矩阵秩的一些著名结论
矩阵秩的8大性质、重要定理以及关系
矩阵秩的8大性质:②R(A T)-1?(A);③若A〜叭则R(A) = R(B);④若八Q可逆，则R(PAQ) = R(A). 下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质：⑤nwc{R(A),R(E)IWR(A』)WR(A) + 特别地，当B = b为非零列向量时，有R(AX/?(A,fr)<J?(A) + L⑦R(AB)<min|K(A)t Z?(B)L(见下节定理7)⑧若釘4产O,则R(A) + R(B)£”.(见下章例13)设AB = O f若A为列满秩矩阵，则B-0.线性方程组的解:定理3 H元线性方程组A x=&(i)无解的充分必要条件是K(A)CR(A』)；(ii)有惟一解的充分必要条件是R(A) = R(A,b)=n;(iii)有无限多解的充分必要条件是R(A) = R(A』)Cr?・定理4 n元齐次线性方程组Ax=OW零解的充分必要条件是R(A)Cm £35翹方聽AE鬧械酬髓件默⑷=R(A"定理6矩阵方程AX=B有繃充分必要条件是R(A) = R(A,B)・定理7 «AB = C,则R(C)Wmin|R(A),R(B)h向量组的线性相关性:定鰹1向跖能由向量组严心线憐示的充分必要桑件是3£阵A 珂的曲严心)的秩等于矩阵B =(爲卫2广』册』)的税.定理2向虽组B ；bJ“7 能由向蚩组A0叫…心 线性表示的充分必要条件是矩阵A = («i 严心)的秩等于矩阵(A,B)=(釦，…上捕,27啲秩，即 R(A} = R(A,B)・推论向輦组A ：叭与向H 组B ；枷』ejE 等价的充分必要 条件是J?(A) = R(B)-J?(A,B)t其中A 和月是向僮组A 和B 所构成的矩阵”定理3设向悽组B ：D ］』2「讪能由向證组A"1厲厂心线性表示. JMR(h 』w 讪KR 仏曲厂叫)阵A = g 曲严心)的秩小于向懂个数奶向咼组线性无关曲充分必要条件 是R ⑷二皿血“也线性相关成盲之，若向储组BA 也线性无关.(2) 7«个"维向虽组成的向量组,当维数«小于向虽个数加时一定銭牲相 关•特别地d+1个”维向量一定线性相关，(3) 设向量组人：叭』2,线性无关，而向量组线性 相关侧向虽b 必定理4,％线性相关的充分必要条件是它所构成的矩 定理5 (1)若向员组A ：餌严心线性相关』IJ 向量组g 宀dJM *能由向鈕组A钱性表示,且表示式是惟一的.对比:矩阵A =(叭』加小,％)的秧等于矩阵B = 的税, 定理5线性方程组曲M 有解的充分必要憑件是R⑷= R(A ；b)?l定理2向虽组时血严血能由向量组A ：釘』线性表示的 充分必要条件是矩阵4二(尙，伽「・,心)的秩等于矩阵= 儿7)的秩,即R(A) = R(A 』｝.条件是定理1JSA 仙疋“5—线性表示的充分必要条件是推论 向量组A ：%与向 组…出等价的充分必要R(A) = R(B) = R(A t B),其中A 和B 是向世组A 和B 所构成的矩阵・定理6矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是R(A) = R(A t B).组…心线性表示, 则ROM?严由)WR(a赳严叫)・nI AB = cl^ R(C)^min{R{A)~R(B) \ .定理4向卿小如严心黠相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A = 「心)的秩小于向齢数用洞鞠黠无关的充分必璃件是R(A)n||能4 "元制ait方翻X0有鶴繃充分必要条瞬丽石~|觀5如騎次難方翻(13)的餓行贱D判侧粽黠方物(13)蹣粹龜定翡如果撅黠方翩(13)辭霸』陀的貓的式必腮.I。
线代秩的相关总结
线代秩的相关总结在线性代数中，矩阵的秩是一个重要的概念，它可以提供关于矩阵的重要信息。
以下是线性代数中秩的一些相关总结：1. 定义：矩阵的秩是指矩阵的列（或行）向量的线性无关的最大组数。
换句话说，秩是指矩阵中的独立列（或行）的数量。
2. 矩阵性质：任何一个矩阵的列秩和行秩是相等的，因此我们可以简单地称之为矩阵的秩。
3. 矩阵秩的性质：a. 矩阵的秩不能超过其维度较小的一侧的大小。
例如，一个m x n的矩阵的秩不能超过m和n中的较小者。
b. 若矩阵A是m x n的，则它的秩r满足1 ≤ r ≤ min(m, n)。
c. 若矩阵A是m x n的，并且矩阵的秩为r，则矩阵的零空间（即Ax=0的解空间）的维度为n-r。
d. 对于方阵A，如果它的秩等于其维度，即r = n（或者r = m），则该矩阵被称为满秩矩阵。
4. 计算秩的方法：a. 利用消元法（高斯消元法）求解矩阵的行最简形式，通过观察矩阵中非零行的数量来确定秩。
b. 利用矩阵的特征值和特征向量来确定秩。
5. 秩的应用：a. 判断矩阵是否可逆：如果一个方阵是一个满秩矩阵，则它是可逆的，即逆矩阵存在。
b. 解线性方程组：当一个线性方程组的系数矩阵的秩等于常数向量的秩时，方程组有解。
c. 确定矩阵的维度：矩阵的秩可以告诉我们矩阵所在向量空间的维度。
d. 判断线性相关性：如果一个向量集合的秩等于向量的数量，则向量集合线性独立；否则，它们是线性相关的。
e. 数据降维：在数据分析中，秩可以被用来识别数据中的冗余信息或降维操作。
以上是在线性代数中关于矩阵秩的一些相关总结，它们是我们理解和应用线性代数中秩的重要性和方法的基础。
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
关于矩阵的秩的一些理论及应用
b1 b2 b
c1 c2 c
d1 d2 d
则有如下结论
（1）直线和平面相交 r ( A ) （2）直线和平面平行 r ( A ) （3）直线在平面上
r ( A) 3
2, r ( A ) 3
r ( A ) r ( A ) 2
够顺利完成，要特别感谢我的导师高学亮老师， 感谢各位系里老师的关心和帮助。
最后向所有关心和帮助过我的人表示我最真心的
感谢。
k 1 a1 k 2 a 2 ... k n a n 0
是否存在非
零解，又相当于判断其对应的系数矩阵 A 的秩是小于还
线性相关
R A n来自线性无关R A n
2 矩阵的秩在解方程组问题时的应用 齐次方程组解的判定
齐次方程组有非零解的充要条件是他的系数 矩阵的秩小于 n 非齐次线性方程组有解的充要条件是 若
1
, a 2 , a 3 , ..., a n
。
可以看出线性空间的维数和他的一组基所含向量的个数
是相等的，这样就把解决维数问题简化到了讨论向量的 个数，也就是讨论向量组的秩。
小结
矩阵的秩是高等代数中很重要的一个内容， 矩阵秩的应用也是非常广泛的，并且解决问题时
也简单明了，比如在判断向量组线性相关性的时
候，把复杂的表示问题，等价成求矩阵的秩，一 眼就能看出我们想要的结果。矩阵的秩还在一些
几何问题上得到巧妙的应用，将复杂的图形问题
变成了代数问题，只简单的求出方程组的解就可 以判断直线平面的位置关系。
致谢
大学本科的学习生活即将结束。在此，我要感谢 所有曾经教导过我的老师和关心过我的同学，他
们在我成长过程中给予了我很大的帮助。本文能
矩阵秩的相关结论证明及举例
华北水利水电大学矩阵秩的相关结论证明及举例课程名称：线性代数专业班级：能源与动力工程（热动）101班成员组成：王威威联系方式：2014年12月30日一：摘要矩阵的秩是数学中一个极其重要并广泛应用的概念，是线性代数的一个重要研究对象，因此，矩阵的秩的结论作为线性代数的一个重要结论已经渗透到各章节之中，他把线性代数的内容紧紧联系在一起，矩阵的秩作为矩阵的一个重要本质属性则贯穿矩阵理论的始终，所以对矩阵秩的研究不仅能帮助我们更好地学习矩阵，而且也是我们学习好线性代数各章节的有力保证。
关键词：矩阵秩结论证明英文题目Abstract:Matrix rank is an extremely important and widely us ed in the mathematical concept, is an important res earch object of linear algebra, as a result, the c onclusion of the rank of matrix as an important co nclusion of linear algebra has penetrated into chapt er, associate the content of the positive linear al gebra and matrix of rank as an important essential attribute of the matrix, however, throughout the c ourse of the theory of matrix so that the study o f matrix rank can not only help us better learning matrix and chapter we learn good linear algebra Key words:matrix rank conclusion proof二：正文1：定义定义 1.11 在矩阵A=()m n ij a ⨯中任意取k 行k 列（1≤k ≤min(m,n)），位于这k 行k 列交点上的k*2个元素，按照他们在矩阵A 中的相应位置所组成k 阶行列式称为矩阵A 的一个k 阶子式。
矩阵的秩及其求法-求秩的技巧
第五节：矩阵的秩及其求法之邯郸勺丸创作一、矩阵秩的概念1. k阶子式定义1 设在A中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A的一个k 阶子式。
例如共有个二阶子式，有个三阶子式矩阵 A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为 A 的一个三阶子式。
显然，矩阵 A 共有个k阶子式。
2. 矩阵的秩定义2 设有r阶子式不为0，任何r+1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r为矩阵A的秩，记作R(A)或秩(A)。
规定：零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质，(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .(4) 如果An×n , 且则 R ( A ) = n .反之，如 R( A ) = n ,则因此，方阵 A 可逆的充分需要条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。
例1 设为阶梯形矩阵，求R(B)。
解由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R(B) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。
例2 设如果求a .解或例3则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即则注：只改变子行列式的符号。
是 A 中对应子式的k 倍。
是行列式运算的性质。
求矩阵A的秩方法：1）利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B2）数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。
例4求解R(A) = 2例5三、满秩矩阵定义3A为n 阶方阵时，称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）可见：对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理.定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵使得对于满秩矩阵A，它的行最简形是n 阶单位阵 E .例如A为满秩方阵。
矩阵的秩在线性代数中的应用
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7
是否可逆.
解：
1 2 3 4 1 2 3 4
A
2 3
3 4
4 5
5 6
0 0
1 2
1 2 3 4
0 0 0
1 0 0
2 0 0
3
2 0
0
2
不
2 2 这个阶梯形矩阵有 4 个非零行，故 r(A) 4 .所以矩阵 A 是可逆的.
3x1 2x2 4x3 3x4 9x5 3
解：对增广矩阵 k1, k2, k3,ks 施行初等行变换
1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1
A 2 1 2 2 6 3 0 3 6 0 0 0
3 2 4 3 9 3 0 1 2 6 18 0
1 1 2 1 0 3 6 0
1
6 2
0 0 0
1 0 0
0 1 3
0 4 12
1 13
1 0 2 1 0
0 0
1 0
0 1
0 4
1 1
0 0 0 0 0
因此r(A) 3 .
3.矩阵的秩在讨论方阵是否可逆中的作用
定理1： 设 A 为n阶方阵，若A 可逆，当且仅当r(A) n.
1 2 3 4
例:判断方阵
A
2.矩阵秩的计算
介绍一种难度比较小的方法来求矩阵的秩，把任意一个矩 阵A变为阶梯型的矩阵.
c11
0
c12 c22
c1r c2 r
c1n
c2n
B 0
0
crr crn
0
0
0
0
0
0
0
0
其中，cii 0 ，i 1,2,3,,r ，r(B) r(C) .C 的左上角r 阶子式
矩阵的秩的性质总结
矩阵的秩的性质总结1. 什么是矩阵的秩?矩阵的秩是矩阵最重要的性质之一。
它是描述矩阵列空间的维度，也可以看作是矩阵中线性无关的列或行的数量。
对于一个 m × n 的矩阵 A，它的秩记作 rank(A) 或 r(A)。
矩阵的秩是矩阵A的最大非零子式的阶数。
2. 矩阵秩的性质性质1：矩阵的行秩等于列秩对于任意 m × n 的矩阵 A，它的行秩和列秩是相等的，即 rank(A) = rank(A^T)，其中 A^T 表示 A 的转置矩阵。
性质2：矩阵的秩不超过它的维数对于任意 m × n 的矩阵 A，它的秩不会超过它的行数和列数中的较小值，即rank(A) ≤ min{m, n}。
性质3：矩阵的零空间维数等于它的列数减去秩对于一个 m × n 的矩阵 A，它的零空间维数等于 n - rank(A)，其中 n 为矩阵 A的列数。
性质4：矩阵的秩可能受大小变化的影响矩阵的秩在进行大小变化时可能发生变化。
例如，如果一个矩阵 A 的某一行乘以一个非零数，那么这个矩阵的秩不会改变。
性质5：矩阵乘法中秩的关系对于两个矩阵 A 和 B，我们有以下关系：rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}。
3. 矩阵秩的应用解线性方程组矩阵的秩在解线性方程组时起到了重要的作用。
通过求解矩阵 A 的秩和增广矩阵的秩，可以判断线性方程组的解的情况。
线性相关性与线性无关性矩阵的秩可以用来判断向量组的线性相关性与线性无关性。
一个向量组的秩等于向量组中线性无关向量的最大个数。
求矩阵的逆对于一个方阵 A，如果它的秩等于它的行数（或列数），那么它是一个可逆矩阵，可以求出它的逆矩阵。
矩阵的相抵标准形矩阵的秩可以用来推导矩阵的相抵标准形。
相抵标准形是矩阵在初等行变换和初等列变换下的标准形式。
结论矩阵的秩是矩阵理论中一个非常重要的概念。
它能够帮助我们理解矩阵的性质，并在线性方程组求解、线性相关性判断、矩阵逆的求解等问题中发挥重要作用。
有关矩阵秩的重要结论
r ( B ) r ( AK ) r ( K )
由 K sr 知, r ( K ) r .
r(K ) r.
综上， r ( K ) r .
7
（反证法） 假若 1 , 2 , , r 线性相关，
则存在不全为零的数 k1 , k 2 , , k r 使得 k1 1 k 2 2 k r r 0 成立，
例8：书p106 / 3.24 例9：书p106 / 3.25
12
k1 k 2 0 即 ( 1 , 2 , , r ) 又 B AK , kr k1 k 2 0 （思路： 1 , 2 , , s 无关） 有 ( 1 , 2 , , s ) K 找矛盾，推相关。 kr 8
(2) Ann 下列说法等价
A 是可逆矩阵 A 0
A 是非奇异矩阵 A 是满秩矩阵
r ( A) n
11
四、正交化与正交矩阵
1. 正交化、单位化
2. 正交矩阵 A
AT A E
A 的n个列（行）向量组为单位正交向量组
A 1 AT A 1
A 也是正交矩阵
T
A, B 是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵
若 Am n Bn l Om l，则 R ( A ) R ( B ) n .
1
例：设 A是n阶矩阵 A的伴随矩阵， n 2,
n , 若 r ( A ) n; 证明： ( A ) 1, 若 r ( A ) n 1; r 0, 若 r ( A ) n 1.
综上，r ( E AB ) r ( E AB ) n
矩阵的秩及其求法
第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。
显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。
解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。
()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k nk m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设 如果求 a . 解或 例3 则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
矩阵的秩
这个数就是矩阵的秩.
但是由于这个数的唯一性
化为阶梯形方程. 尚未证明, 因此下面用另一种方法给出矩阵的秩的
定义.
二、 定义
定义 3 在 矩阵 A 中, 任取 k 行与 k 列
( k ≤ m, k ≤ n ), 位于这些行、列交叉处的 k2 个
元素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到
的k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
由矩阵秩的定义可得： （1）若矩阵 A 中有一个 s 阶子式不为零，则
R(A) ≥ s；若 A 中所有 t 阶子式全为零，则R(A) < t.
（2）若 A 为 m n 矩阵，则 0 ≤ R(A) ≤ min{ m , n } . （3） R(AT) = R(A) .
（4）设 A 为 n 阶方阵，则当 | A | 0 时 R(A) = n , 当 | A | = 0 时 R(A) < n . 可见，可逆矩阵的秩等于 矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数. 因此
ri rj ri rj
证明 先证明: 若先证明: 若 A 经一次初等行变换 A 经一次初等行变换变为
R(A) 设 R(A) 设 R(A) = r, 且 阶子式 Dr 阶子式 Dr 0 R(B). R(A) = R(B). = r, 且 A 的某个 rA 的某个 r 0.
ri k ri k
例 8 设 A 为 n 阶方阵，证明
R(A + E) + R(A – E) ≥ n .
例 9 证明：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n ,, 例 9 证明：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n
则 R(B) = R(C) .
矩阵秩的一些著名结论
引言矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。
熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。
矩阵A 中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵A 的秩，记为r(A).一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论.1. 证明: 设B A ,为两个同阶矩阵,则有r(A ﹢B)≤r(A)﹢r(B)证 设A =(α1,α2,…,αn), B =()βββn,...,,21则 A +B =(α1+β1,α2+β2,…,αn+βn)不妨设A 列向量的极大线性无关组为α1,α2,…,αr. (1≤r ≤n)；B 列向量的极大线性无关组为β1，β2，…βs . (1≤s ≤n).则k i i1=αα1+α22k i +…+αrir k ;βi=β11l i +β22l i +…+βsisl ;则αi+βi=k i 1α1+α22k i +…+αrirk +β11l i +β22l i +…+βsisl ;即A +B 的列向量可由α1,α2,…,αr，β1，β2，…βs线性表出，故)()()(B +A =+≤B +A r r s r r . 2. 若AB =O ,则)()(B r A r +n ≤.证 记 ),...,,(21βββnB =，由AB =O ，知B 的每一列都是O =AX 解,即O =Aβi,i =1,2,…,n又因O =AX 的基础解系所含向量个数为)(A r n -,换言之, O =AX 的所有解所构成的向量组的秩为)(A r n -.故≤)(B r )(A r n -, 即)()(B r A r +n ≤.3.若E A=2， 证明)(E A r ++)(E A r -=n.证E A =2,EA 22=,E A22-=)(E A -)(E A +O =,由结论2知r )(E A -+r )(E A +n ≤;)()(2A E A E E ++-= 再由结论1知 ，r )(E A -+r )(E A +n E r =≥)2(,综上所述, )(E A r ++)(E A r -=n.4 若A A=2证明： )(A r +)(E A r -n =.证O A E A A A=-=-)(2,由结论2知 )(A r +)(E A r -n ≤.又因.)(A E A E +-= 知，).()()()()(A r E A r A r A E r E r +-=+-≤ 即 n ≤)(A r +)(E A r -. 综上所述，)(A r +)(E A r -n =. 5.矩阵=A )(a ij sn,)(b ij B nm=,证明：)(AB r ≥)(A r +)(B r -n .证 设)(A r =r1,)(B r =r2,)(AB r =r则存在可逆矩阵P ss,Qnn使PAQ =⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O O E 1. 及 B Q 1-=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯B B m n m r r 1. 故)(AB r =⎪⎭⎫⎝⎛∙-B QPAQ r 1B Q PAQ 1-∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O O E 1()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯B B m n mr r 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯O r B m 1.则)(AB r =⎪⎭⎫⎝⎛∙-B QPAQ r 1=()B mr r ⨯1=r .因r ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯B B m n m r r 1=)(B r =r 2 则()B mn r ⨯-1中还有rr -2个线性无关行向量,故r r -2≤r n 1-则r rr ≤-+21,即)(AB r ≥)(A r +)(B r -n .6.设A*为A的伴随矩阵，则伴随矩阵A *的秩为：)(*A r =⎪⎩⎪⎨⎧-<-==1)(,01)(,1)(,n A r n A r n A r n证 若)(A r =n 时,即A可逆,因EA A A =∙*，则有A AA 1*-∙=,故)(*A r =n r A =-)(1.若1)(-=n A r 时,0=A , EA A A =∙*=O ,由结论2知)(*A r +)(A r n ≤，即 )(*A r ≤-n )(A r =1.也就是)(*A r =0,或 )(*A r =1. 假设)(*A r =0,则A 的所有1-n 阶子式为0, 这与)(A r =1-n 矛盾.故)(*A r =1.若当)(A r <1-n 时，则A 的所有1-n 阶子式全为0，则O A =*,即)(*A r =0.故上述结论 )(*A r =⎪⎩⎪⎨⎧-<-==1)(,01)(,1)(,n A r n A r n A r n 成立。
第七讲：矩阵的秩
iz §kF 6F 3
A AX = 0 AX = 0
` 7. (1). A
( ), rank(A)
1.
d fd e (2). A ∈ F m×n, rank(A) = r. A
s
B ∈ F s×n,
d fc BX3 (3). A ∈ Fm×n, rank(A) = r. A
=
s.
YDn712
(A,
B)
r
+
s
yhiF
iz 2 §k© 3
A B
D()D9tF
X =0
iz §k© d D6&'h D6&'h D6&'h 4
A B
X =0
V , AX = 0
W, BX = 0
e h xS U. V ⊆ W ∩ U.
dim(W + U ) + dim(W ∩ U ) = dim(W ) + dim(U ),
rank(AB) ≤ rank(B).
2
rank(A) = r.
A=P
Er 0 00
Q, rank(AB) = rank(
Er 0
0 0
QB) ≤ r.
d rank(B) = s. B = P1
Es 0 00
Q1, rank(AB) = rank(AP1
Er 0
0 0
) ≤ s.
iz §k© D6u D6 D6&' D6&' 3
s
1
0 0
p
;
yhi
⇐⇒ ⇐⇒
A(())00
AX
=
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引言
矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不
等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。
熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。
矩阵A 中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵A 的秩，记为r(A).一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论.
1. 证明: 设B A ,为两个同阶矩阵,则有r(A ﹢B)≤r(A)﹢r(B)
证 设A =(α1,α
2
,…,
αn
), B =()
ββ
βn
,...,,2
1
则 A +B =(
α1
+β1
,α2
+β
2
,…,
αn
+βn
)
不妨设A 列向量的极大线性无关组为
α1
,α
2
,…,
α
r
. (1≤r ≤n)；
B 列向量的极大线性无关组为β1，β2，…βs . (1≤s ≤n).
则k i i
1
=αα1
+α
2
2
k i +…+
α
r
ir k ;
βi
=β1
1
l i +β
2
2
l i +…+
β
s
is
l ;
则
αi
+β
i
=
k i 1
α1
+α
2
2
k i +…+αr
ir
k +β1
1
l i +β
2
2
l i +…+
β
s
is
l ;
即A +B 的列向量可由
α1
,α
2
,…,
α
r
，
β
1
，
β
2
，…
β
s
线性表出，
故)()()(B +A =+≤B +A r r s r r . 2. 若AB =O ,则)()(B r A r +n ≤.
证 记 ),...,,(2
1
ββ
βn
B =，由AB =O ，知B 的每一列都是O =AX 解,
即O =A
β
i
,i =1,2,…,n
又因O =AX 的基础解系所含向量个数为)(A r n -,
换言之, O =AX 的所有解所构成的向量组的秩为)(A r n -.故≤)(B r )(A r n -, 即)()(B r A r +n ≤.
3.若
E A
=2
， 证明)(E A r ++)(E A r -=n.
证
E A =2
,E
A 2
2
=
,
E A
2
2
-=)(E A -)(E A +O =,
由结论2知r )(E A -+r )(E A +n ≤;
)()(2A E A E E ++-= 再由结论1知 ，
r )(E A -+r )(E A +n E r =≥)2(,
综上所述, )(E A r ++)(E A r -=n.
4 若
A A
=2
证明： )(A r +)(E A r -n =.
证
O A E A A A
=-=-)(2
,由结论2知 )(A r +)(E A r -n ≤.
又因.)(A E A E +-= 知，
).()()()()(A r E A r A r A E r E r +-=+-≤ 即 n ≤)(A r +)(E A r -. 综上所述，)(A r +)(E A r -n =. 5.矩阵=
A )
(a ij sn
,)
(b ij B nm
=
,证明：)(AB r ≥)(A r +)(B r -n .
证 设)(A r =
r
1
,)(B r =r
2
,)(AB r =r
则存在可逆矩阵
P ss
,Q
nn
使
PAQ =⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛O O O E 1. 及 B Q 1-=()⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛⨯-⨯B B m n m r r 1. 故)(AB r =⎪⎭
⎫
⎝
⎛∙-B Q
PAQ r 1
B Q PAQ 1-∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O O E 1
()
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-
⨯B B m n m
r r 1
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
⨯O r B m 1.
则)(AB r =⎪⎭
⎫
⎝
⎛∙-B Q
PAQ r 1
=()B m
r r ⨯1
=r .
因r ()⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⨯-⨯B B m n m r r 1=)(B r =r 2 则(
)B m
n r ⨯-
1中还有
r
r -2
个线性无关行向量,
故
r r -2
≤r n 1-
则
r r
r ≤-+2
1
,即)(AB r ≥)(A r +)(B r -n .
6.设
A
*
为
A
的伴随矩阵，则伴随矩阵
A *
的秩为：
)(*
A r =⎪⎩
⎪⎨⎧-<-==1)(,01)(,1)(,n A r n A r n A r n
证 若)(A r =n 时,即A
可逆,因
E
A A A =∙*
，
则有
A A
A 1
*
-∙=
,故)(*
A r =n r A =-)(1
.
若1)(-=n A r 时,0=A , E
A A A =∙*
=O ,
由结论2知)(*
A r +)(A r n ≤，
即 )(*
A r ≤-n )(A r =1.也就是)(*
A r =0,或 )(*
A r =1. 假设)(*
A r =0,则A 的所有1-n 阶子式为0, 这与)(A r =1-n 矛盾.
故)(
*
A r =1.
若当)(A r <1-n 时，则A 的所有1-n 阶子式全为0，
则
O A =*
,即)(*
A r =0.
故上述结论 )(*
A r =⎪⎩
⎪⎨⎧-<-==1)(,01)(,1)(,n A r n A r n A r n 成立。
7.（秩的降阶定理）设⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=D C
B A
M , ⑴若A 是r 阶可逆矩阵，则)()()(1
B C D r A r M r A
--+=. ⑵若D 是s 阶可逆矩阵，则)()()(1
C B A r
D r M r D
--+=
⑶若D A ,都可逆，则)()()()(1
1
C B A r A r
D r B C
D r D A
---+-=-.
证 ⑴若A 是r 阶可逆矩阵，则存在A
1
-.
对矩阵M 两边做初等变换,即有
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----B C D O O A O B D C B A C O A E A E E A E ss rr ss rr 111
. 初等变换不改变矩阵的秩, 故 )()()(1
B C D r A r M r A
--+=.
⑵若
D
ss
可逆,则D
1
-存在,对M 两边做初等变换,
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----D O O C B A C O D C B A O B D E D E E D E ss rr ss rr 111
. 初等变换不改变矩阵的秩, 故 )()()(1
C B
A r D r M r D
--+=.
⑶若D A ,都可逆,则根据⑴,⑵的结论有:
)()()()(1
1
C B A r
D r B C
D r A r D A
---+=-+，
整理可得，)()()()(1
1
C B A r A r
D r B C D r D A
---+-=-.
参考文献
【1】张禾瑞,郝鈵新.高等代数[]M.第五版.北京:高等教育出版社,2007.
【2】王萼芳,石生明.高等代数[]M.第三版.北京:高等教育出版社,2003.
【3】徐仲,陆全等.高等代数(北大.第三版)导教∙导学∙导考.西安:西安工业大学出版社,2006.。