函数的值域求法集锦

函数的值域

题型一：二次函数的值域

例1． 求

6a )(2+-=x x x f 的值域

解答：配方法：

4a 64a 62a 6a )(2

22

2

-≥-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=+-=x x x x f 所以值域为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∞+-，4a 62

例2． 求

6)(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域

解答：函数图像法：423216)(2

2+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f

画出函数的图像可知，

,6)(2

+-=x x x f 在2

1=x 时取

到最小值423，而在1-=x 时取到最大值8，可得值域为⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡8423，。 例3． 求

6a )(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域

解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a 的取值有关，所以进行分类讨论： ① 当2a

-≤时，对称轴在1-=x 的左侧，所以根据图像可知，

a 7)1(max -==f f ，a 7)1(min +=-=f f

所以此时的值域为[]a 7a 7-+，

② 当0a

2≤≤-时，对称轴在1-=x 与y 轴之间，所以根据图像可知，

a 7)1(max -==f f ，4

a 6)2a (2

min

-==f f

所以此时的值域为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--a 74a 62

， ③ 当2a

0≤≤时，对称轴在y 轴与1=x 之间，所以根据图像可知，

a 7)1(max +=-=f f ，4

a 6)2a (2

min

-==f f

所以此时的值域为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-a 74a 62

， ④ 当a 2≤时，对称轴在1=x 的右侧，所以根据图像可知，

a 7)1(max +==f f ，a 7)1(min -=-=f f

所以此时的值域为

[]a 7a 7+-，

题型二：指数、对数函数的值域

例4． 求

()

62log )(22+-=x x x f 的值域

解答：复合形式用换元：令622+-=x x t

，则由例1可知，[)+∞∈,5t

根据单调性，可求出t 2log 的值域为

[)+∞,5log 2

例5． 求

624)(1++=+x x x f 的值域

解答：因为()2

2

4

x x

=，所以，采用换元发，令x

t 2

=，则()+∞∈

,0t

则原函数变为622

++t t ，可以根据二次函数值域的求法得到值域为()+∞,6

题型三：分式函数的值域

例6． 求函数1

3

2)(++=x x x f 的值域

解法一：分离变量法，将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元，令

1+=x t ，原函数变为t

t t 1

212+=+，由反比例函数的性质可知，值域为()()+∞∞-,22,

解法二：反函数法，利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。令

13

2)(++==x x x f y ，则32+=+x y yx ，得到23--=y y x ，可知2≠y

解法三：解析几何法。考虑数形结合，联想到分式2

12

1x x y y --表示两点间连线的斜

率，则讲原函数写为()

()

132----x x ，可以看成是()()x x 2,,3,1--两点连线的斜率，

其中

()x x 2,是动点，构成x y 2=直线轨迹，则连线必须与x y 2=相交，所以

连线斜率不能是2，得到值域。

例7． 求函数1

3

2)(++=

x x x f 在[]10，

的值域 解法一：分离变量之后采用函数图像法，令1+=x t

，[]2,1∈t ，原函数变为

t t t 1

212+=+，可以画出t 12+的图像，或者根据单调性直接可以得到值域为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡325， 解法二：反函数法，将23--=y y x 代入[]10，

中，求解1230≤--≤y y

不等式，可以得到值域范围⎥⎦

⎤⎢⎣⎡325，。 解法三：解析几何法。()

()

132----x x ，可以看成是()()x x 2,,3,1--两点连线的斜

率，其中

()x x 2,是动点，不在构成直线，而是构成x y 2=在[]10，区间的线段，

画出图像后观察可得斜率的范围为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡325，

例8．

求函数1

3

3)(2+++=x x x x f 的值域

解法一：分离变量法，令1+=x t ，原函数变为

11

12++=++t

t t t t 由均值不等式可知当21,0≥+>t t t ，当

21

,0-≤+

t t ，可以得到原函数的值域为

(][)+∞-∞-,31,

解法二：判别式法，令1

33)(2+++==x x x x f y ，则332

++=+x x y yx ，

整理得关于x 的一元二次方程()0332

=-+-+y x y x ，满足方程有解，该

方程的判别式()()03432

≥---=∆y y 可得31≥-≤y y 或,即函数的值

域为

(][)+∞-∞-,31,

解法三：解析几何法，()

)

1(0

33133)(22---++=+++=x x x x x x x f ，可以看成是

两点

()()0,1,33,2

-++x x

x 之间连线的斜率，而()

33,2++x x x 是动点，恰

好构成

332++=x x y 的轨迹，由图像可以看出，连线斜率的范围从而得到函

数的值域。

例9．

求函数1

3

3)(2+++=x x x x f 在[]10，

的值域 解答：此题限制了定义域，导致判别式法失效，采用分离变量法，画出函数图像

来求函数的值域。令1+=x t ，[]2,1∈t ，原函数变为

11

12++=++t

t t t t 画出对勾函数的图像，可以得到t t 1+的值域范围是⎥⎦⎤

⎢⎣⎡252，，则最后函数的值域

为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡273，