考研高数常用公式整理

F(x ,y ,u,v ) 0 隐函数方程组：
G(x ,y ,u,v ) 0
F
J
(F ,G ) (u,v )
u G
u
F
v Fu Fv
G
Gu Gv
v
u 1 (F ,G )
x
J (x ,v )
v 1 (F ,G )
x
J (u,x )
u 1 (F ,G )
y
J (y ,v )
方向导数与梯度：
函数z f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：f f cos f sin
l x
y
其中为x轴到方向l的转角。
函数z
f
(x,
y)在一点p(
x,
y)的梯度：gradf
(
x,
y)
f x
i
f y
j
它与方向导数的关系是：f grad f (x, y) e，其中e cos i sin j，为l方向上的 l
单位向量。
f l
是gradf
(x,
y)在l上的投影。
多元函数的极值及其求法：
设f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) 0，令：f xx (x0 , y0 ) A, f xy (x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) C
AC 则： AC
B2 B2
1 2
L
xdy
ydx
·平面上曲线积分与路径 无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
2、P(x ,y )，Q(x ,y )在G内具有一阶连续偏导数，且 Q ＝ P 。注意奇点，如(0,0)，应减去对此奇 x y
点的积分，注意方向相 反！
·二元函数的全微分求积 ：
拉格朗日中值定理：f (b) f (a) f ( )(b a) 柯西中值定理：f (b) f (a) f ( )
F (b) F (a) F ( ) 当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：ds 1 y2 dx,其中y tg
平均曲率：K
s
.
: 从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM 弧长。
3、截距世方程：x y z 1 abc
平面外任意一点到该平面的距离：d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2
空间直线的方程：x x0 m
y y0 n
z z0 p
t,其中s
{m,n,
p};
x 参数方程： y
x0 y0
mt nt
z z0 pt
二次曲面：
1、椭球面：ax 22
du u dx u dy dv v dx v dy
x
y
x
y
隐函数的求导公式：
隐函数F(x ,y ) 0， dy
Fx
d 2y ，
( Fx )＋ ( Fx ) dy
dx
Fy
dx 2 x Fy y Fy dx
隐函数F(x ,y ,z)
z 0，
Fx ， z
Fy
x
Fz
y
Fz
y2 b2
z2 c2
1
2、抛物面：x2 y2 z（, p, q同号） 2 p 2q
3、双曲面：
单叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
（1 马鞍面）
多元函数微分法及应用
全微分：dz z dx z dy du u dx u dy u dz
若空间曲线方程为：GF ((xx,,
y, z) y, z)
0 ,则切向量T
0
{ Fy Gy
Fz , Fz G z Gz
Fx , Fx G x Gx
Fy } Gy
曲面F (x, y, z) 0上一点M (x0 , y0 , z0 )，则：
1、过此点的法向量：n {Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )}
(t)
(
t
),则：
f (x, y)ds f [(t), (t)] 2 (t) 2 (t)dt
L
( )
特殊情况： y
x
t (t)
第二类曲线积分（对坐 标的曲线积分）：
x (t )来自百度文库
设L的参数方程为 y
，则： (t )
P(x ,y )dx Q(x ,y )dy {P[(t ),(t )](t ) Q[(t ),(t )] (t )}dt
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
三角函数的有理式积分：
sin
x
1
2u u
2
， cos
x
1 1
u u
2 2
， u
tg
x 2
， dx
2du 1 u2
三角函数公式： ·和差角公式：
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
Mx
x(x, y)d
D
,
M (x, y)d
D
y
My
y(x, y)d
D
M (x, y)d
D
平面薄片的转动惯量：对于x轴I x y2 (x, y)d , 对于y轴I y x2 (x, y)d
D
D
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M (0,0, a),(a 0)的引力：F {Fx , Fy , Fz}，其中：
向量在轴上的投影：Pr ju AB AB cos,是 AB与u轴的夹角。
Pr ju (a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2
a b a b cos axbx ayby azbz ,是一个数量,
两向量之间的夹角：cos
axbx ayby azbz
ax 2 ay 2 az 2 bx 2 by 2 bz 2
tg (
)
tg 1 tg
tg tg
ctg (
)
ctg ctg
ctg ctg
1
·倍角公式：
·和差化积公式：
sin
sin
2 sin
cos
2
2
sin
sin
2 cos
sin
2
2
cos
cos
2 cos
cos
2
2
cos cos 2sin sin
2
2
sin 2 2sin cos
arctgx arcctgx 2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
n
(uv)(n)
C
k n
u
(
nk
)
v
(
k
)
k 0
u (n)v nu (n1)v n(n 1) u (n2)v 2!
n(n 1) (n k 1) u v (nk) (k) k!
uv(n)
中值定理与导数应用：
i jk c a b ax ay az , c a b sin .例：线速度：v w r.
bx by bz
ax ay az 向量的混合积：[abc] (a b ) c bx by bz a b c cos ,为锐角时，
cx cy cz
代表平行六面体的体积 。
平面的方程：
1、点法式：A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0，其中n {A, B,C}, M 0 (x0 , y0 , z0 ) 2、一般方程：Ax By Cz D 0
cos 2 2 cos2 1 1 2 sin2 cos2 sin2
ctg 2
ctg 2 1 2ctg
tg 2
2tg 1 tg 2
sin 3 3sin 4sin3
cos3 4 cos3 3cos
tg3
3tg tg3 1 3tg 2
·半角公式：
sin
1 cos
2
2
cos
Fx f
(x, y)xd ， 3
Fy f
(x, y) yd ， 3
Fz fa
(x, y)xd
3
D (x2 y2 a2)2
D (x2 y2 a2)2
D (x2 y2 a2)2
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
设f
(x,
y)在L上连续，L的参数方程为： yx
(t) ,
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx ln(x x2 a2 ) C
x2 a2
In
2
sin n
0
xdx
2
0
cos n
xdx
n
n
1
I
n2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C
2
2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x x2 a2 C
L
两类曲线积分之间的关系： Pdx Qdy (P cos Q cos )ds，其中和分别为L上积分起止
L
L
点处切向量的方向角。
格林公式： D
(
Q x
P )dxdy y
Pdx
L
Qdy
格林公式： D
(
Q x
P )dxdy y
Pdx
L
Qdy
当P
y ,Q
x，即：Q x
P y
2时，得到D的面积：A dxdy D
)
1
1 x
2
(arcctgx
)
1
1 x
2
基本积分表：
tgxdx ln cos x C
ctgxdx ln sin x C
sec xdx ln sec x tgx C
csc xdx ln csc x ctgx C
dx
a2 x2
1 a
arctg
x a
C
dx
x2 a2
1 ln 2a
2、过此点的切平面方程：Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
3、过此点的法线方程： x x0 y y0 z z0 Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
1 cos
2
2
tg
2
1 cos 1 cos
1 cos sin sin 1 cos
ctg 2
1 cos 1 cos
1 cos sin sin 1 cos
·正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
·余弦定理：c2 a2 b2 2ab cosC
·反三角函数性质： arcsin x arccos x 2
M点的曲率：K lim d
y .
s0 s ds
(1 y2 )3
直线：K 0;
半径为a的圆：K 1 . a
定积分的近似计算：
b
矩形法：
a
f
(x)
b
n
a
(
y0
y1
yn1 )
b
梯形法：
a
f
(x)
b
n
a
[1 2
(
y0
yn
)
y1
yn1 ]
b
抛物线法：
a
f
(x)
ba 3n
[(
y0
yn
)
2(
y2
x
y
x
y
z
全微分的近似计算：z dz fx(x ,y )x fy(x ,y )y
多元复合函数的求导法 ：
z f[u(t ),v(t )] dz z u z v dt u t v t
z f[u(x ,y ),v(x ,y )] z z u z v x u x v x
当u u(x ,y )，v v(x ,y )时，
y4
yn2 ) 4( y1 y3
yn1 )]
定积分应用相关公式：
功：W F s
水压力：F p A
引力：F
k
m1m2 r2
, k为引力系数
函数的平均值：y
1
b
f (x)dx
ba a
均方根：
1
b
f 2 (t)dt
ba a
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
A
0时， A
0时，
0, 0,
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
)为极大值 )为极小值 无极 值
AC
B2
0时,
不确定
重积分及其应用：
f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd
D
D
曲面z f (x, y)的面积A
D
1
z x
2
z y
2
dxdy
平面薄片的重心：x
xa xa
C
dx
a2 x2
1 ln 2a
a a
x x
C
dx arcsin x C
a2 x2
a
dx cos2
x
sec2
xdx
tgx
C
dx sin 2
x
csc2
xdx
ctgx
C
sec x tgxdx sec x C
csc x ctgxdx csc x C a xdx a x C
v 1 (F ,G )
y
J (u,y )
微分法在几何上的应用：
x (t)
空间曲线 y z
(t)在点M (t)
(x0 ,
y0
,
z
0
)处的切线方程：x
x0 (t0 )
y y0 (t0 )
z z0 (t0 )
在点M处的法平面方程： (t0 )(x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
考研高数常用公式整理
导数公式：
(tgx) sec2 x
(ctgx) csc2 x
(sec x) sec x tgx
(csc x) csc x ctgx
(a x ) a x ln a
(loga
x)
1 x ln a
(arcsin x) 1 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
(arctgx