线性代数：矩阵秩的求法

第十-十一次
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3.秩的性质
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(1) 设A是m n矩阵，则r( A) min{ m, n},
A是n阶方阵，则r( A) n
定义：若 n 阶方阵 A 的秩 r(A)=n,则称 A 为满秩矩阵， 否则称为 降秩矩阵.
A为满秩矩阵的充要条件是 A 0，故满秩矩阵 就是可逆矩阵.
(2) r( AT ) r( A). (3) 阶梯阵的秩等于它的非零行数.
4.基本未知量个数: r( A) r 自由未知量个数: n r
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2.3.3 非齐次线性方程组
例 1 解线性方程组
x21
x1
2x2 3x3 x2 x3
2 1
3x1 x2 2x3 0
解
~ (Ab)
1 2 3
2 1 1
3 1 2
102
r2 r3
2r1 3r1
1 0 0
2 5 5
B 0
0
1
1
0
a3
0 0 0 1 1 a4
1 0 0 0 1 a5
1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
~
0
0
1 1 0
a3
0 0 0 1 1 a4
5
0 0 0 0 0 ai
i1
x1 x2 a1
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
1 2
x1 x2 x3 2x4 1
~ 解 (Ab)
1 2 1
1 2 1
1 0 1
1 1 2
112
r2 2r1 r3 r1
~ 100
1 0 0
1 2 2
1 3 3
100 r3 r2 100
1 0 0
1 2 0
1 3 0
100
~1
2
r1
r2 r2
1 0
1 0
0 1
1 2
3 2
1 0
定理 若线性方程组 Ax=b 的增广矩阵(Ab)经初等行变换 化为(Ud),则它与方程组 Ux=d 是同解的.
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用初等行变换解线性方程组： 1)写出增广矩阵（A b); 2)用初等行变换将（A b）化为阶梯阵，
有解时化为最简形； 3)写出同解的最简形方程组, 得出原方程组的解。
2.3.2 齐次线性方程组
a4
x5 x1 a5
RA RB
5
ai 0
i 1
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5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
0 0 0 0 0
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1
1
0
1 2
0
0
1
3 2
0 0 0 0
得同解方程组：
x1
x2 x3
1 2
x4
3 2
x4
1 0
1
0 r(A)=r(Ab)<n
0
即
x1
1
x2
1 2
x4
x2
x3
x2
3 2 x4
x4
x4
得
原
方
程
组
的
解 xx12
x3 x4
1 0 0 0
k1
11
0 0
可写成矩阵形式 Ax b,
若b 0, 称Ax 0为齐次的；
若b 0, 称Ax b为非齐次的.
满足方程组Ax b的向量x, 称为它的解向量, 也 称 为 解.
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(A
b)
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
b1 b2 bm
称为增广矩阵.
若增广矩阵为阶梯阵，则称它所对应的方程组 为 阶 梯 形 方 程 组.
解 用初等变换把增广矩阵化为行最简形，
(Ab) 112
2 1 2
3 1 2
121
~r2 2r1
r3 r1
1 0 0
2 5 4
3 7 5
233
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源自文库
1 0 0
2 5 4
3 7 5
~ 233
r3
4 5
r2
(1)r2
1 0
0
2 5
0
3 7 3
5
2
3 3
5
~ ~ 5
3
r3
1 0 0
k
2
1 2
0
3 2
1
.
其中k1
,
k
为任意常数。
2
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定理 3 线性方程组 Ax=b 有解 r(A)=r(Ab)
定理 4 设线性方程组 Ax=b 有解。 若A为方阵，
如果 r(A)=n，则它有唯一解; A 0,唯一解
如果
r(A)<n，则它有无穷多解。
A
0，无穷解
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x1 x2 a1
例４
证明方
程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
a4
x5 x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
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1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
即： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩
阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
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2.3 线性方程组的解
2.3.1 概述
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
am1 x1
a22 x2
am2 x2
a2n xn amn xn
b2 bm
— m n方程组
2 5 0
3 7 1
321
r1 3r3 r2 7r3
1 0 0
2 5 0
0 0 1
1501
~1
5
r2
1 0 0
1
r1 2r2
0 0
1 0
0 1
21
r(A)=r(Ab)=n
x1 1, x2 2, x3 1.
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例
3
解线性方程组
x1 x2 x3 x4 2x1 2x2 x4
3 7 7
2 3 6
~(1)r2
r3 r2
1 0 0
2 5 0
3 7 0
323
r(Ab)=r(A)+1
从最后一非零行可知 0x1 0x2 0x3 3 即0 3.
这是一个矛盾方程，所以原方程组无解。8/44
例 2 解线性方程组
x1 2x1
2x2 3x3 x2 x3
2 1
x1 2x2 2x3 1
齐次线性方程组 Ax=0 总是有解的，x=0 就是一个解， 称为零解。 所以我们更关心的是它是否有非零解.
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定理 Ax=0 的解的情况：
1.Ax=0 有非零解 r(A)<n 只有零解 r(A)=n
2.若A是方阵，Ax 0有非零解 A 0 只有零解 A 0
3.Ax 0,若m n,则一定有非零解。 m :方程个数 n :未知量个数
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2.2.2 矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过变换矩阵的秩变吗？
定理1 若 A ~ B,则 RA RB. 应明白其意义
表明初等变换不改变矩阵的秩.
用 初 等 变 换 求 矩 阵 的 秩：
1) A 初等行(列）变换 阶梯阵U ,
2)r( A) r(U ) U的非零行数。