矩阵秩重要知识点总结_考研必看
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重要推论： 1.若向量组 A ：a1, a2, …, am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, …, am, am+1 也线 性相关．其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关．
个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关．
向量组形状成长方形
Case3：两个向量线性相关，向量的分量对应成比例 Case4：三个向量线性相关，向量共面 向量组线性无关
向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关 如果 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量），则必有 k1 = k2 = … = km =0 ．
充要条件 （1）m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． （2）矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ． （3）向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m－1 个向量线 性表示．
R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组 A 和 B 能相互表示，即向量组 A 和向量组 B 等价 充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)
Case5：n 维单位坐标向量组 能由矩阵 A 的列向量组线性表示
四．向量组线性相关性 向量组线性相关：
存在不全为 0 的实数
、
=0
充要条件: （1） R(A)<n
,满足
（2） 向量组中至少有一个向量能由其余 n-1 个向量线性表示 （3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解． Case1：向量组 A 要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一
Case2：向量组 A 只包含一个向量 ， 是零向量，向量组 A 线性无关; 是非零向量，向量组 A 线性无关。
二． 向量的线性表示
Case1 ： 向 量 b 能 由 向 量 组 A 线 性 表 示 :
充要条件:
1.线性方程组 A x =b 有解
(A)=R(A,b) Case2：向量组 B 能由向量组 A 线性表示 充要条件：
R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组 A 能由向量组 B 线性表示 充要条件：
3.特别地， n + 1 个 n 维向量一定线性相关．
设向量组 A ：a1, a2, …, am 线性无关， 而向量组 B ：a1, a2, …, am, b 线性相关， 则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的． 五.斯密特正交化
b1 a1
1 1 1
b2
a2
[b1 , a2 [b1 , b1
1
1
3
1 1
e3
1 || b3
|| b3
1
1 2
0
1
六、正交阵 n 阶矩阵 A 是正交阵的充要条件是 A 的列向量都是单位向量且两两正交;A 的行向量都是单 位向量且两两正交。
] ]
b1
3 1
4 6
2
1
5
3
1 1
4 1 1 1
源自文库
b3
a3
[b1 , a3 [b1 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
01
1 3
2 1
5 3
1 1
2
0 1
第二步单位化，令
1 e1 || b1 || b1
1
1 6
2
1
1 e2 || b2 || b2
一． 矩阵等价 行等价：矩阵 A 经若干次初等行变换变为矩阵 B 列等价：矩阵 A 经若干次初等列变换变为矩阵 B 矩阵等价:矩阵 A 经若干次初等行变换可以变为矩阵 B，矩阵 B 经若干次初等行变换可 以变成矩阵 A，则成矩阵 A 和 B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵 P 和 Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B)
充要条件是: R(A)=R(A,E) n=R(E)<=R(A),又 R(A)>=n，所以 R(A)=n=R(A,E)
三． 线性方程组的解 1. 非齐次线性方程组 （1） R(A)=R(A,B),方程有解. （2） R(A)=R(A,B)=n，解唯一. （3） R(A)=R(A,B) <n,无穷多解.解向量的个数=n-R(A) （4） R(A) ≠R(A,B) 2．齐次线性方程组 （1） 一定有解 （2） 有非零解的充要条件 R(A)<n
个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关．
向量组形状成长方形
Case3：两个向量线性相关，向量的分量对应成比例 Case4：三个向量线性相关，向量共面 向量组线性无关
向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关 如果 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量），则必有 k1 = k2 = … = km =0 ．
充要条件 （1）m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． （2）矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ． （3）向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m－1 个向量线 性表示．
R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组 A 和 B 能相互表示，即向量组 A 和向量组 B 等价 充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)
Case5：n 维单位坐标向量组 能由矩阵 A 的列向量组线性表示
四．向量组线性相关性 向量组线性相关：
存在不全为 0 的实数
、
=0
充要条件: （1） R(A)<n
,满足
（2） 向量组中至少有一个向量能由其余 n-1 个向量线性表示 （3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解． Case1：向量组 A 要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一
Case2：向量组 A 只包含一个向量 ， 是零向量，向量组 A 线性无关; 是非零向量，向量组 A 线性无关。
二． 向量的线性表示
Case1 ： 向 量 b 能 由 向 量 组 A 线 性 表 示 :
充要条件:
1.线性方程组 A x =b 有解
(A)=R(A,b) Case2：向量组 B 能由向量组 A 线性表示 充要条件：
R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组 A 能由向量组 B 线性表示 充要条件：
3.特别地， n + 1 个 n 维向量一定线性相关．
设向量组 A ：a1, a2, …, am 线性无关， 而向量组 B ：a1, a2, …, am, b 线性相关， 则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的． 五.斯密特正交化
b1 a1
1 1 1
b2
a2
[b1 , a2 [b1 , b1
1
1
3
1 1
e3
1 || b3
|| b3
1
1 2
0
1
六、正交阵 n 阶矩阵 A 是正交阵的充要条件是 A 的列向量都是单位向量且两两正交;A 的行向量都是单 位向量且两两正交。
] ]
b1
3 1
4 6
2
1
5
3
1 1
4 1 1 1
源自文库
b3
a3
[b1 , a3 [b1 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
01
1 3
2 1
5 3
1 1
2
0 1
第二步单位化，令
1 e1 || b1 || b1
1
1 6
2
1
1 e2 || b2 || b2
一． 矩阵等价 行等价：矩阵 A 经若干次初等行变换变为矩阵 B 列等价：矩阵 A 经若干次初等列变换变为矩阵 B 矩阵等价:矩阵 A 经若干次初等行变换可以变为矩阵 B，矩阵 B 经若干次初等行变换可 以变成矩阵 A，则成矩阵 A 和 B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵 P 和 Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B)
充要条件是: R(A)=R(A,E) n=R(E)<=R(A),又 R(A)>=n，所以 R(A)=n=R(A,E)
三． 线性方程组的解 1. 非齐次线性方程组 （1） R(A)=R(A,B),方程有解. （2） R(A)=R(A,B)=n，解唯一. （3） R(A)=R(A,B) <n,无穷多解.解向量的个数=n-R(A) （4） R(A) ≠R(A,B) 2．齐次线性方程组 （1） 一定有解 （2） 有非零解的充要条件 R(A)<n