相似三角形的判定(边边边)

(完整版)相似三角形的判定方法

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似直角三角形的判定

相似直角三角形的判定相似直角三角形是初中数学常见的一个概念，对于学生来说，判定相似直角三角形是一个非常重要的考点。

下面，我们将为大家讲解相似直角三角形的判定原理和方法，希望能对同学们的学习有所帮助。

相似直角三角形是指两个直角三角形的各对应边成比例，即它们的形状相同。

在判定相似直角三角形的时候，我们需要关注三个方面：对边、斜边和角。

在具体的应用中，可以采用以下几种方法判定：1、对边成比例法：如果两个直角三角形的对边成比例，则它们是相似的。

例如，两个三角形的对边分别为2和4，它们就是相似直角三角形。

2、斜边成比例法：如果两个直角三角形的斜边成比例，则它们是相似的。

例如，两个三角形的斜边分别为10和20，它们就是相似直角三角形。

3、角度成比例法：如果两个直角三角形的夹角相等，则它们是相似的。

例如，两个三角形的夹角都是30度，它们就是相似直角三角形。

需要注意的是，判定相似直角三角形的前提是它们都是直角三角形，其中一个角必须是90度。

此外，判定相似直角三角形时一定要注意精度，经常需要四舍五入或保留小数点后几位。

相似直角三角形是几何学中一个非常重要的概念，它在实际生活中的应用非常广泛。

比如，我们可以利用相似直角三角形来测量高楼的高度和远处物体的距离，还可以用来计算棱柱的体积等等。

因此，熟练掌握判定相似直角三角形的方法，对于学习和实际应用都具有重要的意义。

总之，判定相似直角三角形需要注意对边、斜边和角三个方面，而具体的判定方法有对边成比例法、斜边成比例法和角度成比例法。

在实际应用中，需要注意精度和保留小数位数，以免影响计算结果。

掌握相似直角三角形的判定原理和方法，可以帮助同学们更好地掌握数学知识，提高数学题的解题能力。

相似三角形的判定边角边定理

完善相似三角形的理论体系
目前相似三角形的判定定理已经比较完善，但仍有一些细节和边缘问题需要进一步研究和探讨，以完善几何学的理论体系。
05
练习与思考题
基础练习题
01
总结词
理解边角边定理的基本应用
02 03
题目1
已知$triangle ABC$和$triangle ABD$中，AB=AB，AC=AD，且 $angle BAC = angle BAD$，求证：$triangle ABC cong triangle ABD$。
03
边角边定理的应用
证明两个三角形相似
总结词
边角边定理是证明两个三角形相似的重要定理之一，通过比较两个三角形的两边和夹角是否相等，可以判断两个三角形是否相似。
详细描述
边角边定理指出，如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形相似。具体来说，如果 $triangle ABC sim triangle A'B'C'$，且$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，$angle B = angle B'$，则根据边角边定理，可以推断出$triangle ABC$与$triangle A'B'C'$相似。
性质
边角边定理是相似三角形判定定理的一种，它提供了判断两个三角形是否相似的依据。
边角边定理的证明
证明方法一
通过三角形的性质和角的相等关系，利用三角形的全等定理进行证明。
证明方法二
利用反证法，假设两个三角形不相似，然后通过一系列推理和计算，得出矛盾，从而证明边角边定理。
证明方法三
利用向量方法，通过向量的加法、数乘和向量的模长等性质，证明两个三角形的向量相等，从而得出两个三角形相似的结论。

三角形全等的判定方法6种

三角形全等的判定方法6种
1、SSS（Side-Side-Side）（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。

2、SAS（Side-Angle-Side）（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。

3、ASA（Angle-Side-Angle）（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。

4、AAS（Angle-Angle-Side）（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。

5、RHS（Rightangle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）（又称HL定理（斜边、直角边））：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。

（它的证明是用SSS原理）
下列两种方法不能验证为全等三角形：
1、AAA（Angle-Angle-Angle）（角角角）：三角相等，不能证全等，但能证相似三角形。

2、SSA（Side-Side-Angle）（边边角）：其中一角相等，且非夹角的两边相等。

相似三角形的判定(边边边)

23.2.4相似三角形的判定方法教学设计
（续表）
△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？
【教学说明】“问题1”可让学生自主完成, 并相互交流，获得“一个三角形的三条边与另一个三
角形的三条边的比相等时，这样的两个三角形相似”
的感性认识.而对于“思考1”中的问题，教师应引
导学生通过合理推理进行说明.这时可在A′B′上截
取A′D=AB，再过D作DE//B′C′，由△A′DE～△A′
B′C′，再证明△ABC≌△A′DE，则可得到△ABC～△
A′B′C′.这种构造△A′DE作为过渡三角形在以往
的学习中很少见，因此教师应做好引导.我们知道，相
似的判定方法类似于全等的判定方法．类比全等的判定方
法，你认为什么条件下，还能判定两三角形相似？本节课我
们继续探索三角形相似的条件．
活动
二：
实践探究交流新知
(二)验证
因为∠A'＝∠A
∠B' =∠B
所以
△A'B'C'∽△ABC
AB BC CA
A B B C C A
==
''''''
(三)证明：如图，在线段A′B′上截取A′D=AB，
1.探究1既提高
了学生的操作能力，
又培养了学生的合
作意识，并积累探究
新知识的方法.
2.探究2让学生
总结判定定理3的
过程，既能培养学生
的归纳能力，还能锻
炼学生数学语言的
表述能力.
A
B C
C'
B'
A'
C'
B'
A'
（续。

相似三角形判定

A D BC （E ）图4相似三角形：是形状相同的三角形，它们的对应角都相等、对应边都成比例。

如△DEF 、△ABC 相似，表示为△DEF ∽△ABC 。

相似比：两个三角形相似，对应边的比叫相似比。

如：若△DEF 、△ABC 相似，则DFAC EFBC DEAB ==相似三角形判定定义法：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。

判定定理①：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

判定定理②：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（三边对应成比例，两三角形相似）判定定理③：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）判定定理④：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（两角对应相等，两个三角形相似）特殊情况：第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。

第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形中的基本图形：（1）平行型：（A 型，X 型）（2）交错型：（3）旋转型：（4）母子三角形： 1，D 、E 分别是△ABC 的边BA ，CA 延长线上的点，DE ∥BC 。

（1）图中有哪些相等的角？（2）找出图中的相似三角形，并说明理由；（3）写出三组成比例的线段。

（1）（2）。

理由是：（3）变形一：把上图中的直线DE 向平行于BC 方向移动到现在的位置，变为图2，回答上面的问题。

（1）（2）（3）变形二：移动线段DE ，使∠AED ＝∠B ，变为图3，回答上面的问题。

（1）（2）（3）。

相似三角形的判定方法

相似三角形的判定方法对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

（similar triangles）互为相似形的三角形叫做相似三角形。

例如右图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角C'A'B'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'相似三角形的各种判定方法一.根据相似图形的特征来判断。

（对应边成比例，对应边的夹角相等）1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；（AA)3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；(SAS)4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；(SSS)5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形（用定义证明）绝对相似三角形1.两个全等的三角形一定相似。

2.两个等腰直角三角形一定相似。

（两个等腰三角形，如果顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

）3.两个等边三角形一定相似。

直角三角形相似判定定理1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

射影定理三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

三角形相似的判定方法

三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。

二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

证明相似的四种判定

一．证明相似的四种判定1、两角对应相等，两三角形相似。

2、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

3、三边对应成比例，两三角形相似。

4、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例。

平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明。

）扩展资料：常用的判定定理有以下6条：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。

）（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

）（SAS）判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

）（SSS）判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。

）判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

）（HL）判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。

相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。

相似三角形的判定(边边边)

点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移
动.如果P，Q同时出发，用t（s）表示移 B
动的时间（0≤t≤6），那么：
Q
（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函
数解析式；
OP A
（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点 C是否落在直线AB上，并说明理由；
（3）当t为何值是，△POQ与△AOB相似？
B
C B'
C'
方法3：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相
似
A
AB AC A A'
A'
A' B' A'C'
∴ △ABC∽△A'B'C'
B
C B'
C'
判定方法4 ：如果一个三角形的三条边与另一个三角
形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 简记为：三边对应成比例的两个三角形相似.
C
符号语言：
方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角行与原三角形相似AD源自EB （图1） C
D
E
A
B
（图2）
C
• 两个三角形全等判别方法：SSS
•
SAS
•
ASA
•
AAS
方法1：·定义：三个角分别相等，三边成比例
方法2：有两角对应相等的两三角形相似
A
A A' B B'
A'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
在△ABC与△DEF 中
∵
A
F
B
∴ △ABC ∽△ DEF

证明相似三角形判定方法

证明相似三角形判定方法证明相似三角形的判定方法有多种，以下是其中的50种方法，并对每种方法进行详细描述：1. 相似角对应相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

2. 辅助角相等：如果两个三角形的一个角等于另一个角的辅助角，则这两个三角形相似。

3. 边长比例相等：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形相似。

4. 三边比例相等：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。

5. 比较周长：如果两个三角形的周长比例相等，则这两个三角形相似。

6. 比较面积：如果两个三角形的面积比例相等，则这两个三角形相似。

7. 角平分线所成的相似三角形：如果两个三角形的一个角被其相对边的平分线所平分，且两个角相等，则这两个三角形相似。

8. 内切圆和外切圆：如果两个三角形的内切圆和外切圆的半径比例相等，则这两个三角形相似。

9. 三角形的高比较：如果两个三角形的高的比例相等，则这两个三角形相似。

10. 图中的角平分线构成相似三角形：如果两个三角形的一个角被图中一条直线平分，且划分的相邻两边的比例相等，则这两个三角形相似。

11. 内接三角形相似性：如果一个三角形内部有另一个相似的三角形，则这两个三角形相似。

12. 应用正弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的正弦比相等，则这两个三角形相似。

13. 应用余弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的余弦比相等，则这两个三角形相似。

14. 应用正切定理：如果两个三角形中包含的两个角的正切比相等，则这两个三角形相似。

15. 利用半角公式：如果两个三角形中包含的两个角的半角正弦比相等，则这两个三角形相似。

16. 利用角平分定理：如果平分一个三角形的一个角，并且用两条角平分线切分其对边，则所得的小三角形相似。

17. 边角边：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，则这两个三角形相似。

18. 角边角：如果两个三角形的一对对应角和夹边相等，则这两个三角形相似。

19. 边边边：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形相似。

相似三角形的判定方法

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形的判定(两边及夹角)

已知：如图， △ABC∽ △ADE
求证： △ABD∽ △ACE
拓展提升：《名校课堂》 P50 T12
知识要点
判定三角形相似的定理之二如果两个三角形的两组对应边的比相两边对应成比例，且夹角相等，等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。两三角形相似。
A
A1
B C
即：如果
AB BC k, A1B1 B1C1
A'
A
AB AC A' B ' A' C ' A A'
B
C
B'
C'
探究：
已知：在ABC和A' B' C '中，
AB AC , A A' A' B' A' C '
ABC ∽△ A' B ' C ' 求证: △
A D B C E
A'
B'
C'
判定定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
AB=7， AC=14， ∠A＝60° A’B’＝1.5，A’C’＝3， ∠A’＝ 60°
解
AB 7 14 AC 14 , ∵ AB 1.5 3 AC 3 AB AC AB AC
又 ∠A＝ ∠A’＝60° ∴ △ABC∽△A`B`C`
例题赏析
例2:
AD CD 如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 CD BD
A
A'
B
C
B'
C'
∵
A' B' A' C' , A A' AB AC

相似三角形的判定方法五种缩写

相似三角形的判定方法五种缩写
AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们是相似的。

AA相似定理：如果两个三角形中有两个角分别相等，则它们是相似的。

SSS相似定理：如果两个三角形的对应边长度成比例，则它们是相似的。

SAS相似定理：如果两个三角形中有两条对应边的比例相等，且这两个对应边夹角的大小也相等，则它们是相似的。

RHS相似定理：如果两个直角三角形的斜边长度相等，且其中一个非直角角度相等，则它们是相似的。

这些相似定理是判断相似三角形的基本方法，其中AAA相似定理和AA相似定理仅需要角的大小相等，不需要考虑边长的比例关系。

而SSS相似定理和SAS相似定理需要考虑边长的比例关系，RHS相似定理则是只考虑直角三角形的情况。

在实际运用中，我们可以根据题目所给出的条件，选择合适的相似定理进行判断。