6类基本初等函数以及三角函数考研数学基础
高数16个基本初等函数
高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。
这些函数在数学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。
一、常数函数常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。
这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。
常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。
二、幂函数幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。
幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
幂函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如人口增长、放射性衰变等。
三、指数函数指数函数是指函数f(x)=a^x，其中a为常数。
指数函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
指数函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如利息的复利计算、细胞的增长等。
四、对数函数对数函数是指函数f(x)=loga(x)，其中a为常数。
对数函数的图像是一条上升的曲线，它的斜率在x=1处为1。
对数函数在实际应用中常用于描述一些量的倍数关系，如声音的强度、地震的震级等。
五、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数和余弦函数的图像都是周期性波动的曲线，它们的周期为2π。
正切函数的图像则是一条无限延伸的曲线。
三角函数在实际应用中常用于描述周期性变化的现象，如天体运动、电流的交流等。
六、反三角函数反三角函数是指正弦函数的反函数、余弦函数的反函数和正切函数的反函数。
反三角函数的图像是一条上升或下降的曲线，它们的定义域和值域与对应的三角函数相反。
反三角函数在实际应用中常用于求解三角函数的反函数值，如角度的计算、电路的分析等。
七、双曲函数双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。
基本初等函数的定义
基本初等函数的定义基础初等函数是指构成大多数数学模型的基本函数。
它们也被称为标准函数，因为必须具备某些特定的属性和构成，才能被认定为基础初等函数。
它们通常被用来描述或推断各种自然现象，比如流体运动、声学波动、光学表象。
二、基础初等函数的类型1、指数函数指数函数是由一个“基数”乘以一个“指数”组成的函数，经常用于描述指数增长的现象。
指数函数可以使用形如y = a x^b的方程来表示，其中a是基数，而b是指数。
2、对数函数对数函数是指将一个函数的指数变换成自变量的函数。
许多实际情况都以对数函数的形式表示，比如音量与频率的关系、气温与加热量的关系等。
常见的对数函数有以自然对数e为底，以10为底等。
3、幂函数幂函数是一类指数函数，它将自变量的指数变换成函数的指数。
常见的幂函数有平方函数、立方函数、开平方函数等。
此外，也可以将任意的指数变换成幂函数。
4、三角函数三角函数是一类函数，在计算机科学中使用得比较多。
它们可以使用三角形的角度和边长来求出自变量的值，或者将一个值映射到复平面的三角函数曲线上，通常也被称为极坐标函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
5、指数型函数指数型函数是一类特殊的指数函数，它们的结构比普通的指数函数更加复杂，可以呈现出更多的曲线形状。
指数型函数可以用来描述不同种类的物理运动模型，比如速度-距离关系、物体受重力运动的轨迹等。
6、微积分函数微积分函数是用来描述微分表达式的一类特殊的函数。
它们十分复杂，可以更准确的描述不同的现象，比如热力学图、普朗克振动等。
微积分函数可以用来描述连续函数，比如平滑函数、抛物函数等。
7、微分函数微分函数是对复杂函数求微分的一类特殊函数。
它们可以用来描述不断变化的现象，比如速度的变化、温度的变化等。
微分函数也可以用来求多元函数的驻点、极值等级。
三、基础初等函数的应用基础初等函数在许多学科领域都有着广泛的应用。
1、工程领域在工程领域，基础初等函数可以用来描述力学、振动学、热学等物理性质以及材料特性，以求得最佳的工程设计结果。
一元基本初等函数
一元基本初等函数一元基本初等函数是指由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数以及其线性组合组成的函数族。
在高中数学课程中，我们将这一族函数作为基础知识，并围绕其展开一系列的学习。
一、常数函数常数函数，又称恒等函数，是最基本的一元函数之一。
它的函数表达式为：f(x) = c，其中c是一个常数。
常数函数的图像为一条水平直线，与x轴平行。
在计算中，常数函数经常被用作比较、判断以及对称等方面。
二、幂函数幂函数是指形如 f(x) = x^n 的函数，其中n是一个常数。
幂函数的图像形状随着n的取值不同而变化。
当n为正偶数时，幂函数的图像呈现出下凸的形状；当n为正奇数时，幂函数的图像呈现出上凸的形状；当n为负数时，幂函数的图像亦呈现出一个特殊的形态。
幂函数在计算机图形学、财务与经济学等领域有着广泛应用。
三、指数函数指数函数的一般形式为：f(x) = a^x，其中a大于0且不等于1。
指数函数的图像呈现出一个单调递增的形态，曲线在原点处经过(0,1)的点。
指数函数在生物学、物理学、金融学等领域应用极为广泛。
四、对数函数对数函数是指形如 f(x) = loga(x) 的函数，其中a是一个大于0且不等于1的常数。
对数函数一般使用换底公式将不同底数的对数互相换算。
对数函数的图像与指数函数的图像呈现出一种镜像关系。
对数函数在计算机科学、化学、微积分等领域有着广泛应用。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
它们与三角形学的关系极为密切，被广泛应用于各种科学领域当中。
三角函数的图像呈现出周期性的波动形态，是其独特的特点之一。
六、反三角函数反三角函数是指对应三角函数的反函数，包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数等。
在计算机科学、工程学、物理学等领域都有广泛的应用。
综上所述，一元基本初等函数在数学领域中有着广泛的应用。
我们应当掌握其函数的基本特点，并在具体问题中恰当地运用各种函数进行相关计算。
考研三角函数基础知识
a n = a ； 当 n 为 偶数时，
(a ≥ 0) a a n =| a |= − a (a < 0)
．
（2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是： a 的正分数指数幂等于 0． ② 正 数 的
m n
= n a m (a > 0, m, n ∈ N + , 且 n > 1) ．0
（3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函 数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三 象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在 (0, +∞ ) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1) ． ③单调性：如果 α > 0 ，则幂函数的图象过原点，并且在 [0, +∞ ) 上为增函数．如果
1 b
1 1 < log b b b
C. log b < log
a
b
1 1 < log a b b
D. log
b
1 1 < log a < log a b b b
解： C 1.3.3 幂函数
（1）幂函数的定义 一般地，函数 y = xα 叫做幂函数，其中 x 为自变量， α 是常数． （2）幂函数的图象
a ⋅b
5
;
a 3b 2 ⋅ a 2b 3
解： （1）原式=
−
1
1
1
1
a b
1 6
5 6
=a
1 1 1 − + − 3 2 6
⋅b
1 1 5 + − 2 3 6
【高数必备】三角函数的各种基础公式
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
基本初等内容它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ=1-cosθ余矢函数vercosθ=1-sinθ同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinαtanα=sinα*secα cotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscα cscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2)cos(α/2)=正负√((1+cosα)/2)tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0【部分高等内容】·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
初等函数
1 2 e
e
cos(2 2k ) i sin(2 2k ),
(k 0, 1, 2,...)
i e
i
iLni
e
iiArg(i )
e
i i 2 k i 2
e
2 k 2
.
(k 0, 1, 2,...)
y y e cos x e cos x y y e sin x e sin x
解得 y 0, x k ,即z x iy k，其中 . k 0, 1,
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五、反三角函数 1. 定义
设 z cos w, 那么称w 为z 的反余弦函数, 记作
cos( Argz ) i sin( Argz )
ln z (ln z iargz ) 主值： z e e
i i Ln(1+i ) (1 i ) e 例如，
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例4 求 1 解
2
和 i 的值.
2Ln1
i
1 1.
22 k i
e x1 x2 [(cos y1 cos y2 sin y1 sin y2 )] i[(sin y1 cos y2 cos y1 sin y2 )]
和差角公式
e x1 x2 [cos( y1 y2 ) i sin( y1 y2 )]
e x1 x2 iy1 iy2 ez1 z2
注意: 在复数域内，负数具有对数; 正实数的对 数有无穷多值.
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例3 解
解方程 e z 1 3i 0.
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的自变量的集合，值域是所有对应的因变量的集合。
2. 奇偶性：一个函数可以是奇函数或偶函数，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 单调性：函数可以是单调递增或单调递减的。
单调递增函数满足当x1小于x2时，f(x1)小于f(x2)；单调递减函数则相反。
二、常见的基本初等函数1. 幂函数：指数函数是形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。
根据n的不同取值，幂函数可以分为多种情况，如正幂函数、负幂函数、倒数函数等。
2. 指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，常见的指数函数有以e为底的自然指数函数（y=e^x）和以10为底的常用对数函数（y=log(x)）。
3. 对数函数：对数函数是指以某个正实数为底的函数，常见的对数函数有以e为底的自然对数函数（y=ln(x)）和以10为底的常用对数函数。
4. 三角函数：三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数（y=sin(x)）、余弦函数（y=cos(x)）、正切函数（y=tan(x)）等。
5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，常见的反三角函数有反正弦函数（y=arcsin(x)）、反余弦函数（y=arccos(x)）、反正切函数（y=arctan(x)）等。
三、基本初等函数的图像和性质1. 幂函数的图像与性质：平方函数（y=x^2）的图像是一个开口上的抛物线，立方函数（y=x^3）的图像则是一个S形曲线。
幂函数的性质与指数n的奇偶性、正负有关。
2. 指数函数的图像与性质：自然指数函数（y=e^x）具有递增的特点，其图像是一条通过原点且向上增长的曲线。
常用对数函数（y=log(x)）的图像则是一条斜率逐渐减小的曲线。
初等函数
初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic初等函数function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometic function)与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。
英文：elementary function它是最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。
还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh 的名称是双曲正弦或超正弦, cosh 是双曲余弦或超余弦, tanh 是双曲正切、coth 是双曲余切、sech 是双曲正割、csch 是双曲余割。
初等函数在其定义区间内连续。
常数函数初等函数图形对定义域中的一切x对应的函数值都取某个固定常数的函数。
幂函数形如y＝x^a的函数，式中a为实常数。
指数函数形如y＝a^x的函数，式中a为不等于1的正常数。
对数函数指数函数的反函数，记作y＝loga a x，式中a为不等于1的正常数。
指数函数与对数函数之间成立关系式，loga ax＝x。
三角函数即正弦函数y＝sinx ，余弦函数y＝cosx ，正切函数y＝tanx，余切函数y＝cotx ，正割函数y＝secx，余割函数y＝cscx（见三角学）。
反三角函数三角函数的反函数——反正弦函数y ＝ arc sinx ，反余弦函数 y ＝arc cosx （－1≤x≤1，初等函数0≤y≤π），反正切函数 y=arc tanx ，反余切函数 y ＝ arc cotx（－∞＜x＜＋∞，θ＜y＜π）等。
以上这些函数常统称为基本初等函数。
双曲正弦或超正弦sinh x =(e^x- e^（-x)）/2双曲余弦或超余弦cosh x =(e^x + e^(－x))/2双曲正切tanh x =sinh x / cosh x双曲余切coth x = 1 / tanh x双曲正割sech x = 1 / cosh x双曲余割csch x = 1 / sinh x一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式，例如，三角函数 y＝sinx 可以用无穷级数表为初等函数可以按照解析表达式分类为：初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。
基本初等函数知识点大一
基本初等函数知识点大一初等函数是数学中最基础的一类函数，也是我们在大一学习数学中首要接触的内容。
初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
它们在数学、物理、工程等众多领域都有广泛的应用。
本文将以大一课程中的基本初等函数知识点为重点，进行全面的介绍和细致的解析。
一、常数函数常数函数是最简单的初等函数形式，其表达式为f(x) = c，其中c为常数。
常数函数的图像始终平行于x轴，例如当函数为f(x) = 3时，其图像为一条平行于x轴且与x轴距离为3的直线。
常数函数的特点是在定义域上的每一个点的函数值都相等。
二、幂函数幂函数是形如f(x) = x^n的函数，其中n为常数。
幂函数的图像形状与n的正负、奇偶有关。
当n为正数时，随着x的增大，函数值也随之增大，图像呈现出右上方向延伸的趋势；当n为负数时，随着x的增大，函数值变小，图像呈现出右下方向延伸的趋势；当n为偶数时，图像关于y轴对称；当n为奇数时，图像则不对称。
三、指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为底数，且a不等于0且不等于1。
指数函数的图像与底数a的大小有关。
当0<a<1时，函数值随着x的增大而迅速减小，图像接近于x轴；当a>1时，函数值随着x的增大而迅速增大，图像上升较快。
指数函数的特点是它们增长或减小的速度非常快，因此在许多领域中有广泛的应用。
四、对数函数对数函数是指满足f(x) = logₐ(x)的函数，其中a为底数。
对数函数是指数函数的反函数，它们具有互为反函数的关系。
对数函数的图像与底数a的大小和函数定义域相关。
当0<a<1时，函数图像下降；当a>1时，函数图像上升。
对数函数的特点是其定义域为正实数集合，值域为实数集合。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数是以弧度为单位的角度度量的三角函数。
它们在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
考研数学必须熟记的函数图像
考研数学必须熟记的函数图像函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数(2）幂函数(3)指数函数（1)指数函数(2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数(1)三角函数(2)三角函数(3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2)反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数(8）双曲函数(1）双曲函数（2）双曲函数（3)双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数(6)双曲函数（7）反双曲函数(1）反双曲函数(2）反双曲函数(3)反双曲函数(4)反双曲函数(5)反双曲函数（6） y=sin(1/x） (1）y=sin(1/x) （2）y=sin（1/x) (3)y=sin(1/x） (4) y = [1/x］(1)y = ［1/x](2) y=21/xy=21/x (2）y=xsin（1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx （x—〉∞）绝对值函数 y = |x|符号函数 y = sgnx 取整函数 y= ［x]极限的几何解释（1)极限的几何解释 (2）极限的几何解释 (3)极限的性质（1) (局部保号性）极限的性质 (2） (局部保号性)极限的性质（3) （不等式性质）极限的性质（4) （局部有界性)极限的性质（5) (局部有界性）两个重要极限y=sinx/x （1）y=sinx/x （2) limsinx/x的一般形式y=（1+1/x)^x （1）y=（1+1/x）^x (2）lim(1+1/x)^x 的一般形式（1) lim(1+1/x）^x 的一般形式（2）lim（1+1/x)^x 的一般形式（3) e的值(1）e的值(2）等价无穷小（x->0）sinx等价于x arcsinx等价于x tanx等价于xarctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2 sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=（x+1）/（x-1)y=sinx/x （x—〉∞)夹逼定理(1）夹逼定理（2)数列的夹逼性（1）数列的夹逼性 (2)。
基本初等函数证明
基本初等函数证明初等函数是数学中的一种基本函数类型，代表了常见的数学运算和变化规律。
本文将从证明的角度给出几个基本初等函数的证明过程，包括指数函数、对数函数和三角函数。
一、指数函数指数函数是以常数e（约等于2.71828）为底的幂函数，可以表示为f(x) = a^x，其中a是正实数。
下面给出指数函数的两个重要性质的证明。
1. a^(x+y) = a^x * a^y:证明：设f(x) = a^x。
根据指数函数的定义，我们有f(x+y) = a^(x+y)。
另一方面，f(x) * f(y) = a^x * a^y。
我们需要证明f(x+y) = f(x) * f(y)。
由指数函数的定义可知，f(x+y) = a^(x+y) = a^x * a^y。
所以，a^(x+y) = a^x *a^y。
2. (a^x)^y = a^(xy):证明：设f(x) = a^x。
根据指数函数的定义，我们有(f(x))^y = (a^x)^y = a^(xy)。
我们需要证明(f(x))^y = a^(xy)。
由指数函数的定义可知，(f(x))^y = (a^x)^y = a^(xy)。
所以，(a^x)^y = a^(xy)。
二、对数函数对数函数是指数函数的逆运算，数学表示为y = log_a(x)，其中a是正实数。
下面给出对数函数的两个重要性质的证明。
1. log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y):证明：设f(x) = log_a(x)。
根据对数函数的定义，我们有f(xy) = log_a(xy)。
我们需要证明f(xy) = f(x) + f(y)。
由对数函数的定义可知，f(x) = log_a(x) = log_a(x) + 0。
所以，log_a(xy) =log_a(x) + log_a(y)。
2. log_a(x^y) = y * log_a(x):证明：设f(x) = log_a(x)。
根据对数函数的定义，我们有f(x^y) = log_a(x^y)。
【高数必备】三角函数的各种基础公式
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
基本初等内容它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ=1-cosθ余矢函数vercosθ=1-sinθ同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin^2( α)+cos^2( α)=1tan^2( α)+1=sec^2( α)cot^2( α)+1=csc^2( α)·积的关系：sin α=tan α*cos αcos α=cot α*sin αtan α=sin α*sec αcot α=cos α*csc αsec α=tan α*csc αcsc α=sec α*cot α·倒数关系：tan α·cot α=1sin α·csc α=1cos α·sec α=1三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos( α+β)=cos α-s·in cαo s·βsin βcos( α-β)=cos α·cos β+sin α·sin βsin( α±β)=sin α·cos β±cos α·sin βtan( α+β)=(tan α+ta-ntanβα)/(·1 tan β)tan( α-β)=(tan -taαn β)/(1+tan α·tan β)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin( α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2 α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)cos(2 α)=cos^2(-sinα^)2( α)=2cos^2(-1=α1-2)sin^2( α)tan(2 α)=2tan α-ta/n*1^2( α)+·三倍角公式：sin(3 α)=3si-n4siαn^3( α)cos(3 α)=4cos^3(-3cαos)α·半角公式：sin(α/2)= 正负√((1-cosα)/2)cos(α/2)= 正负√((1+cosα)/2)tan(α/2)= 正负√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sin α·降幂公式sin^2( α)=-c(o1s(2α))/2cos^2( α)=(1+cos(2 α))/2tan^2( α)=-(c1os(2α))/(1+cos(2 α))·万能公式：sin α=2tan( α/2)/*1+tan^2( α/2)+cos α=*-t1an^2( α/2)+/*1+tan^2( α/2)+tan α=2tan( α/ 2-)t/a*n1^2(α/2)+·积化和差公式：sin α·cos β=(1/2)*sin( α-β+)β+ )+sin( αcos α·sin β=(1/2)*sin-(sin( -ααβ+)β+)cos α·cos β=(1/2)*cos( α-β+β)+)+cos( αsin α·s-in(1/β2)=*cos( α- c+oβs()α-β)+·和差化积公式：sin α+sin β=2sin*( α+β-)/β2+)c/2o+s*(αsin α-sin β=2cos*( α+β)/2-+βs i n)*/2(+ αcos α+cos β=2cos*( α+β)/2-β+c)o2/s]*( αcos α-cos β-=2sin*( α+β)/2+s-iβn*()/2+α·其他：sin α+sin( α+2π/n)+sin( α+2π*2/n)+sin( α+2π*3/n)+-1)⋯/n⋯]=0+sin* α+2π*(ncosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos( α+2π*3/n)+ ⋯⋯+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2( α)+sin^2-2( πα/3)+sin^2( α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0【部分高等内容】·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2 ！＋z^3/3 ！＋z^4/4 ！＋⋯＋z^n/n ！＋⋯。
基本初等函数初等函数
基本初等函数初等函数基本初等函数是指那些可以用加减乘除及有限次数的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数组合而成的函数。
这些函数在数学中具有重要的地位和广泛的应用。
本文将详细介绍一些常见的基本初等函数及其性质。
1.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x(a>0,a≠1)的函数，其中a称为底数，x称为指数。
幂函数具有以下性质：-若a>1，则f(x)随着x的增大而迅速增大，随着x的减小而迅速减小；-若0<a<1，则f(x)随着x的增大而迅速减小，随着x的减小而迅速增大；-当x为负数时，若a为正数，则f(x)为定义良好的正数，若a为负数，则f(x)为定义良好的负数；-当x为零时，f(x)的值始终为12.指数函数指数函数是形如f(x)=a^x(a≠0,a≠1)的函数。
指数函数具有以下性质：-若a>1，则f(x)随着x的增大而迅速增大，随着x的减小而迅速减小；-若0<a<1，则f(x)随着x的增大而迅速减小，随着x的减小而迅速增大；-当x为负数时，f(x)的值可能为定义良好的正数或负数，具体取决于a的值；-当x为零时，f(x)的值始终为13.对数函数对数函数是形如f(x) = logₐ(x) (a>0, a≠1)的函数。
其中a为对数的底数，x为实数。
对数函数具有以下性质：-若x为正数，且a>1，则f(x)的值为正数；-若x为正数，且0<a<1，则f(x)的值为负数；-若x为零，则f(x)的值为负无穷大；- 对于任意的正数a和b，有logₐ(ab) = logₐ(a) + logₐ(b)的性质。
4.三角函数与反三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
正弦函数和余弦函数的定义域是整个实数集，而正切函数的定义域是除去π/2的奇倍数的实数集。
反三角函数是正弦函数、余弦函数、正切函数的逆函数，分别记作sin^(-1)(x)、cos^(-1)(x)、tan^(-1)(x)。
考研数学必备函数图像大全
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数 y = |x|符号函数 y = sgnx取整函数 y= [x] 极限的几何解释 (1)极限的几何解释 (2)极限的几何解释 (3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (2) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质)极限的性质 (4) (局部有界性)极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)e的值(2)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于xtanx等价于x1-cosx等价于x^2/2数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性 (1)数列的夹逼性 (2)pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)$sin(pi/2-a)=cos(a)$$cos(pi/2-a)=sin(a)$$sin(pi/2+a)=cos(a)$$cos(pi/2+a)=-sin(a)$$sin(pi-a)=sin(a)$$cos(pi-a)=-cos(a)$$sin(pi+a)=-sin(a)$$cos(pi+a)=-cos(a)$2.两角和与差的三角函数$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)$$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$$sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$$tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))$ $tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))$ 3.和差化积公式$sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)$$sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)$$cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)$$cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)$4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了)$sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]$$cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]$$sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]$5.二倍角公式$sin(2a)=2sin(a)cos(a)$$cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)$ 6.半角公式$sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2$$cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2$$tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))$7.万能公式$sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))$8.其它公式(推导出来的)$a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)$ 其中 $tan(c)=b/a$ $a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)$ 其中 $tan(c)=a/b$ $1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2$$1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2$其他非重点$csc(a)=1/sin(a)$$sec(a)=1/cos(a)$1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： 正弦函数∙余弦函数∙正切函数∙余切函数∙正割函数∙余割函数1.2 直角坐标系中的定义图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：∙正弦函数∙余弦函数∙正切函数。
(完整word)6类基本初等函数以及三角函数(考研数学基础)
基本初等函数及图形(1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数）(2) 幂函数 μx y =，μ是常数；(3) 指数函数 xa y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；(4) 对数函数x y a log =(a是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当u>1时在原点处与X 轴相切。
且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称；2. 当u 为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数。
3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。
函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原点对称4. 当u 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数.1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减.2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方.3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.(5) 三角函数正弦函数xy sin=，),(+∞-∞∈x，]1,1[-∈y，余弦函数xy cos=，),(+∞-∞∈x，]1,1[-∈y，正切函数xy tan=，2ππ+≠kx，k Z∈，),(+∞-∞∈y，余切函数xy cot=，πkx≠，k Z∈，),(+∞-∞∈y；1.他的图形为于y轴的右方.并通过点(1,0)2.当a>1时在区间(0,1),y的值为负.图形位于x的下方,在区间(1, +∞),y值为正,图形位于x轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到/(6)反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数 x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．小结：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不论x 为何值,y 总为正数;b):当x=0时,y=1.对数函数a):其图形总位于y 轴右侧,并过(1,0)点b):当a ＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(1,+∞)的值为正；在定义域内单调增. 幂函数(a 为任意实数)这里只画出部分函数图形的一部分。
几个基本初等函数的公理化定义
几个基本初等函数的公理化定义
背景信息：
初等函数，指定义域内的函数，包括方程、不等式及其解、二次函数、三角函数，它们的特点就是其解以比较简单的数学语言表达出来，能够直观描绘函数的性质及其形式。
一、二次函数
二次函数是通过一元二次方程定义的。
记二次函数为y=ax²+bx+c,其中a≠0，它的定义域为所有实数x，值域为根据二次方程的表达式计算出的y值的集合。
特殊情况时，当a=1时，形式为y=x²+bx+c，此时可按单项式求和公式求出x的值，而
当a≠1时，则必须按照二次公式求出x的值。
二、三角函数
三角函数也称指弦函数，是由一元三次方程定义的。
它是比较典型的初等函数，主要包含正弦函数、余弦函数及正切函数。
其定义域为实数x，其值域属于[-1, 1]。
三角函数有一个重要的性质就是它的周期性，例如正弦函数的周期性则为2π，即
x+2π=x，即若令x表示以弧度表示的角度，那么两个角度的正弦值相等。
三、指数函数
指数函数的函数表达式为y=ax，其中a为正实数。
这类函数的特点是给定任一x能够求出它的函数值y，而且y随着x的增加而呈指数增长趋势。
它的定义域是
所有实数x，值域也是实数集。
此外，指数函数可以被用来拟合幂律分布。
综上，初等函数是指定义域内具有特定表达式的函数。
其中，包括二次函数、三角函数和指数函数，它们均具有特定的定义域及值域，而且可以直观地反映函数性质和形式。
它们的共同特征是简单，易于解析，容易求解，是进行函数分析的重要工具之一。
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基本初等函数及图形(1) 常值函数(也称常数函数) y =c(其中c 为常数)(2) 幂函数 μx y =,μ就是常数;(3) 指数函数 xa y = (a 就是常数且01a a >≠，),),(+∞-∞∈x ;(4) 对数函数x y a log =(a就是常数且01a a >≠，),(0,)x ∈+∞;1、 当u 为正整数时,函数的定义域为区间),(+∞-∞∈x ,她们的图形都经过原点,并当u>1时在原点处与X 轴相切。
且u 为奇数时,图形关于原点对称;u 为偶数时图形关于Y 轴对称;2、 当u 为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数。
3、 当u 为正有理数m/n 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞+∞)。
函数的图形均经过原点与(1 ,1)、如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原点对称4、 当u 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数、1、 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减、2、 不论x 为何值,y 总就是正的,图形在x 轴上方、3、 当x=0时,y=1,所以她的图形通过(0,1)点、(5) 三角函数正弦函数xy sin=,),(+∞-∞∈x,]1,1[-∈y,余弦函数xy cos=,),(+∞-∞∈x,]1,1[-∈y,正切函数xy tan=,2ππ+≠kx,k Z∈,),(+∞-∞∈y,余切函数xy cot=,πkx≠,k Z∈,),(+∞-∞∈y;1.她的图形为于y轴的右方、并通过点(1,0)2.当a>1时在区间(0,1),y的值为负、图形位于x的下方,在区间(1, +∞),y值为正,图形位于x轴上方、在定义域就是单调增函数、a<1在实用中很少用到/(6)反三角函数反正弦函数 x y arcsin =, ]1,1[-∈x ,]2,2[ππ-∈y ,反余弦函数 x y arccos =,]1,1[-∈x ,],0[π∈y ,反正切函数 x y arctan =,),(+∞-∞∈x ,)2,2(ππ-∈y ,反余切函数 x y cot arc =,),(+∞-∞∈x ,),0(π∈y .小结:函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不论x 为何值,y 总为正数;b):当x=0时,y=1、对数函数a):其图形总位于y 轴右侧,并过(1,0)点b):当a ＞1时,在区间(0,1)的值为负;在区间(1,+∞)的值为正;在定义域内单调增、 幂函数(a 为任意实数)这里只画出部分函数图形的一部分。
令a=m/na):当m 为偶数n 为奇数时,y 就是偶函数;b):当m,n 都就是奇数时,y 就是奇函数; c):当m 奇n 偶时,y 在(-∞,0)无意义、 三角函数(正弦函数)这里只写出了正弦函数a):正弦函数就是以2π为周期的周期函数b):正弦函数就是奇函数且三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ,记:22y x r +=, 正弦:r y =αsin 余弦:r x=αcos 正切:xy=αtan 余切:y x =αcot正割:xr=αsec 余割:yr =αcsc 注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式倒数关系:1csc sin =⋅αα,1sec cos =⋅αα,1cot tan =⋅αα。
商数关系:αααcos sin tan =,αααsin cos cot =。
平方关系:1cos sin 22=+αα,αα22sec tan 1=+,αα22csc cot 1=+。
三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α瞧成．．锐角时原函数值的符号。
(口诀:函数名不变,符号瞧象限) ⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值,等于α的异名函数值,前面加上一个把α瞧成．．锐角时原函数值的符号。
(口诀:函数名改变,符号瞧象限)四、与角公式与差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)ααα2tan 1tan 22sin +=,ααα22tan 1tan 12cos +-=,ααα2tan 1tan 22tan -=。
万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切．．来表示。
七、与差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ …⑴ 2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=- …⑵ 2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+ …⑶ 2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=- …⑷了解与差化积公式的推导,有助于我们理解并掌握好公式:2sin 2cos 2cos 2sin 22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-++= 2sin 2cos 2cos 2sin22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=⎪⎭⎫⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑴,两式相减可得公式⑵。
2sin 2sin 2cos 2cos22cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=⎪⎭⎫⎝⎛-++= 2sin 2sin 2cos 2cos22cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑶,两式相减可得公式⑷。
八、积化与差公式[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ [])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ [])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 我们可以把积化与差公式瞧成就是与差化积公式的逆应用。
九、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a ()其中:角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同,22sin b a b +=ϕ,22cos b a a +=ϕ,ab =ϕtan 。
十、正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为ABC ∆外接圆半径) 十一、余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=B ac c a b cos 2222⋅-+=C ab b a c cos 2222⋅-+=十二、三角形的面积公式 高底⨯⨯=∆21ABC SB ca A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆(两边一夹角)RabcS ABC 4=∆(R 为ABC ∆外接圆半径) r cb a S ABC ⋅++=∆2(r 为ABC ∆内切圆半径) ))()((c p b p a p p S ABC ---=∆…海仑公式(其中cb a p ++=)xαx十三诱导公式四、与角公式与差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-。