华师大版2020-2021年八年级数学上册导学案：14.1 2直角三角形的判定【含答案】

华师大版2020-2021年八年级数学上册导学案

2.直角三角形的判定

学习目标：

1.掌握勾股定理逆定理的概念（重点）；

2.让学生理解勾股数的概念，并牢记勾股数，学会勾股定理的使用技巧；

3.利用勾股定理的逆定理解决实际问题（难点）.

自主学习

一、知识链接

1.勾股定理的内容是什么？

2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：

① a＝3，b＝4；c=_____；② a＝2.5，b＝6；c=_____；③ a＝4，b＝7.5，c=_____.

二、新知预习

1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.

A.3、4、3 ；

B.3、4、5；

C.3、4、6；

D.6、8、10.

2.判断:通过测量角度，判断上述你所画的三角形的形状.

A._________

B.__________

C._________

D._________

3.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边（c）的平方与其他两边（a，b）的平方和之间的关系.

A._________

B.__________

C._________

D._________

合作探究

一、探究过程

探究点1：勾股定理的逆定理

活动有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.

问题算一算上面边长的平方之间的关系，结合形状的判断，你发现了什么？

猜测如果三角形的三边长a,b,c满足___________,那么这个三角形是_________三角形.

验证下面我们根据全等进行证明.

已知：△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．

求证：△ABC是直角三角形.．

证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，

则A′B′2=_______+________。

∵a2+b2=c2，∴A′B′=_______.

在△ABC和△A′B′C′中，

A′C′=AC，

B′C′=BC，

______=_______,

∴△ABC____△A′B′C′(________) .

∴∠C____∠C′_____90°，即△ABC是__________三角形.

【要点归纳】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.

特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.

例1若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，判断△ABC的形状.

【方法总结】已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.

【针对训练】

1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7

2.已知a、b、c是△ABC的三边长，若|a﹣b|+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是．

例2某木工做了一个长方形的门框，AB=1.5m，AD=2m，测得BD=2.6m．若∠DAB=90°，则符合要求，请问他做的门框符合要求吗？说明理由.

探究点2：勾股数

【概念提出】勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.

【典例精析】

例3下面各组a、b、c，是勾股数的是．（填序号）

①a＝7，b＝24，c＝25 ②a＝5，b＝13，c＝12

③a＝4，b＝5，c＝6 ④a＝0.5，b＝0.3，c＝0.4

【方法总结】根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.

二、课堂小结

内容

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形,且边c所对的角为直角.

勾股定理的逆定理的作用从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形.

注意1.最长边不一定是c，∠C也不一定是直角.

2.勾股数一定是______数.

当堂检测

1.下列各组数是勾股数的是( )

A.3，4，7

B.6，10，8

C.1.5，2，2.5

D.1，3，5

2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )

A.是直角三角形

B.可能是锐角三角形

C.可能是钝角三角形

D.不可能是直角三角形

3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是（）

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形

4.若a，b，c满足（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0，则以a，b，c为边的三角形面积是

．

5.一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是 cm.

6.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝

.

（1）求AD的长；

（2）求证：△ABC是直角三角形．

拓展提升

7.若△ABC的三边长a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状，并说明理由.