矩阵的秩
矩阵的秩及其求法
第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式。
显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。
解由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。
()n m ij a A ⨯={}),min 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯kn k m cc ()nm ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设 如果 求 a .解或 例3则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
矩阵的秩及其求法
第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。
显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。
解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。
()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k nk m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设 如果求 a . 解或 例3 则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
第四节 矩 阵 的 秩
例如，在矩阵
1 1 3 1
A
0 0
2 0
1 0
4
5
0
0
0
0
中，选第 1, 3 行和第 3, 4 列，它们交点上的元素
所成的 2就是一个 2 级子式. 又如选第 1, 2, 3 行和第1, 2, 4
列，相应的 3 级子式就是
求向量组的极大线性无关组的方法是：把向量 组中的每一个向量作为矩 阵的一列构成一个矩阵, 然后用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵， 在阶梯形矩阵中，每个阶梯中的第一个非零元所在 的列所对应的向量即为极大线性无关组中的向量.
若要用极大线性无关组来表示其余向量，则需进一 步把阶梯形矩阵化成行最简形，这时，不在极大线 性无关组中的列中的元素即为用极大线性无关组表 示该列所对应的向量的表示系数.
2 3
,
3
3 5
,
4
7
;
1
1
1
4
1
本若请本若请本若请本若请本本若若请请本若节想请单节想本单若节想请单节想本单若节节想想请单单节想内结本单若击内请结节击想内结本单若击内请结节击想内 内结 结本单若击击内请结容束节击想返本容单若束内请返结容束节击想返本容单若束内请返结容 容束 束节击想返返本容单若束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已 已本 本内请返结回回节已击想本结本堂容单若回束按内结请返结本堂若节已击想按本结请本 本堂容单若 若回束按内结请 请返结本堂若节已击想按本结 结请本堂 堂容单若回束按按内结请返结堂束节课已击想按本钮容束单回束节课想内结返结钮堂束单节 节课已击想 想按本钮容束单单回束节课想内结返结钮堂束 束单节课 课已击想按本钮钮容束单回束课内,结返结钮堂.已击按本内,!结容束回束课.击内 内,结!返结 结钮堂.已击击按本内,!结容束回束课.击内,,结!返结钮堂..已击按本,!!容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容 容束回束 束课.结!返返钮堂容束已按本,返容束回束课.结!返钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已按本 本,束回回课.已本结!钮堂回已按本,束回课.结!钮堂按,结堂束课.按结 结!钮堂堂按按,结堂束课.按结!钮堂按,束课.!钮束课,钮束束课课.!钮钮束课,钮束课.!钮,.,!.,,!..,!!.,!.!
2.7 矩阵的秩
注：若n阶方阵A可逆的充要条件为A为满秩.
1 2 3 0 0 1 0 1 r ( A) 3; A 0 0 1 0
1 2 0 1 r ( B ) 2; B 0 0
1 1 2 C 0 1 1 r (C ) 3 0 0 2
§2.7 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念 定义 在 m n 矩阵 A中，任取 k 行 k 列 k min{ m , n} , 位于这些行与列交叉处的 k 2 个元素，依照它们在 A 中的位置次序不变而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式.
k k m n 矩阵共有 CmCn 个 k 阶子式.
设A为一个mn矩阵, 当A=O时, 它的任何子式都 为零; 当AO时, 它至少有一个元素不为零, 即它 至少有一个一阶子式不为零. 这时再考察二阶子式 如果A中有二阶子式不为零, 则往下考察三阶子式, 依此类推, 最后必达到A中有r阶子式不为零, 而再 没有比r更高阶的不为零的子式. 这个不为零的子式 的最高阶数r, 反映了矩阵A内在的重要特性, 在矩阵 的理论与应用中都有重要意义.
A,B,C都是满秩矩阵
定理 矩阵经初等变换后, 其秩不变.
证: 仅考察经一次初等变换的情形. 设矩阵 Amn 经初等变换变为 Bmn , 且 r ( A) r , r ( A) r2 1
当对A施以互换两行或以某行非零数乘某一行的变换时, 矩阵B中任何r 1 阶子式等于某一非零数c与A的某个r 1 1 1 阶子式的乘积, 其中c=1或其它非零数. 因为A的任何 r1 1 阶子式皆为零, 因此B的任何 r1 1阶子式也都为零.
3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵 可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用 伴随矩阵求逆矩阵.
线性代数§3.3矩阵的秩
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
性质6: R(A + B) R(A) + R(B). 证明: 设A, B为mn矩阵, 对矩阵(A+B ¦ B)作列变 换: ci – cn+i (i =1,2, · · · , n)得, (A+B ¦ B) (A+O ¦ B) B) R(A) + R(B). 于是, R(A+B) R(A+B ¦ B) =R(A+O ¦ 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}. 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n . 这两条性质将在后面给出证明. 例7: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(A–E) n . 证明: 因为(A+E)+(E–A)=2E, 由性质6知, R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n, 而R(E–A)=R(A–E), 所以 R(A+E)+R(A–E) n .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩的定义矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它描述了矩阵中线性无关的行或列的个数。
矩阵秩的定义可以通过矩阵的行阶梯形式来描述，即将矩阵化简为上三角形式时，非零行的个数就是矩阵的秩。
矩阵的秩在很多应用中都扮演着重要的角色。
首先，在线性方程组的求解中，矩阵的秩可以用来判断方程组的解的情况。
当矩阵的秩等于方程组的未知数个数时，方程组有唯一解；当矩阵的秩小于方程组的未知数个数时，方程组有无穷多解；当矩阵的秩小于方程组的未知数个数时，方程组无解。
在线性映射和线性变换中，矩阵的秩也起着重要的作用。
对于一个线性映射或线性变换，矩阵的秩等于其定义域的维数和值域的维数中的较小值。
这个结论可以用来判断线性映射或线性变换是否是一一对应的。
在求解矩阵的逆和矩阵的特征值等问题中，矩阵的秩也是一个重要的参考指标。
矩阵的逆存在的充分必要条件是矩阵的秩等于其行（或列）的个数；而矩阵的特征值的个数等于矩阵的秩。
矩阵的秩还与矩阵的行列式有密切的关系。
对于一个n阶矩阵，它的秩r等于其非零行列式的最高次数。
这个结论可以用来求解矩阵的秩，特别是对于较大的矩阵，可以利用行列式的性质来简化计算。
总结来说，矩阵的秩是一个非常重要的概念，它在线性代数中有着广泛的应用。
通过矩阵的秩，我们可以判断线性方程组的解的情况，判断线性映射或线性变换是否是一一对应的，求解矩阵的逆和矩阵的特征值等等。
了解和掌握矩阵的秩的定义和性质，对于深入理解线性代数的基本概念和方法是非常重要的。
希望通过这篇文章的阐述，读者能够对矩阵的秩有一个清晰的认识，并在实际问题中能够灵活运用矩阵的秩来解决各种线性代数相关的问题。
通过深入理解矩阵的秩的定义和性质，读者可以更好地理解线性代数的基本概念和方法，从而提高数学思维能力和问题解决能力。
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值以及在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的求方法以及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等变换定义了矩阵的行阶梯形、矩阵的行最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行阶梯形与矩阵行最简形不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ ()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()T R A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵） 性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()()()+()R A R B R A B R A R B ≤≤ ；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()()()+1R A R B R A B R A ≤≤ ;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵，(),r A r =则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
3.2 矩阵的秩
非零元为对角元素的3阶行列式
2 0 0 1 3 0 3 2 = 4
24 0,
B =
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从例 1可知, 对于一般的矩阵, 当行数与列数
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二、初等行变换法求秩
1 3 1 2 例2．求矩阵 A= 2 1 2 3 的秩。 3 2 1 1 1 4 3 5 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 0 7 4 7 0 7 4 7 2 1 2 3 解：A= ， 0 7 4 7 0 0 0 0 3 2 1 1 0 7 4 7 0 0 0 0 1 4 3 5 所以R(A)=2。
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因为R(A)=2,
所以
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课堂练习 P58 29
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矩阵秩的本质
A 的秩 R(A) 就是 A 中不等于 0 的子式的最高阶数.
矩阵的秩的运算
矩阵的秩的运算一、矩阵秩的定义1. 基本概念- 对于一个m× n矩阵A，它的秩r(A)是矩阵A中线性无关的行向量（或列向量）的最大个数。
- 例如，对于矩阵A=begin{pmatrix}1&2&32&4&6end{pmatrix}，通过观察可以发现第二行是第一行的2倍，所以矩阵A的行向量中最多只有一个线性无关的向量，r(A) = 1。
2. 等价定义- 矩阵A的秩等于矩阵A的行最简形矩阵中非零行的行数。
例如，将矩阵A=begin{pmatrix}1&1&11&2&31&3&5end{pmatrix}化为行最简形begin{pmatrix}1&0& - 10&1&20&0&0end{pmatrix}，非零行有2行，所以r(A)=2。
二、矩阵秩的基本运算性质1. r(A)=r(A^T)- 矩阵A与其转置矩阵A^T具有相同的秩。
这是因为矩阵A中行向量的线性相关性与A^T中列向量的线性相关性是对应的。
例如，若A=begin{pmatrix}1&2&34&5&6end{pmatrix}，A^T=begin{pmatrix}1&42&53&6end{pmatrix}，通过计算可知r(A)=2，r(A^T) = 2。
2. r(kA)- 若k≠0为常数，r(kA)=r(A)。
这是因为数乘矩阵只是对矩阵的每个元素进行数乘，不会改变向量之间的线性相关性。
例如，设A=begin{pmatrix}1&23&4end{pmatrix}，2A=begin{pmatrix}2&46&8end{pmatrix}，r(A)=2，r(2A)=2。
- 当k = 0时，r(0A)=0（零矩阵的秩为0）。
3. r(A + B)≤ r(A)+r(B)- 设A=begin{pmatrix}1&00&0end{pmatrix}，B=begin{pmatrix}0&00&1end{pmatrix}，r(A)=1，r(B)=1，A +B=begin{pmatrix}1&00&1end{pmatrix}，r(A + B)=2，此时r(A + B)=r(A)+r(B)；再设A=begin{pmatrix}1&00&0end{pmatrix}，B=begin{pmatrix}-1&00&0end{pmatrix}，r(A)=1，r(B)=1，A +B=begin{pmatrix}0&00&0end{pmatrix}，r(A + B)=0，r(A + B)<r(A)+r(B)。
2.5 矩阵的秩
可逆矩阵， O 为什么？ r r . 1 2 I r2 O O O
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2 0 0 0 2 0 0 0
2 4 2 6 2 2 0 0 1 1 0 0
1 2 1 3 1 0 1 0
1 0 5 1
r2 2 1 0 r3 r2 0 r4 3r2 0
R( A) 2,
R( B ) 3.
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A
m n
A
m n
A
m n
推论 对任意矩阵A, R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)， 其中P, Q分别为可逆矩阵. 证 因为Q可逆，存在初等矩阵E1, …, Et使得 Q= E1• • • Et，
AQ =A E1• • • Et，
即 AQ 为A经列初等变换所得. 故 R(AQ)= R(A). 同理可证其他.
显然对任意矩阵A， A的秩唯一，但其最高阶非零 子式一般不唯一.
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例1 求矩阵的秩：
1 (1) A 2 1 2 ; ( 2) B 2 1 4 2 1 8 ; ( 3) C 2 1 3 2 4 6 4 8 2 1 2 0
解 (1)、（2） 易
O P1 I r2 O O P2 Q2 O O
I r1 O O O O P2 O
O Q2
A 所以，秩 O
I r1 O O O O 秩 B O
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三、矩阵的标准形（分解）
定理2
对任意矩阵A , 都存在可逆矩阵P , Q 使得
m n m m n n
I PAQ O
r
矩阵的秩公式(一)
矩阵的秩公式(一)
矩阵的秩公式
1. 定义
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）的最大数量。
对于一个m × n 的矩阵 A，其秩记作 rank(A)。
2. 行秩与列秩
矩阵的行秩和列秩是相等的，它们都等于矩阵的秩。
3. 秩的性质
对于一个m × n 的矩阵 A，其秩 rank(A) 满足以下性质：•rank(A) ≤ min(m, n)
•rank(A) = rank(A^T) （A^T 表示 A 的转置矩阵）
•rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B)
4. 矩阵的秩公式
矩阵的秩可以通过使用高斯消元法将矩阵化为行阶梯形矩阵，并计算行阶梯形矩阵中非零行的数量来得到。
5. 举例说明
例1:
考虑以下矩阵 A：
1 2 3
4 5 6
7 8 9
我们可以通过对矩阵 A 进行高斯消元变换得到行阶梯形矩阵：
1 2 3
0 -3 -6
0 0 0
可以观察到，在行阶梯形矩阵中非零行的数量为 2，因此矩阵 A 的秩为 2。
例2:
考虑以下矩阵 B：
1 2 -3
-4 5 6
7 8 -9
通过对矩阵 B 进行高斯消元变换得到行阶梯形矩阵：
1 2 -3
0 1 2
0 0 0
在行阶梯形矩阵中非零行的数量仍为 2，因此矩阵 B 的秩也为 2。
综上所述，矩阵的秩公式是通过将矩阵化为行阶梯形矩阵，并计
算非零行的数量来确定矩阵的秩。
矩阵的秩
1 0 5 1
r3 r2 r4 3r2
2 1 1 2 1 0 0 0 5 0 0 1
r3 r4
x1 x2 问题： 在上例中，若设 X , 那么方程组 x 3 x AX b 是否有解？ 4
23
思考题
设 A 为任一实矩阵 R( AT A)与R( A)是否相等? ,
因为对于任一实向量 0, 当Ax 0时, x
必有AT Ax 0, 反之当AT Ax 0时, 有x T AT Ax 0
即
Ax Ax 0 Ax 0;
T
由此可知
故 RAT A R A.
1 已知 A 0 例 2 1 3 2 0, 解 0 2 1 3 2
3 2 2 2 1 3 ，求该矩阵的秩． 0 1 5
计算A的3阶子式，
1
3 2
0 2 1 0, 2 0 1 1 2 2
0 2 3 0, 2 0 5 3 2 2
解
对矩阵A做初等行变换，化为行 阶梯形
1 3 2 2 0 2 1 3 0 6 3 9
1 3 2 2 r3 2r1 0 2 1 3 2 0 1 5
r3 2r2
8
1 3 2 2 0 2 1 3 0 0 0 0
k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.
2
定 义2 设 在 矩 阵A 中 有 一 个 不 等 于 的 r 阶 子 0 式 D， 且 所 有 1 阶 子 式 （ 如 果 存 在 的 ） 全 等 r 话 于 0， 那 么D 称 为 矩 阵 的 最 高 阶 非 零 子 式 ， 数 A r 等于零 .
第二章 第一讲 矩阵的秩
互换变换：A的i行与j行交换变为B，则B 的子式或为A的子式，或与A的子式差一个符号， 秩不变。 倍乘变换：A的i 行元素乘以 k (k≠0) 得到B， 则B 的子式成为A的子式，或与A的子式差一个 因子 k≠0。则秩不变。
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倍加变换：A由i行的k倍加到 j行，得到
矩阵B。 ：B的一个子式若不包含第j行元素，则 也为A的一个子式；
1 2 1 1 0 3 4 4 , 0 5 1 0
5 0 , 由r(A)=2, 得 1 0
5. 即 1
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铃
四、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1) 利用定义 寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2) 初等变换法
解： 对Ａ作初等行变换，变成行阶梯形矩阵。
1 1 2 1 A 1 2 4 1
首页
2 2 0 4
1 4 3 2
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r2 2 r1 r3 r1 r4 4 r1
返回
1 1 2 1 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 4 2
对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵：
1 r r 1 3 2 5 1 1 8 1 1 3 4 7 3 5 0 1 2 4 11
解
A
7 11
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结束
铃
5 1 2 1 7 1 11 8 r2 2r1
无解。
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因此，r(A) = 2 , r(B) = 3.
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结束
矩阵的秩
线性代数：矩阵的秩
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 例4 设 A = , 求矩阵 A 的 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩,并求 A 的一个最高阶非零子式 .
作初等行变换, 阶梯形矩阵: 解 对 A 作初等行变换,变成行 阶梯形矩阵:
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A= 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 阶子式( 式 D,且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话 )全等 的最高阶非零子式, 于 0,那末 D 称为矩阵 A的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 的秩, 等于零 . m × n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数 .
2 4
1 1 8 0 2 4 2 3 3 6 0 6 4 2
r2 2r1 1 2 2 1 r3 + 2r1 0 0 4 2 0 0 2 1 r4 3r1 0 0 6 3
1 0 5 1
r2 ÷ 2 r3 r2
r4 + 3r2
1 2 0 0 0 0 0 0
解 Q B是一个行阶梯形矩阵, 其非零行有 3行, 是一个行阶梯形矩阵,
∴ B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 1 3 而 0 3 2 ≠ 0, 0 0 4
∴ r ( B ) = 3.
1 例3 已知 A = 0 2 1 3 = 2 ≠ 0, 解 Q 0 2
3 2 2 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 求该矩阵的秩. 0 1 5
因此 D r ≠ 0,从而 r ( B ) ≥ r . 分三种情况讨论: 当A → B时,分三种情况讨论:
(1)Dr中不含第 i行; (2)Dr中同时含第 i行和第 j行; (3)Dr中含第 i行但不含第 j行;
矩阵的秩理解
矩阵的秩理解
矩阵的秩是指矩阵中非零行的个数，也可以理解为矩阵中线性无关的行或列的个数。
矩阵的秩是很重要的概念，它可以用来判断矩阵的行列式是否为0，从而判断矩阵是否可逆。
如果矩阵的秩等于它的行数或列数，那么该矩阵就是一个满秩矩阵，它一定是可逆的。
如果矩阵的秩小于它的行数或列数，那么该矩阵就是一个奇异矩阵，它是不可逆的。
另外，矩阵的秩也可以用来描述线性方程组的解的情况。
如果一个线性方程组有唯一解，那么它的系数矩阵的秩一定等于方程组中未知数的个数；如果一个线性方程组有无穷多解，那么它的系数矩阵的秩一定小于方程组中未知数的个数。
总之，矩阵的秩在线性代数中扮演着非常重要的角色，它不仅可以用来判断矩阵的可逆性，还可以用来描述线性方程组的解的情况。
熟练掌握矩阵的秩的概念和应用，对于学习线性代数和应用数学都是非常有帮助的。
- 1 -。
3.2.1 矩阵的秩
3 2 5 1 6 1 3 2 6 r 0 4 1 A0 ~ B0 2 0 5 0 0 4 1 6 1 0 0 0
R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式
3
6 11 3 2 6 6 0 11 2 16 0 2 5 2 0 5 2 0 5
当|A| = 0 时， R(A) < n ; 若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ．
R(AT) = R(A) ．
a11 A a21 a 31
a12 a13 a22 a23 a32 a33
a14 a24 a34
a11 T a12 A a13 a14
a23 a21 a23 a21 a22 a12 a13 a33 a31 a33 a31 a32
如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也 等于零 ．
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．
规定：零矩阵的秩等于零．
a11 A a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34 矩阵 A 的 2 阶子式
矩阵 A 的一个 3 阶子式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a22 a11 a32
2 0 12 0 ． 分析：在 A 中，2 阶子式 1 6
3 3 A 的 3 阶子式共有 C4 C5 40 (个)， 要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．
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若r ( A) m, 则称A为行满秩；
若r ( A) n, 则称A为列满秩.
若r ( A) m n, 则称A为满秩.
(2) r( AT ) r( A) ； r(kA) r( A) ( k 0 )； (3) 若 A 有一个 r 阶子式不为零，则 r( A) r ；
若 A 的所有 r 1 阶子式全为零，则r( A) r ； (4) 对于 n 阶方阵 A 而言，有 r( A) n | A | 0 ；
10
2 1 0 3 2
例3
求矩阵
B
0 0
0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0
解 B是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行，
r(B) 3 .
11
3 2 0 5 0
例4
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413, 求 矩 阵 A 的 秩 ．
解
A
r1 r4
1 3 2
类似有矩阵的初等列变换 ．
矩阵的初等行变换和初等列变换合称为矩阵的 初等变换.
定理 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 证略. 7
阶梯形矩阵
若矩阵的每行第一个非零元的下方及左下方全为零，
则称之为阶梯形矩阵.
例如， 2 3 2 0 4
0 1 2 5 0
0 0
0 0
7 0
1 0
3 0
1 2 0 0 2
§2.6
1
一、矩阵的秩的概念
定义 在一个 m n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列(k , min{ m , n}) 位于这些选定的行和列的交点上的k 2 个元
素按原来的顺序所组成的 k 阶行列式,称为 A 的一个 k 阶 子式.
1 1 1 1 1
例1
A
0 0 0
3 0 0
1 0 0
r3 3r2
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 4
88
1 6 4 1 4
r4 r3
0
4
3
1 1
0 0
0 0
0 0
4
0
08
r( A) 3 .
13
0 3 0 0 1
0
0
0
5
1 2 3 0 0 4
0 1 3 0 0 0 0 0 1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
10
8
下列矩阵是阶梯形矩阵吗？
3 2 0 5 0 0 2 3 6 1
0 0
0 6
1 0
5 0
3 4
不是
1 0
2 0
02
是
1 1 0 1 2
1 2 0
2 03
,
1 1 1 ,
1 2
2
一、矩阵的秩的概念
定义 在一个 m n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列(k , min{ m , n}) 位于这些选定的行和列的交点上的k 2 个元
素按原来的顺序所组成的 k 阶行列式,称为 A 的一个 k 阶 子式.
1 1 1 1 1
例1
零矩阵的秩规定为0.
可以看出，矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数.
4
例2
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个| A |，且 | A | 0，
r( A) 2 .
5
二、矩阵秩的性质：
对 m n 矩阵 A，
(1)
0 r ( A) min(m , n)
r( A) n | A | 0 ;
6
回顾 矩阵的初等行变换:
(1) 对调两行（对调i, j 两行, 记作ri rj）； (2) 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
(3) 把 某 一 行 所 有 元 素 的k 倍 加 到 另 一 行 对 应 的 元 素 上 去 （ 第j 行 的 k 倍 加 到 第i 行 上 记 作ri krj）.
A
0 0 0
3 0 0
1 0 0
1 2 0
2 03
,
111 0 3 1 6. 002
3
m
n
矩阵
A的
k
阶子式共有
C
k m
C
k n
个.
定义 设 A 是m n 矩阵,若 A 中有一个 r 阶子式不为 零,同时所有 r 1 阶子式(如果存在的话)全为零,则称
A 的秩为 r,记为秩( A) 或 r( A) .
6 2 0
4 3 1
1 6 5
4 1 3
3 2 0 5 0
1 6 4 1 4
r2 r4
0 4 3 1 1
r3 2r1 r4 3r1
0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
12
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
0 0 1 3 6
0 0
1 0
1 0
2 0
41
不是
1 1 5 1
0 2 7 4
0 0
0 0
1 0
2 0
是
9
任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换 化为阶梯形矩阵.
初等变换不改变矩阵的秩. 阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的行数. 矩阵秩的计算方法：
用初等行变换把矩阵化为阶梯形，则该阶梯 形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩.