一元一次方程的应用追赶小明

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6.应用一元一次方程——追赶小明微教案

应用一元一次方程之行程问题微教案教学目标：1.会借线段图分析行程问题（追及问题、相遇问题）.2.各种行程问题中的规律及等量关系.教学重难点：能根据题意画出线段图，找出其中的等量关系。

根据等量关系列出方程并求解。

教学过程：一、讲解追及问题例１：小明早晨要在7：20以前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．（1）爸爸追上小明用了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？分析：等量关系：小明所用时间=5+爸爸所用时间；小明走过的路程=爸爸走过的路程解：（1）设爸爸追上小明用了x分钟，据题意得 80×5＋80x=180x.解，得x=4.答：爸爸追上小明用了4分钟．（2）180×4=720（米），1000-720=280（米）.答：追上小明时，距离学校还有280米．小结：同向而行①甲先走，乙后走；等量关系：甲的路程=乙的路程；甲的时间=乙的时间＋时间差.例２：甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米．设两车同时开出，同向而行，则快车几小时后追上慢车？分析：等量关系：快车所用时间=慢车所用时间；快车行驶路程=慢车行驶路程＋相距路程解：设快车x小时追上慢车，据题意得： 85x=450+65x.解，得x=22.5.答：快车22.5小时追上慢车小结：同向而行②甲、乙同时走；等量关系：甲的时间=乙的时间；乙的路程=甲的路程＋起点距离.二、相遇问题例3：甲、乙两人相距280米，相向而行，甲从A地每秒走8米，乙从B地每秒走6米，那么甲出发几秒与乙相遇？解：设t秒后甲、乙相遇，据题意得 8t+6t =280.解，得t=20.答：甲出发20秒与乙相遇小结：相向而行等量关系：甲所用时间=乙所用时间；甲的路程＋乙的路程=总路程.三、归纳总结1.会借线段图分析行程问题.2.各种行程问题中的规律及等量关系.同向追及问题：①同时不同地——甲路程＋路程差＝乙路程；甲时间＝乙时间.②同地不同时——甲时间＋时间差＝乙时间；甲路程＝乙路程.相向的相遇问题：甲路程＋乙路程＝总路程；甲时间＝乙时间.。

应用一元一次方程—追赶小明课件

准确地解决问题。
THANKS
然后，解这个一元一次方程，找到未知数的值。
其次，根据问题描述，建立一元一次方程。
最后，验证解的正确性，并解释结果。
鼓励学生在生活中多尝试用数学解决问题
01
数学并不是抽象的学科，而是与我们的生活紧密相连的
。
02
鼓励学生多尝试用数学解决实际问题，可以培养他们的数学思维和解决问题的能力
。
03
在生活中遇到问题时，可以尝试用数学模型进行描述和解决，这样可以更加高效、
一元一次方程是数学中基础且重要的方程形式，它代表了一个未知数与常数之间的线性关系。
一元一次方程的标准形式
一元一次方程的标准形式
ax + b = 0，其中a和b是常数，x是未知元一次方程具有特定的结构，其中未知数x的系数a不能为0，否则不满足一元一次方程的定义。
解一元一次方程的方法
验证答案是否符合等量关系
将答案代入等量关系中，验证是否符合等量关系。
04
实际生活中一元一次方程的应用
速度、时间、距离的关系
总结词
速度、时间、距离是实际生活中常见的量，它们之间存在密切的关系，可以通过一元一次方程来表示和解决。
详细描述
在速度、时间、距离的关系中，速度等于路程除以时间，或者路程等于速度乘以时间。通过设定未知数表示其中一个量，可以建立一元一次方程来解决问题。例如，小明从家里骑自行车去学校，路程为10公里，速度为每小时 15公里，求需要的时间。
根据题目描述，建立等量关系，如“我走的路程=小明走的路程+50”。
将等量关系中的未知数代入，列出方程，如“60x=30x+50”。
解方程求出答案
对方程进行化简和求解，得到x 的值。

5.6.应用一元一次方程-追赶小明(教案)

d.解决学生在移项、合并同类项等操作中常见的错误。
-举例解释：对于上述小明跑步的问题，学生可能会在将时间单位从分钟转换为小时时出现错误，或者在对等式进行操作时忘记乘除法的规则。教师需要通过具体例题和反复练习，帮助学生理解和掌握这些难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《应用一元一次方程-追赶小明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个人在不同速度下开始跑，最后一个人追上另一个人的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元一次方程在实际问题中的奥秘。
5.6.应用一元一次方程-追赶小明（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第五章第六节，主题为“应用一元一次方程-追赶小明”。教学内容主要包括以下几个方面：
1.理解速度、时间和路程的关系，掌握公式：路程=速度×时间。
2.学习如何将实际问题转化为数学方程，通过解一元一次方程解决追赶小明的实际问题。
3.通过追赶小明的实例，让学生掌握以下知识点：
2.提升学生的逻辑推理能力：在解决追赶小明问题的过程中，学会运用等式性质和方程求解方法，培养学生严密的逻辑思维和推理能力。
3.增强学生的数学应用意识：将所学的一元一次方程应用于解决实际问题，让学生体会数学与现实生活的紧密联系，提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：一元一次方程在实际问题中的应用，特别是速度、时间和路程的关系。
2.教学难点
-难点内容：学生对于将实际问题转化为数学方程的过程，以及解方程时对等式性质的理解和运用。
-难点突破：
a.帮助学生理解实际问题背后的数学模型，特别是如何将描述性的语言转化为数学表达式。

应用一元一次方程——追赶小明教案

应用一元一次方程——追赶小明教案《应用一元一次方程——追赶小明教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教学目标【知识与技能】1.通过“线段题”分析题目中的数量关系，找出等量关系.2.运用一元一次方程解决行程问题.【过程与方法】通过运用一元一次方程解决行程问题，进一步体会方程模型的作用，培养分析问题，解决问题的能力.【情感态度价值观】结合本课教学特点，教育学生热爱学习，热爱生活，激发学生学习的兴趣.【教学重点】找出追及问题中的条件和要求的结论，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题.【教学难点】借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系.课前准备课件教学过程一、情境导入，初步认识在小学我们就学习过运用方程解决行程问题，你还记得路程、速度、时间三个量之间的关系吗?【教学说明】学生通过回忆，掌握行程问题的基本关系式.二、思考探究，获取新知1.追及问题问题1 教材第150页最上方的彩图及图相关的内容问题.【教学说明】学生根据题意画出线段图，借助线段图加以分析，尝试完成.【归纳结论】追及问题中的等量关系：快者行走的路程-慢者行走的路程=追及路程.2.相遇问题问题2 甲、乙两人从相距180千米的A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.已知甲的速度为15千米/时，乙的速度为45千米/时，经过多少时间两人相遇?【教学说明】学生通过思考、分析,与同伴进行交流，最后展示自己的解答过程.【归纳结论】相遇问题中的等量关系：甲的行程+乙的行程=甲、乙出发点间的路程;若甲、乙同时出发，则甲行的时间=乙行的时间.3.航行问题问题3 一艘轮船在A、B两地之间航行，顺流用3.3h，逆流航行比顺流航行多用30min，轮船在静水中的速度为26km/h，求水流的速度.【教学说明】学生通过思考、分析，与同伴进行交流，尝试完成.【归纳结论】顺水中的航速=静水中的航速+水流速度,逆水中的航速=静水中的航速-水流速度.4.开放探究性问题问题4 育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七(1)班的学生组成前队，步行速度为4km/h,七(2)班的学生组成后队，速度为6km/h，前队出发1h后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12km/h，根据上面的事实提出问题并尝试去解答.【教学说明】对于问题4，并没有提出问题，需要学生根据已知条件，提出合理的问题，再运用所学知识进行解答.学生可以提出不同的问题，然后与同伴进行交流.三、运用新知，深化理解1.甲的速度是5km/h,乙的速度是6km/h.两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，若经过4h相遇,则A、B的距离是_____km;若经过6h还差10km相遇，则A、B的距离是_____km.2.甲、乙两同学从学校到县城，甲每小时走4km,乙每小时走6km，甲先出发1h,结果乙比甲早到1h.则学校与县城间的距离是_____km.3.甲、乙两人都从A地到B地，甲步行每小时走5km,先走了1.5h，乙骑自行车走了50min，两人同时到达B地，乙每小时骑多少千米?4.一船航行于A、B两个码头之间，顺水航行需3h，逆水航行需5h，已知水流速度为4km/h.求两码头之间的距离.【教学说明】学生自主完成，加深对新学知识的理解，检测对运用一元一次方程解决行程问题的掌握情况，对学生的疑惑，教师应及时加以指导.完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时练习的课堂作业部分.【答案】1.44 762.243.设乙每小时骑xkm,由题意得：5×(1.5+5/6)=5/6x解得x=14所以乙每小时骑14km.4.设船在静水中的进度为x km/h，由题意得3(x+4)=5(x-4)解得x=16,则3(x+4)=60所以两码头之间的距离为60km.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾应用一元一次方程解决行程问题.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，积极与同伴交流，加深对新学知识的理解与运用.课后作业：1.布置作业：从教材“习题5.9”中选取.2.完成练习册中本课时的相应作业.教学反思：本节课从学生运用一元一次方程解决行程问题，到探究开放性问题，培养学生分析问题，解决问题的能力，激发学生的学习兴趣.应用一元一次方程——追赶小明教案这篇文章共4983字。

5.6应用一元一次方程——追赶小明

应用一元一次方程——追赶小明【教学目标】1．使学生能分析相遇问题中已知数与未知数之间的相等关系，利用路程、时间与速度三个量之间的关系式，列出一元一次方程解简单的应用题。

2．使学生会区分同时出发与先后出发的相遇问题，正确地列出相应的方程。

3.进一步体会方程模型的作用，提高应用方程解应用题的意识。

【教学重点】1.借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系。

从而建立方程，解决实际问题。

2.熟悉路程问题中的速度、路程、时间之间的关系，从而实现从文字语言到图形语言，从图形语言到符号语言的转化。

【教学难点】用“线段图”或列表分析复杂问题中的等量关系。

从而建立方程。

【教具准备】学案、多媒体辅助教学【课型】新授课【课时安排】1课时【教学设计】一、新课导入我们知道用方程能解决生活中的一系列问题，这节课我们一起来讨论追及与相遇问题。

请同学们做一做：1.若小明每分钟走80米，那么他5分钟能走____米.（路程=速度*时间）2.小明用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为_____米/分.（速度=路程/时间）3.已知小明家距离火车站1200米，他以4米/秒的速度骑车到达车站需要_____分钟.（时间=路程/速度）设计意图：通过练习，先让同学们熟悉速度、路程、时间之间的关系。

二、新课教学1、例题：小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。

一天小明以80米/分的速度出发5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。

于是他爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。

(1)爸爸追小明用了多长时间？(2)追上小明时，距离学校还有多远？提示：解决此类问题我们首先要考虑怎样找出题目中的相等关系，从而列出方程解答，请同学们思考后进行交流。

引导学生从以下问题进行分析：（1）这个问题中涉及了哪一个数量关系？归纳：通过例题的学习，应学会用线段图或列表去寻找相等关系，从而建立模型——方程，使问题解决。

此外，更应该吸取小明的教训，从小培养良好的生活与学习习惯，免得父母操心。

七年级数学上册《应用一元一次方程追赶小明》优秀教学案例

二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的解法，并能将其应用于解决实际问题。
2.能够根据实际问题，找出等量关系，正确列出相应的一元一次方程。
3.掌握一元一次方程在实际问题中的运用，如速度、时间、距离等关系，提高数学应用能力。
4.学会运用一元一次方程解决追赶小明等问题，培养分析和解决实际问题的能力。
5.引导学生关注生活，发现生活中的数学问题，培养他们学以致用的意识。
本章节教学目标旨在使学生在掌握一元一次方程知识的基础上，提高解决实际问题的能力，培养他们的数学思维和综合素质。在教学过程中，关注学生的情感态度与价值观的培养，使他们形成积极向上的学习态度，为今后的学习生活奠定坚实基础。
三、教学策略
（一）情景创设
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流，培养学生团队协作能力和沟通能力。
2.引导学生运用数学思维，将实际问题抽象为数学模型，培养学生数学建模能力。
3.在解决实际问题的过程中，引导学生进行观察、分析、归纳，培养他们的逻辑思维能力。
4.注重启发式教学，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究、自主学习。
3.小组合作，促进交流
小组合作是本案例的一大亮点。学生分组讨论、共同解决问题，有助于培养团队协作精神和沟通能力。在小组合作过程中，学生能够相互借鉴、取长补短，共同提高，使课堂氛围更加活跃。
4.反思与评价，提升自我
本案例注重学生的反思与评价，帮助他们在总结学习经验的基础上，提高自身学习能力。通过自我反思和互相评价，学生能够认识到自己的不足，学习他人的优点，从而不断提升自我。
故事背景设定为学生们熟悉的生活场景：小明在操场上跑步，同学们想要追赶他。在此过程中，学生需要运用一元一次方程来计算追赶小明所需的时间。这样的案例设计既符合学生的认知水平，又能激发学生的学习兴趣，促使他们主动参与到课堂教学中来。

应用一元一次方程—追赶小明

甲的行程=乙先走的行程+乙后走的行程。
3、相遇问题的相等关系：
甲的行程+乙的行程=两地的距离。
作业布置：
完成练习册本课时的习题
3、相遇后，当联络员再次追上七（1）学生时，用了多长时间？此时联络员或七（1）班学生及七（2）班学生离学校又有多远？或两个班的学生相距有多远？
4、当七（2）班学生追上了七（1）班学生时，用了多长时间？此时他们离学校有多远？
谈谈这节课你有什么收获？
1、借助线段图理解题意。 2、追及问题的相等关系：
分析：1、应用题的类型：行程问题。 2、计算公式：路程=速度×时间。 3、相等关系：A、B两地的路程=小亮的行程+小明的行程。
x 4、若设小亮的速度为千米/小时，可
x 解：若设小亮的速度为千米/小时，根据题意，得
+
x 解方程，得 = 19
= 72
19 — 2 = 17
所以，小亮的速度为19千米/小时，小明的速度为17 千米/小时。
分析：1、这是一道关于行程问题的应用题，在七（1）班学生、七（2）班学生、联络员这三个对象中，他们的速度是已知的，而他们的行程和时间是未知的，所以在提问时应从行程和时间两方面来提。
2、在行程过程中，联络员先是追七（1）班学生，后是与七（2）学生相遇，然后又去追七（1）班学生，而七（2）班学生一直都是在追七（1）班学生。
x 解方程，得 = 4
因此，爸爸追上小明用了4min。
（2）180×4=720（m）
1000 —720=280（m）所以，追上小明时，距离学校还有280（m）。
小亮骑自行车
小亮骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到 A地，两人均匀速前进，2小时后，他们相遇。已知A、B 两地相距72千米，小亮的速度比小明的速度每小时快2千米，求两人的速度。

《应用一元一次方程—追赶小明》一元一次方程

购物优惠问题
在购物时，商家经常会推出各种优惠活动。利用一元一次方程，我们可以计算出最优惠的购物方案。
分配问题
在资源有限的情况下，如何合理地分配资源使得利益最大化，也是一元一次方程可以解决的问题。
其他数学问题
二元一次方程组
一元一次方程是二元一次方程组的基础，掌握一元一次方程的解法有助于解决更复杂的数学问题
检验解的正确性
代入检验
将解代入原方程，检查左右两边是否相等。
增根检验
检查解是否产生增根，如果产生增根则该解无效。
定义域检验
检查解是否符合原方程的定义域，如果超出定义域则该解无效。
CHAPTER 04
应用扩展
实际生活中的问题
速度、时间、距离问题
例如，在日常生活中，我们经常遇到需要计算速度、时间和距离的问题。通过一元一次方程，我们可以方便地解决这些问题。
《应用一元一次方程—
追赶小明》一元一次方
汇报人：
程
2023-12-07
CONTENTS 目录
• 引入 • 建立一元一次方程 • 解一元一次方程 • 应用扩展 • 总结与反思
CHAPTER 01
引入
故事引入
01
பைடு நூலகம்
02
03
故事背景
在一个美丽的公园里，我和小明正在玩耍。我跑得比小明快，所以我要追赶小明。
建立数学模型
d：起始时我和小明之间的距离（单位：米）建立数学方程
在 t 分钟内，小明会跑 v × t 米。
建立数学模型
当我们追上小明时，两者跑的距离相等，因此 v × t = v × t + d。方程形式：d = 0
在同样的时间 t 内，我会跑 v × t + d 米（因为我需要先跑完起始距离d，然后才能追上小明）。

北师大版初中七年级上册数学课件《应用一元一次方程—追赶小明》一元一次方程课件

在审题过程中，如果能把文字语言变成图形语言——线段图，即可使问题更加直观，等量关系更加清晰.我们只要设出未知数，并用代数式表示出来，便可以得到方程.
例题讲解例1小丽和小红每天早晨坚持跑步，小红每秒跑4米，小丽每秒跑6米.
（1）如果她们从100米跑道的两端相向跑，那么几秒之后两人相遇？
（2）如果小丽站在百米跑道起跑处，小红站在她面前10米处，两人同时同向起跑，几秒后小丽追上小红？
（1）如果她们从100米跑道的两端相向跑，那么几秒之后两人相遇？
题目中已知些什么？用图表示出来.
100 米
小丽
小红
跑的
跑的
路程
路程
等量关系:小丽所跑的路程+小红所跑
的路程=100米.
100 米
小丽
路程解：设无风时飞机的航速为xkm/h，根据题意，得2.9(x＋20)＝3.1(x－20)．解这个方程，得x＝600. 则3.1(x－20)＝1798. 因此，无风时飞机的航速为600km/h，这两个城市之间的距离为1798km.
1．顺(逆)风问题中的有关公式：
5.6应用一元一次方程——追赶小明
情境导入
小明和小华相距10米，他们同时出发，相向而行，小明每秒走3米，小华每秒走4米，他们能相遇吗？几秒钟可以相遇？
等量关系：小明走的路程+小华走的路程=相距的路程
所用公式：路程=速度×时间
这道题是小学做过的一种很常见的应用题：行程问题，用到的数量关系主要有：路程=平均速度×时间；时间=路程÷平均速度.
以5km/h的速度行进，走了18min的时候，
学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员
从学校出发，骑自行车以14km/h的速度按

应用一元一次方程--追赶小明

3、小明用4分钟绕学校操场跑了两圈（每圈400米），
那么他的速度为 200 米/分。
小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学．一天，小明以80米/分的速度出发．5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明。
(1)爸爸追上小明用了多长时间？
相遇问题：
A走的路程
相遇处
B走的路程
A
B
A与B之间相隔的路程
等量关系：
A走的路程＋B走的路程＝A与B之间相隔的路程
小结：
1、这节课你学到了什么知识？ 2、谈谈你的收获？
作业：P192 习题5.10 问题解决1
85×0.4
85x
110x
南京
北京
1170
解：设两车行驶了x小时相遇，
根据题意，得
85×0.4＋85x＋110x＝1170
解得
x≈5.83
答：轿车行驶了约5.83小时两车相遇。
追及问题：
B
A与B之间相隔的路程 A
A后走的路程
B追A追到地方
B所走的路程
等量关系： A与B之间相隔的路程＋A后走的路程＝B所走的路程
根据题意，得 85x＋110x＝1170
化简
195x＝1170
x＝6
答：两车行驶了6小时相遇。
轿车方向
南京到北京的路程为1170公里。客车从南京开出，每小时
行驶85公里，轿车从北京开出，每小时行驶110公里，
（2）客车先开出24分钟，两车相向而行，轿车行驶了多少
小时两车相遇？ (结果精确到0.01）
(1)爸爸追上小明用了多长时间？
(2)追上小明时，距离学校还有多远？
80×5

《一元一次方程——应用一元一次方程—追赶小明》数学教学PPT课件(4篇)

5.6 应用一元一次方程----追赶小明
七年级上册
学习目标
1
能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决
问题．
熟悉行程问题中路程、速度、时间之间的关系，从而实现从文字语
2
言到符号语言的转换．
自主学习
自主学习任务1：阅读课本 152页-153页，掌握下列知识要点。
用图示法分析应用题的数量关系
4千米，3小时后两人相遇，设小刚的速度为x千米/时，
列方程得( C )
A．4＋3x＝25.2
B．3×4＋x＝25.2
C．3(4＋x)＝25.2
D．3(x－4)＝25.2
2.一列长30米的队伍以每分钟60米的速度向前行进，队尾一名同
90
学用1分钟从队尾走到队头，这位同学走的路程为____米，速度是
90
驶路程=慢车行驶路程+相距路程.
解:设快车x小时后追上慢车,
根据题意得85x=450+65x.
解得x=22.5.
答:快车22.5小时后追上慢车.
随堂检测
4一列匀速前进的火车,从它的车头进入600米长的隧道至车尾
离开共需30秒,已知在隧道顶部有一盏固定的灯,灯光垂直照射
到火车上的时间为5秒,那么这列火车长多少米?
从B地出发每秒走6米,那么甲出发几秒与乙相遇?
甲
乙
相遇
解:设甲出发t秒与乙相遇,根据题意得8t+6t=280.解得t=20.
答:甲出发20秒与乙相遇.
做一做
育红学校七年级学生步行到郊外旅行，1班的学生组成前队，步行的速度
为4千米/小时，2班的学生组成后队，速度为6千米/小时，前队出发１小
时后，后队出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地

5.6 应用一元一次方程——追赶小明

且在途中追上了他．
（1）爸爸追上小明用了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？
分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.
解：(1)设爸爸追上小明用了x分钟，则此题
的数量关系可用线段图表示. 80×5 180x 据题意，得 80×5＋80x=180x. 解得 x=4. 80x
答：爸爸追上小明用了4分钟．（2）180×4=720（米），1000－720=280（米）.
A，B两地相距60千米，甲、乙两人分别从A，B两地出发相向而行，甲的速度是8千米/时，乙的速度是6 千米/时．经过多长时间两人相距4千米？ 6x 8x 4 A 60 4 8x 6x A 60
B B
当堂练习
D
C
C
B
课堂小结
应用一元一次方程
——追赶小明
{
速度×时间=路程追及问题
相遇问题
课后作业
七年级数学上（BS）教学课件
第五章一元一次方程
5.6 应用一元一次方程 ——追赶小明
学习目标
1.学会利用线段图分析行程问题，寻找等量关系，建立数学模型.（难点）
2.能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解
应用题.（重点）
导入新课
情境引入
(1)你知道它们蕴含的是我们数学中的什么问题吗？
(2)这三个量之间有怎样的数量关系？
讲授新课
一速度、路程、时间之间的关系
做一做
30 1.若杰瑞的速度是6米/秒，则它5秒跑了________ 米．
2.若汤姆的速度是7米/秒，要抓到14米远处正在吃食物而毫无防备的杰瑞需要________ 秒． 2
3.若杰瑞想在4秒钟内抢在汤姆前面吃到放在30米处的奶

应用一元一次方程-追赶小明

解决实际问题
通过应用一元一次方程，可以解决许多实际问题，例如追赶小明
的问题。
提高数学应用能力
通过解决实际问题，可以提高学生的数学应用能力和问题解决能力。
培养逻辑思维
解决实际问题需要严密的逻辑思维和推理能力，通过解决实际问题可以培养学生的逻辑思维和推理能力。
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适用于解决实际问题
一元一次方程在实际生活中有广泛的应用，例如购物时计算找零、计算时间等。
方程的局限性
仅适用于匀速直线运动
一元一次方程只能描述匀速直线运动，对于变速运动或曲线运动则不适用。
无法描述复杂情况
一元一次方程无法描述复杂的情况，例如多物体相互作用或多个未知数的情况。
实际应用的意义
详细描述
在解决追赶小明问题时，首先需要明确起始状态，包括起始时间、小明和追赶者的起始位置以及两者的速度。这些信息是构建一元一次方程的基础。
追赶过程分析
总结词
分析追赶过程中的变量和关系
详细描述
在追赶过程中，我们需要考虑时间、距离和速度等变量，以及它们之间的相互关系。例如，距离 = 速度 × 时间。通过这些变量和关系，我们可以建立一元一次方程来描述追赶过程。
最终状态分析
总结词
确定追赶结果
详细描述
在分析完追赶过程后，我们需要确定最终状态，即追赶者是否追上了小明，以及追赶者和小明的位置。通过解一元一次方程，我们可以得出追赶者和小明的最终位置，从而判断追赶结果。
04
CATALOGUE
问题的反思与总结
方程的适用性
适用于描述匀速直线运动问题
一元一次方程可以用来描述匀速直线运动中的距离、速度和时间之间的关系，例如追赶小明的问题。

应用一元一次方程——追赶小明

【小组讨论1】行程问题中路程、速度和时间三个量之间有何关系？
【反思小结】
活动二：A，B两地间的路程为360千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72千米.甲车出发25分钟后，乙车从 B地出发开往A地，每小时行驶48千米. (1)几小时后两车相遇？ (2)两车相遇后，各自仍按原速度和原方向继续行驶.那么相遇以后两车相距100千米时，甲车从出发共行驶了多少小时？
72
25 60
+x
＋48x＝360.解得x＝
2
3 4
.
答：2
3 4
小时后两车相遇.
(2)设相遇以后两车相距100千米时，甲车共行驶了x小时
，根据题意，得72x＋48

x
25 60
＝360＋100.
解这个方程，得x＝4. 答：甲车共行驶了4小时.
【小组讨论2】育红学校七年级学生步行到郊外旅行. 七（1）班的学生组成前队，步行速度为4km/h，七（2）班的学生组成后队，速度为6km/h.前队出发1h 后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车
在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12km/h. 根据上面的事实提出问题并尝试去解答.
【反思小结】解决这类问题，可先由浅入深地分析问题情况，再从中提取素材编写问题.审题知，两个队速度已知，前队先行1小时，一名联络员的速度及行驶情况已知，若把本题看作一道普通的同向追及问题，可直接提出关于追及时间的问题；若注意到联络员行驶时间等于后队追上前队所用时间，则可提出联络员所走路程方面的问题；进一步挖掘素材，还看提出具有一定思维深度的问题，如求联络员从出发到第一次回到后队所用时间等，这类问题就综合了同向的追及问题和相向的相遇问题，求解时需将过程分段分析，分别求出所需时间.

初一-第17讲-一元一次方程的应用(追赶小明)

一元一次方程的应用（追赶小明）1.复习一元一次方程的解法。

2.利用一元一次方程解决速度问题。

教学建议：问题引入：甲在南北方向的路上，由南向北走；乙在东西方向的路上，由西向东走．甲出发地点在两路交叉点南270米，乙在交叉点与甲同时出发.3分钟后，甲、乙两人的位置距交叉点相等．再过24分钟后，两人距交叉点的距离又恰好相等，甲、乙两人每分钟各走多少米？应用一元一次方程——追赶小明1．行程问题中的基本关系式行程问题是在匀速运动的条件下，所有研究物体运动的路程、速度和时间，及运动状态的问题的统称．行程问题中路程、速度和时间三个量之间的关系 ①路程＝速度×时间；[来源:] ②速度＝路程时间；③时间＝路程速度.[来源:]【例1】一列火车从车头进隧洞到车尾出隧洞共用了10分钟，已知火车的速度是500米/分，隧洞长为4 800米，问这列火车长是多少米？分析：隧洞用AB 表示，火车用CD 表示，画出示意图如图所示．设火车长为x 米，从图中易见：火车从进洞前的D 点行驶到出洞后的D 点，共行驶了(4 800＋x )米，用了10分钟，然后根据“4 800＋x ＝火车的速度×10”列出方程求解．解：设火车长为x米，依题意，得4 800＋x＝500×10.解得x＝200.答：这列火车长是200米．2．相遇问题的解决方法相遇问题是比较重要的行程问题，其特点是相向而行．如图1就是相遇问题．图2也可看成相遇问题来解决．相遇问题中的相等关系①甲、乙的速度和×相遇时间＝总路程；②甲行的路程＋乙行的路程＝总路程，即s甲＋s乙＝s总；③甲用的时间＝乙用的时间．【例2】A，B两地间的路程为360千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72千米．甲车出发25分钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行驶48千米．[来源:学,科,网Z,X,X,K] (1)几小时后两车相遇？(2)两车相遇后，各自仍按原速度和原方向继续行驶．那么相遇以后两车相距100千米时，甲车从出发共行驶了多少小时？分析：(1)本小题属于相遇问题．相等关系是：甲车的行程＋乙车的行程＝360千米． (2)相等关系是：甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝(360＋100)千米．解：(1)设经过x 小时两车相遇，则据题意，得72⎝ ⎛⎭⎪⎫2560＋x ＋48x ＝360.解得x ＝234.答：234小时后两车相遇．(2)设相遇以后两车相距100千米时，甲车共行驶了x 小时，则乙车共行驶了⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2560小时，由题意可知，甲车行驶的路程是72x 千米，乙车行驶的路程是48⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2560千米．根据题意，得72x ＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2560＝360＋100. 解这个方程，得x ＝4.答：甲车共行驶了4小时．, 3.追及问题的解决方法追及问题的特点是同向而行．追及问题有两类：[来源:学.科.网] ①同时不同地，如下图：等量关系：乙的行程－甲的行程＝行程差；速度差×追及时间＝追及距离．即s 乙－s 甲＝s 差．甲用的时间＝乙用的时间．②同地不同时，如下图：等量关系：甲的行程＝乙的行程．即s甲＝s乙．“同时不同地”中，双方行驶所用的时间相同，行驶的路程却不同(出发点不同)；而“同地不同时”中，由于行驶双方出发时间有先后，故行驶过程中用的时间不同，双方出发地相同，故行驶的路程相同．【例3－1】李成在王亮的前方10米处，若李成每秒跑7米，王亮每秒跑7.5米，同时起跑，问王亮跑多少米可以追上李成？分析：本题是追及问题，属于“同时不同地”的类型，可根据“王亮跑的路程－李成跑的路程＝10米”，列方程求解．解：设x秒时王亮追上李成，根据题意，得7.5x－7x＝10.解得x＝20.所以7.5×20＝150(米)．答：王亮跑150米可追上李成．【例3－2】甲、乙两人从同地出发前往某地．甲步行，每小时行6千米，先出发1.5小时后，乙骑自行车出发，又过了50分钟，两人同时到达目的地，问乙每小时行多少千米？分析：本题是“同地不同时”的追及问题，可画出线段图帮助解答．本题的相等关系是：甲行驶的路程＝乙行驶的路程．解：设乙每小时行x 千米，根据题意，得5060x ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5＋5060. 解这个方程，得x ＝16.8. 答：乙每小时行16.8千米．4．航行(飞行)问题与环行问题(1)航行(飞行)是指轮船的航行或飞机的飞行，也属于行程问题．航行问题中的基本概念：①静水速度：轮船在不流动的水中行驶的速度；②顺水速度：轮船顺着水流的方向航行的速度；③逆水速度：轮船行驶方向与水流的方向相反时的航行速度；④水速：水自身流动的速度．航行或飞行中会受到水速或风速的影响，因此此类问题的基本关系是：①顺水速＝静水速＋水速，顺风速＝无风速＋风速；②逆水速＝静水速－水速，逆风速＝无风速－风速． (2)环行问题环行问题即沿环行路的行程问题，有以下两种情况：①甲、乙两人在环形道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的．即快者走的路程＝慢者走的路程＋一圈的路程．②甲、乙两人在环形道上同时同地反向出发：两人首次相遇时的总路程为环形道的一圈长．即甲走的路程＋乙走的路程＝一圈的路程．【例4－1】一名极限运动员在静水中的划船速度为12千米/时，今往返于某河，逆流时用了10时，顺流时用了6时，求此河的水流速度．分析：逆水速＝静水速－水速，顺水速＝静水速＋水速，顺流行程＝逆流行程．解：设此河的水流速度为x 千米/时，根据题意，得6(12＋x )＝10(12－x )，解这个方程，得x ＝3. 答：此河的水流速度为3千米/时．【例4－2】甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．(1)如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ (2)如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？分析：(1)属于相遇问题，相等关系：甲的行程＋乙的行程＝环形跑道一圈的长－8米；(2)属于追及问题，相等关系：甲走的路程＝乙走的路程＋两地间的距离－8米．解：(1)设经过x 秒，甲、乙两人首次相遇．根据题意得8x ＋6x ＝400－8，解这个方程，得x ＝28. 答：经过28秒两人首次相遇． (2)设经过x 秒，甲、乙两人首次相遇，根据题意得8x ＝6x ＋400－8，解这个方程，得x ＝196.答：经过196秒两个人首次相遇．典型题型应用一元一次方程——追赶小明例1．甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度是17．5千米/时，乙的速度为15千米/时，经过几小时，两人相距32．5千米？例2．甲、乙两位同学在环形跑道上从同一点G 出发，按相反方向沿跑道而行．已知甲每分钟跑240米，乙每分钟跑1 80米，如果他们同时出发，并且当他们在出发点G 第一次相遇时结束跑步，则他们从出发到结束之间中途相遇多少次？答案：1．解：本题有两种情况：情况1：第一次相距32．5千米,设经过小时两人相距32．5千米，根据题意，得，解得．情况2：第二次相距32．5千米,设经过小时两人相距32．5千米，根据题意，得，x (17.515)6532.5x +=-1x =x (17.515)6532.5x +=+解得．答：经过1小时或3小时两人相距32．5千米． 2．解：设路程为x ，相向而行相遇时间=，相背而行相遇时间=，根据题意得：相遇在G 点时相遇次数==7（次），则他们从出发到结束之间中途相遇的次数=7﹣1=6（次）．例3．（鄂尔多斯）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2015次相遇在边 AB 上．考点：一元一次方程的应用．专题：几何动点问题．分析：此题利用行程问题中的相遇问题，设出正方形的边长，乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．解答：解：设正方形的边长为a ，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为3：1，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：①第一次相遇甲乙行的路程和为2a ，甲行的路程为2a ×=，乙行的路程为2a ×=，在AB 边相遇；②第二次相遇甲乙行的路程和为4a ，甲行的路程为4a ×=a ，乙行的路程为4a ×=3a ，在CB 边相遇③第三次相遇甲乙行的路程和为4a ，甲行的路程为4a ×=a ，乙行的路程为4a ×=3a ，在DC 边相遇④第四次相遇甲乙行的路程和为4a ，甲行的路程为4a ×=a ，乙行的路程为4a ×=3a ，在AB 边相遇⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a ，甲行的路程为4a ×=a ，乙行的路程为4a ×=3a ，在AD 边相遇…因为2015=503×4，所以它们第2015次相遇在边AB 上．故答案为：AB ．点评：本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．例4．（2015春•双城市期末）甲乙两人从相距1500米的A 、B 两地同时出发相向而行，甲骑自行车，速度是7.5米/秒，乙步行，速度是2.5米/秒，甲出发1分钟后忘记带东西，迅速返回去取（掉头时间及取东西时间不计），则在乙出发 283或323 秒后，两人相距100米．3xA．11B．12C．16D．18考点：一元一次方程的应用．分析：设中间的数为x，表示出其他8个数，根据圈出的9个数的和为99列出方程，解方程即可．解答：解：设中间的数为x，则左右两边数为x﹣1，x+1，上行邻数为（x﹣7），下行邻数为（x+7），左右上角邻数为（x﹣8），（x﹣6），左右下角邻数为（x+6），（x+8），根据题意得x+x﹣1+x+1+x﹣7+x+7+x﹣8+x﹣6+x+6+x+8=99，化简整理，得9x=99，解得x=11．即方框中心的数为11．故选A．点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．3．（泗县校级模拟）一轮船往返与A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水速是3千米/时，则轮船在静水中的速度是（）A．18千米/时B．15千米/时C．12千米/时D．20千米/时考点：一元一次方程的应用．专题：应用题；行程问题．分析：本题求的是速度，时间比较明确，那么一定是根据路程来列等量关系．本题的等量关系为：逆水速度×逆水时间=顺水速度×顺水时间．解答：解：设轮船在静水中的速度是x千米/时，则3（x﹣3）=2（x+3）解得：x=15，故选B点评：逆水速度=静水速度﹣水流速度；顺水速度=静水速度+水流速度是船航行之类的题中的必备内容．4．（扶沟县期末）一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，这列火车完全通过隧道所需时间是（）A．60秒B．30秒C．40秒D．50秒考点：一元一次方程的应用．分析：注意火车通过隧道的路程需要加上火车的长度，所以此题火车走过的总路程为600+150，速度为15米/秒设出这列火车完全通过隧道所需时间是x秒，根据速度×时间=路程，列方程即可求得．解答：解：设这列火车完全通过隧道所需时间是x秒，则得到方程：15x=600+150，解得：x=50，答：这列火车完全通过隧道所需时间是50秒．故选D．点评：解题关键是要读懂题目的意思，特别是要抓住火车通过隧道的路程是隧道的长加上火车的长度，然后根据速度×时间=路程，列方程即可求得．5．（新城区期末）A，B两地相距240千米，火车按原来的速度行驶需要4小时，火车提速后，速度比原来加快30%，那么提速后只需要（）A．3小时B．3小时C．4小时D．4小时考点：一元一次方程的应用．专题：行程问题．分析：A，B两地相距240千米，火车按原来的速度行驶需要4小时，可得原速度；进而可得提速后速度；根据速度与路程的关系可得答案．解答：解：A，B两地相距240千米，火车按原来的速度行驶需要4小时，则原速度为240÷4=60千米/小时．速度比原来加快30%，则提速后速度为60×（1+30%）=78千米/小时．则提速后只需240÷78=3小时．故选B．点评：注意路程问题中速度、时间、路程之间的关系，同时注意比原来加快30%，即为原来的（1+30%）倍．6．（郯城县校级期末）博文中学学生郊游，学生沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长为（）米．A．2075B．1575C．2000D．1500考点：一元一次方程的应用．专题：行程问题．分析：先要参考火车和学生的相对速度，确定火车一分钟能跑多少米：（120000m/h+4500m/h））/60=2075米，然后用其减去队伍的长就是火车的长．解答：解：设火车的长为x米，∵学生沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来∵火车相对于学生一分钟能跑多少米：=2075米，一分钟火车能跑2075 米而火车头与队伍头相遇到火车尾与队伍尾离开共60s，也就是一分钟，∵500+x=，解得x=1575，∵火车的长度应该是2075m﹣500m=1575m，故选B．点评：此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到相对速度和等式关系．【巩固练习】1．（杭州期末）小明每天早晨在8时前赶到离家1千米的学校上学．一天，小明以80米/分的速度从家出发去学校，5分钟后，小明爸爸发现小明的语文书落在家里，于是，立即以180米/分的速度去追赶．则小明爸爸追上小明所用的时间为（）A．2分钟B．3分钟C．4分钟D．5分钟考点：一元一次方程的应用．分析：设小明爸爸追上小明所用的时间为x分钟，则小明走的路程为80（x+5）米，小明的爸爸走的路程为180米，根据小明走的路程=小明爸爸走的路程建立方程求出其解即可．解答：解：设小明爸爸追上小明所用的时间为x分钟，则小明走的路程为80（x+5）米，小明的爸爸走的路程为180x米，由题意，得80（x+5）=180x，解得：x=4，故选C．点评：本题考查了行程问题中追击问题的运用，路程=速度×时间的运用，解答时根据小明走的路程=小明爸爸走的路程建立方程是关键．2．（顺义区二模）乘坐某种出租汽车，当行驶路程小于或等于3千米时，乘车费用都是10元（即起步价10元），当行驶路程大于3千米时，超过3千米的部分每千米收费2元，若一次乘坐这种出租车行驶4千米，则应付车费12元；若一次乘坐这种出租车付费20元，则乘车路程是8千米．考点：一元一次方程的应用．分析：由题意可知，路程超过3千米需付费=10+超过3千米的付费．所以乘坐这种出租车行驶4千米，则应付车费为[10+（4﹣3）×2]元；设乘车路程是x千米，根据一次乘坐这种出租车付费20元建立方程，解方程即可．解答：解：10+（4﹣3）×2=12（元）．设乘车路程是x千米，根据题意得10+（x﹣3）×2=20，解得x=8．故答案为12，8．点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．3．（简阳市校级月考）某城市与省会城市相距390千米，客车与轿车分别从该城市和省会城市同时出发，相向而行．已知客车每小时行80千米，轿车每小时行100千米，问经过2或小时后，客车与轿车相距30千米．考点：一元一次方程的应用．分析：先分两种情况列方程，设经过x小时后，客车与轿车第一次相距30千米和客车与轿车第二次相距30千米分别列出方程，再进行求解即可．解答：解：①设经过x小时后，客车与轿车第一次相距30千米，由题意得：80x+100x+30=390，解得：x=2，②设经过x小时后，客车与轿车第二次相距30千米，由题意得：80x+100x﹣30=390，解得：x=，答：经过2小时或小时客车与轿车相距30千米．故答案为：2或．点评：此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分两种情况列方程．4．（柳州）如图，小黄和小陈观察蜗牛爬行，蜗牛在以A为起点沿直线匀速爬向B点的过程中，到达C点时用了6分钟，那么还需要多长时间才能到达B点？考点：一元一次方程的应用；数轴．分析：设蜗牛还需要x分钟到达B点．根据路程=速度×时间列出方程并解答．解答：解：设蜗牛还需要x分钟到达B点．则（6+x）×=5，解得x=4．答：蜗牛还需要4分钟到达B点．点评：本题考查了数轴和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．5．（黄冈模拟）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分，他骑自行车的平均速度是250米/分，步行的平均速度是80米/分，他家离学校的距离是2900米，求他骑车和步行的时间分别是多少？考点：一元一次方程的应用．分析：设骑车时间为x分钟，则步行时间为（15﹣x）分钟，骑自行车路程+步行的路程=2900米，根据等量关系列出方程即可．解答：解：设骑车时间为x分钟，则步行时间为（15﹣x）分钟，依题意得：250x+80（15﹣x）=2900，解得x=10，15x=5答：骑车时间为10分钟，步行时间为5分钟．点评：本题考查了一元一次方程的应用．关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．6．（海南校级月考）甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？考点：一元一次方程的应用．分析：在环形跑道上两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程﹣乙路程=400，两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=400．解：设二人同时同地同向出发，x分钟后二人相遇，则：240x﹣200x=400，解得：x=10．设两人背向而行，y分钟后相遇，则：240y+200y=400，解得：y=．答：二人同时同地同向出发，10分钟后二人相遇；若背向跑，分钟后相遇．本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程=环形跑道的长3。

40、5.6应用一元一次方程—追赶小明

编号：1-1-40课题应用一元一次方程—追赶小明学习目标1、能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决问题．熟悉行程问题中路程、速度、时间之间的关系，从而实现从文字语言到符号语言的转换．2、经历画“线段图”找等量关系，列出方程解决问题的过程，进一步体验画“线段图”也是解决实际问题的有效途径.体会“方程”是解决实际问题的有效模型，并进一步培养学生的文字语言、符号语言、图形语言的转换能力．学习重点借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决问题学习难点画“线段图”找等量关系教学方法探究法、归纳总结法教具多媒体课件教学过程一、温故知新：二、确立目标：（多媒体展示）三、预习检测：情景导入活动内容：学生以小品的形式演绎一位同学早晨忘带作业，他刚出门不久，父母就发现他忘带作业，于是赶快加速赶往学校给他送作业，最终在去学校的路上追上了他．目的：通过小品的形式揭示生活中蕴含着我们数学的一个常见问题——追及问题，从而引出课题及例题．实际活动效果：采用生动活泼的小品，让学生感受生活中我们常常会遇到类似的问题，从学生熟悉的生活经历出发，选择学生身边的、感兴趣的“能否追上小明”这一事件，激发学生的好奇心，进而轻松地引入本节所要探讨的主要问题、便于引起每位同学的兴趣．四、合作探究1. 追及问题：活动内容：教材实例分析：例１：小明早晨要在7：20以前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发．5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．（1）爸爸追上小明用了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？目的：分析出发时间不同．．．．．．的追及问题，能画出线段图，进行图形语言、符号语言与文字语言之间的相互转化，理解题中的等量关系，培养学生思维的灵活性，进一步列出方程，解决问题，既能娴熟使用“线段图”又能利用方程的思想解决问题.实际活动效果：教师引导学生根据题目已知条件，画出线段图：找出等量关系：小明所用时间＝5＋爸爸所用时间；小明走过的路程＝爸爸走过的路程.板书规范写出解题过程：解：（1）设爸爸追上小明用了x分钟，据题意得 80×5＋80x=180x.解，得x=4.答：爸爸追上小明用了4分钟．（2）180×4=720（米），1000-720=280（米）.答：追上小明时，距离学校还有280米．作出小结:活动内容：变换条件，研究起点不同的追及问题：例２：甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列慢车从乙站开出，每小时行驶85千米．设两车同时开出，同向而行，则快车几小时后追上慢车？目的：分析起点不同．．．．的追及问题，能画出线段图，进行图形语言、符号语言与文字语言之间的相互转化，理解题中的等量关系，培养学生思维的灵活性，能主动地使用“线段图”分析等量关系，进一步列出方程，解决问题．实际活动效果：通过个别学生分析已知条件，引导大家正确画出线段图：找出等量关系：快车所用时间＝慢车所用时间；快车行驶路程＝慢车行驶路程＋相距路程.板书规范写出解题过程：解：设快车x 小时追上慢车，据题意得 85x =450+65x .解，得x =22.5.答：快车22.5小时追上慢车．作出小结:2. 相遇问题：活动内容：同向而行①甲先走，乙后走；乙甲＜V V等量关系：甲的路程=乙的路程；甲的时间=乙的时间＋时间差. 同向而行②甲、乙同时走；乙甲＜V V等量关系：甲的时间=乙的时间；乙的路程=甲的路程＋起点距离.知识拓展，与学生共同探讨相遇问题，借助“线段图”归纳出其中的关系.例3：甲、乙两人相距280，相向而行，甲从A地每秒走8米，乙从B地每秒走6米，那么甲出发几秒与乙相遇？目的：分析相遇问题，能正确地画出线段图，正确得出其中的等量关系，正确列出方程，解决问题，最终能规范写出解题过程.实际活动效果：学生独立思考，正确画出线段图：找出等量关系：甲所用时间＝乙所用时间；甲路程＋乙路程＝甲乙相距路程.板书规范写出解题过程：解：设t秒后甲、乙相遇，据题意得8t+6t =280.解，得t=20.答：甲出发20秒与乙相遇．作出小结:相向而行等量关系：甲所用时间=乙所用时间；甲的路程＋乙的路程=总路程3. 相遇和追及的综合问题：活动内容：将前两类题综合起来，形成一道综合题目.例4：七年级一班列队以每小时6千米的速度去甲地.王明从队尾以每小时10千米的速度赶到队伍的排头后又以同样的速度返回排尾，一共用了7.5分钟，求队伍的长. 目的：会将复杂的行程问题剖析出其中的追及问题和相遇问题，从而使综合问题转化成简单问题.实际活动效果：教师引导分析：思路：把综合问题分解成2个简单问题，使难度降低.例如：一列队伍，一个人从队尾追到排头，接着返回队尾的题目.分解：①追上排头——追及问题；②返回队尾——相遇问题.找出等量关系：追及问题：队尾追排头；相遇问题：排头回队尾.板书规范写出解题过程：解：7.5分钟＝0.125小时.设王明追上排头用了x小时，则返回用了（0.125－x）小时，据题意得10 x－6 x =10（0.125－x）＋6（0.125－x）.解，得x=0.1.此时，10×0.1－6×0.1 =0.4（千米）=400（米）.答：队伍长为400米．五、达标测试活动内容：练习1：小兵每秒跑6米，小明每秒跑7米，小兵先跑4秒，小明几秒钟追上小兵？分析：先画线段图：写解题过程：解：设小明t秒钟追上小兵，据题意得 6(4＋t) =7t.解，得t=24.答：小明24秒钟追上小兵．练习2：甲骑摩托车，乙骑自行车同时从相距150千米的两地相向而行，经过5小时相遇，已知甲每小时行驶的路程是乙每小时行驶的路程的3倍少6千米，求乙骑自行车的速度.解：设乙骑自行车的速度为x千米/时，据题意得 5(3x－6)+5x =150.解，得x=9.答：乙骑自行车的速度为9千米/时．目的：给学生提供进一步巩固建立方程模型的基本过程和方法的熟悉机会，让学生活学活用，真正让学生学会借线段图分析行程问题的方法，得出其中的等量关系，从而正确地建立方程求解问题，同时还需注意检验方程解的合理性.实际活动效果：由于题目较简单，所以学生分析解答时很有信心，且正确率也比较高，同时也进一步体会到了借助“线段图”分析行程问题的优越性.六、归纳总结：活动内容：学生归纳总结本节课所学知识：1.会借线段图分析行程问题.2.各种行程问题中的规律及等量关系.同向追及问题：①同时不同地——甲路程＋路程差＝乙路程；甲时间＝乙时间.②同地不同时——甲时间＋时间差＝乙时间；甲路程＝乙路程.相向的相遇问题：甲路程＋乙路程＝总路程；甲时间＝乙时间.目的：强调本课的重点内容是要学会借线段图来分析行程问题，并能掌握各种行程问题中的规律及等量关系.引导学生自己对所学知识和思想方法进行归纳和总结，从而形成自己对数学知识的理解和解决问题的方法策略.实际活动效果：通过交流学生认识到借线段图来分析行程问题的好处，发现行程问题中的一些规律，并感受到运用方程解决实际问题的优势.充分体现了数学课堂由单纯传播知识的殿堂转变为学生主动从事学习活动.让学生自己总结，不但使学生懂得亲身实践、合作交流是一种重要的学习方法，而且提高了学生学习的积极性．七、拓展延伸作业：1、习题5.9课后反思。