考前题型训练及解析

[题型专练卷(一)]一、选择题 1．(2014·济南模拟)已知集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |y ＝lg(1－x )}，则A ∩B 为( ) A ．(－∞，1) B ．(0，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1]2．已知复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则下列结论正确的是( ) A ．|z |＝ 3 B ．z 2≥0 C ．|z －z |＝2 D ．z ·z ＝53．(2014·潍坊模拟)已知命题p 、q ，“p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知实数a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．b >a >c5.已知一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6．若向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|a ＋2b |＝23，则|b |＝( ) A. 3 B ．1 C ．4 D ．3 7．(2014·济南模拟)齐鲁台《小溪办事》栏目组组成一个雅迪电动车志愿者车队，本周准备从甲、乙等7名志愿者中选派4人参加扶贫救助工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有1人参加，且若甲、乙同时参加，则他们出发时不能相邻，那么不同排法的种数为( )A ．300B ．200C ．600D ．4808．(2014·郑州模拟)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，再向上平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为y ＝2sin 2x ，则函数f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝2sin xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝cos 2xD ．f (x )＝sin 2x 9．(2014·山西四校联考)如图可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x －x 2－1B ．y ＝2x sin x4x ＋1C ．y ＝(x 2－2x )e xD ．y ＝x ln x10．(2014·南昌模拟)已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，则椭圆的离心率e ＝( )A.53B.13C.23D.1211．函数f (x )＝x 3－bx 2＋1有且仅有两个不同零点，则b 的值为( )A.342 B.322 C.3322 D ．不能确定 12．(2014·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，－x 2＋4x ，x ≤0，若|f (x )|≥ax －1恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]B ．[－6,0]C ．(－∞，－1]D ．[－1,0] 二、填空题13．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为________．14．(2014·长沙模拟)如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为________．15．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B ＝60°，2b 2＝3ac ，则角A 的大小为________．16．(2014·广州模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝________.[答案]一、选择题1．解析：选C 因为A ＝(0，＋∞)，B ＝(－∞，1)，所以A ∩B ＝(0,1)．2．解析：选D |z |＝12＋22＝5，故A 不正确；z 2＝1＋4i 2＋4i ＝4i －3，不能和0比较大小，故B 不正确；由于z ＝1－2i ，|z －z |＝4，故C 不正确；z ·z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，故D 正确．3．解析：选A 由p 为假命题可得p ∧q 为假命题，反之，p ∧q 为假命题，p 未必为假命题，所以是充分不必要条件．4．解析：选D 显然易知b >a ，又c ＝5－12＝15<12，a ＝log 32>log 33＝12，所以b >a >c .5.解析：选B 对于①，俯视图是长方形是可能的，即此几何体为一个长方体，满足题意；对于②，由于正视图中的长与宽不相等，侧视图是正方形，可知此几何体不是正方体，故俯视图不可能是正方形；对于③，由于正视图中的长与侧视图中的长不相等，可知此几何体不是圆柱，故俯视图不可能是圆；对于④，如果此几何体是一个上、下底面均为椭圆的柱体，满足正视图中的长与侧视图中的长不相等，故俯视图可能是椭圆．综上知②③是不可能的图形．故选B.6．解析：选B 因为|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝22＋8·|b |·cos 60°＋4|b |2＝(23)2，所以|b |2＋|b |－2＝0，解得|b |＝1.故选B.7．解析：选C 若甲、乙只有1人参加，则有C 12C 35A 44＝480种排法；若甲、乙同时参加，则有C 25A 22A 23＝120种排法，所以共有600种排法．8．解析：选D 由题意可知f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－1＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin 2x ，选D. 9.解析：选C 对于选项A ，x ＝1显然是函数的零点，此外f (4)·f (5)<0，即函数在区间(4,5)上还至少有一个零点，与图象不符；对于选项B ，当x →＋∞时，y →0，与图象不符；对于选项D ，显然定义域为x >0且x ≠1，与图象不符．故选C.10．解析：选A 由题意可知∠F 1PF 2＝90°，不妨设|PF 1|＝2，则由tan ∠PF 2F 1＝2，得|PF 2|＝1，从而|F 1F 2|＝12＋22＝5，所以离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝53.11．解析：选C f ′(x )＝3x 2－2bx ＝x (3x －2b )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2b3.当曲线f (x )与x 轴相切时，f (x )有且只有两个不同零点，因为f (0)＝1≠0，所以f ⎝⎛⎭⎫2b 3＝0，解得b ＝3322. 12．解析：选B 在同一直角坐标系下作出y ＝|f (x )|和y ＝ax －1的图象如图所示，由图象可知当y ＝ax －1与y ＝x 2－4x 相切时符合题意，由x 2－4x ＝ax －1只有一个解得a ＝－6，绕点(0，－1)逆时针旋转，转到水平位臵时都符合题意，所以a ∈[－6,0]．二、填空题13．解析：执行程序框图可得：i ＝1，S ＝－1；i ＝2，S ＝3；i ＝3，S ＝－6；i ＝4，S ＝10；i ＝5，程序结束，输出S ＝10.答案：1014．解析：因为x 甲＝18＋19＋20＋21＋225＝20，所以x 乙＝m ＋15＋16＋18＋285≥20，得m ≥23，m 有23,24,25,26,27,28,29，共7种可能，所以甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为710.答案：71015．解析：由2b 2＝3ac 及正弦定理可知，2sin 2B ＝3sin A ·sin C ，故sin A sin C ＝12，cos(A＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12，即cos A cos C －12＝－12，cos A cos C ＝0，故cos A ＝0或cos C ＝0，可知A ＝π6或π2.答案：π6或π216．解析：a 1＝1，a 2＝－11＋1＝－12，a 3＝－1－12＋1＝－2，a 4＝－1－2＋1＝1，…，数列{a n }是周期为3的周期数列，∴S 2 014＝S 2 013＋a 2 014＝671×⎝⎛⎭⎫－12－2＋1＋1＝－2 0112. 答案：－2 0112[题型专练卷(二)]一、选择题 1．(2014·广州模拟)已知i 是虚数单位，若(m ＋i)2＝3－4i ，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．±2 C ．±2 D ．22．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝e x ，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{－1} D ．{0,1} 3．(2014·南昌模拟)命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2>1，则x <－1或x >1 B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x <－1或x >1，则x 2>1D ．若x ≤－1或x ≥1，则x 2≥14．执行如图所示的程序框图，当输入n ＝7时，输出的结果是( )A ．84B ．35C ．10D ．1 5．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切，则圆O 的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4 D ．x 2＋(y －1)2＝4 6．(2014·成都模拟)(x －1)10的展开式中第6项的系数是( )A ．－C 510B ．C 510 C ．－C 610D ．C 610 7．(2014·新乡模拟)在样本频率分布直方图中，共有五个小长方形，这五个小长方形的面积由小到大构成等差数列{a n }，已知a 2＝2a 1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为( )A ．100B ．120C ．150D ．200 8．(2014·青岛模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，D 是BC 的中点，则＝( )A ．3B ．4C ．5D ．不能确定9．函数y ＝x 2e x 的图象大致为( )10．(2014·武汉模拟)三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA ＝AB ＝BC ＝1，则球O 的表面积为( )A.32πB.32π C ．3π D ．12π 11．(2014·陕西质检)已知点P 为抛物线x 2＝12y 的焦点，A ，B 是双曲线3x 2－y 2＝12的两个顶点，则△APB 的面积为( )A ．12B ．8C ．6D ．412．(2014·沈阳模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x>0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题13．(2014·郑州二模)若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________. 14．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋4y －13≤0，x －2y －1≤0，kx ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝y ＋x 取得最小值，则k ＝________.15．(2014·北京模拟)观察下列不等式： 15<14， 15＋113<13， 15＋113＋125<38， 15＋113＋125＋141<25， …，则第n 个不等式为____________．16．如图所示，某几何体的正视图，侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为________．[答案]一、选择题1．解析：选A ∵(m ＋i)2＝3－4i ，∴(m 2－1)＋2m i ＝3－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝3，2m ＝－4，∴m ＝－2.2．解析：选B 由题意得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e ，1，e ，故A ∩B ＝{1}．3．解析：选D 由逆否命题的定义可得，命题的逆否命题为：若x ≤－1或x ≥1，则x 2≥1.4．解析：选A 第一次循环后：m ＝1，s ＝1，i ＝3；第二次循环后：m ＝9，s ＝10，i ＝5；第三次循环后：m ＝25，s ＝35，i ＝7；第四次循环后：m ＝49，s ＝84，i ＝9，此时i >n ，结束．故输出s ＝84.5．解析：选A 依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2，得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. 6．解析：选A 由题知第6项是C 510x 5(－1)5，所以第6项的系数为－C 510.7．解析：选A 由频率分布直方图的性质可得a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，即5a 3＝5×(3a 1)＝1，得a 1＝115，所以小长方形面积的最大值为5a 1＝13，又因为样本容量为300，所以小长方形面积最大的一组的频数等于13×300＝100.8．9．解析：选A 因为y ′＝2x e x＋x 2e x＝x (x ＋2)e x，所以当x <－2或x >0时，y ′>0，函数y ＝x 2e x 为增函数；当－2<x <0时，y ′<0，函数y ＝x 2e x 为减函数，排除B ，C ，又y ＝x 2e x >0，所以排除D ，选择A.10．解析：选C 因为SA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以SA ⊥AB ，因为BC ⊥AB ，SA ＝AB ＝BC ＝1，所以可将S -ABC 视为正方体的一部分，球心O 在体对角线SC 上，设球O 的半径为R ，则(2R )2＝1＋1＋1，R ＝32，球O 的表面积为4π⎝⎛⎭⎫322＝3π.11．解析：选C 依题意有P (0,3)，A (－2,0)，B (2,0)，故|OP |＝3，|AB |＝4，所以S △APB ＝12·|AB |·|OP |＝12×4×3＝6. 12．解析：选B 依题意，记g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，g (0)＝0.当x >0时，g ′(x )＝x ·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋f (x )x >0，g (x )是增函数，g (x )>0；当x <0时，g ′(x )＝x ⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋f (x )x <0，g (x )是减函数，g (x )>0.在同一坐标系内画出函数y ＝g (x )与y ＝－1x的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是1，选B.二、填空题13．解析：⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫π3－α＝π2，故cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14. 答案：1414．解析：由题意可知，不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，即△ABC 的边界及其内部，kx ＋y －4＝0表示过定点(0,4)的直线，因为可行域中有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝y ＋x 取得最小值，所以最优解落在了直线kx ＋y －4＝0上，且该直线与直线y ＋x ＝0平行，故k ＝1.答案：115．解析：因为不等式的右侧是一个分式，其中14＝12×(1＋1)，13＝26＝22×(2＋1)，38＝32×(3＋1)，…，故不等式的右侧依次构成数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2(n ＋1)；不等式的左侧是一些分式的和，其中15＝112＋22，113＝122＋32，125＝132＋42，…，故不等式的左侧是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2＋(n ＋1)2的前n 项和．故第n 个不等式为15＋113＋125＋141＋…＋1n 2＋(n ＋1)2<n2(n ＋1). 答案：15＋113＋125＋141＋…＋1n 2＋(n ＋1)2<n 2(n ＋1)16．解析：由三视图知，该几何体为四棱锥，如图所示．依题意AB ＝23，菱形BCDE 中BE ＝EC ＝2，故BO ＝22－12＝3， 则AO ＝AB 2－BO 2＝3，因此V ABCDE ＝13·AO ·S 四边形BCDE ＝13×3×2×232＝2 3.答案：23[保分专练卷(一)]1．已知函数f (x )＝43sin x cos x －4cos 2x ＋1.(1)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≤f (x 0)恒成立，求sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π3的值． 2．(2014·昆明模拟)在数学趣味知识培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩如茎叶图所示：(1)从甲、乙两人中选择一人参加数学趣味知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(2)从乙的6次培训成绩中随机选择2个，记被抽到的分数超过115分的个数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望．3.如图，正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长都为2，(λ∈R )．(1)当λ＝12时，求证：AB 1⊥平面A 1BD ； (2)当二面角AA 1DB 的大小为π3时，求实数λ的值． 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n ·b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n <7时n 的最大值．[答案]1．解：(1)由题意知，f (x )＝43sin x cos x －4cos 2x ＋1＝23sin 2x －2(1＋cos 2x )＋1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤π2， ∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1， ∴－3≤f (x )≤3.即函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为3，最小值为－3. (2)∵对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≤f (x 0)恒成立，∴f (x 0)是f (x )的最大值，∴2x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得2x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3－π3＝sin π3＝32. 解：(1)x 甲＝99＋107＋108＋115＋119＋1246＝112， x 乙＝102＋105＋112＋113＋117＋1236＝112， s 2甲＝16[(99－112)2＋(107－112)2＋(108－112)2＋(115－112)2＋(119－112)2＋(124－112)2]＝2063， s 2乙＝16[(102－112)2＋(105－112)2＋(112－112)2＋(113－112)2＋(117－112)2＋(123－112)2]＝1483， ∴x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，乙发挥更稳定，则选择乙同学．(2)ξ的所有可能取值分别是0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 24C 26＝25，P (ξ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P (ξ＝2)＝C 22C 26＝115， ξ的分布列为：ξ0 1 2P 25 815115数学期望E (ξ)＝0×25＋1×815＋2×115＝23.3．(1)证明：取BC 的中点O ，连接AO .因为在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面CBB 1C 1，且△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC ，AO ⊥平面CBB 1C 1.以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A (0,0，3)，B 1(1,2,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，B (1,0,0)． 所以＝(1,2，－3)，＝(1,1，3)，＝(2，－1,0)．因为·＝1＋2－3＝0，·DB ―→＝2－2＝0， 所以AB 1⊥DA 1，AB 1⊥DB ，又DA 1∩DB ＝D ， 所以AB 1⊥平面A 1BD .设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，平面AA 1D 的一个法向量为n 2＝(s ，t ，u )， 得平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫λ，1，λ－23.同理可求得平面AA 1D 的一个法向量为n 2＝(3，0，－1)，由|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝12，解得λ＝14， 故λ的值为14. 4．解：(1)当n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1， 两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n ＋1， ∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，∴b n ＋1＝4n ＋33n . ∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式，∴b n ＝4n －13n －1.(2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1，∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，① 13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n ＝3＋4×13⎝⎛⎭⎫1－13n －11－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n ， ∴T n ＝152－4n ＋52×3n －1.T n －T n ＋1＝4(n ＋1)＋52×3n －4n ＋52×3n －1＝－(4n ＋3)3n <0， ∴T n <T n ＋1，即{T n }为递增数列．又T 3＝599<7，T 4＝649>7， ∴当T n <7时，n 的最大值为3.[保分专练卷(二)]1．(2014·皖南八校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 是三个内角A ，B ，C 的对边，关于x 的不等式x 2cos C ＋4x sin C ＋6<0的解集是空集．(1)求角C 的最大值；(2)若c ＝72，△ABC 的面积S ＝332，求角C 取最大值时a ＋b 的值． 2．(2014·辽宁五校联考)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某高中毕业班中抽取了一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04、0.10、0.14、0.28、0.30，第6小组的频数是7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)用此次测试结果估计全市毕业生的情况，若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合格的人数，求X 的分布列及数学期望．3.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA 1B 1C 1中，AC ＝AA 1＝2AB ＝2，∠BAC ＝90°，点D 是侧棱CC 1延长线上一点，EF 是平面ABD 与平面A 1B 1C 1的交线．(1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)当平面DAB 与平面CA 1B 1所成锐二面角的余弦值为2626时，求DC 1的长． 4．(2014·日照模拟)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1，a 2，a 5恰为等比数列{b n }的前三项，记c n ＝24b n(12b n －1)2，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：对任意n ∈N *都有T n <2.[答案]1.解：(1)显然cos C ＝0不合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧cos C >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos C >0，16sin 2C －24cos C ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos C >0，cos C ≤－2或cos C ≥12，解得：cos C ≥12，故角C 的最大值为60°. (2)当C ＝60°时，S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ＝332， ∴ab ＝6，由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ，∴(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝1214，∴a ＋b ＝112. 2．解：(1)第6小组的频率为：1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， 则此次测试总人数为50，又第4、5、6组成绩均合格， ∴合格的人数为50×(0.28＋0.30＋0.14)＝36.(2)由题知X ∈{0,1,2}，此时测试成绩不合格的概率为1450＝725，由已知：X ～B ⎝⎛⎭⎫2，725， ∴P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫18252＝324625，P (X ＝1)＝C 12×1825×725＝252625，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫7252＝49625. 则所求分布列为X 0 1 2P 324625 252625 49625∴E (X )＝2×725＝1425.3．解：(1)证明：∵三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， ∴平面ABC ∥平面A 1B 1C 1.又平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，平面A 1B 1C 1∩平面ABD ＝EF ，∴EF ∥AB .∵三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱，且∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AA 1，AB ⊥AC .而AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1. 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1， ∴AB ⊥A 1C . ∴EF ⊥A 1C .(2)建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .设C 1D ＝t (t ＞0)，则B (1,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,2＋t )，A 1(0,0,2)，B 1(1,0,2)．(0,2，－2)．设平面CA 1B 1的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1－z 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝1， ∴n ＝(0,1,1)．同理可求得平面DAB 的一个法向量为m ＝⎝⎛⎭⎫0，1，－2t ＋2.由|cos 〈n ，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪1－2t ＋22× 1＋⎝⎛⎭⎫2t ＋22＝2626， 得t ＝1或t ＝－23(舍去)． ∴DC 1＝1.4．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝d 2n ，且a 1－d2＝0. 又d ＝d 2，所以d ＝12，a 1＝d 2＝14，a n ＝2n －14. (2)易知b n ＝14×3n －1，所以c n ＝2×3n (3n －1)2. 当n ＝1时，T 1＝c 1＝32<2； 当n ≥2时，2×3n (3n －1)2<2×3n (3n －1)(3n －3)＝2×3n －1(3n －1)(3n －1－1)＝13n －1－1－13n －1， 所以当n ≥2时，T n ＝32＋2×32(32－1)2＋…＋2×3n (3n －1)2<32＋⎝⎛⎭⎫13－1－132－1＋⎝⎛⎭⎫132－1－133－1＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －1－1－13n －1＝2－13n －1<2. 综上可知，对任意的n ∈N *都有T n <2.[拉分专练卷(一)]1．设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线y ＝x －1过椭圆的焦点F 2且与椭圆交于P 、Q 两点，若△F 1PQ 的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)圆C ′：x 2＋y 2＝1，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆C ′相切且与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，若＝λ，且23≤λ≤34，求△OAB 的面积的取值范围． 2．(2014·天津模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ax 的图象在x ＝1处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行．(1)若方程f (x )＝14(m －3x )在[2,4]上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；(参考数据：e ＝2.718 28…)(2)设常数p ≥1，数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋ln(p －a n )(n ∈N *)，a 1＝ln p ，求证：a n ＋1≥a n .[答案]1．解：(1)依题意y ＝x －1与x 轴交于点F 2(1,0)，即c ＝1. 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，所以|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝|PF 1|＋|PF 2|＋|QF 2|＋|QF 1|＝4a . 所以4a ＝42，即a ＝2，又b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆C ′相切，所以|m |1＋k 2＝1，即m 2＝k 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)·(2m 2－2)＝8k 2>0，即k 2>0，所以k ≠0.所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2.又m 2＝1＋k 2，所以x 1x 2＝2k 21＋2k 2，y 1y 2＝1－k 21＋2k 2.所以＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k2＝λ，又23≤λ≤34，所以23≤1＋k 21＋2k 2≤34，解得12≤k 2≤1.又|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1，设u ＝k 4＋k 2，因为12≤k 2≤1， 所以u ∈⎣⎡⎦⎤34，2，|AB |＝22u4u ＋1＝212－12(4u ＋1)在⎣⎡⎦⎤34，2上为递增函数，所以62≤|AB |≤43. 又O 到直线AB 的距离为1，所以S △OAB ＝12|AB |×1＝12|AB |∈⎣⎡⎦⎤64，23.即△OAB 的面积的取值范围为⎣⎡⎦⎤64，23.2．解：(1)∵f ′(x )＝11＋x－a ，∴f ′(1)＝12－a . 由题知12－a ＝－12，解得a ＝1. ∴f (x )＝ln(1＋x )－x ，∴原方程可整理为4ln(1＋x )－x ＝m .令g (x )＝4ln(1＋x )－x ，得g ′(x )＝41＋x －1＝3－x 1＋x，∴当3<x ≤4时，g ′(x )<0，当2≤x <3时，g ′(x )>0，g ′(3)＝0， 即g (x )在[2,3]上是增函数，在(3,4]上是减函数， ∴在x ＝3时，g (x )有最大值8ln 2－3. ∵g (2)＝4ln 3－2，g (4)＝4ln 5－4，∴g (2)－g (4)＝4ln 35＋2＝2⎝⎛⎭⎫2ln 35＋1＝2ln 9e 25. 由9e ≈24.46<25，于是2ln 9e25<0， ∴g (2)<g (4)．∴m 的取值范围为[4ln 5－4,8ln 2－3)．(2)由f (x )＝ln(1＋x )－x (x >－1)有f ′(x )＝11＋x －1＝－x1＋x，显然f ′(0)＝0，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1，0)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1,0)上是增函数，在[0，＋∞)上是减函数． ∴f (x )在(－1，＋∞)上有最大值f (0)，而f (0)＝0， ∴当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )≤0， ∴ln(1＋x )≤x .※由已知有p >a n ，即p －a n >0，所以p －a n －1>－1. ∵a n ＋1－a n ＝ln(p －a n )＝ln(1＋p －1－a n )，∴由※中结论可得a n ＋1－a n ≤p －1－a n ，即a n ＋1≤p －1(n ∈N *)． ∴当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝ln(p －a n )≥ln [p －(p －1)]＝0，即a n ＋1≥a n . 当n ＝1，a 2＝a 1＋ln(p －ln p )， ∵ln(1＋p －1)≤p －1，∴a 2≥a 1＋ln [p －(p －1)]＝a 1，结论成立． ∴对任意的n ∈N *，a n ＋1≥a n .[拉分专练卷(二)]1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的图象在x ＝1处取得极值4. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)对于函数y ＝g (x )，若存在两个不相等的正数s ，t (s <t )，当s ≤x ≤t 时，函数y ＝g (x )的值域是[s ，t ]，则把区间[s ，t ]叫函数y ＝g (x )的“正保值区间”．函数y ＝f (x )是否存在“正保值区间”？若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由．2．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到两定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)的距离之和为4，设动点M 的轨迹为曲线C .已知直线l 与曲线C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，向量m ＝(2x 1，y 1)，n ＝(2x 2，y 2)，且m ⊥n .(1)若直线l 过曲线C 的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线l 的斜率k 的值； (2)△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．[答案]解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x .则f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －3)·(x －1)， 由f ′(x )>0解得x <1或x >3，由f ′(x )<0解得1<x <3，所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1)和(3，＋∞)，单调递减区间是(1,3)．(2)设函数f (x )的“正保值区间”是[s ，t ]，因为f (3)＝0<s ，故极值点x ＝3不在区间[s ，t ]上，①若极值点x ＝1在区间[s ，t ]上，此时0＜s ≤1≤t ＜3，在此区间上函数f (x )的最大值是f (1)＝4，不可能等于t ，故在区间[s ，t ]上没有极值点；②若函数在[s ，t ]上单调递增，即0<s <t <1或3<s <t ，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (s )＝s ，f (t )＝t ，即⎩⎪⎨⎪⎧ s 3－6s 2＋9s ＝s ，t 3－6t 2＋9t ＝t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝2或s ＝4t ＝4或t ＝2不合要求； ③若函数在[s ，t ]上单调递减，即1<s <t <3，则⎩⎪⎨⎪⎧f (s )＝t ，f (t )＝s ，两式相减并除以(s －t )得(s ＋t )2－6(s ＋t )－st ＋10＝0，(ⅰ)两式相除可得[s (s －3)]2＝[t (t －3)]2，即s (3－s )＝t (3－t )，整理并除以s －t 得s ＋t ＝3，(ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)可得⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝3st ＝1，即s ，t 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，即s ＝3－52，t ＝3＋52，不满足条件． 综上可得，不存在满足条件的s ，t ，即函数y ＝f (x )不存在“正保值区间”． 2．解：(1)由题意知，|MF 1|＋|MF 2|＝4>|F 1F 2|＝23，根据椭圆的定义，知动点M 的轨迹是以F 1(0，－3)，F 2(0，3)为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， 则a ＝2，c ＝3，∴a 2＝4，c 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝1，∴曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1. 设l 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，y 24＋x 2＝1，消去y 得，(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0，Δ＝(23k )2＋4(k 2＋4)>0，且x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4.∵m ⊥n ， ∴m ·n ＝0，∴4x 1x 2＋y 1y 2＝4x 1x 2＋(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝(4＋k 2)x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3＝(k 2＋4)·－1k 2＋4＋3k ·－23k k 2＋4＋3＝0，解得k ＝±2.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，有x 1＝x 2，y 1＝－y 2.由m ·n ＝0，得4x 21－y 21＝0，即y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上， ∴4x 214＋x 21＝1，∴|x 1|＝22，|y 1|＝ 2. ∴S △OAB ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝|x 1|·|y 1|＝1(定值)． 当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k ′x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ′x ＋t ，y 24＋x 2＝1，消去y 得(k ′2＋4)x 2＋2k ′tx ＋t 2－4＝0， Δ＝4k ′2t 2－4(k ′2＋4)(t 2－4)>0，可得x 1＋x 2＝－2k ′t k ′2＋4，x 1x 2＝t 2－4k ′2＋4.∵m ·n ＝0，∴4x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴4x 1x 2＋(k ′x 1＋t )·(k ′x 2＋t )＝0，∴(k ′2＋4)x 1x 2＋k ′t (x 1＋x 2)＋t 2＝0，∴(k ′2＋4)·t 2－4k ′2＋4＋k ′t ·－2k ′t k ′2＋4＋t 2＝0，整理得2t 2－k ′2＝4.∴S △OAB ＝12·|t |1＋k ′2·|AB |＝12·|t |·(x 1＋x 2)2－4x 1x 1＝|t |4k ′2－4t 2＋16k ′2＋4＝4t 22|t |＝1(定值)． 综上，△AOB 的面积为定值．。