的最大值； (2)求2D (ξ)－1E (ξ)的最大值．解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (ξ)＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.(1)D (ξ)＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (ξ)取得最大值，最大值为14.(2)2D (ξ)－1E (ξ)＝2(p －p 2)－1p ＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥2 2.当2p ＝1p ，p ＝22时，取“＝”，因此，当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取得最大值2－2 2.1．下面说法中正确的是(D)A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平解析：由于离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A错．而D(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平．2．若X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(A)A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45解析：由E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，可知1－p＝0.8，所以p＝0.2，n＝8.3．已知随机变量ξ，D(ξ)＝19，则ξ的标准差为13.解析：D(ξ)＝19＝13.4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，则自动包装机乙的质量较好．解析：均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，方差大说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中．故乙的质量较好．5．已知随机变量X的分布列是X 0123 4P 0.2m n 0.20.1且E(X)＝1.8.(1)求D(X)；(2)设Y＝2X－1，求D(Y)．解：(1)由分布列可知0.2＋m＋n＋0.2＋0.1＝1，且E(X)＝0×0.2＋1×m＋2×n＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0.5，m ＋2n ＝0.8，解得m ＝0.2，n ＝0.3. ∴D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.(2)∵D (X )＝1.56，∴D (2X －1)＝4D (X )＝6.24.。
人教版高中数学选修2-3第二章2.3.2离散型随机变量的方差
导入新课复习回顾1 .离散型随机变量 X 的均值 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.2 . 两种特殊分布的均值（1）若随机变量X 服从两点分布，则EX=p.（2）若X~B(n ，p) ，则EX=np.ni ii=1EX =x p数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.2.3.2离散型随机变量的方差教学目标知识与技能（1）了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；（2）会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.过程与方法了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ~Β(n，p)，则Dξ=np(1-p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 .情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.教学重难点重点离散型随机变量的方差、标准差.难点比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 .思考要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X1 5 6 7 8 9 10P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X2 5 6 7 8 9P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算E(X1)=8，E(X2)=8，发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.思考除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？图(1)(2)分别表示X 1和X 2的分布列图. 比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定. O 5 6 7 10 9 8 P 1X 0.10.20.30.40.5O 5 6 7 9 8 P 2X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (1) (2) 怎样定量刻画随机变量的稳定性?1.方差设离散型随机变量X 的分布列为知识要点X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i -E(X))2描述了x i (i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX 为随机变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 为随机变量X 的标准差(standard deviation). 记为 n2i ii=1DX =(x -EX)p DX σX 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.思考随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由前面的计算结果及方差的定义，得∑102DX=(i-8)P(X=i)=1.50,11i=5∑92DX=(i-8)P(X=i)=0.8222i=5因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.知识要点2.几点重要性质（1）若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p); （2）若X~B(n，p)，则D(X)=np(1-p); （3）D(aX+b)=a2D(X).例题1A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：0 1 2 3次品数ξ1概率P 0.7 0.2 0.06 0.040 1 2 3次品数ξ1概率P 0.8 0.06 0.04 0.10问哪一台机床加工质量较好？解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2 ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2 ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴Dξ1< Dξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.例题2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：/元1200 1400 1600 1800 甲单位不同职位月工资X10.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P1乙单位不同职位月工资X/元1000 1400 1800 220020.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得1EX =12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 =1400⨯⨯⨯⨯2221DX = (1200-1400) 0. 4 + (1400-1400 )0.3 + (1600 -1400 )0.2⨯⨯⨯2+(1800-1400) 0. 1= 40 000⨯2EX =1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400⨯⨯⨯⨯2222DX = (1000-1400)0. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)0.2⨯⨯⨯2+ (2200-1400 )0.l = 160000 .⨯分析：因为 ，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.1212EX =EX ,DX <DX例题3有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X.（1）求随机变量的概率分布；（2）求X的数学期望和方差.4411689P(X =4)==,P(X =3)=0,P(X =2)=,P(X =1)=,P(X =0)=A 242424249861E(X)=0+1+2+30+4=124242424⨯⨯⨯⨯⨯222229861V(X)=(0-1)+(1-1)+(2-1)+(3-1)0+(4-1)=124242424⨯⨯⨯⨯⨯解：（1）因此X 的分布列为（2） X 0 1 23 4 P 9/24 8/24 6/24 0 1/24例题3有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理.解 :设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：X -30 -20 -10 10 20 30 P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36 246810665 E(X)=(-30)+(-20)+(-10)+10+20+30=⨯⨯⨯⨯⨯⨯3636363636369因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家.1.熟记方差计算公式课堂小结n 2i i i=1DX =(x -EX)p 2=E(X-EX)22=EX -(EX)2. 三个重要的方差公式（1）若 X 服从两点分布，则 （2）若 ，则 X ~B(n,p)DX =np(1-p)DX =p(1-p)2(3)D(aX +b)=a DX3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX；④根据方差、标准差的定义求出、σXDX高考链接1. （2005年天津）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_____（元）.[答案]4760提示：分布列为ξ0.6 -2.5P 192/200 8/192故1928Eξ=0.6-2.5=4760()200200元⨯⨯2.（2002年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8则其中产量比较稳定的小麦品种是_______．[答案]甲种3.（2004年湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值）[解析]①不采用预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.l=40（万元），所以总费用为45＋40=85（万元）；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30＋60=90（万元）；继续④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30=75（万元），发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75＋6=81（万元）．综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1.填空课堂练习（1）已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____. 50 25 59910010（1）已知随机变量x 的分布列如上表,则E x 与D x 的值为( )A. 0.6和0.7B. 1.7和0.3C. 0.3和0.7D. 1.7和0.21（2）已知x~B(n ，p)，E x =8，D x =1.6，则n ， p 的值分别是（ ）A ．100和0.08；B ．20和0.4；C ．10和0.2；D ．10和0.8 2.选择 √ x1 2 P 0.3 0.7√3.解答题（1）一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3①当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）= ②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P （ξ=1）= 43129=449119123=⨯③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P （ξ=2）= ④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P （ξ=3）= 所以，Eξ= 3299=121110220⨯⨯32191=1211109220⨯⨯⨯399130+1+2+3=44422022010⨯⨯⨯⨯继续（2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算.解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~ B（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以,Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98.习题解答1. E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2. D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.2+(2-2)2×0.4+(3- 2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1.2.D(X) 1.095.2. E(X)=c×1=c，D(X)=(c-c)2×1=0.3. 略.。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《2.3.2离散型随机变量的方差》导学案
2.3.2离散型随机变量的方差课前预习学案一、预习目标了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差二、预习内容1、对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值，是1x，2x，…，n x，…，且取这些值的概率分别是1p，2p，…，n p，…，那么,_________________E是随机变量ξ的期望．称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的2、标准差:_________________叫做随机变量ξ的标准差，记作_________________．注：方差与标准差都是反映_________________它们的值越小，则_________________小，即越集中于均值。
课内探究学案一、学习目标1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差学习重难点：离散型随机变量的方差、标准差；比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题二、学习过程问题探究：已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下x18 9 10P 0.2 0.6 0.2x28 9 10P 0.4 0.2 0.4试比较两名射手的射击水平. .合作探究一：方差的概念显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.样本方差的公式及作用是什么，你能类比这个概念得出随机变量的方差吗？对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值，是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么, _________________称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．标准差: _________________做随机变量ξ的标准差，记作_________________ 注：方差与标准差都是反映_________________它们的值越小，则_________________小。
高中数学选修2-3课时作业7：2.3.2离散型随机变量的方差
2．3.2 离散型随机变量的方差一、基础达标1．下列说法中，正确的是( )A ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的概率平均值B ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值 [答案] C2．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m )[答案] D[解析] 随机变量ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )．∴故选D.3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 [答案] A[解析] E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2，∴D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.4．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8[答案] D[解析] 因随机变量X ～B (n ，p )， 则E (X )＝np ＝8， D (X )＝np ·(1－p )＝1.6， 所以n ＝10，p ＝0.8.5．若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________. [答案] 1[解析] D (ξ－D (ξ))＝D (ξ－1)＝D (ξ)＝1. 6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.[答案] 59[解析] 由题意得2b ＝a ＋c ①，a ＋b ＋c ＝1②，c －a ＝13③，以上三式联立解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故D (ξ)＝59. 7．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中ξA ，ξB 120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度．(哪一种的稳定性较好)解 E (ξA )＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E (ξB )＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D (ξA )＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D (ξB )＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，由此可见，E (ξA )＝E (ξB )，D (ξA )<D (ξB )，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，故甲的稳定性好． 二、能力提升8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为( )A.3.56B. 3.2C ．3.2D. 3.56 [答案] D[解析] 依题意：0.4＋0.1＋x ＝1， ∴x ＝0.5，∴E (ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D (ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴D (ξ)＝ 3.56.9．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k (13)n －k，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8B ．12C.29D ．16[答案] A[解析] 由题意可知ξ～B (n ，23)，∴E (ξ)＝23n ＝24.∴n ＝36.∴D (ξ)＝36×23×(1－23)＝8.10．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.[答案] 25[解析] 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.11．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)．解 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.12．为了迎战下届奥运会，对甲、乙两名射手进行一次选拔赛．已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a ，a ，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(其中ξ为甲击中的环数，η为乙击中的环数)(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．解(1)依据题意，知0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴ξ，η的分布列分别为(2)结合(1)中ξ，η的分布列可得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.∵E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．又∵D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．∴甲的射击技术好．三、探究与创新13．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为因为X～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。
高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教版选修2_32
2．3.2 离散型随机变量的方差[学习目标]1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差． [知识链接]1．某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5； 乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的．那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？答 x －甲＝x －乙＝7，利用样本的方差公式s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，求得： s 2甲＝2.2，s 2乙＝1.2.s 2甲>s 2乙，∴乙成绩较稳定，选乙参加比赛．2．随机变量的方差与样本的方差有何不同？答 样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量． [预习导引]1．离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X 的分布列为则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1，2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．我们称D (X )为随机变量X 的方差，并称其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差． 2．离散型随机变量方差的性质(1)设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (2)D (c )＝0(其中c 为常数)．3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )(其中p 为成功概率)； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．要点一 求离散型随机变量的方差例1 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差． 解 (1)P ＝13×23＋23×34＝1318.(2)P (ξ＝0)＝13×13＝19；P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718. P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (ξ)＝(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324，∴D （ξ）＝14918. 规律方法 1.求离散型随机变量X 的方差的基本步骤：理解X 的意义，写出X 可能取的全部值 ↓写出X 取每个值的概率 ↓写出X 的分布列 ↓由均值的定义求出E （X ） ↓利用公式D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 求值 2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝a ξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．跟踪演练1 已知X 的分布列为求：(1)E (X )，D (X )；(2)设Y ＝2X ＋3，求E (Y )，D (Y )．解 (1)E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59.(2)E (Y )＝2E (X )＋3＝73，D (Y )＝4D (X )＝209.要点二 两点分布与二项分布的方差例2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)为3，标准差D （ξ）为62. (1)求n 和p 的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．解 由题意知，ξ服从二项分布B (n ，p )，P (ξ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0，1，…，n . (1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ的分布列为(2)记“需要补种沙柳”为事件A ，则P (A )＝P (ξ≤3)，得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132，或P (A )＝1－P (ξ＞3)＝1－15＋6＋164＝2132.所以需要补种沙柳的概率为2132.规律方法 方差的性质：D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)．若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )．若ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )．跟踪演练2 设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，求当p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值． 解 设成功次数为随机变量X ，由题意可知X ～B (100，p )，则D （X ）＝100p （1－p ）. 因为D (X )＝100p (1－p )＝100p －100p 2， 把上式看作一个以p 为自变量的二次函数， 易知当p ＝12时，D (X )有最大值为25.所以D （X ）的最大值为5.即当p ＝12时，成功次数的标准差的值最大，最大值为5.要点三 均值与方差的综合应用例3 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝a ξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)ξ的分布列为则E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2. 又E (η)＝aE (ξ)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求．规律方法 解均值与方差的综合问题时的注意事项(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的关键是求出分布列；(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算；(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算．若随机变量X 服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解．跟踪演练3 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数． (1)求X 的分布列； (2)求X 的均值与方差；(3)求“所选3人中女生人数X ≤1”的概率． 解 (1)X 可能的取值为0，1，2. P (X ＝k )＝C k2·C 3－k4C 36，k ＝0，1，2. X 的分布列(2)由(1)，X 的均值与方差为E (X )＝0×15＋1×35＋2×15＝1.D (X )＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(1－2)2×15＝25.(3)由(1)，“所选3人中女生人数X ≤1”的概率为P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝45.1．设随机变量X 的方差D (X )＝1，则D (2X ＋1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 D (2X ＋1)＝4D (X )＝4×1＝4.2．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)等于( )A.158B.154C.52 D ．5 答案 A解析 ξ～B (10，14)，∴D (ξ)＝10×14×(1－14)＝158.3．已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________，________，________. 答案 0.4 0.1 0.5解析 由题意知，－p 1＋p 3＝0.1， 1．21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89.又p 1＋p 2＋p 3＝1，解得p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5. 4．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散．2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).一、基础达标1．下列说法中，正确的是( )A．离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值B ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值 答案 C2．设一随机试验的结果只有A 和A －，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m ) 答案 D解析 随机变量ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )． ∴故选D.3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1，2，3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 答案 A解析 E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2，∴D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.4．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8 答案 D解析 因随机变量X ～B (n ，p )， 则E (X )＝np ＝8，D (X )＝np ·(1－p )＝1.6，所以n ＝10，p ＝0.8.5．若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________. 答案 1解析 D (ξ－D (ξ))＝D (ξ－1)＝D (ξ)＝1. 6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.答案 59解析 由题意得2b ＝a ＋c ①，a ＋b ＋c ＝1②，c －a ＝13③，以上三式联立解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故D (ξ)＝59.7．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X 表示掷出偶数点的次数． (1)若抛掷一次，求E (X )和D (X )； (2)若抛掷10次，求E (X )和D (X )． 解 (1)X 服从两点分布∴E (X )＝p ＝12，D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14.(2)由题意知，X ～B (10，12)．∴E (X )＝np ＝10×12＝5，D (X )＝np (1－p )＝10×12×(1－12)＝52.二、能力提升8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为( )A.3.56B. 3.2 C ．3.2 D. 3.56 答案 D解析 依题意：0.4＋0.1＋x ＝1， ∴x ＝0.5，∴E (ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D (ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴D （ξ）＝ 3.56.9．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k (13)n －k，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29 D ．16答案 A解析 由题意可知ξ～B (n ，23)，∴E (ξ)＝23n ＝24.∴n ＝36.∴D (ξ)＝36×23×(1－23)＝8.10．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数，则方差D (X )的最大值为________． 答案 14解析 随机变量X 的所有可能取值为0，1，由题意，得X 的分布列为从而E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，D (X )＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.D (X )＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，因为0<p <1，所以当p ＝12时，D (X )取得最大值，最大值为14.11．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)．解 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6，9，12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， 则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5， 则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.12．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示： 甲：乙：试分析两名学生的成绩水平．解 ∵E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，∴E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．三、探究与创新13．(2013·北京理)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝413，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝5 13，所以X的分布列为故X的期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．。
2.3.2 人教A版数学选修2-3 第2章 随机变量及其分布
2.3.2 离散型随机变量的方差、标准差填一填1.(1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．4．离散型随机变量方差的线性运算性质设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X).判一判判断(1．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．(×)2．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平．(×)3．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．(√)4．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(×)5．若a是常数，则D(a)＝0.(√)6．若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则D(X)为0.5.(×)7．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于0.196.(√)8．若X为随机变量则D(X－D(X))＝D(X)．(√)想一想1.提示：随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动，集中与离散的程度，D(X)(或D(X))越小，稳定性越好，波动越小，显然D(X)≥0(D(X)≥0)．2．离散型随机变量的方差与标准差的单位相同吗？提示：不同，方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位．3．随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？提示：样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，因此它是一个常数(量)．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差．4．决策问题中如何运用均值与方差？提示：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高，然后再计算方差，分析谁的水平发挥相对稳定．当然不同的情形要求不同，应视情况而定。
高二数学人教A版数学选修2-3导学案：2.3离散型随机变量的均值与方差
是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
________________，（ k＝ 0,1,2, …， n， q 1 p ）．
于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下：
ξ0
1
…k
…n
P
C
0 n
p
0q
n
C
1 n
p 1q n
1
…
C
k n
pkq n
k…Leabharlann Cn np
n
q
0
称这样的随机变量 ξ 服从 ________________，记作 ξ ～B( n，p) ，其中 n，p 为参数，并记
…
…
…
…
则称 ____________为 的数学期望或均值 , 数学期望又简称为 ____________ 合作探究二：你能用文字语言描述期望公式吗？
E = · + · +…+ · +… 即： ________________________
即学即练 : 练习 1：离散型随机变量
1
100
的概率分布
项是正确答案，每题选择正确答案得 5 分，不作出选择或选错不得分，满分 100 分 学生甲
选对任一题的概率为 0.9，学生乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个， 求学生
甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解析： 甲乙两生答对的题目数这个随机变量是 20 次实验中“答对”这个事件发生的次数 k，
P
0.01 0.99
求 的期望。
练习 2：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数 的期望。
练习 3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚不中得 0 分，已知他命中的概率为 0.7， 求他罚球一次得分 的期望
【数学】2.3.2《离散型随机变量的方差》教案(新人教A版选修2-3)
知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：zxjkw@第 1 页共 8 页2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。
授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，,，n x 中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(x x ，22)(x x ，,，2)(x x n，那么[12nS21)(x x ＋22)(x x ＋,＋])(2x x n叫做这组数据的方差教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.分布列:ξx 1x 2,x i ,PP 1P 2,P i,6. 分布列的两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，,；⑵P 1+P 2+,=1．。
高中数学选修2-3学案：2.3.2离散型随机变量的方差
2．3．2离散型随机变量的方差【学习目标】 1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差；2.了解方差公式“2()()D aX b a D X +=”， “若X ~(,)B n p ，则()(1)DX n p p =-”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.【自主学习】1.什么是离散型随机变量的方差、标准差？2.求离散型随机变量X 的方差、标准差的步骤是什么？3.如何比较两个随机变量的期望与方差的大小？4.离散型随机变量方差的性质是什么？5. 怎样定量刻画随机变量的稳定性呢?6.能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢?【自主检测】 1.若随机变量X 满足随机变量()1,=P X c ==其中c 为常数，则D(X) 2.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数X 的均值、方差和标准差抛掷骰子所得点数X 的分布列为()E X = ()D X = ()X σ=3．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.4用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平____________.【典型例题】例1.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资X 1/元 1200 1400 1600 1800获得相应职位的概率P 10.4 0.3 0.2 0.1乙单位不同职位月工资X 2/元 1000 1400 1800 2000获得相应职位的概率P 2 0.4 0.3 0.2 0.1根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?例2.设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4【课堂检测】1 .已知()~,,()8,()1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是 （ ）A ．100；0. 08B ．20；0.4C ．100；0. 2D ．10；0. 82. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．则在取得正品之前已取出次品数的期望为3．若随机变量X 满足随机变量()1,P X c ==其中c 为常数，则D(X)=______.【总结提升】1、了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；2、离散型随机变量方差的性质3．利用随机变量的期望与方差的意义大小解决实际问题ξ 1 2 3 p a 0.1 0.6。
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2.3.2 离散型随机变量的方差1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点) 3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的方差的概念阅读教材P 64～P 66上面第四自然段，完成下列问题． 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i －E (X ))2描述了i D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．1．下列说法正确的有________(填序号)．①离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； ②离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平； ③离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的波动水平； ④离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．【解析】 ①错误．因为离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平．②错误．因为离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．③错误．因为离散型随机变量的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知． 【答案】 ④2．已知随机变量ξ，D (ξ)＝19，则ξ的标准差为________． 【解析】 ξ的标准差D (ξ)＝19＝13.【答案】 133．已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ －1 0 1 P121316则ξ的均值为________【解析】 均值E (ξ)＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D (ξ)＝(x 1－E (ξ))2·p 1＋(x 2－E (ξ))2·p 2＋(x 3－E (ξ))2·p 3＝59. 【答案】 －13 59教材整理2 离散型随机变量的方差的性质阅读教材P 66第5自然段～P 66探究，完成下列问题． 1．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． 2．离散型随机变量方差的线性运算性质 设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )．1．若随机变量X 服从两点分布，且成功概率P ＝0.5，则D (X )＝________，E (X )＝________.【解析】 E (X )＝0.5，D (X )＝0.5(1－0.5)＝0.25. 【答案】 0.25 0.52．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________. 【导学号：97270050】【解析】 由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝89.【答案】 89[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]离散型随机变量的方差的性质及应用(1)已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p等于()A.17 B.16C.15 D.14(2)已知η的分布列为：η010205060P 1325115215115②设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．【精彩点拨】(1)利用二项分布的方差计算公式求解．(2)①利用方差、标准差定义求解；②利用方差的线性运算性质求解．【自主解答】(1)np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝6 7，∴p＝17.【答案】 A(2)①∵E(η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D(η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D(η)＝8 6.②∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.1．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．2．若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)，若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程．[再练一题]1．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，D(X)＝32，求n，p的值．【解】由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝32，得1－p＝12，∴p＝12，n＝6.求离散型随机变量的方差、标准差编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．【精彩点拨】首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E(ξ)和D(ξ)的值．【自主解答】 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了．则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以，ξ的分布列为ξ 0 1 3 P131216E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；D (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1．已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下， (1)求均值；(2)求方差．2．已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下， (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．4．对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．[再练一题]2．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．【解】这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(ξ＝6)＝C38C310＝7 15.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝C28C12C310＝7 15.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝C18C22C310＝1 15.∴ξ的分布列为ξ6912P 715715115∴E(ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D(ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.[探究共研型]均值、方差的综合应用探究1A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X1012 3P 0.70.20.060.04B机床次品数X2012 3P 0.80.060.040.10试求E(X1)，E2【提示】E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.探究2在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能．因为E(X1)＝E(X2)．探究3在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．【自主解答】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P 0.50.30.10.1η10987P 0.30.30.20.2(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．[再练一题]3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：【解】甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．[构建·体系]1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎨⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m )【解析】 随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 P1－mm∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )． 【答案】 D 2．已知X 的分布列为X －1 0 1 P0.50.30.2则D (X )等于( ) A ．0.7 B ．0.61 C ．－0.3 D ．0【解析】 E (X )＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X )＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61. 【答案】 B3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好．【解析】 因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定． 【答案】 乙4．如果X 是离散型随机变量，E (X )＝6，D (X )＝0.5，X 1＝2X －5，那么E (X 1)和D (X 1)分别是________，________.【解析】 因为E (X 1)＝E (2X －5)＝2E (X )－5＝2×6－5＝7，D (X 1)＝D (2X －5)＝4D (X )＝4×0.5＝2.【答案】 7 25．已知离散型随机变量X 的分布列如下表：X －1 0 1 2 Pabc112若E (X )＝0，D (X )＝1，求a ，b 的值. 【导学号：97270051】 【解】 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，(－1)×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，(－1－0)2×a ＋(0－0)2×b ＋(1－0)2×c ＋(2－0)2×112＝1，解得a ＝512，b ＝c ＝14.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较【解析】∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻整齐．【答案】 B2．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1【解析】由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.【答案】 B3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝13，k＝3,6,9.则D(X)等于()A．6B．9C．3D．4【解析】E(X)＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6. 【答案】 A4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)＝( )A.158B.154C.52 D ．5【解析】 两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14，因此D (ξ)＝10×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝158.故选A.【答案】 A5．已知X 的分布列为( )则①E (X )＝－13，②D (X )＝2327，③P (X ＝0)＝13. 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确；D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确；③P (X ＝0)＝13显然正确．【答案】 C 二、填空题6．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.【解析】 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎨⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25. 【答案】 257．(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．【解析】 由独立重复试验的方差公式可以得到D (ξ)＝np (1－p )≤n ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1－p 22＝n 4，等号在p ＝1－p ＝12时成立，所以D (ξ)max ＝100×12×12＝25，D (ξ)max ＝25＝5.【答案】 12 58．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．【解析】 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，D (X )＝25×0.6×0.4＝6， E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，D (Y )＝D (4X )＝42× D (X )＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 【答案】 60,96三、解答题9．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：【解】∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)<D(X2)．由上可知，A面大钟的质量较好．10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n 个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．【解】(1)X的分布列为：∴E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2.又∵E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4即为所求． [能力提升]1．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3D.113【解析】 ∵E (X )＝23x 1＋13x 2＝43.∴x 2＝4－2x 1，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 22×13＝29. ∵x 1＜x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.【答案】 C2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n ⎝⎛⎭⎪⎫23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) 【导学号：97270052】A ．8B ．12 C.29 D ．16【解析】 由题意可知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，23，∴23n ＝E (ξ)＝24，∴n ＝36.又D (ξ)＝n ×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝29×36＝8. 【答案】 A3．变量ξ的分布列如下：ξ －1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)的值是________． 【解析】 由a ，b ，c 成等差数列可知2b ＝a ＋c ， 又a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23. 又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，∴a ＝16，c ＝12，故分布列为ξ －1 0 1 P161312∴D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59.【答案】594．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2-3-3所示．图2-3-3将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【解】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为因为X～B方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。