平面及表示法二课时
人教版数学五年级上第二单元 第2课时 确定位置(2)
第二单元位置课题第二课时确定位置（2）课型新授课内容分析本节课借助一张在方格纸上表示的动物园平面示意图，使学生理解可以把具体的物体抽象成一个点，并可以在方格纸上用数对表示点的位置，从而感受数对在生活中的应用。
通过引导小组讨论、交流，使学生在交流中发现方法，在实践中应用知识，在理解的基础上培养能力，并进一步体会数形结合思想。
课时目标知识与能力1.理解方格纸上数对的含义。
2.能在方格纸上用数对表示物体的位置，知道方格纸上对应数对的位置。
3.知道数对与方格纸上的点存在对应关系。
过程与方法利用方纸格确定物体位置。
情感态度价值观培养学生养成良好的学习习惯。
教学重难点教学重点掌握在方格纸上用数对确定物体的位置。
教学难点正确描述物体所在的位置。
教学准备课件教学媒体选择PPT教学活动提问，师生讨论教学过程一、课前回顾，引入新课1.课前回顾。
师：上节课咱们学习了用数对来表示物体的位置，请你说一说数对中的第一个数字表示什么，第二个数字表示什么。
数对中的第一个数字表示“列”，第二个数字表示“行”。
师：你们知道我们班第1列第3行是哪位同学吗？用数对怎么表示？全班讨论交流。
2.导入新课。
师：用数对可以表示物体的位置。
大家请看，这里也可以用数对来表示。
（课件出示教科书P20例2“动物园示意图”）师：今天我们就来学习如何表示实际生活中物体的位置。
［板书课题：确定位置（2）］二、自主探究，合作交流1.明确行、列和起点。
师：同学们请观察动物园示意图，动物园的第1列、第1行在哪呢？请学生上台指出第1列和第1行，课件同步展示。
师小结：图中每条竖线都标上了数，说明在图中是把每条竖线看作列；每条横线也都标上了数，说明在图中是把每条横线看作行。
师：那标识0的那一行和标识0的那一列表示什么呢？学生独立思考，指名学生回答。
学生会说表示开始，或者说表示起点。
师：0既是列的起点又是行的起点，同时告诉我们列的顺序是从左往右，行的顺序是从下往上。
2.明确大门的位置。
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)【学习目标】两个向量共线的坐标表示(1) 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )．(2)若用坐标表示，可写为 (x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，即⎩⎨⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，可得向量 a ，b (b≠0)共线的充要条件 .注意：平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) (2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2.( )(3)若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量．( )(4)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )(5)已知a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则m ＝－12.( ) 2.已知a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)，若a ∥b ，则实数λ的值为________．【经典例题】题型一 向量共线的坐标表示点拨：(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或b →＝λa →验证． (2)判断AB →∥CD →，只要把点的坐标代入公式x 1y 2－x 2y 1＝0，看是否成立．【跟踪训练】1 已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________．题型二 三点共线问题点拨：三点共线问题转化成向量共线问题，向量共线常用的判断方法有两种： 一是直接用AB→与＝λAC →；二是利用坐标运算.例2已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断A ，B ，C 三点之间的位置关系。
空间中直线与平面的位置关系 第2课时 直线与平面垂直课件
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离
高中数学
必修第二册
湖南教育版
即时训练
已知平面外的一条直线上有两个不同的点A，B，且A，B到的距离相等，则这条直线与平面的位置关系
是
平行或相交
.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
五、直线与平面所成的角
1.斜线
一条直线l与一个平面相交，但不与平面垂直，则直线l称为平面的一条斜线，斜线l与平面的交点A
能保证该直线与平面垂直的是（ AC ）
A.①
B.②
C.③
D.④
高中数学
必修第二册
湖南教育版
三、直线与平面垂直的性质定理
文字描述
垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言
符号语言
a⊥α
} ⇒ ∥
b⊥α
应用
①证明或判断两条直线平行.②构造平行线，即作同一个平面的垂线
名师点析
（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
证明：（1）∵ 平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，
∴ AD⊥平面ABC，∴ AD⊥BC.
解：（2）取棱AC的中点N，连接MN，ND，如图所示.
∵ M为棱AB的中点，∴ MN∥BC.∴ ∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角.
在Rt△DAM中，AM＝1，AD＝2 3，∴ DM＝ 2 + 2 ＝ 13.∵ AD⊥平面ABC，∴ AD⊥AC.
棱AB的中点，AB＝2，AD＝2 3，∠BAD＝90°.
（1）求证：AD⊥BC.
平面及其表示法1(201911新)
β
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
aБайду номын сангаасB
A
B
α
A
b
a
aA
α
α
A∈a
A∈α
a α
a∩α＝φ
B∈a
B∈α
b∩α＝A 或 a∥α
α
β
Α与β重合
β a
α
α∩β ＝a
α β
α∩ β＝φ 或α ∥ β
例1.画出两个竖直放置的相交平面。
例2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。 （1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B
四.平面的表示方法：
平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表 示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶 点字母表示。
D
C
A
B
如：平面α，平面β，平面ABCD，平面AC 平面BD等。
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上： 记为：A∈a
a
点B不在直线a上： 记为：B∈a
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也 可以不画。
；夏资兰护肤专家 夏资兰护肤专家
；
微机继电保护简介 amplifier 0 状态行，3.6 状态观测器的设计 提高综合应用知识的能力、分析解决问题的能力和工程实践技能，理解 192 4．学生根据设计结果写出总结报告 作用域、名空间、 是高等学校的电子信息工程、通信工程、自动化、电子科学与技术、电气工程及其自动 化、计算机科学与技术、信息安全等专业的本科生必修的重要专业基础课程。短路电流及其计算 ＢＪＴ的开关特性 LED动态接口，《电机拖动》课程教
2.1.1 平面
解: 1) ( 不正确. 如果点在直线上, 这时有无数个平面; 如果点不在 直线上, 在已知直线上任取两个不同的点, 由公理 2知, 有且只有 一个平面.
( 正确. 2) 经过同一点的两条直线是相交直线, 能确定一个平面.
( 不正确. 3) 四边形中三点可确定一个平面, 而第四点不一定在此 平面内, 如图. 因此, 这四条线段不一定在同一平面内.
( 如何理解“有且只有一个”的含义? 2)
(公理 2中“有且只有一个”的含义: 这里的“有”是说图 形存在, “只有一个”是说图形惟一, 强调的是存在和惟一两 个方面, “有且只有一个” 因此 必须完整的使用, 不能仅用 “只 有一个” 来替代, 否则就没有表达出存在性. 确定一个平面中 的“确定”是“有且只有”的同义词)
平面α, β相交于 l
α∩β=l
三、平面的基本性质—公理 1
3: 直线 l 与平面α有一个公共点 P . 直线 l 是否在平面 α内?有两个公共点呢? (有一个公共点时不一定, 有两个公共点时直线在平面内)
2: 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直 线在此平面内
文字语言 图形语言 符号语言
【实例】平面是构成空间几何体的基本元素, 生活中有很 多的物体给人以平面形象, 今天我们从数学的角度来研究 什么是平面, 它如何表示, 以及平面的性质是什么.
一、平面
1: 生活中有哪些物体给人平面形象, 你能试举几例 吗?你能总结一下它们所给你的统一形象吗? (黑板面、课桌面、湖面等给人的统一形象, 平的)
A∈lB∈l且 A∈α, , , B∈α⇒ l α ⊂
如果直线 l上的所有点都在平面α内, 就说直线 l在平面α内, 或者说 平面α经过直线 l记作 l α; , ⊂ 否则, 就说直线 l在平面α外, 记作 l α. ⊄
数学2.《位置与方向(二)》第二课时人教版共19张优秀课件
心安
；
书
一
笔清
远
，
盈
一
抹恬
淡
，
浮
华三
千
，
只
做自
己
；
人
间
有情
，
心
中
有爱
，
携
一
米阳
光
，
微
笑向
暖
。
口
罗
不
是
。
–■
电
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
很
正
式
给
人
一
种
威
严
感
。
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
东
西
(
电
影
拍
摄
)
所
以
为
什
么
很
多
时
候
在
现
场
我
不
想
等
。
你
可
以
说
五、拓展延伸
同学们的收获可真不少，你们能用今天所 学的知识创作一幅学校建筑平面图吗？自己 开始试一试吧！
五、课后作业 第23页练习五，第5题、 第7题。
人教版六年级数学上册：第2课时 标出物体的位置-教案
第2单元位置与方向（二）第2课时标出物体的位置教学目标：1、进一步熟悉表示物体的位置的方法。
2、能较熟练地在方格纸上确定物体的位置，初步体会坐标的思想。
教学重点：能较熟练地用数对表示具体情境中物体的位置关系的相对性。
教学难点：画平面图的方法。
教学过程：教学例题２1、投影出示例题２。
提问：在例题１的图中，Ｂ市、Ｃ市的具体位置应该标在哪里呢？请你在例题１的图中标出Ｂ市、Ｃ市的具体位置。
2、尝试画图。
⑴学生独立思考怎样标出Ｂ市、Ｃ市的具体位置。
⑵小组交流作图的方法。
⑶尝试画图。
教师巡视交流，参与部分小组讨论，辅导有困难的学生。
3、组织全班交流。
投影展示学生完成的作品。
组织交流和评议，通过交流明白在图上标出Ｂ市、Ｃ市位置的方法。
Ｂ市：先确定方向，用量角器量出Ａ市的北偏西30°（量角器中心点与Ａ市重合，量角器０刻度线与正北方向重合，往西量出30°）；再表示距离，用１cm 表示100km，Ｂ市距离Ａ市200km，在图上也就是２cm。
Ｃ市：先确定方向，直接在图上找到Ａ市的正北方向，再表示距离，用１cm表示100km，Ｃ市距离Ａ市300km，在图上也就是3cm。
4、算一算。
台风到达Ａ市后，移动速度变为40千米／时，几小时后到达Ｂ市？200÷40＝5（小时）5、总结画图的基本步骤。
交流：你们认为在确定物体在图上的位置时，应注意什么？怎样确定？二、总结：（1）确定平面图中东、西、南、北的方向。
（2）确定观测点。
（3）根据所给的度数定出所画物体所在的方向。
（4）根据比例尺，定出所画物体与观测点之间的图上距离。
【设计意图】教学过程中应注重学生观察能力的培养，给学生足够的探索时间和空间，体会在图上确定位置的方法，让学生感受到数学源于生活，高于生活，用于生活的价值和魅力。
三、巩固练习教材第21页“做一做”。
⑴学生独立进行画图。
⑵投影展示，组织评议。
⑶交流画图的方法。
四、课堂小结：今天这节课我们知道要确定物体的位置，关键需要方向和距离两个条件。
第七课时2.1.1平面
公理1的作用 1.可以用来判定一条直线是否在平面内.即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点 在平面内即可。 2.可以用来判定点在平面内，即如果直线在平 面内、点在直线上，则点在平面内。 3.表明平面是“平的”。
直线与平面的位置关系 直线l在平面α内：记为：l α 直线l不在平面α上：记为：l
A
∩
B
A' B' ________
∩ ∩
(5) A' B' ________ , BB' ________
例二 证明：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 A
α b
a
证明：设直线a、b满足a平行于b ，由平行线 的定义，直线a、b在同一平面内，这就是说，过 直线a、b有平面α。 设点A为直线a上任一点，则点A在直线b外， 点A和直线b在过直线a、b的平面α内，由公理3的 推论1，过点A和直线b的平面只有一个.过直线a、 b的平面只有一个。
平面公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． l B
在生产、生活中， 人们经过长期观察与实 践，总结出关于平面的 一些基本性质，我们把 它作为公理．这些公理 是进一步推理的基础．
A
A l , B l , A , B l
作用： 判定直线是否在平面内．
B
点与平面的位置关系 点A在平面α内：记为：A∈α 点B不在平面α上：记为：B α
B α A
思 考 若一条直线l与平面α有一个公共点，直线l是否 在平面α内？若直线l与平面α有两个公共点呢？
把直尺和桌面分别看做一条直线和一个平面。 （1）若直尺上的一个点在桌面内，直线可能不在面 上。（2）若直尺上有两个点放在桌面上，整个直尺 就落在了桌面上。
【优创课件】8.4.1平面(人教A版2019必修二)
【探究3】把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗？ [提示]由于平面是无限延展的，所以不可能只有一个公共点，它们应该有一条公共直线．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形：
符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
【思考1】几何里的“平面”有边界吗？用什么 图形表示平面？
【提示】 没有.平行四边形. 【思考2】一个平面把空间分成了几部分？ 【提示】 二部分.
知识点二 点、线、面之间的关系及符号表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 l在α外
l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l
证明：若EF、GH交于一点P， 则E，F，G，H四点共面， 又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD， 平面ABD∩平面CBD＝BD， 所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD， 由基本事实3可得P∈BD.
（四）操作演练 素养提升
1.下列有关平面的说法正确的是( )
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
（三）典型例题
4.三点共线问题
例4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q， 求证：B，Q，D1三点共线.
证明：如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1， ∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理，BD1⊂平面ABC1D1， ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.
第3课时 确定位置(第二课时)(教学设计 )- 2022-2023学年数学四年级上册-北师大版
第3课时确定位置（第二课时）（教学设计）一、教学目标1.知道平面直角坐标系的概念，能够画出平面直角坐标系。
2.了解点在平面直角坐标系中的位置表示方法。
3.能够根据题目描述用平面直角坐标系表示出来。
二、教学重难点1.平面直角坐标系的概念、要素和相关符号的学习；2.点的位置表示及其与平面图形的关系的理解。
三、教学内容与方法（一）教学内容本节课主要内容包括： 1. 复习前一节课的内容：点的名称和位置，线段的长度等。
2. 平面直角坐标系的概念和构造方法； 3. 点在平面直角坐标系中的位置表示方法。
4. 用平面直角坐标系表示图形的位置。
（二）教学方法本节课对于概念的学习要注重理解，而不仅仅是记忆。
教师需要采取启发式教学法，引导学生理解其中的概念。
对于点在平面直角坐标系中的位置表示方法，教师也可以通过实际练习来加深学生的理解，同时，也要注重辅助工具的使用，如纸和笔。
对于用平面直角坐标系表示图形的位置，可以结合实际生活来进行讲解，如城市规划等。
四、教学流程（一）复习1.回顾前一节课所学内容。
2.引导学生回忆点的位置和线段的长度等知识点，并通过简单题目来巩固巩固。
（二）新课展示1.引导学生了解平面直角坐标系的概念，构造方法和相关符号。
2.演示点在平面直角坐标系中的位置表示方法。
3.在讲解过程中让学生实践，画出平面直角坐标系，并确定点的位置。
（三）拓展练习1.让学生自行编写一些题目，要求将题目描述转化为平面直角坐标系表示方法。
2.让学生互相分享自己的练习成果，以此来促进学生对所学内容的巩固和理解。
五、课堂练习与巩固1.在讲解过程中，教师可以随时抛出问题，让学生针对性地回答。
2.考试为期30分钟，要求学生能够根据题目描述将图形表示在平面直角坐标系中。
六、教学评估本次教学的评估主要通过课堂练习和考试来进行，同时，在教学过程中也要注重学生的举手提问和讨论，对于学生的学习情况进行了解和反馈。
教师需要及时调整教学进度和方法，保证学生的掌握程度。
平面的基本性质(3课时)
（3）相交两平面：
β B α α A
β B A
α β a A 图2 α a β B
四.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： 用数学符号来表示点、 面之间的位置关系： (1)点与直线的位置关系： (1)点与直线的位置关系： 点与直线的位置关系 记为： 点A在直线a上： 记为：A∈a 在直线a 记为： 点B不在直线a上： 记为：B∈a 不在直线a (2)点与平面的位置关系： (2)点与平面的位置关系： 点与平面的位置关系 记为： 点A在平面α内： 记为：A∈α 在平面α 记为： 点B不在平面α上： 记为：B∈ α 不在平面α
可以用来检验某一个面是否为 （2）公理 可以用来检验某一个面是否为 ）公理1可以用来 平面，检验的方法为： 平面，检验的方法为：把一条直线在面内 旋转，固定两个点在面内后， 旋转，固定两个点在面内后，如果其他点 也在面内，则该面为平面。 也在面内，则该面为平面。
将一把直尺置于桌面上， 将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光 就能检查桌面是否平整． 就能检查桌面是否平整．
三条直线相交于一点， 三条直线相交于一点，用其中的两条确定 可以确定3个 平面，最多可以确定 平面，最多可以确定 个。
4条直线相交于一点时： 条直线相交于一点时： 条直线相交于一点时
）、4条直线全共面时 （1）、 条直线全共面时 ）、 ）、有 条直线共面时 （2）、有3条直线共面时 ）、 ）、每 条直线都确定 （c）、每2条直线都确定 ）、 一平面时
A 反证法 D B C
填空题: 填空题
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 最多确定的平面数是_______; 最多确定的平面数是 四条直线相交于一点呢?_____________ ?_____________。 四条直线相交于一点呢?_____________。
人教版七年级数学上册《立体图形与平面图形》第2课时教学课件
A
B
C
D
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
从不同的方向看立体图形：
立 体
立体图形从正面、左面、上面看得到平面图形，
图
常用这些平面图形来表示立体图形.
形
与
平
面
立体图形的展开图：
图
形
将立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面
图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.
交流 分别从正面、左面、上面观察圆柱、球、圆锥、三棱柱， 看一看分别能得到什么平面图形?
圆锥
从正面看 从上面看
从左面看
别忘了中 间的点
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
交流
分别从正面、左面、上面观察圆柱、球、圆锥、三棱柱，
看一看分别能得到什么平面图形?
别忘了中间的线，看得见的线 用实线，看不见的线用虚线
从正面看 从左面看
从上面看
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
交流 分别从正面、左面、上面观察圆柱、圆锥、球、三棱柱， 看一看分别能得到什么平面图形?
小组合作 1.独立观察思考，画出平面图形； 2.分组交流讨论，得出最终结果； 3.分小组展示讨论结果.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
三棱柱
从正面看 从左面看 从上面看
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
拓展 分别从正面、左面、上面观察下面这个三棱柱，看一看 分别能得到什么平面图形?
三棱柱
从正面看
物体摆放的方式不同，从同一方向 看，得到的平面图形也会有所不同.
从上面看
1)平面的概念 公理123
求证：(1)E，F，G，H四点共面；
(2)三直线FH，EG，AC共点．
教学反思ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
符号语言表示为：
公理3的作用：。
推论1.图形表示为：
推论2.图形表示为：
推论3.图形表示为：
六．应用：
例1.已知E. F .G. H是空间中的四个点，设命题甲：点E. F .G. H不共面；
命题乙：直线EF和GH不相交，那么（）
A.甲是乙的充分条件，但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件，但不是充分条件
③空间四点中存在三点共线，则此四点共面
④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面,其中正确的有() A.②和③B.①②③C.①和②D.②③④
例2.已知：三个平面两两相交，得三条直线，若其中有两条相交，则第三条也过它们的交点。
例3.如图，△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P、Q、R，
它向四周
二、平面的画法
通常画平行四边形表示平面，当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°横边画成邻边长的2倍。
三.平面的表示法
⑴平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，在一个希腊字母的前面加“平面”二字，如平面，平面，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内.
⑵用表示平面的平行四边形的顶点或者相对的顶点的大写字母来表示，如平面，平面等。
⑶用三角形表示平面，用三角形三个顶点的字母来表示，如平面
注：如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，
应画成或
α
α
例1已知命题：
①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚；
空间中直线、平面的平行(第2课时)2022-2023学年高二数学(人教A版2019选修第一册)
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,
从而证明直线与平面平行.
跟踪训练
2.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB= 2 , AF=1,M是线段EF的中点.
求证:AM∥平面BDE.
证明:建立如图所示的空间直角坐标系.设AC∩BD=N,连接NE,
墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、
木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。牌
楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大。
如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼
上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下
边线与地面平行。这是为什么呢?
空间中直线的方向向量、平面的法向量是确定空间中的直线、平面的
关键量，能否用直线的方向向量、平面的法向量来刻画直线、平面的
平行
________________.
1. 证明面面平行
例 1 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的
两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
已知：
a
,b,a
bP
,a//
,b//
.
求证：
//
证明：取平面的法向量n，直线a，b的
a
b
P
n
v
v.
方向向量u，
2
x
z
3 x 4 y 0
3
3 x 2 z 0
y 1 z
2
取z 6， 则x 4，y 3, 所 以 ，
n 4,3,6是 平 面 的 一 个 法 向 量 。
广东省广州市第一中学人教A版数学课件 必修二 2.1.1 平面
（1）公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，
那么这条直线在这个平面内。
图形的表示：如右图
符号表示：
aA B
作用：①判断直线是否在平面内
即要判定直线在平面内，只需确定直线上有两个点在平面内
②判断直线上的点是否在平面内
即如果直线在平面内、点在直线上，则点在平面内
第八页，编辑于星期日：十点 十四分。
四、平面的基本性质
第九页，编辑于星期日：十点 十四分。
公理2相关推论
思考：1、经过一条直线和一个点能否确定一平面？
2、经过两条相交直线，能否确定一个平面？
过两条平行直线呢？
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有 且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面.
第十六页，编辑于星期日：十点 十四分。
【反馈检测】
×
√
√ √
4 1个或3个
第十七页，编辑于星期日：十点 十四分。
D
第十八页，编辑于星期日：十点 十四分。
5、 D
6、ABC在平面a外，它的三边所在直
线分别交平面a于P、Q、R三点，问此
三点是否共线？说明理由。
P、Q、R三点是平面
A
ABC和a的公共点，由公理
一、平面的引入
1、宁静的湖面，一望无垠的草原给
你什么样的感觉？ 平的
2、如来佛祖的手掌心大得令人咶舌，可以 向四周无限的延展，神通广大的孙悟空
使尽浑身解数也难以逃脱．
无限延展
第三页，编辑于星期日：十点 十四分。
一、平面的特征
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、
海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平
空间点、直线、平面之间的位置关系(2个课时)(课件)(人教A版2019 必修第二册)
作用：证明点共线、线共点.
证:P,Q,R三点共线 证:AB,CD,l三线共点
点共线的证明
课本P132-8.已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，
AC∩α＝R，BC∩α＝Q，求证：P,Q,R三点共线．
证明:∵ AB P,P 且P AB,
又∵ AB 平面ABC,P 平面ABC.
设平面ABC 平面 l,P l.
l
A
①直线l在平面α内：直线l上的所有点都在平面α上. 记为l
l ②直线l与平面α相交：直线l与平面α只有一个公共点A. 记为l A ③直线l与平面α平行：直线l与平面α没有公共点.记为l //.
3.点、直线、平面的关系
a
(4)直线与直线的位置关系：
o
b
共面直线平 相行 交::
a a
// b b
D
αβ
C
空间四边形
例.三个平面最多能把空间分成____部分，最少能把空 间分成____部分。 [考]三个平面能把空间分成4或6或7或8部分.
面与面的交线
例.正方体中，平面ACC1与平面BDC1的交线是_____.
D1C1基本Fra bibliotek实2.若一条直线
A1
B1
上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面
内.
(√) P131-4.直线a⊂α，b⊂β，α//β，判断直线a,b的位置关系. 平行或异面
[考]若a⊂α，b⊂β，α//β，则a与b平行或异面.
P131-132习题8.4
2.若直线a不平行于平面α，且a⊂α，则下列结论成立的是( B ) a
A.α内的所有直线与a是异面直线 B.α内不存在与a平行的直线
O
(a
b)
第一章 第2课时 空间中直线、平面的平行
A.13，1，1
B.(－1，－3,2)
方法二 设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c， 则M→N＝M→B1＋—B1→A1＋—A1→N ＝13c－a＋12b， R→S＝R→C＋C→D＋D→S＝12b－a＋13c. 所以M→N＝R→S， 所以M→N∥R→S.
又R∉MN， 所以MN∥RS.
反思感悟 利用向量证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.
解析 ∵l∥平面ABC， ∴存在实数 x，y，使 a＝xA→B＋yA→C，A→B＝(1,0，－1)，A→C＝(0,1，－1)，
∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)，
2＝x，
∴m＝y， 1＝－x－y，
∴m＝－3.
1234
课时对点练
基础巩固
1.与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是
方法三 假设存在实数 λ，μ 使得P→A＝λD→E＋μE→B，
即(a,0，－a)＝λ0，a2，2a＋μa，a2，－a2，
a＝μa， 则有0＝λ·a2＋μ·2a，
－a＝λ·a2－μ·a2，
解得λμ＝＝－1. 1，
所以P→A＝－D→E＋E→B，又 PA⊄平面 EDB，
所以PA∥平面EDB.
延伸探究 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为 直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝ 12AD＝1. 问：在棱PD 上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不
①
∵A→D＝(0,2,0)是平面 PAB 的法向量，C→E＝(－1，y－1，z)，
∴由 CE∥平面 PAB，可得C→E⊥A→D.
∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0. ∴y＝1，代入①式得 z＝12. ∴E是PD的中点，即存在点E为PD的中点时，CE∥平面PAB.