关于矩阵秩的证明

关于矩阵秩的证明

-----09数应鄢丽萍

中文摘要

在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。

所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。

关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组

约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(A T ); （2）

r(kA)=⎩

⎨⎧=≠0 00

)(k k A r

（3） 设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0

(5) r ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛B O O A =r(A)+r(B)≤r ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B)

矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。

定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+B B A O A

即⎪⎪⎭⎫

⎝⎛E E O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E E O E =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+B B A O A 由性质5可得

r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A =r ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+B B A O A

则有r(A)+r(B)≥r(A+B)

定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n ×m

阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB)

证：由初等变换可得

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O A B E n →⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O B E n →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O O E n 即⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-s n E A O E ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛O A B E n ⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛-m n E O B E ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O O E n 则r ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛O A B E n =r ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)

推论(Frobenius 公式) 设A 为m ×n 阶矩阵，B 为n ×s 阶矩

阵，C 为s ×t 阶矩阵，则

r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)

证：设r(B)=r,存在n 阶可逆矩阵P ，s 阶可逆矩阵Q ，

使 B=P ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛O O O E r Q=P ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛O E r ()O E r Q 令M=P ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛O E r ，N=()O E r Q 则有B=MN

根据定理2 r(AMNC)≥r(AM)+r(NC)-r(MN) ≥r(AMN)+r(MNC)-r(MN) 即r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)

定理3 设A 为n ×n 矩阵，若A 2=E ，那么有

r(A+E)+r(A-E)=n 证：根据题意有（A+E ）（A-E ）=O 令A+E=A 1，A-E=A 2，有A 1A 2=O 由定理2可知 r(A 1)+r(A 2)≤n

即r(A+E)+r(A-E)≤n 又根据性质6有

r(A+E)+r(A-E)≥r[(A+E)-(A-E)]=r(2E)=n

故r(A+E)+r(A-E)=n

推论 设A 为n ×n 矩阵且A 2=A ，那么有 r(A)+r(A-E)=n 证：事实上，有

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A O O A

→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A A O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A E O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--E A E A A O 2→ ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-O E A A O 2=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛O E O O 则有r ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-E A O O

A =r ⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛O E O O 故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n

定理4 设A 是s ×n 实矩阵，有

r(E n -A T A)-r(E s -AA T )=n-s

证:要证r(E n -A T A)-r(E s -AA T )=n-s

即只要证r(E n -A T A)+s=r(E s -AA T )+n 由初等变换有

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s T n E A A E →⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-T s T n AA E O A E →⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛-T s n AA E O O E 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s n E A O E ⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛s T n E A A E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s n E O A E =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-T s n AA E O O

E 故有

r ⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛s T n E A A E =r ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-T s n AA E O O E =n+r(E s -AA T ) 同理可证

r ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛s T n E A A E =s+r(E n -A T A) 综上有 n+r(E s -AA T )=s+r(E n -A T A)

定理5 设A,C 均为m ×n 矩阵，B,D 均为n ×s 矩阵，则有 r(AB-CD)≤r(A-C)+r(B-D)