直线倾斜角、斜率、斜率公式-直线方程的各种表示方法

承接上次课：

倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角

关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角. 注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.. 斜率：一条直线的倾斜角()2

π

αα≠

的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=.

时，斜率不存在。

当时，当的增大而减小；

随的增大而增大，但随时，，当的增大而增大；

也随的增大而增大，随时，当2

;0 0,0)2

(

,0 )2

,0 (π

ααααππ

αααπ

α=

==<∈>∈k k k k k k k 斜率公式：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：21

21

y y k x x -=

-. 例题1：如图，图中的直线321l l l 、、、的斜率分别为k 1, k 2 ,k 3,则( D )

A. k 1< k 2

B. k 3< k 1

C. k 3< k 2

D. k 1< k 3

A 、1

B 、4

C 、1或3

D 、1或4

例题3：若A （3，－2），B （－9，4），C （x ，0）三点共线，则x=（ B ）

A 、1

B 、－1

C 、0

D 、7

例题4：直线 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ B ）

A 、45°

B 、135°

C 、45°或135°

D 、－45°

例题5：若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围. 解：(-2,1)

学习小结：

1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.

2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的

3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：

题型一：已知两点坐标求直线斜率

例题1：经过下列两点直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率

（1） (1,1)，(-1,-2) （2） (1,-1)，(-2,4) （3） (-2,-3)，(-2,3) 题型二：求直线的倾斜角

例题2：设直线L 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将L 绕坐标远点按逆时针方向旋转︒45，得到直线L 1那么L 1的倾斜角为 ( D )

A.︒+45α

B.︒-135α

C.α-︒135

D.[︒-⎢⎣⎡∈︒+∈1354

3454

3

0αππααπα，为）

，；当）时，为，当 例题3：变式：已知直线L 1的倾斜角为α，则L 1关于x 轴对称的直线L 1的倾斜角β= 题型三：斜率与倾斜角关系

例题4：当斜率k 的范围如下时，求倾斜角α的变化范围： 题型四：利用斜率判定三点共线

例题5：已知三点A （a,2），B （5,1），C （-4,2a ）在同一条直线上，求a 的值。 利用斜率相等即可 即AB 的斜率=BC 的斜率 用两点式计算斜率

(1-2)/(5-a)=(2a-1)/(-4-5) (5-a)(2a-1)=9 -2a ²+11a-5=9 2a ²-11a+14=0 (2a-7)(a-2)=0

∴a=7/2 或a=2

题型五：平行于垂直的判定

例题6：已知A （1，-1），B （2,2），C （3,0）三点，求点D 的坐标，使直线,AB CD ⊥且CB//AD.

题型六：综合应用

例题7：变式：若三点A （3,1）,B(-2,k)，C （8,1）能够成三角形，求实数k 的取值范围。 解：能够成三角形则不能共线

AC 垂直y 轴 是y=1 则k ≠1

例题8：已知两点A （-3,4），B （3,2），过点P （2，-1）的直线L 与线段AB 有公共点，求直线L 的斜率k 的取值范围

例题1.下列命题正确的个数是 ( C )

1) 若a 是直线L 的倾斜角，则︒<≤︒1800a 2）若k 是直线的斜率，则R k ∈

3）任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率 4）任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角 A ．1 B.2 C.3 D.4

例题2.直线L 过(,)a b , (,)b a 两点，其中0,≠≠ab b a 则 （ D ）

A.L 与x 轴垂直

B. L 与y 轴垂直

C.L 过原点和一，三象限

D.L 的倾斜角为︒135 例题3.已知点)1,1(),321,1(-+B A ,直线L 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，则L 的斜率为 （ B ）

A.1 3

3.B 3.C D.不存在

例题4.直线L 经过二、三、四象限，L 的倾斜角为a ，斜率为k ，则 （ B ） 例题5.若),0(),2,(),5,1(a C a a B a A ---三点共线，则a= 2

)

1,0(1

233,2,1

11,3

,3)

,D D y x y x k k k x y k k k x y

k k y x BC

AD BC AD CD AB CD AB ⎩⎨

⎧=+=+=-=-+=

-=⋅-=

=得点坐标为（解：设