矩阵的秩
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§2.6
1
一、矩阵的秩的概念
定义 在一个 m n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列(k , min{ m , n}) 位于这些选定的行和列的交点上的k 2 个元
素按原来的顺序所组成的 k 阶行列式,称为 A 的一个 k 阶 子式.
1 1 1 1 1
例1
A
0 0 0
3 0 0
1 0 0
A
0 0 0
3 0 0
1 0 0
1 2 0
2 03
,
111 0 3 1 6. 002
3
m
n
矩阵
A的
k
阶子式共有
C
k m
C
k n
个.
定义 设 A 是m n 矩阵,若 A 中有一个 r 阶子式不为 零,同时所有 r 1 阶子式(如果存在的话)全为零,则称
A 的秩为 r,记为秩( A) 或 r( A) .
零矩阵的秩规定为0.
可以看出，矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数.
4
例2
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个| A |，且 | A | 0，
r( A) 2 .
5
二、矩阵秩的性质：
对 m n 矩阵 A，
(1)
0 r ( A) min(m , n)
10
2 1 0 3 2
例3
求矩阵
B
0 0
0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0
解 B是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行，
r(B) 3 .
11
3 2 0 5 0
例4
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413, 求 矩 阵 A 的 秩 ．
解
A
r1 r4
1 3 2
6 2 0
4 3 1
1 6 5
4 1 3
3 2 0 5 0
1 6 4 1 4
r2 r4
0 4 3 1 1
r3 2r1 r4 3r1
0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
12
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
0 3 0 0 1
0
0
0
4
5
1 2 3 0 0 4
0 1 3 0 0 0 0 0 1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
10
8
下列矩阵是阶梯形矩阵吗？
3 2 0 5 0 0 2 3 6 1
0 0
0 6
1 0
5 0
3 4
不是
1 0
2 0
02
是
1 1 0 1 2
0 0 1 3 6
0 0
1 0
1 0
2 0
41
不是
1 1 5 1
0 2 7 4
0 0
0 0
1 0
2 0
是
9
任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换 化为阶梯形矩阵.
初等变换不改变矩阵的秩. 阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的行数. 矩阵秩的计算方法：
用初等行变换把矩阵化为阶梯形，则该阶梯 形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩.
r3 3r2
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 4
88
1 6 4 1 4
r4 r3
0
4
3
1 1
0 0
0 0
0 0
4
0
08
r( A) 3 .
13
1 2 0
Fra Baidu bibliotek2 03
,
1 1 1 ,
1 2
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一、矩阵的秩的概念
定义 在一个 m n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列(k , min{ m , n}) 位于这些选定的行和列的交点上的k 2 个元
素按原来的顺序所组成的 k 阶行列式,称为 A 的一个 k 阶 子式.
1 1 1 1 1
例1
类似有矩阵的初等列变换 ．
矩阵的初等行变换和初等列变换合称为矩阵的 初等变换.
定理 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 证略. 7
阶梯形矩阵
若矩阵的每行第一个非零元的下方及左下方全为零，
则称之为阶梯形矩阵.
例如， 2 3 2 0 4
0 1 2 5 0
0 0
0 0
7 0
1 0
3 0
1 2 0 0 2
若r ( A) m, 则称A为行满秩；
若r ( A) n, 则称A为列满秩.
若r ( A) m n, 则称A为满秩.
(2) r( AT ) r( A) ； r(kA) r( A) ( k 0 )； (3) 若 A 有一个 r 阶子式不为零，则 r( A) r ；
若 A 的所有 r 1 阶子式全为零，则r( A) r ； (4) 对于 n 阶方阵 A 而言，有 r( A) n | A | 0 ；
r( A) n | A | 0 ;
6
回顾 矩阵的初等行变换:
(1) 对调两行（对调i, j 两行, 记作ri rj）； (2) 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
(3) 把 某 一 行 所 有 元 素 的k 倍 加 到 另 一 行 对 应 的 元 素 上 去 （ 第j 行 的 k 倍 加 到 第i 行 上 记 作ri krj）.
1
一、矩阵的秩的概念
定义 在一个 m n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列(k , min{ m , n}) 位于这些选定的行和列的交点上的k 2 个元
素按原来的顺序所组成的 k 阶行列式,称为 A 的一个 k 阶 子式.
1 1 1 1 1
例1
A
0 0 0
3 0 0
1 0 0
A
0 0 0
3 0 0
1 0 0
1 2 0
2 03
,
111 0 3 1 6. 002
3
m
n
矩阵
A的
k
阶子式共有
C
k m
C
k n
个.
定义 设 A 是m n 矩阵,若 A 中有一个 r 阶子式不为 零,同时所有 r 1 阶子式(如果存在的话)全为零,则称
A 的秩为 r,记为秩( A) 或 r( A) .
零矩阵的秩规定为0.
可以看出，矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数.
4
例2
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个| A |，且 | A | 0，
r( A) 2 .
5
二、矩阵秩的性质：
对 m n 矩阵 A，
(1)
0 r ( A) min(m , n)
10
2 1 0 3 2
例3
求矩阵
B
0 0
0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0
解 B是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行，
r(B) 3 .
11
3 2 0 5 0
例4
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413, 求 矩 阵 A 的 秩 ．
解
A
r1 r4
1 3 2
6 2 0
4 3 1
1 6 5
4 1 3
3 2 0 5 0
1 6 4 1 4
r2 r4
0 4 3 1 1
r3 2r1 r4 3r1
0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
12
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
0 3 0 0 1
0
0
0
4
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1 2 3 0 0 4
0 1 3 0 0 0 0 0 1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
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下列矩阵是阶梯形矩阵吗？
3 2 0 5 0 0 2 3 6 1
0 0
0 6
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5 0
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不是
1 0
2 0
02
是
1 1 0 1 2
0 0 1 3 6
0 0
1 0
1 0
2 0
41
不是
1 1 5 1
0 2 7 4
0 0
0 0
1 0
2 0
是
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任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换 化为阶梯形矩阵.
初等变换不改变矩阵的秩. 阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的行数. 矩阵秩的计算方法：
用初等行变换把矩阵化为阶梯形，则该阶梯 形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩.
r3 3r2
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 4
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1 6 4 1 4
r4 r3
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0 0
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r( A) 3 .
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1 2 0
Fra Baidu bibliotek2 03
,
1 1 1 ,
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一、矩阵的秩的概念
定义 在一个 m n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列(k , min{ m , n}) 位于这些选定的行和列的交点上的k 2 个元
素按原来的顺序所组成的 k 阶行列式,称为 A 的一个 k 阶 子式.
1 1 1 1 1
例1
类似有矩阵的初等列变换 ．
矩阵的初等行变换和初等列变换合称为矩阵的 初等变换.
定理 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 证略. 7
阶梯形矩阵
若矩阵的每行第一个非零元的下方及左下方全为零，
则称之为阶梯形矩阵.
例如， 2 3 2 0 4
0 1 2 5 0
0 0
0 0
7 0
1 0
3 0
1 2 0 0 2
若r ( A) m, 则称A为行满秩；
若r ( A) n, 则称A为列满秩.
若r ( A) m n, 则称A为满秩.
(2) r( AT ) r( A) ； r(kA) r( A) ( k 0 )； (3) 若 A 有一个 r 阶子式不为零，则 r( A) r ；
若 A 的所有 r 1 阶子式全为零，则r( A) r ； (4) 对于 n 阶方阵 A 而言，有 r( A) n | A | 0 ；
r( A) n | A | 0 ;
6
回顾 矩阵的初等行变换:
(1) 对调两行（对调i, j 两行, 记作ri rj）； (2) 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
(3) 把 某 一 行 所 有 元 素 的k 倍 加 到 另 一 行 对 应 的 元 素 上 去 （ 第j 行 的 k 倍 加 到 第i 行 上 记 作ri krj）.