1 一、矩阵秩的概念

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关于矩阵的秩的一些重要结论： R(AB) R(A), R(AB) R(B),即 定理5 R(AB) min{R(A)，R(B)}。 设A是 m n 矩阵， B是 n t 矩阵， R( A) R( B) n R( AB). 性质1 性质2 如果 A B = 0 则 R( A) R( B) n. 性质3 如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。 性质4 设A,B均为m n 矩阵，则 R( A B) R( A) R( B).
R(A) = 2
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1 例5 设A 3 5 1 1 A 3 5 3 1 1 0 3 0 5
2 1 2 , 且R（A） 2，求 , 3 6 1 2 1 2 1 1 1 2 0 3 4 4 0 8 5 4 6 1 2 R( A) 2, 4 4 5 0, 1 0 1 0 5, 1 1
(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .
(4) 如果 An×n , 且 A 0 , 则 R ( A ) = n . 反之，如 R ( A ) = n ,则 A 0 .
因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .
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二、矩阵秩的求法
1
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三、满秩矩阵
定义3 A 为 n 阶方阵时， R A n, 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵） R A n, 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：R A n A 0
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 每对A施行一次初等行变换， 又根据初等阵的作用： 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的 定理.
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定理3
设A是满秩方阵，则存在初等方阵
使得 P 1, P 2 , , P s.
Ps Ps 1 , P2 P 1A E
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对于满秩矩阵A， 它的行最简形是 n 阶单位阵 E .
R A n A ~ E
2 1
例如
1 A 2 3 1 0 0
1 0
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩， 记作R(A)或秩(A)。
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规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子 式 Dr 0 , 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶
子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶
数，是唯一的 . R( A) R( AT ) . (2) 有行列式的性质，
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例8
设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n 证： ∵ （A+E）+（E-A）=2E R（A+E）+ R（ E-A ）≥ R（2E）=n 而 R（ E-A ）=R（ A-E ） R（A+E）+R（A-E）≥n
∴ ∴
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作业
P109 1 2 3
18
1 K 1 1
1 1 K 1
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2、用初等变换法求矩阵的秩
矩阵初等变换不改变矩阵的秩。 即 A B 则 R( A) R( B) 注： 1. ri r j 只改变子行列式的符号。 2. k ri 是 A 中对应子式的 k 倍。 3. ri kr j 是行列式运算的性质。 求矩阵A的秩方法： 1）利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B 2）数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。 定理2
1、子式判别法(定义)。
1 2 3 4 例1 设 B 0 2 7 0 为阶梯形矩阵， 求R(B)。 0 0 0 0 1 2 0 ，存在一个二阶子式不为0，而 解 由于 0 2
则 R(B) = 2. 任何三阶子式全为0，
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
6
例如 1 2 3 0 A 0 1 0 1 0 0 1 0
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素 所构成的二阶子式为
D2
3
2 1 0 1
1 2
而
D3 4 6
5 为 A 的一个三阶子式。
1 0 1
k k 个 k 阶子式。 m n 矩阵 A 共有 cm cn 显然，
3
2. 矩阵的秩
定义2 设 A a ij

mn
，有r 阶子式不为0，任何rБайду номын сангаас1阶
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例4
1 0 2 4 A 2 1 3 6 1 1 1 2
求 R A.
1 0 2 4 1 0 2 4 r2 2 r1 0 1 1 2 ， 解 A r 0 1 1 2 3 r 1 0 0 0 0 0 1 1 2
1 0
R A n A ~ En 3 3 1 2 1 0 0 2 0 3 4 0 1 1 0 2 3 0 2 3 2 0 A为满秩方阵。 R A 3 0 E 1
1 2 B 0 1 0 0
2 1 0 0 3 5 7 0 5 3 2 0
1 1 0 C 0 1 0 0 0 1
R A 3 RB 2 RC 3
2 1 1 2 5 0 8 D 0 3 4 E 0 0 0 0 0 0 0
R D 2 R E 3
一般地， 行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。
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a 1 1 例2 设 A 1 a 1 1 1 a a 解 R A 3 A 1 1 a 1 或 a 2
如果 R A 3 , 求 a .
1 1 a 1 (a 2)(a 1) 2 0 1 a
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例3
R A 3
1 1 A K 3 1 1
K 1 A 1 1
1 K 1 1 则
1 1 K 1
K 3
1 1 3 ( K 1) ( K 3) 1 K
1 1 1 K
第五节 矩阵的秩及其求法
一、矩阵秩的概念
第二章
二、矩阵秩的求法 三、满秩矩阵
1
一、矩阵的秩的概念
1. k 阶子式 定义1 设 A aij

mn
在A中任取k 行k 列交叉
处元素按原相对位置组成的 k
(1 k min m, n)
阶行列式， 称为A的一个k 阶子式。
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1 2 3 1 2 2 例如 A 4 6 5 4 共有 设 ， C 3 C 4 18 1 0 1 1 3 3 个二阶子式，有 C 4 C 3 4 个三阶子式。