导数中的分类讨论依据问题
导数中如何分类讨论
导数中如何分类讨论在微分学中，导数是一个非常重要的概念，描述了函数在其中一点的变化率。
导数的分类讨论主要有以下几种情况：1.右导数和左导数：对于函数在其中一点的导数来说，如果左极限和右极限都存在且相等，则这个导数称为右导数和左导数。
如果左右导数相等，则称为函数在这一点处可导。
否则，函数在这一点处不可导。
2.一阶导数：函数的一阶导数描述的是函数的瞬时变化率，也就是在特定点的切线斜率。
如果函数在其中一点可导，则这一点的一阶导数存在。
通过函数的一阶导数，可以推断出函数的增减性、极值点和拐点等信息。
3.高阶导数：函数的高阶导数描述的是函数的瞬时变化率的变化率，即变化率的二阶或更高阶的导数。
高阶导数主要用于研究曲线的弯曲程度、拐弯点等。
如果函数的一阶导数存在，且一阶导数也再次可导，则可以得到函数的二阶导数。
以此类推，得到三阶导数、四阶导数，依此类推。
4.导数的连续性：对于函数的导数，我们可以考虑导数本身在其中一区间上的连续性。
如果导数在其中一区间上连续，则称该函数在该区间处可导。
连续导数的函数是很常见的类型，如多项式函数、三角函数等。
但也有一些函数在一些点处的导数不连续，如绝对值函数在零点处。
5.可导函数的性质：对于可导函数而言，还有一些特殊的性质可以讨论。
例如，连续函数的定义域上的导函数在整个区间上是无穷可微的。
光滑函数是指具有任意阶导数的函数。
对于光滑函数而言，它的导数在整个定义域上是无穷可微的。
在实际问题中，导数的分类讨论可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
通过分析导数的分类情况，可以确定函数的增减性、极值点和拐点等重要信息，从而为更深入的研究函数提供了基础。
同时，导数的分类讨论也有助于我们理解函数之间的关系和运算法则，如链式法则、乘积法则和商法则等。
综上所述，导数的分类讨论在微分学中是非常重要的。
对函数的导数进行分类讨论，可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，并进一步研究更复杂的数学问题。
第3讲 导数中含参问题的分类讨论(解析版)
导数中含参问题的分类讨论本讲义由作业帮周永亮老师(白哥)独家编撰，侵权必究或知识导航★ 1.-次型导函数一次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是一次函数形式，或者说导函数中，除去里面的一次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (x) = ax + b；f (a:) = (ax + b) e x ; f' (a;) = 口“ * " (z > 0)X★ 2.二次型导函数二次型导函数：二次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是二次函数形式，或者说导函数中，除去里面的二次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (a:) = ax2 +bx + c；f (x) = (ax2 +bx + cj e x ; f (x) —* 况* ° (a； > 0)注：以上a尹0，若不确定a是否可以为0,就先讨论是一次型还是二次型；★ 3 .含参函数单调性的分类讨论(1)先确定导函数是一次型还是二次型，一次型按照一次型的讨论方式讨论;①判断是否有根，没有根会出现恒成立状况；②求出导函数的根，判断根是否在定义域内，不在定义域会出现恒成立问题；③根在定义域内，穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；(2)若是二次型，先判断二次型函数是否有根，没有根会出现恒成立状况；①如果二次型函数有根，就先求出根(能因式分解就因式分解)；②判断根是否在定义域内(讨论根与定义域端点值的大小关系)；③如果两根全在定义域，那么确定两根大小关系；④穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；★ 4.拟合函数(1)拟合函数是指，根据散点图，拟合出函数的解析式，这里考虑到的点越多，拟合的解析式就越精确.(2 )在求导中，我们会发现很多函数的导函数是指数型或者对数型的，如：f' (x) = e x—2 ; (/ (x) = (a; — a) (In x — S),这种类型的导函数，我们判断原函数的单调性比较麻烦，所以我们会采用拟合函数的形式进行讨论就可以了；(3)在单调性讨论中，拟合的形式比较简单，只需要参考两个关键点就可以了，分别是：①等于0的解，②所需拟合函数单调性；例如：f (a；) = e x -2，①当 / (a:) = 0 时，c = ln2 :② f (时=e x -2单调递增；则，我们也可以找到一个具有相同性质的一次函数，所以f (x) = 可以拟合成f' {x) — x — \n.2 ;再如：寸(x) = (a; — a) (In a: — 3),只需要讨论g = In r - 3这部分就可以了，此函数可以拟合成：y = x-^(x>0)；则寸(c) = (z — a) (Ina: — 3)可以拟合成(/ (x) = (x — a) (x — e3) (z > 0).知识札记歩经典例题考点1 一次型含参导函数的分类讨论已知函数f(x) = lnx + --l ^R)，讨论函数六z)的单调性. X解答：由题意知该函数的定义域为(0, +8)，且/ (^) = - - 4 = 与凸从而当a W0时，/(苛>0,则,(z)在(0,+8)上单调递增当a > 0时(1 )若z € (0,a)，则「(r) < 0,从而/(a:)在(0,a)上单调递减(2)若z€(a,+8),则f(z)>0,从而f(3!)在(a,+8)上单调递增综上所述，当aWO时，义时在(0,+8)上单调递增；当a>0时，山z)在(0,a)上单调递减，在(a, +oo)上单调递增讨论函数f(x)=ax-inx的单调区间.解答：函数，(z)的定义域是(0,+8) m—，若aWO,则/ (x) <。
【高考数学】《分类讨论的“界点”》破解导数解答题
【规范解答】（1）令 h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx+x+1﹣x2﹣2x＝lnx+1﹣x2﹣x．（x∈（0，
+∞））．
h′（x）
ᄖ ཧ
2x﹣1
ሺ ཧ ᄖ ሺཧᥐᄖ ．
ཧ
可知：当 x ᄖ时，函数 h（x）取得极大值，h（ᄖ）＝lnᄖ ᥐ1 ᄖ ᄖ
ln2ᥐ ᄖ．h（x）无
极小值．
（2）令 f（x）﹣mg（x）≤0 成立，g（x）＝x2+2x＞0．∴m
①当﹣1ᥐ ᄖ ᄖ 1 即 ᄖ a＜0 时，f（x）在[0，1]单调递增， f（0）＝0，此时 f（x）在区间[0，1]上有一个零点； ②当﹣1ᥐ ᄖ ᄖ＜1 即 a＜ ᄖ时，
若 f（1）＞0 即ᄖ 1＜a＜ ᄖ时，f（x）在[0，﹣1ᥐ ᄖ ᄖ）单调递增，在[﹣1ᥐ ᄖ ᄖ， 1]单调递减， f（0）＝0，此时 f（x）在区间[0，1]上有一个零点； 若 f（1）≤0 即 a ᄖ 1 时，f（x）在[0，﹣1ᥐ ᄖ ᄖ）单调递增，在[﹣1ᥐ ᄖ ᄖ，1] 单调递减， f（0）＝0，此时 f（x）在区间[0，1]上有零点 x＝0 和在区间[﹣1ᥐ ᄖ ᄖ，1]有一个零点 共两个零点； 综上：当 a ᄖ 1 时，f（x）在区间[0，1]上有 2 个零点； 当 a＞ ᄖ 1 时，f（x）在区间[0，1]上有 1 个零点．
②当 a＞1 时，令 f′（x）＝0，解得：x1＝﹣1 ᄖ ᄖ，x2＝﹣1ᥐ ᄖ ᄖ，
x，f′（x），f（x）的变化如下：
x
（﹣∞，x1）
x1
f′（x）
+
0
（x1，x2） x2
﹣
0
（x2，+∞） +
f（x）
(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。
(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。
这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。
因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。
（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。
故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时，则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2：已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。
例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。
帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论
帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论在导数的学习中，我们经常会遇到各种不同的函数和问题，为了更好地理解和解决这些问题，我们需要进行分类讨论。
下面将介绍导数中常见的五种分类讨论，并探讨每种分类讨论的应用。
一、基本函数的导数基本函数是指一些常见的函数，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
对于这些函数，我们可以通过公式或运用基本性质来求导数。
例如，对于常数函数f(x) = c，其导数为f'(x) = 0；对于幂函数f(x) = x^n，其中n为常数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
基本函数的导数可以通过记忆公式或基本性质来求解，这是导数求解中最基础的分类讨论。
二、复合函数的导数复合函数是指由两个或多个函数相互组合而成的函数。
对于复合函数的导数求解，我们可以运用链式法则。
链式法则指出，若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是两个可导函数，则复合函数y的导数可以表示为y'=f'(g(x))*g'(x)。
通过链式法则的应用，我们可以将复合函数的导数求解转化为求两个基本函数的导数，从而简化导数的计算。
三、隐函数的导数隐函数是指由一个关系式所定义的函数，其自变量和因变量的关系并不明显。
对于隐函数的导数求解，我们可以运用隐函数求导法。
隐函数求导法是一种通过求全微分和利用导数的定义来求解隐函数的导数的方法。
具体而言，我们可以将隐函数的方程两边求导，并利用导数的表示推导出隐函数的导数表达式。
隐函数的导数求解不仅可以帮助我们理解隐函数的性质，还可以解决一些与隐函数相关的问题。
四、参数方程的导数参数方程是指用参数的形式表示的函数。
对于参数方程的导数求解，我们可以运用参数方程的求导法。
参数方程的求导法是一种通过将参数作为自变量，并利用导数的定义和基本性质来求解参数方程的导数的方法。
具体而言，我们可以将参数方程中的每个参数视为独立的变量，然后对每个参数分别求导得到参数方程对应的导数表达式。
导数问题的常见分类讨论策略
导数问题的常见分类讨论策略导数是高考必考查的一个模块，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，常常需要进行分类讨论，如何分类讨论？常见的有哪些类型？本文来支支招。
1.导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系的讨论例1、已知，求函数在区间[0，1]上的最小值。
解析：，由①当在区间[0，1]上是减函数，此时在区间[0，1]上的最小值是②当在区间[0，1]上是增函数，在区间[0，1]上的最小值是③当所以当时，函数取得极大值，又，因此当时，在区间[0，1]上的最小值是，当时，在区间[0，1]上的最小值是。
综上，当时，在区间[0，1]上的最小值是；当时，在区间[0，1]上的最小值是。
评析：当求出的导数为零的点不能确定是否在给定区间内时，常常要分零点在区间的左侧、右侧（这两种情况函数一般是单调函数）和在区间内（此时函数一定有极值）三种情况讨论。
2、对代数式正负的讨论例2、设函6570，求函数的单调区间。
解析：，当，所以函数的单调增区间是；，所以函数的单调减区间是当，所以函数的单调减区间是；，所以函数的单调增区间是。
评析：研究函数的单调性时，常常需要解不等式，当不等式两边同除一个代数式时，要分此式为正、为0和为负三种情况分别讨论。
3、对判别式的讨论例3、已知函数，讨论的极值。
解析：函数的定义域为设方程的判别式 =。
Ⅰ、当 =时，恒成立，不存在极值。
Ⅱ、当 =时，恒成立，不存在极值。
Ⅲ、当 =时，方程有两个不同的实根当x变化时，、的变化情况如下表：递增递减递增由表知，当时，取得极大值，当时，取得极小值。
评析：当函数求导后能转化为二次函数或二次不等式问题，它们对应的二次方程是否有解不能确定时，往往要对判别式进行讨论，此时要特别注意，当判别式 =0时，虽然导数为0有根，但根的左右两侧符号相同，不存在极值。
4、对两根大小的讨论例4、已知函数，试讨论函数的单调性。
解析：的定义域为，方程①当时，由，所以函数在上是增函数；，所以函数在上是减函数。
导数分类讨论解决含参问题(三种常见类型)
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
分类讨论解含参数的导数问题
２
② 若。 ÷ ， ２ ＞ 一 ， 变 （） ） 变化 ＜ 则一ａ ｏ ２当 化时 的
情 况 如下 表 ：
（一 ， ２ 口一 ）
＋
口一 ２
０
（ ２ 一 ａ 口一 ， ２ ）
一ａ ２
０
（一 ａ ＋。 ） ２ ， 。
＋
ｇ ）＝ 一∞ ＋ ， 次 方程 ｇ ）＝ （ ２二 （ ０的判 别 式 △＝ ． ａ 一８
例 ２ （０９年安 徽 卷理 ） ． ２０
＋
≯
极 大值
极 小值
≯
所 以 ， ） （一ｏ ， 。 ， ａ～ ， ） 是 增 雨 数 ， （ 在 。 一２ ） （ ２ ＋ 内 在
（ ２ ， ２ 内是 减 函数 一 ａ。一 ）
函数 ， ） （ 在 ＝ 一 ａ 取 得极 大值 ， 一 ｏ ， ， 一 ａ ２处 （ ２ ） （ ２ ）＝
１ １当 ａ ≤３时 ， ≤Ｏ （ ≥Ｏ Ａ ） ） 在 递增
厂 １ —
令厂（） ０解得 ＝一ａ或 ＝ 一 ：， ２， 口 ２由０ ÷ 知， ２≠ ≠ 一ａ
ａ一 ． ２ 以下分 两种 情 况 讨论 。
①若 ０ ÷ ， ２ ＜ 一 ． 变化时 （） ＞ 则一 ａ 。 ２当
方程 ｇ ）： （ ｏ有 两 个 不 同 的 实 根 ． ：
ａ ＋
二 墨
，
数 ） 在 ＝一 ｏ处取得极小值 ， 一 ｏ ， 一 ａ ＝ ２ （ ２ ）且 （ ２ ）
：
３０ ｅ一
￣ － ’＜ ８０
２ … 一 … ：
三、 依据“ 、 一 二次项 系数的正负” 来讨论
３０ ２ ｅ－ａ
．
导数单调性分类讨论知识讲解
导数单调性分类讨论类型二：导数单调性专题类型１.导数不含参。
类型２.导数含参。
类型３：要求二次导求单调性一般步骤：(1)第一步：写出定义域，一般有0ln x x (2)第二步：求导，（注意有常数的求导）若有分母则通分。
一般分母都比0大，故去死若无分母，因式分解（提公因式，十字相乘法）或求根（观察分子）判断导函数是否含参，再进行讨论（按恒成立与两个由为分界）(3)第三步由解出是减区间解出是增区间00x f x f (4)下结论类型一：导函数不含参：21223,22,,x x e m e xf x x c bx ax xf x b kx xf 如指数型如：二次型如：一次型对于这类型的题，直接由导函数大于0，小于0即可（除非恒成立）例题１求函数x e x xf 3的单调递增区间解：23'x e e x e xf x x x 由202'x x e xf x 所以函数在区间,2单调递增由202'x x e x f x 所以函数在区间2,单调递减例题２：求函数2211x e x x f x 的单调区间解：x e ex e x xe e x f x x x x x 11111'由01011'xx x e x f x 或所以函数在区间，和01,单调递增由01011'x x e x f x 所以函数在区间0,1单调递减例题３：求函数x xx f ln 的单调区间例题４：已知函数R k kx e x xf x 21(1)若1k 时，求函数x f 的单调区间例题５．(2010·新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f(x)的单调区间；例题６：已知函数112x e ax xf x (1)若0a ，求函数x f 的单调区间7.【2012高考天津文科20】（二次不含参）已知函数a ax x ax x f 232131)(，x 其中a>0.（I ）求函数)(x f 的单调区间；8.已知函数x xx f ln )(，（I ）求函数)(x f 的单调区间；类型二：导函数含参类型：me xf ax x c ax x c x ax x f bax x f x ,222,,//指数参型二次参型一次参型9：求函数ax e x f x 的单调区间（指数参）例题10.（2009北京理）（一次参）设函数()(0)kx f x xe k （Ⅰ）求曲线()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；例题11.（二次参）设函数321()(1)4243f x x a x ax a ，其中常数1a (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)若当x ≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。
导数中的分类讨论问题题目
导数中的分类讨论问题分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答；同时，分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。
根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须遵守分类讨论的原则：(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．同时遵守解分类问题的步骤：(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结，将各类情况总结归纳有关分类讨论的导数数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归为以下四种：1、因为未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；2、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；3、极值点的大小关系不定而引起的分类；4、极值点与区间的关系不定而引起分类。
几种类型都围绕着解方程展开，函数解析式都带有参数，能否解决问题主要是看能否准确的找到分点，对参数进行准确的分类。
以下就如何准确的找到以上四种类型的分点进行分析和探讨。
题型一、未知数的系数与零的关系不定：这一类问题的特点是，求出导函数之后导函数中自变量的系数有参数。
其值可能为零，因此必须分为等于零和不等于零两种，分点为零（如果是二次方程应该更具体的分为三种：①a=0，②a>0,③a<0）例1.已知函数2=+++.f x a x ax()(1)ln1(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)设a ≤－2，求证：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|. 题型二、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；这一类问题的特点是导函数是二次函数或者与二次函数有关，相应方程是一元二次方程或者可以转化成一元二次方程来求解。
导数中的分类讨论问题
导数中的分类讨论问题分类讨论思想确实是依照所研究对象的性质不同，分各类不同的情形予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技术；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重明白得和把握分类的原那么、方式与技术、做到“确信对象的全部，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 一、参数引发的分类讨论 例：已知函数1)1(ln )(2+-+=x p x p x f , 当0>p 时，讨论函数)(x f 的单调性。
解：()f x 的概念域为（0，+∞），()()()x px p x p x p x f +-=-+=2'1212，当1>p 时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调递增；当0＜p ＜1时，令'()f x =0，解得()12--=p px .那么当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+--∈,12p p x 时，'()f x ＜0. 故()f x 在()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12,0p p 单调递增，在()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+--,12p p单调递减. 例：已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+，求函数()f x 的单调区间；解:（1）'1(),(1)1f x k x x =->-,因此, 0k ≤当时,'()0;f x ≤0k >当时,由'()0f x >得:11,x k<+因此,0k ≤当时()()1,f x +∞在上为增函数；0k >当时1()1,1f x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上为减函数；二、判别式引发的分类讨论 例：已知函数2()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论()f x 在概念域上的单调性。
导数问题常见分类讨论
在高考中导数问题常见的分类讨论（一）热点透析由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度..分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。
只有这样在解题时才能做到有的放矢。
下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。
（二）知识回顾1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（三）疑难解释1．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．2．f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1． 若函数f (x )＝x ＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a (x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.2． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.3. 如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号) 答案 ②③解析 ①∵f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f (x )在[－2，－1]上是减函数；②∵f ′(－1)＝0且在x ＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对， ④不对，由于f ′(3)≠0.4． 设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.33答案 C解析 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：所以当x 5． (2011·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞). 二、高频考点专题链接题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。
导数中如何分类讨论
导数中如何分类讨论在微积分中，导数是描述函数变化率的概念。
导数的分类讨论是指讨论导数的种类和性质。
导数的分类讨论有助于我们更好地理解函数的性质和行为。
下面将对导数的分类讨论进行详细说明。
一、正导数与负导数：导数可以是正的、负的或者为零。
当导数大于零时，函数在给定点上的增长速度较快；当导数小于零时，函数在给定点上的减少速度较快；当导数等于零时，函数在给定点上取极值（极大值或极小值）。
二、单调增与单调减：在函数的一些区间上，如果导数恒大于零，则称函数在该区间上是单调增函数；如果导数恒小于零，则称函数在该区间上是单调减函数。
单调增与单调减性质可以帮助我们判断函数的增减性。
三、振荡与单调性：函数振荡是指在一些区间上函数的导数同时正负转换，即导数既大于零又小于零。
振荡的函数不具有单调性。
四、极大值与极小值：当函数在特定点附近，首先增长再减小时，该点称为函数的极大值点；当函数在特定点附近，首先减小再增长时，该点称为函数的极小值点。
通过导数的正负及变化可以判断函数的极值点。
五、凹函数与凸函数：凹函数指在函数图像上方的一切点处，引过该点的任一切线段都位于曲线图像的上方；凸函数指在函数图像下方的一切点处，引过该点的任一切线段都位于曲线图像的下方。
我们可以通过导数的正负以及二阶导数的正负来判断函数是凹函数还是凸函数。
当导数恒大于零且二阶导数恒大于零，函数是凹函数；当导数恒小于零且二阶导数恒小于零，函数是凸函数。
六、导函数的连续性：导函数的连续性是指导函数在一些区间上是连续的。
如果导函数在一些区间上连续，则函数在该区间上具有连续性；如果导函数在一些点上不连续，则函数在该点上不具有连续性。
导函数的连续性与函数的连续性密切相关。
根据连续函数的定义，如果导函数在一些点上连续，则函数在该点上连续；如果导函数在一些点上不连续，则函数在该点上不连续。
七、高阶导数：高阶导数是指对函数的导数进行多次求导。
一阶导数是函数的变化率，二阶导数是一阶导数的变化率，以此类推。
导数中含参数问题该如何进行分类讨论.doc
导数中含参数问题该如何进行分类讨论
一、导函数是二次函数或者类二次函数形式的
注意题目中为什么没有对最高次的参数是否为零进行单独讨论？因为分子部分符号相同，很容易判断a 非负状态下的单调性，切记，切记。
二、导函数不是二次函数和类二次函数形式
能因式分解的先分解，之后求根，注意所求的根在所给出的定义域有没有意义，如果两个根中有一个或两个含有参数，则需要对比两根的大小关系，最后如果原函数有定义域，还需判断极值点和定义域端点处的位置关系。
三、最高次项系数含有参数，对该系数分类讨论
四、根的个数不确定时，对判别式Δ分类
五、两根大小不确定时，对两根大小分类讨论
六、不确定根是否在定义域内时，对根与定义域端点值的大小分类讨论
七、复杂问题，按顺序分类讨论。
1、导数中的分类讨论思想
1、导数中的分类讨论思想1、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠，求函数()f x 的单调区间与极值点．2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->，讨论()f x 的单调性．3、已知函数321()3f x x ax bx =++,且'(1)0f -=，试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间．4、已知函数22()(1)x b f x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．5、设函数()(0)kx f x xe k =≠（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围2、导数处理函数的零点问题1.（2009天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = ( ) A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。
B 在区间1(,1),(1,)e e内均无零点。
C 在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e 内无零点。
D 在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。
2、设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--=(1) 求)(x f 的极值.及单调区间(2) 当a 在什么范围内取值时, 曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点?两个点？三个点？3、已知函数()x x x f 82+-=，()m x x g +=ln 6.是否存在实数m ，使得()x f y =的图像与()x g y =的图像有且只有三个不同的交点；若存在，求出m 的范围，若不存在，说明理由.4、（2010湖北文数）设函数()c bx x a x x f ++-=23231，其中a ＞0，曲线()x f y =在点()()0,0f P 处的切线方程为1=y .（1）确定b 、c 的值。
导数含参数问题的分类讨论
导数含参数问题的分类讨论利用导数来研究函数的单调性、极值、最值问题是高中数学的重要内容，分类讨论的思想又是高中阶段着重培养的思想方法。
导数大题的共同点就是求完导数后往往转化为带参数的函数，因此，需要利用分类讨论来解决含参数的导数问题成为近几年高考考查的一个重点和热点。
导数是解决函数单调性，最值等问题十分有利的工具，但学生在运用导数含参的问题时，往往产生惧怕心理，尤其对分类讨论感到困惑。
关于导数的分类讨论最常用有以下两种。
一、区间固定讨论极值点现在以2012年北京高考题为例。
本题第二问主要考察用导数来求函数的单调区间，以及在确定区间内求函数的最值问题。
试题的背景是以人教版A版2-2 1.3.2节例4，例5为蓝本。
例4是求函数的极值，例题的极值点是确定的具体的数。
例5是在闭区间内求最值。
此例题的极值点和端点值都是具体的实数。
接下来要讲的这道高考题和这道例题类似，把极值点变成含参数的极值点。
这道高考题目是来源于例题又高于例题。
（2012年北京卷理科18题）已知函数f（x）=ax2+1（a>0）与曲线g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x），y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（-∞，-1]上的最大值。
此例题与课本例4：求y=x3/3-4x+4的极值，例5求y=x3/3-4x+4在区间[0，3]上求函数的最值进行对比。
首先是找出两例题的相同点。
两题的相同之处都是三次函数，都是求函数的单调区间和在固定的区间内求最值。
不同点是北京高考题中函数的极值点含有参数，极值点不固定，而课本例题的极值点是确定的。
要研究函数在固定区间上的最值问题，就是研究函数在此区间上的单调性，要研究函数的单调性就是研究函数的极值点，利用传递性可得解决问题的实质就是研究函数的极值点。
研究函数的最值问题就是研究函数的极值点与区间位置关系的问题。
函数与导数问题之分离参量大战分类讨论思想
分离参量大战分类讨论思想一、方法介绍：1.分类讨论思想做题依据（1）函数（导函数）零点是否存在：一般将函数分类讨论成0,0,0<=>a a a 进行分类讨论；（2）函数（导函数）零点是否在定义域里，进行分类讨论；（3）函数（导函数）存在多个零点的时候，进行零点大小的讨论。
2.分离参量（1）定义：通过分离参数，讨论新函数（主变量）的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.（2）题目背景：分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到.解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.（3）概述：对于做题的时候，好分离参数的时候才考虑分离参量，一般情况下不会首选半分离参量或者分离参量和分类讨论综合应用。
二、试题展示：已知函数2()e x f x ax =-,a ∈R .（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程； （II ）若()f x 在(0,)+∞内单调递增，求实数a 的取值范围；（III ）当1a =-时，试写出方程()1f x =根的个数.（只需写出结论）注：本文只对于2020年北京市顺义区二模试题（导数题）第二问进行讨论。
分类讨论方法：解：()ax e x f x 2-='，a ∈R由于()f x 在(0,)+∞内单调递增，即在(0,)+∞上()02≥-='ax e x f x 恒成立 ()a e x f x 2-=''现在进行分类讨论：①当0≤a 时，()02≥-=''a e x f x 恒成立，即()x f '在(0,)+∞上单调递增， ()()010min ≥='>'∴f x f 成立。
（本讨论依据是导函数零点是否存在） ②当0>a 时，令()0=''x f 时，得a x 2ln =ο1当02ln ≤a 时，即210≤<a 时，()02≥-=''a e x f x 恒成立，即()x f '在(0,)+∞上单调递增，（本讨论依据是导函数零点是否在定义域里面）()()010min ≥='>'∴f x f 成立。
完整版)导数的综合大题及其分类
完整版)导数的综合大题及其分类.导数在高考中是一个经常出现的热点，考题难度比较大，多数情况下作为压轴题出现。
命题的主要热点包括利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式，方程的根以及恒成立问题等。
这些题目体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。
题型一：利用导数研究函数的单调性、极值与最值这类题目的难点在于分类讨论，包括函数单调性和极值、最值综合问题。
1.单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，将函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号。
如果不能确定导数等于零的点的相对位置，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论。
2.极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点。
3.最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的。
在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值。
例题：已知函数f(x)＝x－，g(x)＝alnx(a∈R)。
x1.当a≥－2时，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；2.设h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，其中h(x1)＝h(x2)，求a的值。
审题程序]1.在定义域内，依据F′(x)＝0的情况对F′(x)的符号进行讨论；2.整合讨论结果，确定单调区间；3.建立x1、x2及a间的关系及取值范围；4.通过代换转化为关于x1（或x2）的函数，求出最小值。
规范解答]1.由题意得F(x)＝x－x/(x2－ax＋1)－alnx，其定义域为(0，＋∞)。
则F′(x)＝(x2－ax＋1)－x(2ax－2)/(x2－ax＋1)2.令m(x)＝x2－ax＋1，则Δ＝a2－4.①当－2≤a≤2时，Δ≤0，从而F′(x)≥0，所以F(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a>2时，Δ>0，设F′(x)＝0的两根为x1＝(a＋√(a2－4))/2，x2＝(a－√(a2－4))/2，求h(x1)－h(x2)的最小值。
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导数中的分类讨论问题
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”
一、导函数为二项式，并且参数独立成项
例：已知函数
()ln(1)(1)1f x x k x =---+，求函数()f x 的单调区间；
解:（1）'1(),(1)1
f x k x x =->-,所以, 0k ≤当时,'()0;f x ≤0k >当时,由'()0f x >得:11,x k <+所以, 0k ≤当时()()1,f x +∞在上为增函数；
0k >当时1()1,1f x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭
上为减函数； 二、导函数为三项式时（主要是二次三次式或变形后为二次三项式的含参讨论）
1、二次项系数引起的分类讨论
例：已知函数1)1(ln )(2+-+=x p x p x f , 当0>p 时，讨论函数)(x f 的单调性。
解： ()f x 的定义域为（0，+∞），()()()x p x p x p x p x f +-=-+=2'
1212， 当
1>p 时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调递增；
当0＜p ＜1时，令'()f x =0，解得()
12--=p p x . 则当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
--∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+--∈,12p p x 时，'()f x ＜0. 故()f x 在()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12,0p p 单调递增，在()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+--,12p p 单调递减. 2、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论 例：已知函数322()233f x x ax x ，令()ln(1)3()g x x f x ，若()g x 在 1(,)2
-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围. 解：由已知得22()ln(1)3(243)ln(1)24g x x x ax x x ax =++--++=++-，
2144(1)14()4411
x a x a g x x a x x +-+-'∴=+-=++， 又当1(,)2
x ∈-+∞时，恒有10x +>， 设2()44(1)14h x x a x a =+-+-，其对称轴为44182a a x --=-
=， (i) 当
1122
a -≥-,即0a ≥时，应有216(1)16(14)0a a ∆=---≤ 解得:20a -<≤，所以0a =时成立，
(ii) 当1122a -<-,即0a <时，应有1()02h ->即:114(1)1402a a --⨯+-> 解得0a <，
综上：实数a 的取值范围是0a ≤。
3、判别式引起的分类讨论
例：已知函数2()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论()f x 在定义域上的单调性。
解：由已知得22()21,(0)a x x a f x x x x x
-+'=-+=>， （1）当180a ∆=-≤，18
a ≥
时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上为增函数． （2）当180a ∆=->，18a <时，
1)108
a <<0>>，()f x 在
上为减函数，()f x 在)+∞上为增函数，
2）当0a <0<，故()f x 在上为减函数，
()f x 在，＋∞）上为增函数． 综上，当18
a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数;
当)108
a <<时，()f x 在上为减函数，
()f x
在)+∞上为增函数，
当a ＜0时，
()f x 在（0，
]上为减函数，()f x 在
[， ＋∞）上为增函数． 4、二次方程根的大小引起的讨论
例：已知函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=,求函数)(x f 的单调区间；
解：1
)22(212)('-+-=---=x a x x x a a x x f , 若0≤a 时，则1)22(2)(,12
2-+-=≤+x a x x x f a >0在（1，+∞）恒成立， 所以)(x f 的增区间（1，+∞）. 若122,0>+>a a 则，故当]2
2,1(+∈a x ，01)22(2)('≤-+-=x a x x x f ， 当),22[+∞+∈a x 时，01
)22(2)(≥-+-=x a x x x f ， 所以a>0时)(x f 的减区间为（22,1+a ），)(x f 的增区间为［),2
2+∞+a . 总之，我们对二次型的讨论本着如下的顺序选择：开口方向→对称轴→判别式（根的个数）→两根大小。
当然，也不可墨守成规，在遇到具体题目时，可适发灵活调整。
例：已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.
(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)设a ≤－2，求证：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.
解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x
. 当a ≥0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
当a ≤－1时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．
当－1＜a ＜0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a
，
则当x ∈时，f ′(x )＞
0；当)x ∈+∞时，()0f x '<；
故()f x 在1(0,]2a a +-上单调递增，在1(,)2a a
+-+∞上单调递减． (2)不妨设x 1≥x 2.由于a ≤－2，故f (x )在(0，＋∞)上单调减少，
所以|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于
f (x 2)－f (x 1)≥4x 1－4x 2，即f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1.
令g (x )＝f (x )＋4x ，则
g ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＋4＝2ax 2＋4x ＋a ＋1x
. 于是g ′(x )≤－4x 2＋4x －1x ＝－2x －12
x ≤0.
从而g (x )在(0，＋∞)上单调减少，故
g (x 1)≤g (x 2)，即f (x 1)＋4x 1≤f (x 2)＋4x 2，
故对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.。