矩阵秩的相关结论证明及举例

华北水利水电大学
矩阵秩的相关结论证明及举例
课程名称：线性代数
专业班级：能源与动力工程（热动）101班
成员组成：王威威
联系方式：
2014年12月30日
一：摘要
矩阵的秩是数学中一个极其重要并广泛应用的概念，是线性代数的一个重要研究对象，因此，矩阵的秩的结论作为线性代数的一个重要结论已经渗透到各章节之中，他把线性代数的内容紧紧联系在一起，矩阵的秩作为矩阵的一个重要本质属性则贯穿矩阵理论的始终，所以对矩阵秩的研究不仅能帮助我们更好地学习矩阵，而且也是我们学习好线性代数各章节的有力保证。

关键词：矩阵秩结论证明
英文题目
Abstract:
Matrix rank is an extremely important and widely us ed in the mathematical concept, is an important res earch object of linear algebra, as a result, the c onclusion of the rank of matrix as an important co nclusion of linear algebra has penetrated into chapt er, associate the content of the positive linear al gebra and matrix of rank as an important essential attribute of the matrix, however, throughout the c ourse of the theory of matrix so that the study o f matrix rank can not only help us better learning matrix and chapter we learn good linear algebra Key words:matrix rank conclusion proof
二：正文
1：定义
定义 1.11 在矩阵A=()m n ij a ⨯中任意取k 行k 列
（1≤k ≤min(m,n)），位于这k 行k 列交点上的k*2个元素，按照他们在矩阵A 中的相应位置所组成k 阶行列式称为矩阵A 的一个k 阶子式。

定义1.12 若m ×n 矩阵A 中至少存在一个r 阶子式不为0，而所有r+1阶子式（如果有的话）全为0，则称r 为矩阵A 的秩，记为Rank(A)，或简记为R(A)。

此外，我们规定，零矩阵的秩为0
2：矩阵秩的相关结论证明及举例
2.1矩阵几个重要结论的证明：
结论1 对于任意矩阵A ，有()A r =()'A r 。

其中'A 是矩阵A 的转置矩阵. 证 因为A ='A ，则A 与'A 的不等于零的子式的最高阶数相等，即()A r =()
'A r . 结论2 对于任意矩阵A ，有()kA r =()A r ，其中k 是非零常数. 证 因为KA 与A 的不等于零的子式的最高阶数相等，则()kA r =()A r .
结论3 对于任意矩阵A ，()*A r ≤()A r ，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 证 当()A r =n ，即A 可逆时，由于*A =1-n A ，故*A 也是可逆的，即()*A r =n ，当 ()A r =n-1时，有A =0，于是*AA =A .I=0，从而()
≤*A r 1，又因为()A r =n-1，所以至少有一个代数余子式0≠ij A ，从而又由()1≥*A r ，于是()1=*A r ，当
()10-≤≤n A r 时，0=*A ，即此时()0=*A r .则()
()()()⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01
,1,n A r n A r n A r n A r 当当当 即()
()A r A r ≤*.
结论4 ()()()().m in B r A r AB r •≤
证 ()(),,A ,,s B r r A r B n l l m ==⨯⨯设因为()r A r =，所以存在可逆矩阵P,Q
使得PAQ=,000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r I 于是()()().00011⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛===-B I r B PAQQ r PAB r AB r r 其中(),'11ij b Q B ==-所以()()⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=o o o o
b b r b I r AB r n ij r ..............................000111 显然最右边一个矩阵的秩不超过它的非零行数r ，也不超过(),1s b r =所以()()()().,m in B r A r AB r ≤
结论 5 设A,B,C 分别为q p p n n m ⨯⨯⨯,,矩阵，则()()()()B r ABC r BC r AB r +≤+
证 因为,00⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-o B ABC BC B AB I o A I 所以 ()()()()B r ABC r o B ABC o r BC B o AB r BC o o AB r BC r AB r +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+
结论6 设A ，B 均为n*m 阶矩阵，则r(A+B)≦r(A)+r(B).
证明： 设A=(a1,a2,…，an), B=(b1,b2,…bn)则
A+B=(a1+b1,a2+b2,…，an+bn)
于是 r(a1+b1,a2+b2,…，an+bn)≦r(a1,a2,…，an)≦r(b1,b2,…bn)
故 r （A+B)≦r(A)+r(B).
结论7 设A ，B 均为n 阶方阵，则()()()E B r E A r -+-≤E -AB r
证明
故,E -B -A -AB 000E -A 2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯+⨯+E
B E AB E B A AB E A E B E b b b A b r r r r ()()()Ｂ－Ｅ＋ｒＡ－Ｅｒ
－Ｅ≤AB r 例设A 是n 阶可逆矩阵，且n X C B A =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡r 试用A ，B ，C 表示X 。

解⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-−−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯--⨯-ＢＸ－ＣＡｏ０Ａ－１B A b b b CA b r r r r B CA X B A X C B 11211210A
则()()()
n B CA X n B CA X r A r X C B A =-+=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11r r 故 ()
B CA B CA X 11X ,0r --==-因而
结论8 r(A+B)≦r(A)+r(B)
证明：设A1，A2，A3…Ar 为A 的列向量的极大线性无关组,B1， B2, B3… Bs 为B 的列向量的极大线性无关组,则(A,B)的列向量均可由{A1, A2, A3 …Ar , B1, B2, B3…Bs}线性表示.
r(A ，B)≦r{A1, A2, A3 …Ar , B1, B2, B3…Bs},而A1, A2, A3 …Ar , B1, B2, B3…Bs 中线性无关的向量一定不超过r+s 个，所以r(A ，B)≦r(A)+r(B)
结论9 设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB=0，则A 和B 的秩都
小于n
因为AB=0，所以r(A)+r(B)≦n ，因为A ≠0，B ≠0，所以r(A)≥1，r(B)≥1，所以1≦r(A)≦n , 1≦r(B)≦n
结论10 对于任意方阵A ，必存在正整数m ，使得r(A*(m+1))=r(A*m)
证明：由结论4知r(A)≥r(A*2)≥r(A*3)≥…r(A*k)≥…而(rA)是有限数，上面不等式不可能无限不等下去，则一定存在正整数m ，使得r(A*(m+1))=r(A*m)
结论11: 设D=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡B C O A ，则r(D)≧r(A)+r(B). r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡En O O AB =r ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-En A B O , 得 r(AB)+n ≧r(A)+r(B),
即 r （AB)≧r(A)+r(B)-n.
三：结束语
本文列举了一些矩阵秩的相关重要结论、证明和举例。

在此过程中，加深了我们对矩阵的秩的认识，并对其有了一些较为清晰的理解，我们相信这对我们以后的学习会有很大的帮助。

同时我们也清楚，我们脚下的路还很漫长，不能满足于一些基本理论的研究，要深入挖掘，以探求更深层次的知识。

参考文献
[1] 李炯生，查建国，王新茂编写的线性代数。

中国科学技术大学出版社
[M]同济大学线性代数（第三版）（第四版）
[J] 百度百科，图书馆查找。