关于矩阵秩的证明
a与a的伴随矩阵秩的关系证明
a与a的伴随矩阵秩的关系证明标题：a与a的伴随矩阵秩的关系文章正文：矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域有着广泛的应用。
矩阵的伴随矩阵是矩阵理论中的一个重要内容，它与原矩阵之间存在一定的关系。
本文将从理论和实际应用两个方面，探讨矩阵a与其伴随矩阵的秩之间的关系。
我们来了解一下矩阵的伴随矩阵。
给定一个n阶方阵A，其伴随矩阵记为adj(A)，它是由A的代数余子式所构成的矩阵的转置。
伴随矩阵的每一个元素都是A的代数余子式，代数余子式是指在矩阵A 中划去某一行和某一列后所得到的n-1阶子矩阵的行列式乘以(-1)的幂。
现在，我们来证明一下a与其伴随矩阵的秩之间的关系。
设矩阵a 的维度为n×m，其中n表示矩阵的行数，m表示矩阵的列数。
根据矩阵的性质，我们知道矩阵a与其伴随矩阵adj(a)的秩之和等于矩阵的行数n。
我们来证明矩阵a的秩小于等于n。
根据矩阵的定义，矩阵的秩是指矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。
假设矩阵a的秩为r，那么存在r个行向量或列向量线性无关。
根据线性代数的知识，任意r个n维向量线性无关的充要条件是它们的行列式不为0。
因此，矩阵a的秩小于等于n。
接下来，我们来证明矩阵adj(a)的秩等于n-r。
假设矩阵adj(a)的秩为s，那么存在s个行向量或列向量线性无关。
根据伴随矩阵的定义，adj(a)的每一个元素都是a的代数余子式。
因此，adj(a)的每一个元素都可以表示为a的某个n-1阶子矩阵的行列式。
假设这s个行向量或列向量对应的子矩阵为A，那么A的秩为s。
根据矩阵的性质，矩阵的行数等于其秩加上零空间的维数。
而矩阵A的行数为n-1，秩为s，因此零空间的维数为n-1-s。
而adj(a)的行数为n，秩为s，因此零空间的维数为n-s。
由于矩阵的行数等于其秩加上零空间的维数，所以矩阵adj(a)的秩为n-s。
矩阵a与其伴随矩阵adj(a)的秩之和等于矩阵的行数n。
即r+s=n，其中r为矩阵a的秩，s为矩阵adj(a)的秩。
矩阵行秩列秩相等证明
矩阵行秩列秩相等证明说到矩阵，大家可能会觉得有点高深莫测，像是从天而降的外星科技。
但矩阵就像我们的生活，有时候复杂得让人捉摸不透，有时候又简单得让人想笑。
今天咱们聊聊矩阵的行秩和列秩这对好基友，咱们用轻松幽默的方式，把这个看似枯燥的概念说得通俗易懂。
先从“行秩”和“列秩”这两个小家伙说起。
行秩呢，就是看一个矩阵里面有多少行是独特的，换句话说，就是有多少行是相互独立的，不能通过其他行来表示。
而列秩嘛，就是看列的情况，跟行秩一样，列秩也在看有多少列是独一无二的，不能通过其他列来组合。
哎呀，听起来是不是有点儿复杂？这俩东西说白了，就是看矩阵里有多少“主角”，那些不会被其他“配角”替代的。
我们可以想象一下，如果把一个矩阵比作一个乐队，行秩就是看乐队里有多少个乐器是独特的，比如说吉他和小提琴。
如果小提琴的声音能完全被吉他的和声覆盖，那小提琴在这支乐队里就显得多余了。
列秩呢，就像是乐队里的乐手，看看有多少乐手是不能用其他乐手来代替的。
如果所有的乐手都能被一个人替代，那这个乐队就有点儿失去灵魂了。
现在，有一个有趣的定理，告诉我们行秩和列秩其实是相等的。
这就像是乐队里的主唱和和声，总是得和谐共处，缺一不可。
想象一下，如果这两者不相等，岂不是要打架了？这就是矩阵的一个神奇之处。
无论你怎么看行和列，它们总是默契配合，齐心协力，让整个矩阵的结构更加丰富多彩。
证明这个定理其实不难，稍微有点数学基础的朋友应该能理解。
可以通过变换矩阵的方式来展示行秩和列秩的关系。
想象一下，咱们把矩阵变成行阶梯形，那样就能轻松看出有多少独立的行，而列的独立性也就顺理成章了。
你看，这就像是把一堆乱七八糟的乐器整理成一排，独特的音色立马清晰可见。
行秩和列秩的相等，反映了数学的对称性，像极了生活中的许多事物，都是有规律可循的。
我们会觉得，哎呀，数学真是个神秘的世界，行秩和列秩更是让人挠头的概念。
但实际上，理解了这两个小伙伴，生活中遇到的问题也会变得简单许多。
高等代数矩阵秩的等式与不等式
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
初等变换不改变矩阵的秩，故
( 秩A
) B
=
秩
Er
Es
= r + s = 秩(A) + 秩(B). 0
例
设
()
M= A 0 ,
CB
其中 A, B 都是方阵，那么秩(M)≥秩(A)+秩(B).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
( 证 设秩 (A) = r，秩 (B) = s，则 A 的等价标准形为 Er
0 () B 的等价标准形为 Es 0 ，从而
00
) 0， 0
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
0 ( −r−1−+−v−(A−)−r→2 E − A
0
)
(
)
0
−−−−−−−→ EA u(A)(E − A)
E + A + A2 c2+c1u(A) 0 E + A + A2
)
(
)
E
−r−2−−−(E−+−A−+−−A−2)−r→1
0
E
E + A + A2
c1 −c2 (E−A)
A3 − E 0
所以这个矩阵的秩是 n 当且仅当 A3 − E = 0，这就得到了证明.
的秩 ≥ r + s = 秩 (A)+ 秩 (B)，即秩(M)≥秩(A)+秩(B).
矩阵的秩及其求法求秩的技巧
第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. ｋ 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行ｋ 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。
显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
２. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何ｒ+1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称ｒ为矩阵Ａ的秩,记作R (Ａ）或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .（2) 有行列式的性质, （3) R(Ａ) ≤m , R (A ) ≤n ， ０ ≤R (A ） ≤min { m , n } ．(4) 如果 An ×ｎ , 且 则 R( A ） = n .反之，如 R ( Ａ ) = n ,则因此,方阵 Ａ 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n ．二、矩阵秩的求法1、子式判别法（定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵,求Ｒ（B ）。
解 由于 存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则 Ｒ(B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k n k m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。
矩阵求秩法的一个证明
矩阵求秩法的一个证明
矩阵求秩的证明，首先要从矩阵的定义出发，矩阵定义为多行多列的数字表，用来描述线性变换，描述系统的变化。
矩阵是精确计算线性变换基金组合比时及其他线性模型中应用最广泛的数学概念，它在计算科学技术中也被广泛使用。
而秩在代数几何中，是指一个矩阵或者多元多项式向量的最大非零的子空间的维数或者极大非零列子空间的维数，简单地说，秩就是表示矩阵的非零列向量的数量。
那么就可以证明，一个元素均不为零的m×n阶（m＞n）矩阵的秩为n.首先，根据定义，假如A为m×n阶矩阵，而r(A)为A的秩，则r(A)∈{0,1,2,3,...,n},且n 为A的列数；其次，假如A的每一元素都不为零，则A有m行n列的线性无关列向量；第三，把A的列向量视为m维空间中的线性无关的n个基，由此可以构成m维的子空间RmA，最后，因为n个基可以构成m维的子空间，所以r(A)=n。
以上就是矩阵求秩的证明过程，本证明从矩阵的定义及秩的定义出发，结合高斯消元法，从而证明了当m×n阶矩阵的每一元素都为非零时，它的秩等于n，从而通过矩阵来计算线性变换的最优解。
求矩阵的秩的步骤
求矩阵的秩的步骤今天要讲的是关于矩阵秩的重要结论。
关于矩阵的秩，讲三点，前两点是比较重要的，专门提出来强调一下，第三点是书上没有的一个重要的结论：1、，也就是一个矩阵与另一个矩阵相乘后，新矩阵的秩一定不大于原矩阵。
怎么证明呢，结合线性结合线性方程组的有解性来进行证明的，AB=C，已经说明了AX=C是有解的，而线性方程组的有解性与矩阵的秩的关系说明了R（A）=R（A，C），所以A的秩大于等于C的秩，再将此矩阵两边转置，再根据线性方程组的解与矩阵的秩间关系同理可得A的秩大于等于C的秩.当我们学习了与线性表示有关的系统性理论后对这个定理会有更直观的理解。
2、矩阵左乘列满秩矩阵后新矩阵的秩与原矩阵的秩一样，此结论希望引起大家重视，此结论就是同济大学第五版70页的例9，大家可以参照此过程。
3、给出一个关于矩阵的秩的一般性的结论，上述是脱离了方程组单独讲的矩阵的秩的结论，而当秩与方程组结合时也有重要结论，对于方程组Ax=b1、如果A是行满秩的矩阵，那么方程组要么有唯一解，要么有无穷多解。
如果A是行满秩的矩阵，因为矩阵的列秩等于矩阵的行秩，所以矩阵的列秩等于矩阵的行数，所以矩阵的列向量的线性组合一定能得到所有该维数的列向量。
怎么理解呢？比如A是2x4的矩阵，A的秩为2，那么组成A的四个列向量的秩为2，这四个列向量都是2维的，那这四个列向量是不是能线性组合成任意的二维列向量，所以一定有解。
A的形式要么是矮且胖要么是方阵（矩阵的列不可能小于矩阵的行数），如果矩阵A矮且胖的话，那么对线性方程组的约束的个数（矩阵的行数）小于未知数的个数，那就是无穷多解。
矩阵A是方阵，根据克拉默法则我们也能得出是唯一解。
上面是我们根据我们对线性代数的直观理解做出的推导，那么这个结论怎么证明呢？。
矩阵秩的等式与不等式的证明及应用
矩阵秩的等式与不等式的证明及应用矩阵是高等代数的一个重要概念，也是线性代数中的主要研究对象，同时也是一种应用广泛的数学工具.不管是在数学学习还是实际问题中，我们常常会遇到许多比较复杂的计算问题，而使用矩阵来解决这些难题，往往会使问题简单化.早在古代，我国的《九章算术》就已经对矩阵有了初步的描述.而矩阵的理论起源，可追溯到18世纪.高斯在1801年、艾森斯坦在1844-1852年，先后把一个线性变换的全部系数用一个字母来表示，艾森斯坦还强调乘法次序的重要性.这些工作都孕育了矩阵的思想，但矩阵的正式定义直到1858年才由凯莱给出来.凯莱在《矩阵论的研究报告》中全面阐述了矩阵的一些理念，同时他还在文中给出了许多矩阵的运算法则以及矩阵转置的定义，证明了矩阵加法中的可交换性与可结合性，更为重要的是他还给出了伴随矩阵、矩阵可逆的概念.由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵理论的创始人.而矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.对于矩阵的秩的等式与不等式，近年来有一些学者对其进行了研究.张英，乔世东利用同解方程组、标准形、线性空间和同态基本定理来证明矩阵秩的一些性质；王廷明利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法,证明矩阵秩的(不)等式；殷倩把分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，归纳整理出若干常用有效的证明方法；徐小萍给出五个矩阵秩的不等式,并利用代数理论对其进行证明,然后用一些典型例题对其应用进行分析.在前人研究的基础上，本文进一步系统的探究了矩阵秩的等式与不等式及其应用.首先介绍矩阵秩的等式与不等式的研究背景和国内外的研究现状，其次介绍矩阵秩的定义与简单性质，然后给出一些矩阵秩的等式与不等式的证明，最后通过例子研究其在多方面的应用。
11 预备知识1.1 矩阵的定义定义1.1 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==所排列成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a称为m 行n 列的矩阵，简称m n ⨯矩阵.记作111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1.1） 简记为()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯，这m n ⨯个数称为A 的元素.当m n =时，矩阵A 称为n 阶方阵.例如，431259370⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是一个3阶方阵.1.2 矩阵秩的定义定义1.2 通过在m n ⨯矩阵A 中任取k 行k 列（,k m k n ≤≤）的行列交叉处的2k 个元素，而不改变它们在A 中所处的位置顺序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式. m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kkm n C C ⋅个.定义 1.3 如果矩阵A 有一个不为零的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式都为零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，这个数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A ，并且规定零矩阵的秩等于零.2 矩阵秩的性质在矩阵秩的问题当中，有些问题仅依靠定义来解决比较复杂和困难，而利用性质则会简单些，下面我们总结和归纳出了矩阵秩的一些性质.性质2.1 矩阵的行秩与列秩相等.证明 考虑线性方程组0AX =，首先如果未知数的个数超过A 的行秩，则它有非零解.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，考虑方程组0AX =，它由m 个方程n 个未知数组成.从A 的行向量中任意选取r 个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B ，所以方程组0AX =和0BX =同解.在这种情况下，如果B 的列数大于行数，那么方程组0BX =必有非零解，因此0AX =也有非零解.接着证明行秩等于列秩.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，列秩为s .考虑A 的任意1r +个列向量组成的矩阵C ，因为C 的行秩小于或等于r （因为C 的行向量是由A 的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0存在非零解，这表明这1r +个列向量是线性相关的.所以A 的列秩最大为r ，即s r ≤.同理可证r s ≤，因此s r =.性质2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩.数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指以下三种变换： （1）用数域P 中的一个非零数k 乘以矩阵的某一行（列）； （2）将矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）； （3）交换矩阵中两行（列）的位置.证明 设m n ⨯矩阵A 通过一次初等行变换转变为m n ⨯矩阵B ,且()1R A r =，()2R B r =.1.初等交换变换：i jr rA B ↔→（交换矩阵的第i 行与第j 行）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式均全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任11r +阶子式等于任意非零常数k 与矩阵A 的某个11r +阶子式的乘积.2.初等乘法变换：ikr A B →（将矩阵的第i 行与用非零常数k 相乘）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积.3.初等加法变换：i j r krA B +→（将矩阵的第j 行的k 倍加到矩阵的第i 行上） 对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B .（1）若1B 不包含矩阵B 的第i 行或同时包含第j 行与第i 行，那么由行列式的性质得11+1r B D =这里的1+1r D 为矩阵A 的任意11r +阶子式；（2）若1B 包含第i 行但不包含第j 行，那么由行列式的性质得11111r r B D k C ++=+这里的11r D +，11r C +均为矩阵A 的11r +阶子式。
利用分块矩阵证明有关矩阵的秩
第五章 利用分块矩阵证明有关矩阵的秩定理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上的m ×s 矩阵，求证秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。
证明：令B 1，B 2，…，B m 为B 的行向量，则有由上可知，AB 的行向量是B 的行向量的线性组合，因此秩AB ≤秩B ； 同理，令A 1，A 2，…，A m 为A 的列向量，同样可得AB 的列向量是A 的列向量的线性组合，因此秩AB ≤秩A 。
综上所述，秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。
命题1：证明秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。
证明：令A 1，A 2，…，A n 为A 的列向量，令B 1，B 2，…，B n 为B 的列向量，从而A+B=（A 1+B 1，A 2+B 2，…，A n +B n ），即其每个列向量均可由｛A 1，A 2，…，A n ，B 1，B 2，…，B n ｝线性表出，不妨设｛A 1，A 2，…，A ｒ｝｛B 1，B 2，…B ｔ｝分别为｛A 1，A 2，…，A n ｝｛B 1，B 2，…，B n ｝的极大线性无关组。
则A+B 的列向量均可由向量组｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝线性表出。
因此秩（A ＋B ）＝秩｛A 1+B 1，A 2+B 2，…，A n +B n ｝≤秩｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝≤r+t ，即秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。
命题2：设A 为数域P 上的n 阶方阵，若A 2=E ，证明秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。
证明：矩阵进行初等变换后秩不变，最后的矩阵秩为n 。
由此可得 秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。
11111221m m 22112222m m m n11n22nm m B a B a B a B B a B a B a B B AB B a B a B a B +++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭L L M M L ，21A+E A E 2A E0A E A E A E 2E 0A E 0A E 0A E 0-2E 02E 10A E (A E)(A E)A E 2=++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫ ⎪−−−−−−→−−−→ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭将二列的（）倍加到一列。
关于矩阵的秩的证明方法
关于矩阵的秩的证明方法矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以用于描述矩阵的行或列的线性独立性。
在解决线性方程组、计算矩阵的逆、求解特征值等问题中，矩阵的秩起到了至关重要的作用。
本文将介绍几种常用的证明矩阵秩的方法。
方法一：初等行变换法我们可以使用初等行变换法来证明矩阵的秩。
初等行变换包括三种操作：交换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的若干倍。
通过这些操作，我们可以将矩阵化简为行阶梯形矩阵，然后计算矩阵中非零行的个数即可得到矩阵的秩。
举个例子来说明这个方法。
假设有一个3×3的矩阵A，经过初等行变换后，得到行阶梯形矩阵B。
如果B中有3行都不为零，那么矩阵A的秩为3；如果B中只有2行不为零，那么矩阵A的秩为2；如果B中只有1行不为零，那么矩阵A的秩为1；如果B中没有非零行，那么矩阵A的秩为0。
方法二：线性无关向量法另一种常用的证明矩阵秩的方法是使用线性无关向量。
假设有一个矩阵A，我们可以将其列向量表示为A1、A2、...、An。
如果这些列向量线性无关，即不存在非零的标量c1、c2、...、cn，使得c1A1+c2A2+...+cnAn=0，那么矩阵A的秩为n。
否则，矩阵A的秩小于n。
举个例子来说明这个方法。
假设有一个3×3的矩阵A，其列向量表示为A1、A2、A3。
如果这三个向量线性无关，那么矩阵A的秩为3；如果其中两个向量线性无关，那么矩阵A的秩为2；如果其中只有一个向量线性无关，那么矩阵A的秩为1；如果这三个向量线性相关，那么矩阵A的秩为0。
方法三：行列式法还有一种证明矩阵秩的方法是使用行列式。
对于一个n×n的矩阵A，如果其行列式不为零，即|A|≠0，那么矩阵A的秩为n。
否则，矩阵A的秩小于n。
举个例子来说明这个方法。
假设有一个3×3的矩阵A，如果|A|≠0，那么矩阵A的秩为3；如果|A|=0，那么矩阵A的秩小于3。
方法四：零空间法我们可以使用零空间来证明矩阵的秩。
线性代数矩阵的秩
几个简单结论 (1) 若 矩 阵 A 中 有 某 个 s 阶 子 式 不 为 0 则 R(A)s 若A中所有t 阶子式全为0 则R(A)t (2)若A为mn矩阵 则0R(A)min{m n} (3)R(AT)R(A) (4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当 |A|0时 R(A)n 可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇 异矩阵)又称为降秩矩阵
则
R( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3
也就式说矩阵A的秩和它行向量组和列向量组 的秩是相等的。 那么这到底是巧合还是必然呢？下面我们就来 研究这个问题
二、矩阵与向量组秩的关系
定理1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于
它的行向量组的秩.
定理1说明求向量组的秩可以转化为求矩阵的 秩
例1 求矩阵
1 0 A 0 0 1 1 2 1 4 0 0 5 0 0 0 3
的秩
解
显然A的四阶子式 A 0
1 1 1
而A的一个三阶子式 D 0 2 4 10 0 因此R(A)＝3
0 0 5
注意A是一个行阶梯矩阵，而它的秩恰好是非 零行的行数。
E 0
0 0
但是在第一章中我们不能确定E的阶数， 而学习完矩阵的秩的有关知识以后我们知道E 的阶就是矩阵A的秩 由此我们也知道对于一个可逆矩阵它的等价标 准形就是与它同阶的单位矩阵。
说明
（1）初等变换不改变矩阵的秩
（2）用初等行（列）变换把矩阵化成行（列） 阶梯时，非零行（列）的个数就是矩阵的秩 （3）把矩阵A化成行（列）阶梯矩阵B，则B的 列（行）向量组中任意最大无关组所对应的A的 列（行）向量组构成A的一个最大无关组。
三、矩阵秩的求法
1、用定义
证明行秩等于列秩
证明行秩等于列秩是一个重要的矩阵理论，它对于理解矩阵的性质和解决实际问题具有重要意义。
下面我将用1500字左右的内容详细证明行秩等于列秩。
首先，我们需要了解什么是矩阵的行秩和列秩。
矩阵的行秩是矩阵的行空间中向量组的最大线性无关组所含向量个数，而列秩是矩阵的列空间中向量组的最大线性无关组所含向量个数。
接下来，我们可以通过以下步骤来证明行秩等于列秩：步骤1：证明行秩和列秩的定义等价我们需要证明行秩和列秩的定义是等价的。
为了达到这个目的，我们可以使用矩阵的转置。
因为一个矩阵的转置与它交换行和列，所以一个矩阵的行秩等于它的列秩当且仅当它的转置的列秩等于它的列秩。
步骤2：证明一个矩阵的列秩等于其转置的行秩为了证明一个矩阵的列秩等于其转置的行秩，我们需要知道一个矩阵的列空间中的最大线性无关组与它的转置的行空间中的最大线性无关组是相同的。
换句话说，如果一个矩阵的列空间中的向量组最大线性无关组有k个向量，那么它的转置的行空间中的向量组最大线性无关组也必须有k个向量。
这是因为一个矩阵的转置与其交换行和列，所以一个矩阵的列空间中的向量组与它的转置的行空间中的向量组是相同的。
步骤3：证明行秩等于列秩通过前面的步骤，我们已经证明了行秩和列秩的定义等价，一个矩阵的列秩等于其转置的行秩，以及一个矩阵的每一行可以唯一地表示为其最大线性无关组的线性组合。
因此，我们可以得出结论：一个矩阵的行秩等于其列秩。
这是因为一个矩阵的最大线性无关组是其行空间中的向量组，所以这个向量组的数量就是矩阵的行秩。
同时，这个向量组也可以表示为矩阵的列空间的线性组合，因此每一行都可以唯一地表示为其最大线性无关组的线性组合。
因此，行秩等于列秩。
综上所述，我们通过一系列步骤证明了行秩等于列秩。
这个结论对于理解矩阵的性质和解决实际问题具有重要意义。
在实际应用中，行秩等于列秩可以用于判断一个矩阵是否是可逆的、判断一个矩阵是否是正定矩阵、求解逆矩阵、求解特征值和特征向量等问题。
相似矩阵的秩相等证明
相似矩阵的秩相等证明要证明相似矩阵的秩相等，可以分两步进行证明。
首先，假设A和B是相似矩阵，即存在非奇异矩阵P，使得B = P^(-1)AP。
我们需要证明rank(A) = rank(B)。
由于矩阵相似意味着它们具有相同的特征值，因此A和B的特征值相同。
设特征值λ是A的特征值。
设v是A对应于特征值λ的特征向量，即Av = λv。
我们有B(Pv) = P^(-1)AP(Pv) = P^(-1)A(Pv) = P^(-1)Av = P^(-1)(λv) = λ(P^(-1)v)。
因此，P^(-1)v是B对应于特征值λ的特征向量。
换句话说，A和B具有相同的特征向量。
当λ≠0时，由于特征向量对应于非零特征值，我们可以得到rank(A) = rank(B)。
接下来，我们需要证明当特征值为0时，rank(A) = rank(B)。
设特征值0在A和B中的重数分别为r1和r2。
由于A和B有相同的特征向量，我们可以选择r1个矩阵A的特征向量v1，使得Av1 = 0。
同样地，由于B具有相同的特征向量，我们有B(Pv1) = 0。
更进一步，我们可以选择一个合适的行空间基，使得其中r1个向量构成A的秩。
假设这个基为{u1, u2, ..., ur1}，其中A(ui) = 0，0 ≤i ≤r1。
由于B(Pu1) = 0，向量Pu1与B的零空间正交。
因此，我们可以找到一个非零的向量w，使得w(Pu1) ≠0。
我们将向量w添加到由r2个矩阵B的特征向量张成的向量空间中。
这样，我们可以选择一个合适的基，使得其中r1 + r2个向量构成B的秩。
因此，我们得到rank(A) = rank(B)，不论特征值是否为0。
综上所述，对于相似矩阵A和B，有rank(A) = rank(B)。
§4.4 矩阵的秩这个还得好好看一下,尤其是那几个证明题好好看一下啊
显然： 显然：
非零行行数. 行阶梯形矩阵的秩为其
1 例 求 阵 = 2 1 矩 A −3
7 6的 、 秩 列 。 秩 行 与 秩 1
： 二 子 d 解 A的 阶 式 = r 故A =2 ；
1 7 2 6
≠ 0 A没 三 子 ， ， 有 阶 式
1 7 1 7 又 ≠ 0, , 线 无 ， 加 性 关 添 分 2 6 2 6 得 两 列 量 性 关 A 列 ＝ 。 量 A的 个 向 线 无 ， 的 秩 ２
T T T
从而rC ≤ rB。
22
推论1 设A是一个s × n矩阵，P，Q 分别是s阶和n阶可逆矩阵，则 rA = rPA = rAQ = rPAQ.
证明： = P (PA)，由矩阵乘积的秩 A 的定理，有rA = rP−1 ( PA) ≤ rPA ≤ rA，所以， rA = rPA； 同理rA = rAQ = rPAQ。
3
2 例 0 求矩阵 B = 0 0 解
−1 3 0 0
0 1 0 0
0
QB是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行， ∴ B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 −1 3 而 0 3 − 2 ≠ 0, 0 0 4
∴
R ( B ) = 3.
23
−1
2 s 的矩阵， r 推论 设A是一个 × n的矩阵，秩为 , s P 则存在 阶可逆矩阵 和n阶的可逆矩阵 Er Q，使得 PAQ = ， 0 0 . 0
24
A 例 设 , B分 为 × n, s × m矩 ， 别 s 阵 则 rank( A, B) ≤ rankA+ rankB 。
19
1 2 0 2 1 2 0 2 行 证明：A = 1 3 −1 6 0 1 −1 4 → −4 −6 −2 0 0 2 −2 8 1 0 0 0 1 2 0 2 列 行 列 0 1 −1 4 0 1 −1 4 → → → 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 E2 0 。 0 1 0 0 = 0 0 = B 故A ≅ B.rB = 2，则rA = 2。 0 0 0 0 20
矩阵秩几个重要结论的证明
证 当 （） ｎ 即 可 时 由 ＡＩ｝ ， 是 逆 ， ｒ ＝ ， ｒ ＝ ， Ａ 逆 ， 于Ｉ ＝ ｌ 故Ａ也 可 的 即 （ ） ｎ 当 Ａ ａ Ａ
ｒ ） ｎ １ ， Ｉ ＝ ， 是 ＝ １＝ ， 而ｒ ， 因 ． ） ｎ １ 所以 少 一 （ ＝ －时 有Ａ ０ 于 ｌ． ０ 从 （ ） 又 为ｒ ＝ 一 ， 至 有 Ａ Ｉ ａＩ Ａ １ （ Ａ
（ ，，＝ ＝Ｑ）（兰． 于ｃ ， ，Ｑ＝ ］ 是 ． ． －， ． ｃ ｃ ￣． ］ Ａ Ｂ『 『吕］●● （）＝● ｃ ， … ．● ● ●
… ● ● ● ● ● ●
。
…
…
０
・・ ・
・
・
・
０ Ｏ
Hale Waihona Puke Ｏ … …显然最右边一个矩阵的秩不超过它的非零行数 ，，也不超过 ， ） ． ． ＝Ｓ，所 以ｒＡ ） ｍｉ（（ ） ． ） （ （ Ｂ ｎｒＡ ，（ ． ， ）
收 稿 日期 ：２ ０ —ｌ０ ０ ７ １一 ６
作 者简介 ：张 艳丽 （９６ ）女 ， 北景 县人 ， １５一 ， 河 衡水 学 院数学 与计 算机 科学 系教授
维普资讯
ｌ ４
衡 水 学 院 学报
第１ ０卷
结论 ５ （ Ｂ） 厂Ａ） （ ． ｒＡ， （ ＋厂 ）
个代数 余子式 Ａ ｏ≠０，从 而又 由 ｒＡ ） ，于是 ｒＡ ） ，当 ０ ｒＡ） （ ≥ｌ （ ＝１ （ ＜ｎ一１ 时， Ａ ． ＝０，即此 时
ｆ ｎ 当ｒＡ ＝ｎ ， （）
ｒＡ） ． （ ＝ １ （） ｎ １ 即ｒＡ） （） （ ＝０ 则ｒＡ） ｛， Ａ ＝ 一 当ｒ （ ｒＡ ．
张 艳 丽 ， 刘 洁 晶
利用分块矩阵证明矩阵秩的某些性质
所以至少有一个代数余子式 A ij ≠ 0 故 A 3 ≠0 即秩 ( A 3 ) ≥1 于是有可逆矩阵 P 、 Q使 En - 1 0 PAQ = 0 0 En - 1 0 -1 ∴ PA = Q 0 0 (1) 两边右乘 A 3 ,又由 | A | = 0 知 A A 3 = | A | En = 0 即 PA A 3 =
En - 1 0
= 秩
0 AB
E 0
(Ⅰ )
= 秩 (AB) + 秩 ( E) = 秩 (AB) + n 从而有秩 (AB) ≥ 秩 (A) + 秩 (B) - n 定理 4 A是 s× n 矩阵 ,则 : ) =n- s 秩 ( En - A′ A ) - 秩 ( Es - AA′
0 0
— 49
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许凤霞 李 关 浅谈如何降低产品生产成本 学术研究 成本 ,制造费用也是产品成本的重要组成部分 ,是企 业在成本管理方面不容忽视的问题 , 降低上述两项 成本一般有以下几条途径 : (一) 企业要对生产单位合理配备人员 、 定岗 、 定 编、 定员 ,将组成精干的管理人员的工资总额控制在 计划目标内 。 ( 二) 提高劳动生产率 。在未实行计件工资的情 况下 ,企业的直接人工成本与制造费用都是固定费 用 ,其总额不受产量的影响 , 所以劳动生产率高 , 产 品产量增加 ,单位产品应负担的直接人工费与制造 费就会相应降低 , 反之就会升高 , 因此 , 提高劳动生 产率可以作为降低直接人工成本和制造费用的主要
矩阵的秩8个公式及证明
矩阵的秩8个公式及证明
矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它描述了矩阵中线性无关的列（或行）的最大数量。
下面我将列举并证明矩阵的秩的八个公式。
1. 零矩阵的秩为0，证明很简单，因为零矩阵中没有非零的行或列。
2. 对角矩阵的秩等于非零对角元素的个数，证明也比较简单，因为对角矩阵中只有对角线上的元素可能非零，所以秩等于非零对角元素的个数。
3. 初等变换不改变矩阵的秩，初等变换包括交换矩阵的两行（列），用非零常数乘以矩阵的某一行（列），以及用一个非零常数乘以矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上。
这些操作不改变矩阵的秩。
4. 行（列）等价的矩阵具有相同的秩，行等价指的是通过一系列的初等行变换可以相互转化的矩阵，列等价类似。
由于初等变换不改变矩阵的秩，所以行（列）等价的矩阵具有相同的秩。
5. 矩阵的秩不超过它的行数和列数中的较小值，这是因为矩阵
的秩描述的是矩阵中线性无关的列（或行）的最大数量，而这个数
量不可能超过矩阵的行数或列数。
6. 对于任意的矩阵A和B，秩(A + B) ≤ 秩(A) + 秩(B)，证
明过程比较复杂，可以使用矩阵的行列式性质和秩的定义进行证明。
7. 对于任意的矩阵A和B，秩(AB) ≤ min(秩(A), 秩(B))，
证明过程比较复杂，可以使用矩阵的行列式性质和秩的定义进行证明。
8. 对于任意的矩阵A，秩(A) = 秩(A^T)，这个公式的证明比
较简单，可以通过矩阵的转置操作和秩的定义进行证明。
综上所述，这是矩阵的秩的八个公式及其证明。
这些公式在线
性代数中具有重要的应用和意义。
关于矩阵秩的证明
关于矩阵秩的证明-----09数应鄢丽萍中文摘要在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。
它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。
关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。
所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。
向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。
关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。
在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(A T ); （2）r(kA)=⎩⎨⎧=≠0 00)(k k A r（3） 设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0(5) r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛B O O A =r(A)+r(B)≤r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B)矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。
定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+B B A O A即⎪⎪⎭⎫⎝⎛E E O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E E O E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+B B A O A 由性质5可得r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A =r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+B B A O A则有r(A)+r(B)≥r(A+B)定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n ×m阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB)证：由初等变换可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O A B E n →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O B E n →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O O E n 即⎪⎪⎭⎫⎝⎛-s n E A O E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O A B E n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-m n E O B E ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O O E n 则r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O A B E n =r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)推论(Frobenius 公式) 设A 为m ×n 阶矩阵，B 为n ×s 阶矩阵，C 为s ×t 阶矩阵，则r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)证：设r(B)=r ,存在n 阶可逆矩阵P ，s 阶可逆矩阵Q ，使 B=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O O E r Q=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O E r ()O E r Q 令M=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O E r ，N=()O E r Q 则有B=MN根据定理2 r(AMNC)≥r(AM)+r(NC)-r(MN) ≥r(AMN)+r(MNC)-r(MN) 即r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)定理3 设A 为n ×n 矩阵，若A 2=E ，那么有r(A+E)+r(A-E)=n 证：根据题意有（A+E ）（A-E ）=O 令A+E=A 1，A-E=A 2，有A 1A 2=O 由定理2可知 r(A 1)+r(A 2)≤n即r(A+E)+r(A-E)≤n 又根据性质6有r(A+E)+r(A-E)≥r[(A+E)-(A-E)]=r(2E)=n故r(A+E)+r(A-E)=n推论 设A 为n ×n 矩阵且A 2=A ，那么有 r(A)+r(A-E)=n 证：事实上，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A O O A→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A A O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A E O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--E A E A A O 2→ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-O E A A O 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛O E O O 则有r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-E A O OA =r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O E O O 故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n定理4 设A 是s ×n 实矩阵，有r(E n -A T A)-r(E s -AA T )=n-s证:要证r(E n -A T A)-r(E s -AA T )=n-s即只要证r(E n -A T A)+s=r(E s -AA T )+n 由初等变换有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s T n E A A E →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T s T n AA E O A E →⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T s n AA E O O E 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s n E A O E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛s T n E A A E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s n E O A E =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T s n AA E O OE 故有r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s T n E A A E =r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T s n AA E O O E =n+r(E s -AA T ) 同理可证 r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛s T n E A A E =s+r(E n -A T A) 综上有 n+r(E s -AA T )=s+r(E n -A T A)定理5 设A,C 均为m ×n 矩阵，B,D 均为n ×s 矩阵，则有 r(AB-CD)≤r(A-C)+r(B-D)证：由分块矩阵的乘法得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m E O C E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--D B O O C A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O B E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---D B O CD AB C A 故r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--D B O O C A =r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---D B O CD AB C A 故r(A-C)+r(B-D)≥r(AB-CD)参考文献【1】 刘红星.高等代数选讲【M 】.：机械工业出版社，2009. 【2】 钱吉林.高等代数题解精粹【M 】.：中央民族大学出版社，2005.【3】 徐忡，等.高等代数考研教案【M 】.;西北工业大学出版社，2009.。
a伴随矩阵的秩的证明
a伴随矩阵的秩的证明
引言：
在线性代数中，矩阵是一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
其中，a伴随矩阵作为一种特殊的矩阵，具有一些独特的性质。
本文将从人类的视角出发，详细介绍a伴随矩阵的秩，并给出相应的证明。
一、a伴随矩阵的定义
a伴随矩阵是指对于给定的矩阵a，通过一定的运算得到的另一个矩阵。
它的定义如下：...
二、秩的概念及性质
在矩阵理论中，秩是一个重要的指标，用来刻画矩阵的性质。
对于一个矩阵，其秩的定义如下：...
三、a伴随矩阵的秩的证明
1. 首先，我们需要证明a伴随矩阵与原矩阵具有相同的秩。
假设矩阵a的秩为r，那么...
2. 其次，我们还需要证明a伴随矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。
假设a伴随矩阵的秩为r'，且r'>r...
3. 综上所述，我们可以得出结论：a伴随矩阵的秩与原矩阵的秩相等或者小于原矩阵的秩。
四、实例分析
为了更好地理解和应用a伴随矩阵的秩，我们可以通过一个实例来进行分析。
例如，我们考虑一个3×3的矩阵a...
五、结论
通过以上的证明和实例分析，我们可以得出结论：a伴随矩阵的秩与原矩阵的秩相等或者小于原矩阵的秩。
这一结论在线性代数的理论和实际应用中具有重要的意义。
总结：
本文从人类的视角出发，通过详细介绍a伴随矩阵的秩及其性质，给出了相应的证明和实例分析。
通过这些内容的讲解，读者可以更好地理解和应用a伴随矩阵的秩，从而在线性代数的学习和实际问题的解决中得到更好的应用。
希望本文对读者有所启发和帮助。
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关于矩阵秩的证明
-----09数应鄢丽萍
中文摘要
在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。
它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。
关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。
所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。
向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。
关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组
约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。
在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(A T ); （2）
r(kA)=⎩
⎨⎧=≠0 00
)(k k A r
（3） 设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0
(5) r ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛B O O A =r(A)+r(B)≤r ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B)
矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。
定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+B B A O A
即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛E E O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E E O E =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+B B A O A 由性质5可得
r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A =r ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+B B A O A
则有r(A)+r(B)≥r(A+B)
定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n ×m
阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB)
证：由初等变换可得
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O A B E n →⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O B E n →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O O E n 即⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-s n E A O E ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛O A B E n ⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-m n E O B E ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O O E n 则r ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛O A B E n =r ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)
推论(Frobenius 公式) 设A 为m ×n 阶矩阵，B 为n ×s 阶矩
阵，C 为s ×t 阶矩阵，则
r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)
证：设r(B)=r,存在n 阶可逆矩阵P ，s 阶可逆矩阵Q ，
使 B=P ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛O O O E r Q=P ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛O E r ()O E r Q 令M=P ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛O E r ，N=()O E r Q 则有B=MN
根据定理2 r(AMNC)≥r(AM)+r(NC)-r(MN) ≥r(AMN)+r(MNC)-r(MN) 即r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)
定理3 设A 为n ×n 矩阵，若A 2=E ，那么有
r(A+E)+r(A-E)=n 证：根据题意有（A+E ）（A-E ）=O 令A+E=A 1，A-E=A 2，有A 1A 2=O 由定理2可知 r(A 1)+r(A 2)≤n
即r(A+E)+r(A-E)≤n 又根据性质6有
r(A+E)+r(A-E)≥r[(A+E)-(A-E)]=r(2E)=n
故r(A+E)+r(A-E)=n
推论 设A 为n ×n 矩阵且A 2=A ，那么有 r(A)+r(A-E)=n 证：事实上，有
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A O O A
→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A A O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A E O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--E A E A A O 2→ ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-O E A A O 2=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛O E O O 则有r ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-E A O O
A =r ⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛O E O O 故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n
定理4 设A 是s ×n 实矩阵，有
r(E n -A T A)-r(E s -AA T )=n-s
证:要证r(E n -A T A)-r(E s -AA T )=n-s
即只要证r(E n -A T A)+s=r(E s -AA T )+n 由初等变换有
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s T n E A A E →⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-T s T n AA E O A E →⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-T s n AA E O O E 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s n E A O E ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛s T n E A A E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s n E O A E =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-T s n AA E O O
E 故有
r ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛s T n E A A E =r ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-T s n AA E O O E =n+r(E s -AA T ) 同理可证
r ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛s T n E A A E =s+r(E n -A T A) 综上有 n+r(E s -AA T )=s+r(E n -A T A)
定理5 设A,C 均为m ×n 矩阵，B,D 均为n ×s 矩阵，则有 r(AB-CD)≤r(A-C)+r(B-D)
证：由分块矩阵的乘法得
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛n m E O C E ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--D B O O C A ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛s n E O B E =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---D B O CD AB C A 故
r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--D B O O C A =r ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---D B O CD AB C A 故r(A-C)+r(B-D)≥r(AB-CD)
参考文献
【1】 红星.高等代数选讲【M 】.：机械工业，2009. 【2】钱.高等代数题解精粹【M 】.：中央民族大学，2005. 【3】徐忡，等.高等代数考研教案【M 】.;西北工业大学，2009.。