矩阵秩重要知识点总结_考研必看
矩阵的秩计算
矩阵的秩计算矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以用来描述矩阵的线性相关性和线性无关性。
在计算机科学、工程学和物理学等领域中，矩阵的秩也有着广泛的应用。
本文将从基本概念、计算方法和应用三个方面介绍矩阵的秩。
一、基本概念矩阵的秩指的是矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
具体来说，对于一个m行n列的矩阵A，如果它的秩为r，那么就意味着存在r 个线性无关的行或列，且没有更多的线性无关行或列。
同时，矩阵的秩也等于它的列空间或行空间的维度。
二、计算方法对于一个矩阵A，可以通过进行初等行变换或初等列变换来求解其秩。
初等行变换包括交换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的k倍。
初等列变换与之类似。
通过这些变换，可以将矩阵A转化为行简化阶梯形或列简化阶梯形，从而求得其秩。
可以通过矩阵的特征值来计算矩阵的秩。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，如果它有n个非零的特征值，那么它的秩为n。
反之，如果它只有k个非零特征值，那么它的秩就是n-k。
三、应用1. 线性方程组的解：对于一个m行n列的矩阵A和n行1列的矩阵X，可以通过求解AX=0来得到线性方程组的解。
如果矩阵A的秩等于n，那么线性方程组有唯一解；如果矩阵A的秩小于n，那么线性方程组有无穷多解；如果矩阵A的秩小于m，那么线性方程组无解。
2. 矩阵的相似性：矩阵的秩还可以用于判断两个矩阵是否相似。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们的秩相等。
3. 矩阵的逆：对于一个n阶矩阵A，如果它的秩等于n，那么它是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
反之，如果矩阵A的秩小于n，那么它是不可逆的。
4. 图像处理：在图像处理中，可以使用矩阵的秩来判断图像的信息量。
如果一个图像的秩较高，那么它包含了更多的信息；反之，如果一个图像的秩较低，那么它的信息量较少。
总结起来，矩阵的秩是描述矩阵线性相关性和线性无关性的重要指标。
它可以通过初等行变换、初等列变换或特征值来计算。
矩阵的秩及其求法
第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。
显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。
解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。
()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k nk m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设 如果求 a . 解或 例3 则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
矩阵秩重要知识点总结_考研必看
矩阵秩重要知识点总结_考研必看一．矩阵等价行等价：矩阵A经若干次初等行变换变为矩阵B列等价：矩阵A经若干次初等列变换变为矩阵B矩阵等价:矩阵A经若干次初等行变换可以变为矩阵B，矩阵B经若干次初等行变换可以变成矩阵A，则成矩阵A和B等价矩阵等价的充要条件1. 存在可逆矩阵P和Q,PAQ=B2. R(A)=R(B)二．向量的线性表示Case1：向量b能由向量组A线性表示: b=λ1α1+λ2α2+λ3α3+⋯+λmαm充要条件:1.线性方程组Ax=b有解2.R(A)=R(A,b)Case2：向量组B能由向量组A线性表示充要条件：R(A)=R(A,B)推论∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A)Case3：向量组A能由向量组B线性表示充要条件：R(B)=R(B,A)推论∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B)Case4：向量组A和B能相互表示，即向量组A和向量组B等价充要条件:R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)Case5：n维单位坐标向量组En能由矩阵A的列向量组线性表示充要条件是:R(A)=R(A,E)n=R(E)=n，所以R(A)=n=R(A,E)三．线性方程组的解1. 非齐次线性方程组（1） R(A)=R(A,B),方程有解.（2） R(A)=R(A,B)=n，解唯一.（3） R(A)=R(A,B)（4）R(A) ≠R(A,B)2．齐次线性方程组（1）一定有解（2）有非零解的充要条件R(A)四．向量组线性相关性向量组线性相关：存在不全为0的实数λ1、λ2，λ3…λn,满足λ1α1+λ2α2+λ3α3+⋯+λnαn=0充要条件:（1） R(A)（2）向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示（3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解．Case1：向量组A要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一Case2：向量组A只包含一个向量α，α是零向量，向量组A线性无关; α是非零向量，向量组A线性无关。
3-1 矩阵的秩
第三章
秩与方程组
第一节
矩阵的秩
秩的概念 秩的计算
一、矩阵秩的概念
定义1 在m×n 矩阵A中任取 k行 k列(k ≤ m, k ≤ n), 位于这些行列交叉处的k 2 个元素，不改变 它们在A中所处的位置次序而得到的 k 阶行 列式称为矩阵A的k 阶子式．
k k m×n 矩阵A的k 阶子式共有 C m 个． Cn
*
(要牢记)
A 1 A* A
1 A A
A可逆
A 1 A
n 1
1
|A|≠0，且
A* A
n1
A*
1
kA k
A ,
*
A
*
*
A
n 2
A (不太常用)
(2)克拉默法则 ①方程个数等于未知量个数;
②系数行列式不等于零.
第三章
矩阵的秩与 线性代数方程组
矩阵的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
1 0 0 0 1 0 0 0
2 4 0 0 0 1 0 0ຫໍສະໝຸດ 1 2 0 0 1 2 0 0
0 3 5 0 0 0 1 0
2 1 3 0 2 1 3 0
行梯形阵
行最简形矩阵．
定理1 对于任何矩阵 Am n ，总可经过有限次行 初等变换化为行梯形阵． 例
~
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 1 1 2 1
1 1 1 2 1
1 1 2 3 1
~
~
0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
矩阵秩重要知识点总结_考研必看复习课程
] ]
b1
3 1
4 6
2
1
5
3
1 1
4 1 1 1
b3
a3
[b1 , a3 [b1 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
1
0
1 3
2 1
5
3
1 1
2
0
1
第二步单位化，令
精品文档
精品文档
1 e1 || b1 || b1
精品文档 一． 矩阵等价
行等价：矩阵 A 经若干次初等行变换变为矩阵 B 列等价：矩阵 A 经若干次初等列变换变为矩阵 B 矩阵等价:矩阵 A 经若干次初等行变换可以变为矩阵 B，矩阵 B 经若干次初等行变换可 以变成矩阵 A，则成矩阵 A 和 B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵 P 和 Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二． 向量的线性表示
Case1：向量 b 能由向量组 A 线性表示:
充要条件:
1.线性方程组 A x =b 有解
2.R(A)=R(A,b) Case2：向量组 B 能由向量组 A 线性表示 充要条件：
R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组 A 能由向量组 B 线性表示 充要条件：
R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组 A 和 B 能相互表示，即向量组 A 和向量组 B 等价 充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组 能由矩阵 A 的列向量组线性表示 充要条件是:
矩阵的秩的运算法则
矩阵的秩的运算法则矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们判断矩阵的性质和解决一些实际问题。
在矩阵的秩的运算中，有一些基本的法则和规则，下面我将为大家介绍一下。
首先，我们需要明确什么是矩阵的秩。
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
换句话说，矩阵的秩就是矩阵中非零行或非零列的最大个数。
我们用r(A)表示矩阵A的秩。
接下来，我们来看一下矩阵的秩的运算法则。
首先是矩阵的加法。
如果两个矩阵A和B的秩相等，即r(A) = r(B)，那么它们的和矩阵A + B的秩也相等，即r(A + B) = r(A) = r(B)。
这个法则告诉我们，矩阵的秩在加法运算中是保持不变的。
其次是矩阵的乘法。
如果两个矩阵A和B相乘，那么它们的秩满足以下关系：r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}。
也就是说，两个矩阵相乘后的秩不会超过原矩阵的秩的较小值。
这个法则告诉我们，矩阵的秩在乘法运算中是有限制的。
再次是矩阵的转置。
如果矩阵A的秩为r(A)，那么它的转置矩阵A^T的秩也为r(A^T) = r(A)。
这个法则告诉我们，矩阵的秩在转置运算中是保持不变的。
最后是矩阵的行变换。
对于一个矩阵A，我们可以进行一系列的行变换，如交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍等。
这些行变换不会改变矩阵的秩。
也就是说，经过行变换后的矩阵与原矩阵的秩相等。
综上所述，矩阵的秩的运算法则包括矩阵的加法、乘法、转置和行变换。
在矩阵的加法中，秩保持不变；在矩阵的乘法中，秩有一定的限制；在矩阵的转置中，秩保持不变；在矩阵的行变换中，秩也保持不变。
矩阵的秩的运算法则在线性代数的学习和应用中起着重要的作用。
通过运用这些法则，我们可以更好地理解和分析矩阵的性质，解决实际问题。
同时，这些法则也为我们提供了一些计算矩阵秩的方法和技巧，使我们能够更加高效地进行矩阵的秩运算。
总之，矩阵的秩的运算法则是线性代数中的重要内容，它们帮助我们理解和分析矩阵的性质，解决实际问题。
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
线性代数-矩阵的秩
设A
=
2 −2 3
−4 4 −6
8 −2 0
−036 , b
=
2 43
求矩阵A及矩阵B = ( A b)的秩. 解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为 B~ = ( A~,b~),
则 A~ 就是 A 的行阶梯形矩阵， 故从 B~ = ( A~,b~) 中可同时看出 R( A) 及 R(B).
1 − 2 2 − 1 1
故 R(AT A) = R(A).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) ≤ R( A).
因此 R( A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) = R(B).
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为 BT , R( AT ) = R(BT ),
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵 A， A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A, R( A) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 − 2 2 − 1 1
例5
− 2 0 1 5
解
13 02 −2 0
1 0
3 = 2 ≠ 0, 2
计算A的3阶子式，
−2
1 3 2 1 −2 2
− 1 = 0, 0 2 3 = 0, 0 − 1 3 = 0,
1
−2 0 5 −2 1 5
3 −2 2
2 − 1 3 = 0, ∴ R(A) = 2.
015
1 3 − 2 2 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换，
第七节 矩阵的秩
显然,有一个 k阶 子式不为零. 而所有 k 1 阶子式 全为零.
即A
r A k
且 (aii 0 , i 1, 2, , k )
2、初等变换求秩法
定理 定理
阶梯形矩阵的秩等于其非零行个数 任意矩阵都可以只通过初等行变换 1 2 3 1
化成阶梯形矩阵.
0 3 1 4 r A 3 定理 初等变换不改变矩阵的秩 A 0 0 2 1 0 0 0 0 这三个定理解决了一般矩阵求秩的问题 0 0 0 0
结论：任何矩阵与可逆矩阵相乘其秩不变. 即
r ( B) r ( AB) r ( BC ) r ( ABC ) 其中B为n×m矩阵, A为n阶可逆矩阵, C是m阶可逆矩阵.
A O 例4 已知 r A r1 ，（B） r2 ， 求证 r （） r r1 r2 O B
分块对角阵的秩等于各子块的秩之和
A1 A A2 r ( A) r ( A ) r ( A ) r ( A ) 1 2 s As
例5
设n阶矩阵Байду номын сангаас
a 1 A 1
1 1 1 a 1
1 a 1
1 3 2 2 A 0 2 1 3 2 0 1 5
求 r ( A)
1 0 3 2 20
1阶子式: 1 1 0
2阶子式:
3阶子式:
1 0 2 3 2 0 2 1 0 1
1 3 2 2 A 0 2 1 3 2 0 1 5
各行都加到 第 n 行上
1 n 1 1 0
1 1 n 1 0
分析2017考研数学矩阵秩的基本性质
凯程考研，为学员服务，为学生引路！
第 1 页 共 1 页
分析2017考研数学矩阵秩的基本性质 矩阵是线性代数的最基本内容和工具，线性代数中其它大部分问题的解决都需要用到矩阵，包括：线性方程组解的分析和计算、向量的线性关系的分析、特征值和特征向量以及二次型的分析和计算等，矩阵几乎贯穿线性代数的始终。
矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它在讨论方程组的解的结构和向量组的线性关系中有重要的作用，下面本文对矩阵秩的基本性质做些总结分析，供各位2017考研的同学参考。
一、矩阵秩的定义
虽然矩阵的秩是根据最高阶非零子式的阶数来定义的，但在具体计算一个矩阵的秩时，我们一般不用定义来求秩，而是根据上面的基本性质(3)，用初等行变换将矩阵化为阶梯形，其非零行的行数即矩阵的秩。
在线性方程组中，矩阵的秩本质上就是方程组的约束条件个数。
关于矩阵的秩，除了上面的基本性质外，还有一些其它常用的性质，想进一步了解的同学请关注其他相关资讯。
（实。
矩阵的秩
（ 1 ）
a1n a2 n asn
n 的行秩 r ，那么它有非零解．
, , , 的秩为r，且不妨设 为其一个极大无关组. 1 2 r
证：设矩阵 A 的行向量组 ( a , a , , a ) , i 1 , 2 , , s i i 1 i 2 i n
, , , , , , 由于向量组 与向量组 等价， 1 2 s 1 2 r
于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
a a 1 1x 1 a 1 2x2 1nx n 0 a a 2 1x 1 a 2 2x 2 2nx n 0 0 a x a x a x 0 rn n r1 1 r2 2
a a n 1 2 1 k k 0 , 2 2 1 n n 1 1 1 1 1 a a
改写一下，有
不全为零的n个数
, ,, 线性相关 R ( A ) n . 1 2 n
a a n 1 2 1 k k k 0 , k 2 n 1 22 n n a a 1 1 1 1
=0
R ( A ) n .
( ) 只有零解 A 0 R ( A ) n .
推论2
n 个 n 维向量
i
( a , a , , a ) , i 1 , 2 , , n i 1 i 2 i n
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2 a1 n a2n a nn a1 n a2n a nn 0. 0.
也线性无关． 于是矩阵A的列秩 r1 r ． 同理可证 r1 r . 所以 r1 r ．
考研数学：浅析秩的一些相关公式
1/浅析秩的一些相关公式在线性代数这门学科里，秩是非常关键也是常用的一个工具，要深刻理解和掌握秩这个武器，必须还要熟记与秩有关的一些公式，这样才能在考试中得心应手，下面对秩的公式进行了总结，也方便同学们掌握这部分内容。
1.()()()Tr r r k ==A A A ，0k ≠；前一篇笔者讲到了，矩阵的秩等于其行秩也等于其列秩，所以将矩阵转置了之后秩是没有改变的，数乘也是不改变秩的。
2.()min{,}m n r m n ⨯≤A ；矩阵形式：结合矩阵秩的概念，非零子式的最高阶数即为矩阵的秩，矩阵最高阶子式为min{,}m n ，故其非零子式最高阶应小于等于min{,}m n ；向量形式：若将矩阵m n ⨯A 写成向量组的形式，即1[,...,]m n n αα⨯=A ，矩阵的秩等于向量组的秩，则有的向量组的秩1(,...,)min{,}n r m n αα≤。
3.若向量组1,...,n αα可由向量组1,...,m ββ表出，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ<。
这个推导过程上一篇文章笔者已经介绍了，就不在这介绍过多了，若将向量组组成矩阵的形式，有()min{(),()}r r r ≤AB A B ，这个矩阵形式的公式是最常用的，关于这个公式还有如下几点推论：推论1：若n n ⨯P 可逆，则()()r r =AP A ,()()r r =PB B ；这条推论的用法就是乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩，那么可逆矩阵的本质就是若干个初等矩阵相乘，乘以可逆矩阵相当于做了若干次初等变换，初等变换是不改变秩的。
推论2：若m n m n ⨯⨯≅A B ，等价于()()m n m n r r ⨯⨯=A B ；两个同型矩阵等价的充要条件 版权所有翻印必究是其秩相同。
推论3：若向量组1,...,n αα与向量组1,...,m ββ等价，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ=，这条推论两个向量组等价的必要条件是这两个向量组的秩相同，这只是一个必要条件，而非充要条件，要和推论2区别开。
线性代数4.1矩阵的秩
(2) 若A是 m n 矩阵,则必有
0 r ( A) min(m, n)
r ( A) r ( AT )
(3) 若是 n 阶矩阵,则 r(A)≤n, 特别的 当|A| ≠ 0 时， r(A) = n ;
可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵．
当|A| = 0 时， r(A) < n ; 不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．
2 0 12 0 分析 在 A 中，2 阶子式 1 6
3 3 A的 3 阶子式共有 C4 C5 40 (个)，
要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．
一般的矩阵，当行数和列数较高时，计算其秩 是比较麻烦的 梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.
一个自然的想法是用初等行变换将一般的矩 阵化为梯形矩阵.
一般m n非齐次线性代数方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
§4.1 矩阵的秩
1、矩阵秩的概念与计算
2、关于线性代数方程组的定理
不同的矩阵有相同的标准形; 一个矩阵可经行初 等变换化为不同的阶梯形矩阵, 但不同的阶梯形矩 阵中非零行的个数却是相同的. 这都是因为矩阵的本质特征——矩阵的秩.
1、矩阵秩的概念
定义 在m×n 矩阵A 中，任取k 行 k 列( k ≤ m, k≤n)，位
证明 对m n的系数矩阵A,可建立标
A=PNQ,其中P,Q分别是m阶、n阶 说明 齐次方程组若有非平凡解，则必有无限多个解 . 的满秩
例 求3×4齐次方程组的解
方程组Ax=0,可写成PNQx=0 ,若记 Qx= y
矩阵的秩课件
理解矩阵秩的定义
详细描述
矩阵的秩定义为线性无关的行向量或 列向量的最大数量。
总结词
掌握特殊矩阵的秩
详细描述
对于方阵，其秩等于其所有非零子 式的最高阶数；对于增广矩阵，其 秩等于其对应的系数矩阵的秩。
习题二：判断矩阵是否可逆
总结词
掌握判断矩阵可逆的方法
01
总结词
理解矩阵可逆的定义
03
总结词
掌握可逆矩阵的性质
秩也可以定义为矩阵中非零子 式的最高阶数。
秩的性质
秩具有传递性，即如果矩阵A的秩为r ，矩阵B的秩也为r，那么矩阵A+B的 秩也为r。
如果矩阵P和Q可逆，那么(P*Q)的秩 等于(Q*P)的秩，即 rank(P*Q)=rank(Q*P)。
秩的计算方法
利用初等行变换或初等列变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的数量即可得到 矩阵的秩。
THANKS
感谢观看
详细描述
构造法是一种直接证明方法，适用于能够具体构造出满足 条件的例子或反例的情况。在证明矩阵秩的性质时，构造 法可以通过构造一个具体的矩阵例子或反例，来证明命题 的正确性或错误性。
06
矩阵秩的习题与解答
习题一：求矩阵的秩
总结词
掌握求矩阵秩的方法
详细描述
通过初等行变换，将矩阵转化为行 阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩 阵的秩。
归纳法
总结词
通过数学归纳法，证明对于所有自然数n，命题都成立。
详细描述
归纳法是一种通过有限步骤证明无限命题的方法。在证明矩阵秩的性质时，归纳法可以 通过从n=1开始，逐步推导归纳步骤，最终证明对于所有自然数n，命题都成立。
构造法
要点一
有关矩阵秩的重要结论
r ( B ) r ( AK ) r ( K )
由 K sr 知, r ( K ) r .
r(K ) r.
综上， r ( K ) r .
7
（反证法） 假若 1 , 2 , , r 线性相关，
则存在不全为零的数 k1 , k 2 , , k r 使得 k1 1 k 2 2 k r r 0 成立，
例8：书p106 / 3.24 例9：书p106 / 3.25
12
k1 k 2 0 即 ( 1 , 2 , , r ) 又 B AK , kr k1 k 2 0 （思路： 1 , 2 , , s 无关） 有 ( 1 , 2 , , s ) K 找矛盾，推相关。 kr 8
(2) Ann 下列说法等价
A 是可逆矩阵 A 0
A 是非奇异矩阵 A 是满秩矩阵
r ( A) n
11
四、正交化与正交矩阵
1. 正交化、单位化
2. 正交矩阵 A
AT A E
A 的n个列（行）向量组为单位正交向量组
A 1 AT A 1
A 也是正交矩阵
T
A, B 是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵
若 Am n Bn l Om l，则 R ( A ) R ( B ) n .
1
例：设 A是n阶矩阵 A的伴随矩阵， n 2,
n , 若 r ( A ) n; 证明： ( A ) 1, 若 r ( A ) n 1; r 0, 若 r ( A ) n 1.
综上，r ( E AB ) r ( E AB ) n
线性代数§3.3矩阵的秩
当 A B时, 分三种情况讨论: (1) Dr中不含第 i 行; (2) Dr中同时含第 i 行和第 j 行; (3) Dr中含第 i 行但不含第 j 行.
对(1),(2)两种情形, 显然B中与Dr对应的子式Dr有 Dr = Dr 0, 从而, R(B) r . 对情形(3),
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
二、矩阵秩的求法
因为任何矩阵Amn, 总可以经过有限次初等行变 换把它们变为行阶梯形矩阵. 问题: 经过变换矩阵的秩改变吗? 定理1: 若A B, 则 R(A) = R(B). 证: 先证明: 若A经过一次初等行变换变为B, 则R(A)=R(B). 设R(A)=r, 且A的某个r 阶子式Dr 0. ri r j ri k 当 A B 或 A B 时, 则在B中总能找到与Dr 相对应的子式Dr . 由于 Dr = Dr , 或 Dr = –Dr , 或 Dr = kDr . 因此Dr 0, 从而R(B) r .
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1) 利用定义 寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2) 初等变换法
第三节 矩阵秩
3 2 0 5 0
例1
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
31, 求矩阵 A的
1
6
4 1
4
秩．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
r1 r4
3
2
3
6 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
定理4.3.1 一个 m n 矩阵 A (aij )经过有限次初 等变换后必可化为下面的 m n 标准矩阵.
Er 0
00
此标准形中 r 由A所惟一决定.
定义4.3.2 定理4.3.1中的r称为矩阵A 的秩,记作rank(A)或R(A)。
矩阵秩的性质
命题4.3.2 (1)等价的矩阵有相同的秩; (2)rank(A)=rank(AT).
1,ir 1
c1n
d1
0 L
0
0
L
c2i2 L
c c L 2ir
2,ir 1
c2n
d2
M
O
M0
O
MO
M
MO
M
M
(A | b) L
0
L
0
0
L
0 L 0 0 L
0 L 0 0 L
0
L
c c L rir
r ,ir 1
crn
dr
0L 0
0
L
0
d
r
1
0 L 0 0 L 0 0
M
O
M MO
MO
线性代数 矩阵的秩
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
1 6 4 1 4
1 2 2 1 1
B
2 2
4 4
8 2
0 3
2 3
3 6 0 6 4
r2 2r1 1 2 2 1 1
r3 2r1 0 0 4 2 0
r4 3r1
0 0
0 0
2 1 5 6 3 1
r2 2 1 2 2 1 1 r3 r2 0 0 2 1 0
0 0 0 0 5 r4 3r2 0 0 0 0 1
m n 矩阵 A的 k 阶子式共有Cmk • Cnk 个. 定义2 设在矩阵 A中有一个不等于 0 的 k 阶子 式 D，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等 于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零.
m n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数.
2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为2，
RA 2.
此方法简单！
二、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形. 问题：经过变换矩阵的秩变吗？
定理1 若 A ~ B,则 RA RB.
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R(B).
设 R( A) r，且 A的某个 r 阶子式 Dr 0.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关 如果 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量），则必有 k1 = k2 = … = km =0 ．
充要条件 （1）m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． （2）矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ． （3）向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m－1 个向量线 性表示．
1
1
3
1 1
e3
1 || b3
|| b31
六、正交阵 n 阶矩阵 A 是正交阵的充要条件是 A 的列向量都是单位向量且两两正交;A 的行向量都是单 位向量且两两正交。
二． 向量的线性表示
Case1 ： 向 量 b 能 由 向 量 组 A 线 性 表 示 :
充要条件:
1.线性方程组 A x =b 有解
(A)=R(A,b) Case2：向量组 B 能由向量组 A 线性表示 充要条件：
R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组 A 能由向量组 B 线性表示 充要条件：
一． 矩阵等价 行等价：矩阵 A 经若干次初等行变换变为矩阵 B 列等价：矩阵 A 经若干次初等列变换变为矩阵 B 矩阵等价:矩阵 A 经若干次初等行变换可以变为矩阵 B，矩阵 B 经若干次初等行变换可 以变成矩阵 A，则成矩阵 A 和 B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵 P 和 Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B)
R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组 A 和 B 能相互表示，即向量组 A 和向量组 B 等价 充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)
Case5：n 维单位坐标向量组 能由矩阵 A 的列向量组线性表示
充要条件是: R(A)=R(A,E) n=R(E)<=R(A),又 R(A)>=n，所以 R(A)=n=R(A,E)
三． 线性方程组的解 1. 非齐次线性方程组 （1） R(A)=R(A,B),方程有解. （2） R(A)=R(A,B)=n，解唯一. （3） R(A)=R(A,B) <n,无穷多解.解向量的个数=n-R(A) （4） R(A) ≠R(A,B) 2．齐次线性方程组 （1） 一定有解 （2） 有非零解的充要条件 R(A)<n
] ]
b1
3 1
4 6
2
1
5
3
1 1
4 1 1 1
b3
a3
[b1 , a3 [b1 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
01
1 3
2 1
5 3
1 1
2
0 1
第二步单位化，令
1 e1 || b1 || b1
1
1 6
2
1
1 e2 || b2 || b2
重要推论： 1.若向量组 A ：a1, a2, …, am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, …, am, am+1 也线 性相关．其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关．
个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关．
向量组形状成长方形
四．向量组线性相关性 向量组线性相关：
存在不全为 0 的实数
、
=0
充要条件: （1） R(A)<n
,满足
（2） 向量组中至少有一个向量能由其余 n-1 个向量线性表示 （3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解． Case1：向量组 A 要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一
Case2：向量组 A 只包含一个向量 ， 是零向量，向量组 A 线性无关; 是非零向量，向量组 A 线性无关。
3.特别地， n + 1 个 n 维向量一定线性相关．
设向量组 A ：a1, a2, …, am 线性无关， 而向量组 B ：a1, a2, …, am, b 线性相关， 则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的． 五.斯密特正交化
b1 a1
1 1 1
b2
a2
[b1 , a2 [b1 , b1