集合PPT教学课件
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高中数学集合ppt课件
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描述法
总结词
通过描述集合中元素的共同特征来展 示集合的方法。
详细描述
描述法适用于集合元素数量较多,无 法一一列举的情况。例如,集合 B={x|x>2},可以通过描述法表示为 {x|x>2}。
韦恩图法
总结词
通过图形表示集合及其关系的方法。
详细描述
韦恩图法是一种直观的表示方法,通过圆圈、椭圆等图形来 表示不同的集合,以及它们之间的关系。这种方法有助于理 解集合的并、交、差等运算。
总结词
表示两个或多个集合中共有的元 素
详细描述
交集是指两个或多个集合中共有 的元素组成的集合。可以用符号 "∩"表示交集,例如A∩B表示集合 A和集合B的交集。
并集
总结词
表示两个或多个集合中所有的元素, 不考虑重复
详细描述
并集是指两个或多个集合中所有的元 素组成的集合,不考虑重复。可以用 符号"∪"表示并集,例如A∪B表示集 合A和集合B的并集。
互异性
• 互异性是指集合中的元素互不相同,即集合中不会有重复的元素。例如,集合 {1,2,3}中没有重复的元素,而集合{1,2,2,3,3}中有重复的元素2和3。
05
集合的应用
在数学中的应用
1 2
3
集合论
集合论是数学的基础理论之一,它为数学概念提供了一种抽 象的描述方式。通过集合,数学中的许多概念,如函数、数 列、平面几何等都可以被统一地表达和描述。
在经济学中,集合的概念也经常被使 用。例如,可以将一组商品看作一个 集合,然后对这组商品进行分析和比 较。
计算机科学
在计算机科学中,集合的概念被广泛 应用于数据结构和算法的设计。例如 ,数组、链表、栈、队列等数据结构 都是基于集合的。
集合的概念ppt课件
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反之,如果X是一个奇数,那么X除以2的余数为1,它能表示为 X=2k+1(k∈Z)的形式。所以,X=2k+1(k∈Z)是所有奇 数的一个共同特征,于是奇数集可以表为 {X∈Z|X=2k+1, k∈Z}.
再如,实数集,有限小数和无限循环小数都具有q╱p(p, q∈Z,p≠0)的形式,这些数组成有理数集,我们将它表示为 Q={X∈R|X=q╱p,p,q∈Z,p≠0}. 其中,X=q╱p(p,q∈Z,p≠0)就是所有有理数具有的共同 特征。
例如,
不等式X-7<3的解是X<10,因为满足X<10的实数有无数个, 所以X-7<3的解集无法用列举法表示。但是我们可以利用解集中 元素的共同特征,即:X是实数,且X<10,把解集表示为 {X∈R|X<10}.
又如,整数集Z可以分为奇数集和偶数集。对于每一个X∈Z,如 果它能表示为X=2k+1(k∈Z)的形式,那么X除以2的余数为1, 它是一个奇数;
(1)小于10的所有自然数组成的集合
解:设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9}.
注,由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序无关,因 此一个集合可以有不同的列举方法,故以上例题的集合还可以写成 A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}.
集合E={X∈Z|X=2k+1,k∈Z}也可表示为E={X| X=2k+1,k∈Z}.
练习
1.判断下列元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)A,B是平面α内的定点,在平面α内与A,B等距离的点; (2)高中学生中的游泳能手. 2.用符号“∈”或“∉”填空: 0_N; -3_N; 0.5_Z; √2_Z; 1╱3_Q; π_R.
再如,实数集,有限小数和无限循环小数都具有q╱p(p, q∈Z,p≠0)的形式,这些数组成有理数集,我们将它表示为 Q={X∈R|X=q╱p,p,q∈Z,p≠0}. 其中,X=q╱p(p,q∈Z,p≠0)就是所有有理数具有的共同 特征。
例如,
不等式X-7<3的解是X<10,因为满足X<10的实数有无数个, 所以X-7<3的解集无法用列举法表示。但是我们可以利用解集中 元素的共同特征,即:X是实数,且X<10,把解集表示为 {X∈R|X<10}.
又如,整数集Z可以分为奇数集和偶数集。对于每一个X∈Z,如 果它能表示为X=2k+1(k∈Z)的形式,那么X除以2的余数为1, 它是一个奇数;
(1)小于10的所有自然数组成的集合
解:设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9}.
注,由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序无关,因 此一个集合可以有不同的列举方法,故以上例题的集合还可以写成 A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}.
集合E={X∈Z|X=2k+1,k∈Z}也可表示为E={X| X=2k+1,k∈Z}.
练习
1.判断下列元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)A,B是平面α内的定点,在平面α内与A,B等距离的点; (2)高中学生中的游泳能手. 2.用符号“∈”或“∉”填空: 0_N; -3_N; 0.5_Z; √2_Z; 1╱3_Q; π_R.
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函数与映射
集合在函数和映射的概念中起着关键 作用。函数可以看作是一种特殊的集 合关系,其中每个输入元素都与输出 元素相关联。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中,集合常被用作实现各种数据结构的基础 ,如哈希表、队列和栈等。集合提供了快速插入、删除和 查找等操作的方法。
算法设计与分析
在Hale Waihona Puke 法设计和分析中,集合用于表示问题实例、状态和转 换等。通过集合运算,我们可以实现各种算法逻辑,如排 序、搜索和图算法等。
统计学与社会学
在统计学和社会学中,集合用于描述人口分布、市场调查和民意调查 等。通过集合运算,我们可以分析数据并得出有意义的结论。
05 集合的扩展知识
无限集
无限集定义
无限集是包含无穷多个元素的集 合,无法完全列举其所有元素。
无穷大与无穷小
无限集中的元素可以按其数量大小 分为无穷大和无穷小,分别表示集 合中元素的数量趋于无穷和趋于零 。
A⊆B。
02
超集定义
如果集合A中的所有元素都是集合B中的元素,并且B中至少有一个元素
不属于A,则称B是A的超集,记作B⊇A。
03
子集与超集的性质
子集和超集之间存在互补关系,即对于任意集合A,存在一个与之对应
的超集A',使得A和A'的并集等于全集。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
数据库与信息检索
在数据库和信息检索中,集合用于表示数据记录、查询条 件和结果等。通过集合运算,可以实现高效的数据检索和 管理。
在日常生活中的应用
分类与分组
在日常生活中,集合的概念用于分类和分组事物。例如,将一组物 品分成几组、将人群分为不同年龄段或职业类别等。
集合的概念ppt课件
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(1) 1
N
(3) -12
Z (5) √2
R
(2) 0
N* (4) √3
Q (6) π
R
解析: (1) ∈ (3) ∈
(5) ∈
(2) ∉ (4) ∉ (6) ∈
03
集合的表示
一、合作探究
小组讨论:
1、小于5的自然数集合A,有哪些元素? 2、小于5的实数集合B,包括哪些元素?
1、集合A,包括元素:0,1,2,3,4。 集合A中的元素可以一 一列举。
③ 集合中元素的特征:确定性、无序性、互异性 ④ 集合的分类:有限集、无限集、空集 ⑤ 数集:N , N* , Z , Q , R ⑥ 集合的表示方法:列举法、描述法
06
课后作业
课后作业1
1、用符号“∈”或“∉”填空:
(1) -3
N, 0.5
N, 0.3
N
(2) 1.5
Z, -5
Z,
3
Z
(3)-0.2
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
目录
01 集合的概念
0 元素与集合 2
0 集合的表示 3
04 集合的分类
01
集合的概念
一、导入生活情景
情景1-上架商品:
如右图,“美汇”生活超市新进了一批果蔬:苹果, 葡萄,黄桃,柠檬,石榴,西瓜,土豆。茄子,西蓝 花等。
作为陈列员,你该如何分类摆放这些商品呢?
四、集合中元素的性质
集合中元素的性质
确定性
1 集合中的元素 必须是确定的
无序性
2 集合中的元素
无顺序之分 {a, b, c} = {a, c, d}
互异性
3 集合中的元素 是互不相同的
高一数学《集合》PPT课件
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• 图示法:画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一 个集合。 例子: 1,2,3,4,5
特定集合的表示
• N:全体非负整数的集合。 • Z:全体整数的集合。 • Q:全体有理数的集合。 • R:全体实数的集合。
集合的分类
有限集:含有有限个元素的集合。
例子:{1,2,3,4,5,6}
无限集:含有无限个元素的集合。 例子:自然数集。
1.1 集合
主讲人:六班六组
内容
• 集合的概念 • 元素与集合的关系 • 集合中元素的特性 • 集合的表示方法 • 特定集合的表示 • 集合的分类
集合的概念
• 概念:一般地,某些指定对象在一起就成 为一个集合。
• 例子(1)我校足球队员 (2)七大洲:亚洲,非洲,欧洲,北
美洲,南美洲,大洋洲,南极洲
元素与集合的关系
集合中元素的概念:集合中的每个对象叫做这个集合 的元素。 元素的表示方法:常用的小写拉丁字母表示。
集合与元素的关系:属于
不属于
集合中元素的特性
• 确定性 • 互异性 • 无序性
集合的表示方法
• 列举法:把集合中的元素一一列举出来的方法。 例子:A={1,2,3}
• 描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个 集合的方法。 例子:{x R x 3 4}
特定集合的表示
• N:全体非负整数的集合。 • Z:全体整数的集合。 • Q:全体有理数的集合。 • R:全体实数的集合。
集合的分类
有限集:含有有限个元素的集合。
例子:{1,2,3,4,5,6}
无限集:含有无限个元素的集合。 例子:自然数集。
1.1 集合
主讲人:六班六组
内容
• 集合的概念 • 元素与集合的关系 • 集合中元素的特性 • 集合的表示方法 • 特定集合的表示 • 集合的分类
集合的概念
• 概念:一般地,某些指定对象在一起就成 为一个集合。
• 例子(1)我校足球队员 (2)七大洲:亚洲,非洲,欧洲,北
美洲,南美洲,大洋洲,南极洲
元素与集合的关系
集合中元素的概念:集合中的每个对象叫做这个集合 的元素。 元素的表示方法:常用的小写拉丁字母表示。
集合与元素的关系:属于
不属于
集合中元素的特性
• 确定性 • 互异性 • 无序性
集合的表示方法
• 列举法:把集合中的元素一一列举出来的方法。 例子:A={1,2,3}
• 描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个 集合的方法。 例子:{x R x 3 4}
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3. 如果A⊆B且B和C是两个互不相交的集 合(即B与C没有交集),那么A与C也是 互不相交的。
2. 如果A⊆B且B⊆C,那么A⊆C。
子集的性质
1. 任何一个集合都是其本身的子集,即 A⊆A。
真子集的定义与性质
真子集的定义:如果 一个集合A是集合B的 一个子集,并且A和B 中至少有一个元素不 相同,那么我们称A 是B的真子集,记为 A⊈B。
集合通常用大写字母 表示,如A、B、C等 。
集合的元素
元素是集合中的个体,可以用小 写字母表示,如a、b、c等。
一个元素可以属于一个或多个集 合,不同元素可以属于同一个集
合。
空集是指不含有任何元素的集合 。
集合的表示方法
列举法
图示法
把集合中的元素一一列举出来,用大 括号{}括起来。
用一条封闭的曲线表示集合,内部可 以填充颜色或点上小点表示元素。
如果一个集合不是另一个集合 的真子集,那么称它为该集合 的真超集。
04
集合的交集、并集、补集的图形 表示
交集的图形表示
总结词
交集是指两个或两个以上集合的公共 部分,可以用符号 "∩" 表示。
详细描述
在图形表示中,交集通常用两个或多 个集合的公共部分来表示。例如,在 两个圆的重叠部分中,重叠部分的元 素就是两个圆的交集。
集合的运算性质
01
02
03
交换律
若A、B是两个集合,则A 并B等于B并A,A交B等于 B交A。
结合律
三个集合的交集和并集, 等于这三个集合分别交、 并后再合并得到的交集和 并集。
分配律
两个集合的并集与另一个 集合的交集相等,等于这 两个集合分别与另一个集 合的交集的并集。
集合课件PPt
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集合的传递性、吸收性、反对称性
传递性
如果A包含B,B包含C,则A包含C。
吸收性
如果A包含B,则A并B等于A。
反对称性
如果A包含B,B包含A,则A等于B。
集合运算的应用
用于解决数学问题中 的分类和合并问题。
用于逻辑推理和证明 中的概念和定理的表 述和证明。
用于处理集合之间的 关系和运算,如交、 并、补等。
集合的表示方法
列举法
将集合的元素一一列举出来,用 大括号{}括起来。例如:{1,2,3}表 示一个包含三个元素的集合。
描述法
通过描述集合中元素的共同特征 来表示集合。例如:{x|x是正方形 }表示所有正方形的集合。
集合的分类
01
02
03
有限集
包含有限个元素的集合。 例如:{1,2,3}是一个有限 集。
无限集
包含无限个元素的集合。 例如:自然数的集合N是 一个无限集。
空集
不包含任何元素的集合。 例如:{}是一个空集。
02 集合运算
交集、并集、补集
交集
由两个集合中共有的元素 组成的集合称为这两个集 合的交集。
并集
由两个或两个以上集合的 所有元素组成的集合称为 这些集合的并集。
补集
在集合A中,不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集。
应用
关系在数据库、人工智能和自然语言处理等领域都有广泛的应用。
等价关系与划分
定义
等价关系是一种特殊的二元关系,它满足自反性、对称性和传递性。自反性指任何元素都 与自己有这种关系,对称性指如果a与b有这种关系,则b与a也有这种关系,传递性指如 果a与b有这种关系,b与c也有这种关系,则a与c也有这种关系。
证明数学定理
人教版高中数学必修一课件:1.1《集合》 (共23张PPT)
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(2)互异性:
一个给定集合中的元素是互不相同的.即集合 中的元素是不重复出现的。
(3)无序性:
元素完全相同的两个集合相等,而与列举顺序 无关。
【注】两个集合相等当且仅当构成
这两个集合的元素是完全一样的.
三、元素与集合的关系
常见数集:
1. 自然数集(非负整数集): N 2. 正整数集: N*或N+ 3. 整数集: Z 4. 有理数集: Q 5. 实数集: R
(2) 描述法:
{ x I | P( x)}
元素符号 范围 元素的特征
【例2】试分别用列举法和描述法表示下列 集合 (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合; (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
【思考题】用列举法表示集合:
ab 1) A { x | x ,
a, b为非零实数}
3.
方程组
x x
y9 y3
的解集用列举
法或描述法表示为
。
4、已知x2∈ {1, x, 0}, 求实数x的值.
52、) 补充 : 含有三个实数的集合可
表示为{ a, b , 1 }, 也可表示为 a
{a 2 , aabb,,00},}求, 求a 2a0120006 b b . 20120006.
6、已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0, m∈R}且A中只有一个元素,求m的值.
课堂练习 P5 练习1、2
小结
1. 集合的概念; 2. 元素与集合的关系; 3. 集合的元素特征; 4. 集合的表示方法;
ab
2) B {k N | 6 Z} 3k
思考:B { 6 Z | k N }呢? 3k
1. 已知集合S中有三个元素 a, b, c
一个给定集合中的元素是互不相同的.即集合 中的元素是不重复出现的。
(3)无序性:
元素完全相同的两个集合相等,而与列举顺序 无关。
【注】两个集合相等当且仅当构成
这两个集合的元素是完全一样的.
三、元素与集合的关系
常见数集:
1. 自然数集(非负整数集): N 2. 正整数集: N*或N+ 3. 整数集: Z 4. 有理数集: Q 5. 实数集: R
(2) 描述法:
{ x I | P( x)}
元素符号 范围 元素的特征
【例2】试分别用列举法和描述法表示下列 集合 (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合; (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
【思考题】用列举法表示集合:
ab 1) A { x | x ,
a, b为非零实数}
3.
方程组
x x
y9 y3
的解集用列举
法或描述法表示为
。
4、已知x2∈ {1, x, 0}, 求实数x的值.
52、) 补充 : 含有三个实数的集合可
表示为{ a, b , 1 }, 也可表示为 a
{a 2 , aabb,,00},}求, 求a 2a0120006 b b . 20120006.
6、已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0, m∈R}且A中只有一个元素,求m的值.
课堂练习 P5 练习1、2
小结
1. 集合的概念; 2. 元素与集合的关系; 3. 集合的元素特征; 4. 集合的表示方法;
ab
2) B {k N | 6 Z} 3k
思考:B { 6 Z | k N }呢? 3k
1. 已知集合S中有三个元素 a, b, c
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04
差集的应用举例:在数据筛选中,可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义:对于全集U 和它的一个子集A,由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集,记作∁UA或~A。
补集的运算性质:满足德 摩根定律,即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) , ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B,如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A,则A是B的子集,即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础,用 于描述各种数学对象及其 性质,如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合,其中元素之间的比较不是完全的,而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质,如自反性、反对称性和传递性。此外,偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用,如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
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感谢您的观看
似,但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A,由A的所有 子集(包括空集和A本 身)组成的集合称为A 的幂集,记作P(A)。
幂集的性质
差集的应用举例:在数据筛选中,可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义:对于全集U 和它的一个子集A,由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集,记作∁UA或~A。
补集的运算性质:满足德 摩根定律,即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) , ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B,如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A,则A是B的子集,即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础,用 于描述各种数学对象及其 性质,如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合,其中元素之间的比较不是完全的,而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质,如自反性、反对称性和传递性。此外,偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用,如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
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似,但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A,由A的所有 子集(包括空集和A本 身)组成的集合称为A 的幂集,记作P(A)。
幂集的性质
数学集合课件ppt课件
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无限集
具有无限数量元素的集合。例如,自 然数集合N包含无限多的元素,因此N 是一个无限集。
幂集的性质
幂集是原集合所有子集的集合。
对于任何集合A,其幂集记为 P(A),包含了A的所有子集。
幂集的性质表明,一个集合的元 素个数等于其幂集中元素的个数 。因此,一个集合的幂集总是比
原集合大或相等。
04
集合的应用
数学集合课件ppt
目录 Contents
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用基本概念
集合的定义
总结词
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。
详细描述
集合是数学中一个基本概念,它是由一组确定的、不同的元素所组成。这些元 素可以是数字、字母、图形等,它们被用来描述具有某种特性的事物。
集合中的元素具有互异性,即集合中不会有重复的元素。此外,集合中的元素是 无序的,即集合中元素的排列顺序并不影响集合本身。
02
集合的运算
集合的交集
01
02
03
总结词
表示两个集合中共有的元 素组成的集合
详细描述
设集合A和集合B,它们的 交集记作A∩B,表示同时 属于A和B的元素组成的集 合。
举例
若A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6},则 A∩B={3,4}。
在计算机科学中的应用
数据结构与算法
集合在计算机科学中被广泛应用于数据结构和算法的设计 。例如,集合可以用来表示动态数据结构中的元素,如哈 希表和并查集等。
数据库系统
在数据库系统中,集合用来表示数据表中的行或记录,通 过集合操作来实现数据的查询、插入、删除和更新等操作 。
离散概率论与离散随机过程
离散概率论和离散随机过程是计算机科学中研究随机现象 的重要工具,集合在这个领域中也被广泛应用。
具有无限数量元素的集合。例如,自 然数集合N包含无限多的元素,因此N 是一个无限集。
幂集的性质
幂集是原集合所有子集的集合。
对于任何集合A,其幂集记为 P(A),包含了A的所有子集。
幂集的性质表明,一个集合的元 素个数等于其幂集中元素的个数 。因此,一个集合的幂集总是比
原集合大或相等。
04
集合的应用
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目录 Contents
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用基本概念
集合的定义
总结词
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。
详细描述
集合是数学中一个基本概念,它是由一组确定的、不同的元素所组成。这些元 素可以是数字、字母、图形等,它们被用来描述具有某种特性的事物。
集合中的元素具有互异性,即集合中不会有重复的元素。此外,集合中的元素是 无序的,即集合中元素的排列顺序并不影响集合本身。
02
集合的运算
集合的交集
01
02
03
总结词
表示两个集合中共有的元 素组成的集合
详细描述
设集合A和集合B,它们的 交集记作A∩B,表示同时 属于A和B的元素组成的集 合。
举例
若A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6},则 A∩B={3,4}。
在计算机科学中的应用
数据结构与算法
集合在计算机科学中被广泛应用于数据结构和算法的设计 。例如,集合可以用来表示动态数据结构中的元素,如哈 希表和并查集等。
数据库系统
在数据库系统中,集合用来表示数据表中的行或记录,通 过集合操作来实现数据的查询、插入、删除和更新等操作 。
离散概率论与离散随机过程
离散概率论和离散随机过程是计算机科学中研究随机现象 的重要工具,集合在这个领域中也被广泛应用。
集合的概念ppt课件
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A.中央电视台著名节目主持人
B.我市跑得快的汽车
C.上海市所有的中学生
D.香港的高楼
(
)
C
)
3.若以方程x2-3x+2=0和x2-5x+6=0的所有解为元素组成集合A,则A中元素的
个数为
(
A.1
B.2
C.3
D.4
C )
解析: 方程x2 - 3x +2=0的解为1,2,方程x2 -5x+6=0的解为2,3由于两方程有相
借助判别式的符号求解.
素养形成
典例 已知集合A是由方程ax2+2x+1=0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合.
(1)1是A中的一个元素,求集合A中的其他元素;
(2)若A中有且仅有一个元素,求a的值组成的集合B中元素的个数;
(3)若A中至多有一个元素,试求a的值.
【规范答题】
解 (1)若1是A中的一个元素,则只需a+2+1=0,
于不确定的概念,因此“2020年高考数学难题”不能构成集合;由于任意给一
个数都能判断是否为有理数,故能构成集合;小于π的正整数分别为1,2,3,能
够组成集合.故选B.
探究二
元素与集合的关系
例2. (1)已知不等式2x-5<0的解集为M,则以下表示方法正确的是(
A.0∈M,3∈M
B.0∉M,3∈M
√
可能只含有一个元素.
素养形成
利用分类讨论思想求解一类关于x的方程ax2+bx+c=0的解集
一般地,形如ax2+bx+c=0是关于x的方程,当a≠0时,该方程是关于x的一元
二次方程,当a=0,b≠0时是关于x的一元一次方程,求解此类方程的解集问题,
B.我市跑得快的汽车
C.上海市所有的中学生
D.香港的高楼
(
)
C
)
3.若以方程x2-3x+2=0和x2-5x+6=0的所有解为元素组成集合A,则A中元素的
个数为
(
A.1
B.2
C.3
D.4
C )
解析: 方程x2 - 3x +2=0的解为1,2,方程x2 -5x+6=0的解为2,3由于两方程有相
借助判别式的符号求解.
素养形成
典例 已知集合A是由方程ax2+2x+1=0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合.
(1)1是A中的一个元素,求集合A中的其他元素;
(2)若A中有且仅有一个元素,求a的值组成的集合B中元素的个数;
(3)若A中至多有一个元素,试求a的值.
【规范答题】
解 (1)若1是A中的一个元素,则只需a+2+1=0,
于不确定的概念,因此“2020年高考数学难题”不能构成集合;由于任意给一
个数都能判断是否为有理数,故能构成集合;小于π的正整数分别为1,2,3,能
够组成集合.故选B.
探究二
元素与集合的关系
例2. (1)已知不等式2x-5<0的解集为M,则以下表示方法正确的是(
A.0∈M,3∈M
B.0∉M,3∈M
√
可能只含有一个元素.
素养形成
利用分类讨论思想求解一类关于x的方程ax2+bx+c=0的解集
一般地,形如ax2+bx+c=0是关于x的方程,当a≠0时,该方程是关于x的一元
二次方程,当a=0,b≠0时是关于x的一元一次方程,求解此类方程的解集问题,
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(2) 设x B, 则x是整数,则x Z,且10 x 20. 因此, 用描述法表示为: B { x Z | 10 x 20}
因此,用列举法表示为 B {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}.
学习新知
我们约定, 如果从上下文的关系看, x R, x Z 是明确的, 那么, x R, x Z 可以省略, 只写其元素x.
学习新知
在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?如:
自然数的集合
有理数的集合
不等式的解的集合
到一个定点的距离 等于定长的点的集合
到一条线段的两个端点 距离相等的点的集合
......
学习新知
观察下列实例:
1 1~10以内的所有奇数 2 方程x2-9=0的实数根 3 小于8的素数
集合
设A是一个集合,我们把集合A中,所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的
集合表示为:
x A P(x)
我们称这种方法为描述法。
x为该集合的代表元素
P(x)表示该集合中的元素x所具有的性质
学习新知
例如,实数集R 中,有限小数和无限循环小数都具有 q ( p, q Z, p 0) 的 p
形式,这些数组成有理数集,我们将它表示为:
{0}.
(4) b
{a,b,c}.
【总结提升】求解此类问题必须要做到以下两点: ①熟记常见的数集的符号; ②正确理解元素与集合之间的“属于”关系。
总结新知 判断元素与集合关系的两种方法
直接法:
如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否 出现即可,此时应先明确集合是由哪些元素构成的。
总结新知 思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合?
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Thank You
在别人的演说中思考,在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches,Growing Up In Your Own Story
讲师:XXXXXX XX年XX月XX日
• 集合中的各个对象叫做这个集合的元素.
符号及关系表示
• 集合:A,B,C… • 集合的元素:a,b,c…
读作“a属于A”
• 若a是集合A的元素,记作 a A. 读作“a不属于A”
• 若a不是集合A的元素,记作 a A.
集合的元素的性质:
• 确定性:组成集合的元素,必须是能确定的, 不能模棱两可;
• 互异性:集合中的元素是互异的,不能重复出 现;
• 无序性:集合中的ຫໍສະໝຸດ 素没有一定的顺序(通常 用正常的顺序写出).
集合的分类:
• 按元素个数:
– 有限集:含有有限个元素的; – 无限集:含有无限个元素的集合; – 空集:不含任何元素的集合,记作 .
常用集合:
• 实数集R
– (正实数集R+ 、负实数集R- )
第一章 集 合
1.1.1 集合的概念
观察归纳 形成概念
(1)某职业学校电子电器专业全体学生构成的整体 (2)硬盘上存放在一个文件夹里的照片构成的整体 (3)所有能被2整除的数构成的整体 (4)平面直角坐标系中纵坐标为0的点构成的整体
归纳总结 概括定义
• 把能够确指的一些对象看作一个整体,这 个整体就叫做集合,简称集.
作
教材
P4 第3、4题
业
P9 习题1.1第1、2题
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
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【失误案例】因为x2∈A, 所以x2=1或x2=0或x2=x, 解得x=-1,0,1.
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的根本原因是忽略了集合中元素应满足互异 性,没有对所求的值进行验证导致产生了多余的解.
【自我纠正】由x2∈A知,x2=0或x2=1或x2=x. (1)若x2=0,则x=0,此时集合A中有两个相同元素0,不符 合集合中元素的互异性,舍去. (2)若x2=1,则x=±1. 当x=1时,此时集合A中有两个相同元素1,舍去. 当x=-1时,集合A中含有三个元素1,0,-1,符合.
2.(1)能构成集合,任意给出一个数,它或者是不超过20 的非负数,或者不是,这是确定的. (2)能构成集合,含有两个元素,3和-3. (3)不能构成集合,“高个子”无明确的标准,对于某个 人算不算高个子无法客观地判断,因此不能构成一个集 合.
(4)不能构成集合,“ 3 的近似值”不明确精确到什么 程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值, 所以不能构成集合. 答案:(1)(2)
2.设集合B是小于 1 1 的所有实数的集合,则2 3 ____B, 1+ 2 ________B. 【解析】 2 3 12>11, (1+ 2 )2=3+2 2 <3+2×4=11, 所以1+ 2 < 1 1 ,所以依次应填∉,∈. 答案:∉ ∈
类型三 集合中元素性质的应用 【典例】1.已知集合A由元素a,a2+2a-2,4-a组成,若 1∈A,则a=______. 2.(2017·沈阳高一检测)集合A中的元素x满足 6
4.给出下列Biblioteka 系:(1)π ∈Q;(2) 1 ∈Z;(3) 2 ∈R;
3
(4)0∈N.其中正确的个数为________.
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几个要求
⑴上课前要预习
⑵上课时要认真 ⑶关于作业 ⑷自己整理问题集
集合的有关概念
元素(element)---我们把研究的对象 统称为元素
集合(set)---把一些元素组成的总体叫 做集合, 简称集.
一般用大括号”{ }”表示集合,也常用 大写的拉丁字母A、B、C…表示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
(4) 0_______N+
(5) (-0.5)0__∈_____Z (6) 2__∈_____R
集合的分类
有限集:含有限个元素的集合 无限集:含无限个元素的集合 空集:不含任何元素的集合
φ
集合的表示方法
1、列举法: 无序 互异
将集合中的元素一一列举出来,并用花括号{ } 括起来的方法叫做列举法
36
3画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.
Z
D
C y
A
B
M D O Q NC x
AP B
37
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
Z
D
C y
A
B
M D O Q NC x
B
A
B
S 2 2
42
作业:
P19练习:2,3(做书上); P21习题1.2A组:4,5.
43
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件) 表示出来,写成{x︱p(x)}的形式
特征性质
Venn图:形象 直观
a,b,c…
• 例2试分别用列举法和描述法表示下 列集合:
• (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集 合;
• (2)由大于10小于20的所有整数组成 的集合。
思考题 结合此例,试比较用自然语言、 列举法和描述法表示集合时各自的特点和 适用的对象。
xOz 90 .
Z
y
O
x
35
2画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在
轴上取线段PQ,使PQ=1.5cm;分别过点M 和N作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
Z
y
D QC
MO N x
AP B
1 在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为X轴,
对称轴MN所在直线为Y轴,两轴交于点O。画相应
的X轴和Y轴,两轴相交于点O,使xOy=45
y
y
F ME
A
O Dx
O
x
B NC
27
例1用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
2以O为中心,在X上取AD=AD,在y轴上取
MN= 1 MN.以点N为中心,画BC平行于x M E
A
O
D x
B N C
29
知识探究(一)水平放置的平面图形的直观 图的作法
1.斜二测画法:画多边形
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交
于o点.画直观图时,把它画成对应的x′轴、y′轴,使
xOy=45 或135 ,它确定的平面表示水平平面。
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中
• 练习与思考
1、教材P5练习1、2
2、集合{x|y=x+1,x∈R } 、{y|y=x+1} {(x、y)|y=x+1、,x、y∈R} 、{y=x+1}
是同一个集合吗?
课堂小结
1.集合的定义; 2.集合元素的性质:确定性,互
异性,无序性; 3.数集及有关符号; 4. 集合的表示方法;
5. 集合的分类.。
• 例3:已知A={a-2,2a2+5a,10},且 -3∈A,求a。
例4若A={x|x=3n+1,n ∈ Z}, B= {x|x=3n+2,n ∈ Z} C={x|x=6n+3,n ∈ Z}
(1) 若c ∈ C,问是否有a ∈ A,b ∈ B,使得 c=a+b; (2)对于任意a ∈ A,b ∈ B,是否 一定有a+b ∈ C ?并证明你的结论;
作业
教材P.11
T1~4.
高一年级数学必修2 1.2空间几何体的直观图
19
复习巩固
1、如图所示,将一个长方体截去一 部分,这个几何体的三视图是什么?
正视
正视图
侧视图
俯视图
20
复习巩固 2、将一个长方体挖去两个小长方体后剩余 的部分如图所示,试画出这个组合体的三 视图.
21
3、 说出下面的三视图表示的几何体的结 构特征.
练习:已知一个几何体的三视图如下, 这个几何体的结构特征如何?试用斜二 测画法画出它的直观图.
正视图 侧视图 俯视图
z
y′
A′
B′
o′
x′
y
A
oB x
41
练习:如图,一个平面图形的水平放置 的斜二测直观图是一个等腰梯形,它的 底角为45°,两腰和上底边长均为1, 求这个平面图形的面积.
D
C
D
C
A
AP B
38
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
D
A
D
A
C
B
C
B
39
练习:怎样画底面是正三角形,且顶点 在底面上的投影是底面中心的三棱锥?
C
A
B
zS
y C
M
A
o B xA
S C B
画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
40
A OBx
D FH
y
CEG
A O B
x
DFH
32
例2.用斜二测法画水平放置的圆的直观图
y
C EG
A OBx
D FH
33
知识探究(二):空间几何体的直观图的画法
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
34
1画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 ,
22
4、根据几何体的三视图,还原成几何体。
23
对于柱体、锥体、台体及简单的组合 体,在平面上应怎样作图才具有强烈的 立体感?这涉及空间几何体的直观图的 画法问题.
24
1.2空间几何体的直观图
25
知识探究
探究1、画一个水平放置的平面图形的直 观图.
y
D
C
y′ C′
D′
A
Bx
A′
B′ x′
26
例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的 直观图。
• 例1用列举法表示下列集合: • (1)小于10的所有自然数组成的集合; • (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合; • (3)由1~20以内的所有质数组成的集合。
思考题(P4)(1)你能用自然语言描述集 合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?
集合的表示方法
2、描述法:
并且等于BC;再以M为中心,画EF平行于x轴,
并且等y于EF.
F ME
A
O Dx
y
F M E
A
O
D x
B N C
B NC 28
例1.用斜二测画法画水平放置的六边形 的直观图
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F ME
A
O Dx
•元素对于集合的关系
(1)属于(belong to):如果a是集合A 的元素,就说a属于A,记作a∈A
(2)不属于(not belong to):如果a不 是集合A的元素,就说a不属于A,记作
aA
练一练:用符号“∈”或“”
填空:
(1) 3.14__∈_____Q
(2) π_______Q
(3) 0__∈_____N
判断下列例子能否构成集合
中国的直辖市
√
身材较高的人
×
著名的数学家
×
高一(5)班眼睛很近视的同学 ×
注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词 都不能构成集合
重要数集:
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N+或N﹡ : 正整数集(不含0) (3) Z:整数集 (4) Q:有理数集 (5) R:实数集
分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持
原长度不变;平行于y轴的线段,长度取半.
30
斜二测画法的基本步骤: (1)建坐标系,定水平面; (2)与坐标轴平行的线段保持平行; (3)水平线段等长,竖直线段减半.
31
例2.用斜二测法画水平放置的圆的直观图
y
C EG
注:组成集合的元素可以是物,数,图,点等
集合三大特性:
(1)确定性:集合中的元素必须是确定 的.
(2)互异性:集合中的元素必须是互不相同 的。
(3)无序性:集合中的元素是无先后顺序的. 集合中的任何两个元素都可以交换位置.
只要构成两个集合的元素是一样 的,我们就称这两个集合是相等 的
思考:
判断以下元素的全体是否组成集合,并 说明理由; (1) 大于3小于11的偶数; (2) 我国的小河流。
⑴上课前要预习
⑵上课时要认真 ⑶关于作业 ⑷自己整理问题集
集合的有关概念
元素(element)---我们把研究的对象 统称为元素
集合(set)---把一些元素组成的总体叫 做集合, 简称集.
一般用大括号”{ }”表示集合,也常用 大写的拉丁字母A、B、C…表示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
(4) 0_______N+
(5) (-0.5)0__∈_____Z (6) 2__∈_____R
集合的分类
有限集:含有限个元素的集合 无限集:含无限个元素的集合 空集:不含任何元素的集合
φ
集合的表示方法
1、列举法: 无序 互异
将集合中的元素一一列举出来,并用花括号{ } 括起来的方法叫做列举法
36
3画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.
Z
D
C y
A
B
M D O Q NC x
AP B
37
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
Z
D
C y
A
B
M D O Q NC x
B
A
B
S 2 2
42
作业:
P19练习:2,3(做书上); P21习题1.2A组:4,5.
43
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件) 表示出来,写成{x︱p(x)}的形式
特征性质
Venn图:形象 直观
a,b,c…
• 例2试分别用列举法和描述法表示下 列集合:
• (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集 合;
• (2)由大于10小于20的所有整数组成 的集合。
思考题 结合此例,试比较用自然语言、 列举法和描述法表示集合时各自的特点和 适用的对象。
xOz 90 .
Z
y
O
x
35
2画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在
轴上取线段PQ,使PQ=1.5cm;分别过点M 和N作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
Z
y
D QC
MO N x
AP B
1 在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为X轴,
对称轴MN所在直线为Y轴,两轴交于点O。画相应
的X轴和Y轴,两轴相交于点O,使xOy=45
y
y
F ME
A
O Dx
O
x
B NC
27
例1用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
2以O为中心,在X上取AD=AD,在y轴上取
MN= 1 MN.以点N为中心,画BC平行于x M E
A
O
D x
B N C
29
知识探究(一)水平放置的平面图形的直观 图的作法
1.斜二测画法:画多边形
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交
于o点.画直观图时,把它画成对应的x′轴、y′轴,使
xOy=45 或135 ,它确定的平面表示水平平面。
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中
• 练习与思考
1、教材P5练习1、2
2、集合{x|y=x+1,x∈R } 、{y|y=x+1} {(x、y)|y=x+1、,x、y∈R} 、{y=x+1}
是同一个集合吗?
课堂小结
1.集合的定义; 2.集合元素的性质:确定性,互
异性,无序性; 3.数集及有关符号; 4. 集合的表示方法;
5. 集合的分类.。
• 例3:已知A={a-2,2a2+5a,10},且 -3∈A,求a。
例4若A={x|x=3n+1,n ∈ Z}, B= {x|x=3n+2,n ∈ Z} C={x|x=6n+3,n ∈ Z}
(1) 若c ∈ C,问是否有a ∈ A,b ∈ B,使得 c=a+b; (2)对于任意a ∈ A,b ∈ B,是否 一定有a+b ∈ C ?并证明你的结论;
作业
教材P.11
T1~4.
高一年级数学必修2 1.2空间几何体的直观图
19
复习巩固
1、如图所示,将一个长方体截去一 部分,这个几何体的三视图是什么?
正视
正视图
侧视图
俯视图
20
复习巩固 2、将一个长方体挖去两个小长方体后剩余 的部分如图所示,试画出这个组合体的三 视图.
21
3、 说出下面的三视图表示的几何体的结 构特征.
练习:已知一个几何体的三视图如下, 这个几何体的结构特征如何?试用斜二 测画法画出它的直观图.
正视图 侧视图 俯视图
z
y′
A′
B′
o′
x′
y
A
oB x
41
练习:如图,一个平面图形的水平放置 的斜二测直观图是一个等腰梯形,它的 底角为45°,两腰和上底边长均为1, 求这个平面图形的面积.
D
C
D
C
A
AP B
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4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
D
A
D
A
C
B
C
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练习:怎样画底面是正三角形,且顶点 在底面上的投影是底面中心的三棱锥?
C
A
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zS
y C
M
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o B xA
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画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
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A OBx
D FH
y
CEG
A O B
x
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例2.用斜二测法画水平放置的圆的直观图
y
C EG
A OBx
D FH
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知识探究(二):空间几何体的直观图的画法
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
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1画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 ,
22
4、根据几何体的三视图,还原成几何体。
23
对于柱体、锥体、台体及简单的组合 体,在平面上应怎样作图才具有强烈的 立体感?这涉及空间几何体的直观图的 画法问题.
24
1.2空间几何体的直观图
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知识探究
探究1、画一个水平放置的平面图形的直 观图.
y
D
C
y′ C′
D′
A
Bx
A′
B′ x′
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例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的 直观图。
• 例1用列举法表示下列集合: • (1)小于10的所有自然数组成的集合; • (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合; • (3)由1~20以内的所有质数组成的集合。
思考题(P4)(1)你能用自然语言描述集 合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?
集合的表示方法
2、描述法:
并且等于BC;再以M为中心,画EF平行于x轴,
并且等y于EF.
F ME
A
O Dx
y
F M E
A
O
D x
B N C
B NC 28
例1.用斜二测画法画水平放置的六边形 的直观图
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F ME
A
O Dx
•元素对于集合的关系
(1)属于(belong to):如果a是集合A 的元素,就说a属于A,记作a∈A
(2)不属于(not belong to):如果a不 是集合A的元素,就说a不属于A,记作
aA
练一练:用符号“∈”或“”
填空:
(1) 3.14__∈_____Q
(2) π_______Q
(3) 0__∈_____N
判断下列例子能否构成集合
中国的直辖市
√
身材较高的人
×
著名的数学家
×
高一(5)班眼睛很近视的同学 ×
注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词 都不能构成集合
重要数集:
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N+或N﹡ : 正整数集(不含0) (3) Z:整数集 (4) Q:有理数集 (5) R:实数集
分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持
原长度不变;平行于y轴的线段,长度取半.
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斜二测画法的基本步骤: (1)建坐标系,定水平面; (2)与坐标轴平行的线段保持平行; (3)水平线段等长,竖直线段减半.
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例2.用斜二测法画水平放置的圆的直观图
y
C EG
注:组成集合的元素可以是物,数,图,点等
集合三大特性:
(1)确定性:集合中的元素必须是确定 的.
(2)互异性:集合中的元素必须是互不相同 的。
(3)无序性:集合中的元素是无先后顺序的. 集合中的任何两个元素都可以交换位置.
只要构成两个集合的元素是一样 的,我们就称这两个集合是相等 的
思考:
判断以下元素的全体是否组成集合,并 说明理由; (1) 大于3小于11的偶数; (2) 我国的小河流。