【上海市闵行区】2017届高三4月质量调研考试(二模)数学试卷(附答案与解析)

上海市闵行区2017届高三4月质量调研考试（二模）数学试卷一、填空题：共12题1．方程3log (21)2x +=的解是________． 2．已知集合{||1|1}M x x =+≤，{1,0,1}N =-则MN =________．3．若复数12i z a =+，22i z =+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数，则实数a =________．4．直线23x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）对应的普通方程是________．5．若1*(2)(n ,3)n n n x x ax bx c n -+=++++∈≥N …，且4b c =，则a 的值为________． 6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是________．7．若函数()2()1x f x x a =+-在区间[0,1]上有零点，则实数a 的取值范围是________． 8．在约束条件|1||2|3x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为________．9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______． 10．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<，其左、右焦点分别为1F 、2F ，12||2F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P到直线1x c=的距离是1||PF 与2||PF 的等差中项，则 的最大值为________． 11．已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP =，O 是坐标原点，则||PQ 的取值范围是________．12．已知递增数列{}n a 共有2 017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =________． 二、选择题：共4题13．设a 、b 分别是两条异面直线1l ，2l 的方向向量，向量a ，b 的夹角的取值范围为A ，1l 、2l 所成的角的取值范围为B ，则“a A ∈”是“a B ∈”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件14．将函数πsin()12y x =-图像上的点π(,)4P t 向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）A ．12t =，s 的最小值为π6B ．t =，s的最小值为π6C ．12t =，s的最小值为π12D ．t =，s的最小值为π1215．某条公共汽车线路收支差额 与乘客量 的函数关系如下图所示（收支差额 车票收入 支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）A ．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B ．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C ．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D ．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16．设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： （1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； （2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；（3）若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；（4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题：共5题17．直三棱柱111ABC A B C -中，底面 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，==2AB AC ，1=4AA ，M 是侧棱1CC 上一点，设=MC h ．（1）若1BM AC ⊥，求 的值； （2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18．设函数()2x f x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称． （1）若()4()3f x g x =+，求x 的值；（2）若存在[0,4]x ∈，使不等式()(2)3f a x g x +--≥成立，求实数a 的取值范围．19．如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120PAQ ︒∠=，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1 000元/米．（1）若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？20．设直线 与抛物线24y x =相交于不同两点A 、B ，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．（1）若AOB △是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长； （2）若4r =，求直线 的方程；（3）试对(0,)r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线 的条数（只需直接写出结果）． 21．已知()y f x =是R 上的奇函数，(1)1f -=-，且对任意(,0)x ∈-∞，1()()1xf x f x x =-都成立． （1）求1()2f -、1()3f -的值；（2）设*1()()n a f n n=∈N ，求数列{}n a 的递推公式和通项公式；（3）记121321n n n n n T a a a a a a a a --=+++…，求1lim n n nT T +→∞的值．上海市闵行区2017届高三4月质量调研考试（二模）数学试卷答 案1．4x = 2．{1,0} 3．14．10x y +-= 5．16 6．7．1[,1]2-8．9 9．2910．211． 12．1 009 13．C 14．A 15．B 16．C17．解：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(2,0,0)B ，1(0,0,4)A ，(0,2,0)C ，(0,2,)M h ，(2,2,)BM h =-，1(0,2,4)A C =-由1BM AC ⊥得10BM A C =，即2240h ⨯-= 解得1h =．（2）法一：此时(0,2,2)M ，(2,0,0)AB =，(0,2,2)AM =，1(2,0,4)BA =- 设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n AB n AM ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00x y z =⎧⎨+=⎩，所以(0,1,1)n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ，则11||sin =||||2n BA n BA θ=θ=所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，∵AB AC ⊥，1AB AA ⊥，∴AB ⊥平面11AA C C ，∴1AB A M ⊥，∴1A M ⊥平面ABM ，所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； 在1Rt A BM △中，1A M =，1A B =111sinA M A BM AB ∠=== 所以1A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为18．解：（1）由()4()3f x g x =+得2423x x -=+223240x x ⇒--=，所以21x =-（舍）或24x =，所以2x =．（2）由()(2)3f a x g x +--≥得2223a x x +-≥，22232232a x x a x x +--+⇒≥+而23223x x -+≥232x x-=，即4log 3[0,4]x =∈时取等号所以2a ≥211log 32a ≥+．19．解（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米； 依题意得8004001200000x y +=，即23000x y +=，221332=sin1202()22ABC x y S x y x y ︒+=≤=△ 当且仅当2x y =，即750x =，1500y =时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米 （2）法一：在（1）的条件下，因为750AB m =，1500AC m =．由2133AD AB AC =+ 得222221441()+33999AD AB AC AB AB AC AC =+=+224411750+7501500()15002500009929=⨯⨯⨯⨯-+⨯= ∴||500AD =，1000500500000⨯=元 所以，建水上通道AD 还需要50万元．法二：在ABC △中，cos120BC AC7在ABD △中，222cos 2AB BC AC B AB AC +-===在ABD △中，AD =277)500== 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(750,0)B ，(1500cos120,1500sin120)C ︒︒，即(C -，设00(,)D x y由2CDDB =，求得00250x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以D所以，||500AD =1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．20．解：（1）设AOB △的边长为a ，则A 的坐标为1(,)22a ±所以21()42a ±=所以a =此三角形的边长为 （2）设直线:l x ky b =+当0k =时，1x =，9x =符合题意当0k ≠时，224404x ky by ky b y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ 216()0k b =+>△，124y y k +=，221242(2,2)x x k b M k b k +=+⇒+∵1AB CM k k =-，1AB k k =，∴2223225CM kk k b k k b ==-⇒=-+- ∴22216()16(3k )003k b k =+=->⇒<<△∵4r ===23(0,3)k =∉，舍去综上所述，直线 的方程为：1x =或9x =（3）(0,2][4,5)r ∈时，共2条；(2,4)r ∈时，共4条；[5,)r ∈+∞时，共1条．21．解：（1）对等式1()()1x f x f x x =-，令11(1)()12x f f =⇒-=-=-，所以1()12f -=- 令1111()2()2()2233x f f f =-⇒-=-=-，所以11()32f -=-（2）取1x n =-，可得111()()1f f n n n =--+，即111()()1f f n n n =+，所以*11()n n a a n n+=∈N 而1(1)(1)1a f f ==-=所以数列{}n a 的递推公式为11a =，*11()n n a a n n+=∈N 故1321221111111122(1)!n n n n n a a a a a a a a a a n n n ---===---…所以数列{}n a 的通项公式为1(1)!n a n =-（3）由（2）1(1)!n a n =-代入121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++…得111110!(1)!1!(2)!2!(3)!3!(n 3)!(1)!0!n T n n n n =+++++-----…1(1)!(1)!(1)!1!(2)!2!(3)!(2)!1!n n n n T n n n n ---⇒=+++++---- (1)1232111111112[](1)!(1)!n n n n n n n n n n T n n ---------⇒=++++++=--…痧痧痧 12!nn T n +⇒= 则12lim lim 0n n n n T T n+→∞→∞==上海市闵行区2017届高三4月质量调研考试（二模）数学试卷解析1．本题考查对数函数.，即，解得.即方程的解是.2．本题考查集合的基本运算.由题意得;而，，，所以，. 3．本题考查复数的概念与运算.=，其为纯虚数，所以，解得=1.4．本题考查直线的参数方程.削去参数，可得;即直线对应的普通方程是.5．本题考查二项式定理.（）展开式的通项公式，令，可得;令，可得;而，即，解得;即（）展开式的通项公式，令，可得.【备注】二项展开式的通项公式：.6．本题考查三视图，空间几何体的表面积.由三视图可得该空间几何体为圆锥;该几何体的侧面积（）.7．本题考查函数与方程.因为函数（）在区间，上有零点，则（）（）=（）（），解得.即实数的取值范围是，.8．本题考查线性规划问题.画出可行域，如图四边形所示;（，），（，），（，），（，）.当过点时，目标函数取得最大值.9．本题考查互斥事件的概率.由题意得所求的概率（）=.10．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，等差数列.由题意得:该椭圆为焦点在轴的椭圆，且;而到直线的距离是与的等差中项，所以到准线的距离，即;而，即，解得;而，所以，解得.即的最大值为.【备注】椭圆（），，焦点（，）..11．本题考查平面向量的数量积、平面向量的线性运算.令（，），而点关于直线的对称点为，所以（，），（，）;而，所以（，）;而（，），所以（，）;所以（，），=（）;而动点在圆上，所以（），所以（），即，所以的取值范围是，. 12．本题考数列的概念与求和.由题意得，若，则，所以，且上述每项均在数列中;所以，，，，即=====1;所以，所以.13．本题考查充要条件，两直线的位置关系.由题意得，，（，;所以“”是“”的必要不充分条件.选C.14．本题考查三角函数的图象与性质.由题意得，排除B，D;平移后（，），而位于函数的图象上，所以，而，则的最小值为，排除C.选A.15．本题考查函数的图像与性质.令车票价格为，支出费用为，则收支差额（）;若按建议（Ⅰ），令减少后的支出费用为，，则，则其对应的为图①;若按建议（Ⅱ），令提高后的车票价格为，，则，则其对应的为图③;所以①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）.选B.16．本题考查函数的性质，函数与方程.（1）因为（）是奇函数，所以（）;则（（））=（（））=（（）），所以（（））也是奇函数，即（1）正确；（2）因为（）是周期函数，所以（）;则（（））=（（）），所以（（））也是周期函数，即（2）正确；（3）因为（）是单调递减函数，所以（（））是单调递增函数，即（3）错误；（4）若函数存在反函数，且函数有零点，即与（）有交点，则交点一定在上，所以与亦有交点，即函数（）也有零点.（4）正确;所以正确的命题有（1）（2）（4），共有3个.选C.17．本题考查线面垂直，空间向量的应用.（1）建立恰当的空间直角坐标系，（，，），（，，），而，所以，解得.（2）（，，），求得平面的法向量（，，），求得，所以直线与平面所成的角为.18．本题考查指数函数、反函数.（1）由（）（）得，解得.（2）由（）（）得;而，所以，即. 19．本题考查解三角形，正余弦定理，三角形的面积公式.（1）设长为米，长为米；依题意得，=（），即，时等号成立，所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米;（2）由余弦定理得，，在中，，元，所以建水上通道还需要万元.20．本题考查抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.（1）设的边长为，由题意得（），解得.（2）当时，，符合题意;当时，联立方程，套用根与系数的关系求得:（，），舍去;综上所述，直线的方程为，.（3）（，，）时，共2条;（，）时，共4条;，）时，共1条.21．本题考查函数的性质，数列的通项与求和.（1）令求得（）;令，求得（）;（2）取得，而累乘得（）.（3）由（2）（）代入得（），，所以.。