高二数学一次分式函数
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学案15 一次分式型函数y =
ax+b
cx+d
(x ∈D) 一、课前准备： 【自主梳理】
1． 一次分函数的定义
我们把形如(0,)cx d
y a ad bc ax b
+=
≠≠+的函数称为一次分函数。 2． 一次分函数的图象和性质
(0,)cx d
y a ad bc ax b
+=
≠≠+ 2.1 图象：其图象如图所示.
2.2定义域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x ；
2.3 值域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≠
a c y y ； 2.4 对称中心：⎪⎭
⎫
⎝⎛-
a c a
b ,； 2.5 渐近线方程：b x a =-
和c y a
=； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b
a
-∞-和(,)b
a
-+∞分别单调递减；当ad a -+∞分别单调递增； 【自我检测】 1．函数1 1 1--=x y 的图象是 ． 2．函数31 ()1 x f x x -=+的定义域是 ． 3．()10x y x x -= ≠的值域是 ． 4．函数21 ()3x f x x +=+的单调增区间是 ． 5．函数21 ()3 x f x x -=+的对称中心是 ． 6．函数()x f x x = 是 函数．（填“奇”“偶”“非奇非偶”） 二、课堂活动： 【例1】填空题： （1）函数21 ()3x f x x -=+（()5,2-∈x ），则()x f 的值域是________． （2）函数21 ()3 x f x x -=+（())5,2(4,5⋃--∈x ），则()x f 的值域是________． （3）已知函数()a x x x f -+=12，若* ∈∀N x ，()()5f x f ≥恒成立，则a 的取值范围 是 ． （4）若函数21 ()x f x x a +=+的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝ . 【例2】（2004年江苏）设函数)(1)(R x x x x f ∈+- =，区间M=[a ，b](a 【例3】已知函数2()1 ax a f x x +-= +，其中a R ∈。 (1)当函数()f x 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a 的值及不等式()1f x x >-的解集； (2)若函数()f x 在(－1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围. 课堂小结 高考试题对一次分式函数的考查，主要体现在对一次分式函数图象的识别和性质的应用上。因此，抓住了以上七个方面的内容，也就抓住了解决一次分式函数试题的要害，也就能有效地解决一次分式函数问题。 三、课后作业 1．函数y=432 -+x x 的值域 ． 2．函数y=432 -+x x （21> 3．函数y=42 -+-x x 的对称中心是 ． 4．函数y=4 2 -+-x x 的单调增区间是 ． 5．已知函数()x f =a x x -+-2，若若* ∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围 是 ． 6．设曲线1 1 -+= x x y 在点（3，2）处的切线与直线01=++y ax 垂直，则a= ． 7．若函数2 +-=x b x y 在区间()4,+b a ()2- =b a ______________． 8．若函数x x x f 1 )(-= ，则函数()()x x f x g -=4的零点是______________． 9．记函数)(x f 的定义域为D ，若存在D x ∈0，使()00x x f =成立，则称以()00,y x 为坐标的点是函数)(x f 的图象上的“稳定点”。若函数()a x x x f +-=1 3的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，求实数a 的取值范围。 10．已知函数()),(1a x x a a x x f ≠--+= （1）证明：对定义域内的所有x ，都有()()022=++-x f x a f 。 （2）当()x f 的定义域为⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡++1,21a a 时，求()x f 的值域。 答案：【自我检测】1． B 2． {}1-≠x x 3．{} 1-≠y y 4． ()()+∞--∞-,3,3, 5． （-3，2） 例1． （1） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-89,5 （2）⎪⎭ ⎫