系统工程 第五章 AHP
AHP
… … … … … …
Bj b1j b2j
… … … … … …
Bn b1n b2n
…
…
…
…
Bi
bi1
bi2
bij
bin
判断矩阵B中的元素bij表示依据评价准则C,要素bi对bj的相对重要性。 Bij的值是根据资料数据、专家意见和评价主体的经验，经过反复研究后确定的。
应用层次分析法的注意事项
如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间 的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至 导致AHP法决策失败。 为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则： 1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多； 2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的 要素不能在同一层次比较。
n
( AW ) i 表示向量AW的第i个分量。
(二) 方根法
计算判断矩阵每一行元素的乘积
M i = ∏ bij (i = 1,2, L, n)
j =1
n
计算M i 的n次方根
W i = n M i (i = 1,2, L, n)
, 将向量 W ＝ W 1,W 2 ,LW n 归一化：
Wi = W
≥ 0.1
综合重要度的计算
（二）层次总排序 定义：在计算了各级要素的相对重要度以后，即可从最上级开始，自上而 ①定义 下地求出各级要素关于系统总体的综合重要度（也称系统总体权重），即进 行层次总排序。 ②层次总排序需要从上到下逐层顺序进行。对于最高层而言，其层次单排 序的结果也就是总排序的结果。 假如上一层的层次总排序已经完成，元素A1，A2，…，Am得到的权重值 分别为a1，a2，…，am；与Aj对应的本层次元素B1，B2，…，Bn的层次单排 序结果为[b
系统工程层次分析法
系统工程层次分析法系统工程层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种常用的决策分析方法，由美国数学家Thomas L. Saaty于20世纪70年代提出。
AHP方法将决策问题分解为多个层次，通过专家判断和数学计算，确定各层次中因素的重要性，从而达到确定最优决策的目的。
本文将从AHP方法的理论基础、应用步骤以及应用案例等方面进行详细介绍。
一、AHP方法的理论基础AHP方法的理论基础主要有两方面。
一是AHP方法基于对决策问题的分层结构进行分析，将决策问题抽象为一个层次结构模型。
AHP方法将决策问题分为目标层、标准层和方案层三个层次，并通过层次结构模型的构建，将复杂的决策问题层层分解为多个相对简单的子问题进行处理。
二是AHP方法基于专家判断进行权重计算。
AHP方法将专家通过两两比较的方式对不同层次中因素进行排名，然后通过特征值方法（Eigenvector Method）计算得到各因素的权重值。
二、AHP方法的应用步骤AHP方法的应用步骤一般包括问题的描述、层次结构的构建、专家判断、权重计算和方案评价等五个步骤。
1.问题的描述：对决策问题进行准确描述，明确目标和标准。
2.层次结构的构建：将决策问题按照目标、标准和方案的不同层次进行分解，并构建层次结构模型。
3.专家判断：通过专家对层次模型中不同因素的两两比较，确定各因素在同一层次中的重要性。
4.权重计算：根据专家判断结果，使用层次分析法计算得到各因素的权重值。
5.方案评价：通过计算决策方案的综合评分，确定最优决策方案。
三、AHP方法的应用案例AHP方法在实际决策中有着广泛的应用。
以下是一个简单的供应商选择案例的应用过程：1.问题的描述：公司需要选择一个供应商提供原材料，目标是选择一个价格合理、质量可靠、交货及时的供应商。
2.层次结构的构建：将问题分解为目标层、标准层和方案层。
目标层包括价格、质量和交货；标准层包括价格合理、质量可靠和交货及时；方案层包括供应商A、供应商B和供应商C。
系统工程 第五章 系统评 层次分析法
23
24
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30
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一致性检验
进行一致性检验需要引入四个参数： 判断矩阵A的最大特征根λmax 一致性指标(C.I.) 平均随机一致性指标(R.I.) 一致性比例(C.R.)
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2）查找相应的R.I.
33
3）计算C.R.
34
35
（3）求各准则(方案)的总重要度(指标满足 程度)
中间层是准则层
列出实现总目标所要采取的各项准则，包括了为实现目 标所涉及的中间环节，可有若干个层次组成。包括所需考 虑的准则、子准则等。
最低层是方案层
列出可供选择的各种可替代方案，是评价方案的具体化
14
。
注意：
1、层次之间元素的支配关系不一定是一一对应的，即可以存在这样的 元素，它并不支配下一层次的所有元素。若上层的每个因素都支配着下 一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则 称为不完全层次结构。 2、层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽程度有关。每一层次 中的元素一般不超过9个，因一层中包含数目过多的元素会给两两比较 判断带来困难。 3、一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。层次结构建立在决 策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划分和 确定层次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各 部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构。
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（1）建立层次结构模型
根据对问题的了解和初步分析，将评价系统涉及的各要 素按性质分层排列。 对于一般的系统，层次分析法模型的层次结构大体分为 三层。最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层 或指标层。
13
最高层是目标层
系统工程：第5章 系统分析方法
5.1.3 基本要素
(5) 研究报告
研究报告是系统分析的最终产物，具体形式可采用报告、 建议或意见等形式。研究报告要用通俗易懂语言，一定不 要用难懂的术语和复杂的推导，使决策者容易理解和使用。 研究报告的作用只是阐明问题和提出处理问题的意见和建 议，而不是代替决策者进行决策。因此，研究报告要将决 策的依据、信息、分析结论等告诉决策者，以便决策者正 确决策。
5.1.3 基本要素
(2) 替代方案
能够实现系统目标的各种可能的途径、措施和办法构成替 代方案，到底哪一种方案最合适，这正是系统分析所要解 决的问题。因为达到同一目标可由不同方案、途径来实现 （条条道路通罗马），但实现同一目标的各替代方案在性 能、费用、时间等指标上互有长短，但要能对比，即替代 方案具有可比性。其次替代方案的构造是优选的前提，没 有足够的替代方案就没有优化。这就是说，系统分析者和 决策者要运用自己丰富的想象力、创造力，根据已掌握的 信息，提出达到同一目标的多种方案。
系统工程 第五章 系统分析
程森林
二Ｏ一Ｏ年一月
主要内容
5.1 系统分析的基本概念 5.2 系统分析的要点和步骤 5.3 系统环境分析 5.4 定性系统分析方法
5.1系统分析的基本概念
5.1.1 产生和由来 5.1.2 定义 5.1.3 基本要素 5.1.4 原则
5.1.1 产生和由来
由于存在大量的具有不确定性、竞争性的复杂系 统的开发、系统改造问题，和国家之间的军事对 抗问题，以及企业之间的经济竞争等问题，迫切 需要一种方法（或手段）能对人们难以用简单方 法处理的复杂问题进行分析、研究和综合，以此 为决策者提供决策依据。
5.1.3 基本要素
(1) 系统目标
系统目标就是对系统的要求，它是系统分析的基础。系统 分析人员最初的也是最重要的任务就是要了解领导者意图， 明确存在的问题，确定系统的目标。其次目标是目的的具 体化，是建立和更新系统的依据。由于系统问题的复杂性， 系统的决策者难以确切的提出系统的目标，往往是通过分 析者与决策者进行多次“对话”后得到的，确定目标时应 遵守必要性、有依据、可行，使提出的目标科学、合理。
《系统工程》课后习题第五章答案.
第五章1．系统评价时会涉及到价值问题，试说明如何理解“价值”。
从哲学意义上来讲，就是评价主体对某个评价对象在理论上、实践上所具有的作用和意义的认识或估计；从经济意义上来讲，就是根据评价主体的效用观点对于评价对象能满足某种需求的认识或估计。
2．系统评价中常用的评价尺度有哪几种？（1）绝对尺度；（2）间隔尺度；（3）顺序尺度；（4）名义尺度3．结合实例具体说明系统评价的步骤和内容。
（1）初步探讨，包括评价目的、评价范围、评价立场、评价时期；（2）评价系统的分析；（3）评价指标的选择；（4）评价函数的确定；（5）评价值的计算；（6）综合评价4．试分析说明系统评价在系统工程中的作用。
系统评价在系统工程中式一个非常重要的问题，同时也是一项非常困难的工作。
系统工程是一门解决系统问题的技术，通过系统工程的思想、程序和方法的应用，最终实现系统的综合最优化，在这个过程中，不仅通过系统分析提出了多种达到系统目的的替代方案，而且还要通过系统评价从众多的替代方案中找出所需的最优方案。
5．在费用—效益分析法中，有哪几种评价基准？（1）效率性基准，即在一定费用条件下，效益大的替代方案的价值高；（2）经济性基准，即在一定效益条件下，费用小的替代方案的价值高；（3）纯效益基准：效益减去费用后的余额称为纯效益，纯效益大的替代方案的价值高6．试说明关联矩阵法原理，并对两两比较法和古林法进行比较分析。
关联矩阵法是多目标系统评价常用的方法，其具体原理如下：设m A A A ,,,21 是某评价对象的m 个替代方案，n x x x ,,,21 是评价替代方案的n 个评价指标，m w w w ,,,21 是n 个评价指标的权重，ini i v v v ,,,21 是第i 个替代方案i A 的关于()n j x j ,2,1=指标的价值评定量，则替代方案i A 的价值评定的综合评分值i v 可以利用加权和得到。
比较分析：略7．试简述关联树法的原理和步骤。
系统工程 第五章 AHP
T
那么，
S AW
如何得到A和W？？
第12页
最优解决方案即S中值最大的那一个。
层次分析法
2 Saaty提出的AHP方法
Step1 : 将问题按照决策要求进行层次分解，得到决策层 次decision hierarchy. Step 2: 采用两两比较 pairwise comparison方法得到各决 策元素值. Step 3: 构造判断矩阵judgments matrix对决策元素值进 行一致性检验；若判断不一致，返回Step 2，重新进 行两两比较；若满足一致性，进入Step 4. Step 4: 计算决策表的相对权重 weights . Step 5: 归一化处理相对权重值，并得到各方案的分数值 及排序情况 scores and hence rankings .
第17页
层次分析法
判断矩阵 Judgement Matrix Def 2 若矩阵 A (aij ) nn 满足 i, j 1,2,, n, aij 0. 则称其为正的. 1 i , j 1 , 2 , , n , a ， 则称其为互反的. 如果 ji aij
Def 3 如果两两比较结果矩阵 A (aij ) nn
层次分析法
如何由判断矩阵计算出权重？ Saaty 提出特征值方法 eigenvector method (EM). 设 i (i 1,2,, n) 是判断矩阵 A的特征值，即
Aw i w, w 0
设
max max (i )
i
那么，如下向量 w 就是我们所希望的权重向量. if
4 1 1 / 4 1 1 / 3 1 / 7 A 1 1/ 3 1 / 3 5 1 / 4 1
系统工程4版教学PPT作者汪应洛西安交通大学主编5章节 系统评价方法
判断矩阵及其分析处理举例
T I1
I2
I3
Wi
Wio
I1 1 1/3 2 0.874 0.230
I2 3
1
5 2.466 0.648
I3 1/2 1/5 1 0.464 0.122
(3.804)
[注] Wi的求取采用方根法（几何平均值法）
I1 P1
P2
P3
Wi
Wio
P1 1 1/3 1/5 0.406 0.105
1 500以下 85以下 25以下 160以上 不美观
第二节 关联矩阵法
关联矩阵表（逐对比较法）
期望 产品成 市场占 投资 产品
Xj
Vij j
利润 0.4
品率 0.3
有率 0.1
费用 外观 Vi
0.2 0.0
自A行i 设
计(A1)
3
3
3
3
4 3.0
国外引 进(A2)
4
4
4
1
3 3.4
改建(A3)
若记：隶属度矩阵为 评价项目权重向量为
R(rij)94 W(wi)19
评价等级分值向量为 D(dj )14
则有：综合隶属度向量 S=W•R
综合得分
S•DT
24
作业
P134 9 P135 10、11 P136 12
25
26
Xj
(
j
1,n)
：评价指标（准则、项目）
n
j ：评价指标权重，oj 1, j 1
j1
7
第二节 关联矩阵法
Xj X1 X2 … Xn
Vij Ai
ij
1
2
n
Vi
系统工程
因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aij
倒数
目标层 C1 景色
O(选择旅游地) C2 费用 C3 居 , Cn对目标O的重要性
Ci : C j aij
选 择 旅 游 地
C1 C1 C2
1 A (aij ) nn , aij 0, a ji aij
6 列向量 0.6 0.615 0.545 4 归一化 0.3 0.308 0.364 归 一 1 0.1 0.077 0.091 化
求 行 和
0.587 0.324 w 0.089
w1 考察完全一致的情况 w 1 W ( 1) w1 , w2 ,wn 可作为一个排序向量 w2 w A 成对比较 1 令aij wi / w j 满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n wn 的正互反阵A称一致阵。 w1
• 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。 其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来， 按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量 化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。 • 该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与 定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其 系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各 个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、 政策制定、冲突问题、性能评价、能源系统分析、 城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛 的重视和应用。
AHP(层次分析法)基础教程ppt课件
w1
w2
健业 标 子目况 康 平 务
状水
w3
写 平作
水
w4
w5
口政
平策
才水
w6
工 风作
作
方案层
甲
乙
整理ppt
丙
42
2 求出目标层的权数估计
3 用和积法计算其最大特征向量
判 阵断
矩
B p1 p2 p3 p4 p5 p6
p1 1 1 1 4 1 1/2
p2 1 1 2 4 1 1/2
p3 1 1/2 1 5 3 1/2
整理ppt
4
层次分析法（AHP）特点：
✓ 分析思路清楚，可将系统分析人 员的思维过程系统化、数学化和模 型化； ✓分析时需要的定量数据不多，但 要求对问题所包含的因素及其关系 具体而明确；
整理ppt
5
层次分析法（AHP）特点：
✓ 这种方法适用于多准则、多目标 的复杂问题的决策分析，广泛用于 地区经济发展方案比较、科学技术 成果评比、资源规划和分析以及企 业人员素质测评。
p3 0.16 0.09 0.15 0.25 0.42 0.13 1.20
p4 0.04 0.04 0.03 0.05 0.05 0.09 0.30
p5 0.16 0.17 0.05 0.15 0.14 0.26 0.93 p6 0.32 0.34 0.30 0.15 0.14 0.26 1.51
整理ppt
p1 1 1 1 4 1 1/2 p2 1 1 2 4 1 1/2 p3 1 1/2 1 5 3 1/2 p4 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3 p5 1 1 1/3 3 1 1 p6 2 2 2 3 1 1
6.25 5.75 6.53 20 7.33 3.83
系统工程 上机实验报告
层次分析法(AHP)上机报告一、实验名称：层次分析法(AHP)上机报告二、实验目的：通过实验掌握层次分析法(AHP)的基本思想、学会建立层次结构模型、实施步骤、应用要点以及其检验过程，学会如何在众多的方案中选择最优方案。
三、实验内容：内蒙古包头市打算在黄江上建设公路交通系统，提出了三个建设方案：桥梁P1；隧道P2；渡船P3。
对方案的评价有11个指标，请用层次分析法对三个方案作评价。
层次结构模型对不同方案的描述：桥梁P1：投资较大，维护费低；可靠性、安全性、方便性较好，对河流航运的影响小，对河流中的生态影响小；居民的搬迁较多。
隧道P2：投资大，维护费较低；可靠性、安全性、方便性好，对河流航运的无影响，对河流中的生态无影响；居民的搬迁多。
渡船P3：投资低，维护费高；可靠性、安全性、方便性差，对河流航运的影响大，对河流中的生态影响较大；居民的搬迁少。
四、实验过程：①分析该公路交通系统的集合及相关关系，用结构分析法建立系统的层次结构模型如下图所示：②确定评价基准或判断标度。
③从最上层要素开始，依次以最上层要素为依据，对下一层要素进行两两比较，建立判断矩阵。
a.先以第一层要素为依据，对第二层要素建立判断矩阵如下表。
b.以第二层要素为依据，对第三层要素建立判断矩阵。
由于此时有十一个准则，故有十一个判断矩阵。
如下列各表：第二层对第三层判断矩阵一 第二层对第三层判断矩阵二第二层对第三层判断矩阵三 第二层对第三层判断矩阵四第二层对第三层判断矩阵五 第二层对第三层判断矩阵六第二层对第三层判断矩阵七 第二层对第三层判断矩阵八第二层对第三层判断矩阵九 第二层对第三层判断矩阵十第二层对第三层判断矩阵十一④根据判断矩阵，计算各要素的优先级向量以及在此进行各判断矩阵的一致性检验。
a. 首先计算各判断矩阵中各要素的优先级向量，以判断矩阵十一为例。
由于此时判断矩阵为3×3矩阵，则首先计算各行元素乘积的3次根：5503.01*)2/1(*)3/1(12*1*)2/1(8171.13*2*1333===b. 其次，将上述计算结果正交化，即先将上述个数相加，再除以每个数, 就得到了表十一中各要素的优先级向量向量：1634.08674.3/5503.02970.08674.3/15396.03674.3/8171.13674.35503.018171.1====++故：方便性为准则时，桥梁、隧道、渡船的优先基向量为：（0.5396,0.2970,0.1634）。
系统工程：系统评价方法
4
3 1 2 0
0.4
0.3 0.1 0.2 0.0
评价尺度例表
评价尺度(得分) 评价指标 期望利润（万 元） 产品成品率 （%） 市场占有率 （%） 投资费用（万 元） 产品外观
5
4
3
2
1
800以上 97以上 40以上 20以下 非常美观
701-800 96-97 35-39 21-80 美观
601-700 91-95 30-34 81-120 比较美观
投资效果好（T） （目的层）
风险程度（I1）
资金利润率（I2）
转产难易程度（I3）
（准则层）
产品1（P1）
产品2（P2）
产品3（P3）
（方案层）
AHP方法的基本工具——判断矩阵
判断矩阵标度定义
标度 1 3 5 含义 两个要素相比，具有同样重要性 两个要素相比，前者比后者稍微重要 两个要素相比，前者比后者明显重要
模糊综合评判法（多评价主体）
二、关联矩阵法
Ai (i 1, m)
：评价对象（可替代且非劣的方案）
X j ( j 1, n) ：评价指标（准则、项目） n j ：评价指标权重，o j 1, j 1
j 1
二、关联矩阵法（续）
Vij Ai A1 A2 Am …
j
Xj
X1
0.648 0.122
(3.804)
[注] Wi的求取采用方根法（几何平均值法） I1
P1 P2 P3
P1 1 3 5
P2 1/3 1 3
P3 1/5 1/3 1
Wi 0.406 1.000 2.466
Wio 0.105 0.258 0.637
判断矩阵及其分析处理举例（续）
《系统工程第五章》PPT课件
3. The foundation must be completely laid before starting to put up the rough wall, etc.
2 weeks 4 weeks 10 weeks 6 weeks 4 weeks 5 weeks 7 weeks 9 weeks 7 weeks 8 weeks 4 weeks 5 weeks 2 weeks 6 weeks
2007 SYSTEMS ENGINEERING
重庆大学制造工程研究所副所长 鄢萍 教授 博士
9. Installation of a management information system
10. Conducting an advertising campaign
……
2007 SYSTEMS ENGINEERING
重庆大学制造工程研究所副所长 鄢萍 教授 博士
PERT and CPM were independently developed in the late 1950s. Ever since, they have been among the most widely used SE techniques.
?系统工程第五章?PPT课 件
2007 SYSTEMS ENGINEERING
本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！
层次分析法法建模
层次分析法法建模
一、AHP简介
AHP(Analysis Hierarchy Process)，即层次分析法，是一种从抽象的多个目标到具体决策的一种分析方法，它由美国系统工程师 Thomas Saaty 于1970年提出，它利用层次结构表示影响多元决策的各因素之间的相互关系，采用数学模型进行综合比较，把多样性、复杂性及无序综合化，转变成一个有序的决策过程。
二、AHP的基本原理
（1）设定目标待决策的层次结构，并建立多个分支，形成一棵决策树。
（2）比较每一对相邻层次因素，将它们的相互关系表示为一个矩阵大小。
（3）从矩阵大小求出矩阵的特征值及特征向量。
（4）根据特征值来判断比较矩阵的相似程度，选出最大特征值及其对应的特征向量。
（5）根据特征向量算出权值，从而确定决策问题的最优解。
三、AHP的应用
AHP方法提供了一种科学、系统的方法，它适用于复杂的决策问题，可以将复杂问题转化为可以解决的层次分析问题，实现有效的决策过程。
AHP方法可以用于企业管理、决策分析、公共安全、计算机技术、政府管理、商业投资、优化设计等。
系统工程第五章课件
否
仿真结束条件满足 是
结果输出 统计分析数据，输出结果
事件调度仿真程序的总体结构
29
排队系统研究的一个十分重要的问题就是寻找所 谓的瓶颈——由于服务台负荷不均造成的阻塞或 拥挤现象。 某个服务台平均队长太长或者平均利用率远远高 于其他服务台，对整个系统的效率是不利的。 要解决这个问题就要了解整个系统的运行状况， 确定瓶颈原因
4
在工程技术界，系统仿真是通过对系统模 型实验，去研究一个存在或设计中的系统。 在建立数学逻辑模型的基础上，通过计算 机实验，对一个按照一定的决策原则或作 业规则由一个状态变换为另一个状态的动 态描叙和分析。 对于现实世界的一些问题，我们可以通过 仿真创立模型，以使我们对问题有更深的 理解.
5
2 系统仿真的方法
– 用Lq表示平均队列长.
此外, 用 表示服务强度,其值为有效的平均到 达率与平均服务率 之比, 即 =/ .
21
M | M | 1 模型
M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为 负指数分布并具有单服务台的等待制排队系统 模型,这是最简单的排队系统模型.
为研究方便, 假定系统的顾客源和容量都是无 限的,顾客单队排列,排队规则是先到先服务.
事件、活动、进程三者关系示意图
26
仿真钟的推进
事件调度法(Event Scheduling) 固定增量时间推进
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事件调度法 （ M | M | 1 ）
按下一最早发生事件的发生时间来推进仿真钟的 方法。
Si 服务员为第i个顾客服务的时间长度 Di 第i个顾客排队等待的时间长度
ti 第i个顾客到达的时间 Ci = ti Di Si 第i个顾客离去的时间
1992年，美国提出22项国家关键技术，仿真技术列第16项；提出21 项国防关键技术，仿真技术列第6项。 20世纪90年代，美国进行了“扩展的防空仿真系统”（EADSIM） 计划，该系统是用于攻防体系对抗研究的作战仿真系统。近年来美 国更加重视仿真，将发展“合成仿真环境”作为国际科技发展的7个 科技推动领域之一。
AHP层次分析法
15
5.1 AHP方法的基本原理
四、判断矩阵求解:（1）根法
w1 a1 /
m
ai
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1m
a2m
M1 a11 a12 M2 a21 a22
amm
M
m
am1 am2
a1m
a2m
amm
a1
a2
am
m m
m
可行性 B3
发展前景 B4
实
科
用
技
价
水
值
平
C1
C2
经
社
济
会
效
效
益
益
C11
C12
课题1
优
难
势
易
发
程
挥
度
C3
C4
……
研
财
究
政
周
支
期
持
C5
C6
课题N
4
5.1 AHP方法的基本原理
二、判断矩阵及其特征向量
AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。
优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和
M1 M2
Mm
W
w2
wm
a2 / am /
i m i
m i
ai
ai
a11 a12
AW maxW ,
即： a21
a22
a1m w1
w1
a2m
w2
max
w2
am1 am2
amm
wm
wm
a11 w1
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第15页
层次分析法
AHP采用[1,9]的相对重要性尺度
Def 1
1 1 1 1 1 1 1 1 Scale[1,9] : {1,2,3,4,5,6,7,8,9, , , , , , , , } 2 3 4 5 6 7 8 9
Relative importance Equal importance Slight importance Strong importance Very strong importance Absolute importance Inbetween importance Reverse comparison Score 1 3 5 7 9 2,4,6,8 1/2,1/3,1/4,1/5, 1/6, /7, 1/8,1/9
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层次分析法
解决问题概览：分数值、权重、排序
学习氛围 交友 学校生活 假期安排 升学率
School A School B School C
特长发展
wL aL bL cL
wF aF bF cF
wS aS bS cS
wV aV bV cV
wC aC bC cC
wM aM bM cM
Score( A) aL wL aF wF aS wS aV wV aC wC aM wM Score( B) bL wL bF wF bS wS bV wV bC wC bM wM Score(C ) cL wL cF wF cS wS cV wV cC wC cM wM Best arg max( Score( A), Score( B), Score(C ))
是正的、互反的，且元素以scale[1,9]取值，则称A为
判断矩阵。
i, j 1,2,, n, aij scale[1,9], aija ji 1. 注意，判断矩阵的对角线元素均为1。 aii 1, i 1,2,, n.
i.e.
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层次分析法
案例：判断矩阵 根据上述判断，得到如下判断矩阵。
求特征根，最大特征根，最大特征根对应的特征向量方法
A=[ 1 4 3 1 3 4 1/4 1 7 3 1/5 1 1/3 1/7 1 1/5 1/5 1/6 1 1/3 5 1 1 1/3 max 7.4199 1/3 5 5 1 1 3 1/4 1 6 3 1/3 1]; T w (0.32,0.14,0.03,0.13,0.24,0.14) [x,lumda]=eig(A); r=abs(sum(lumda)); n=find(r==max(r)); max_lumda_A=lumda(n,n); %最大特征根 max_x_A=x(:,n); %最大特征根所对应的特征向量 sum_x=sum(max_x_A); %归一化的特征向量w max_x_A_scaled=max_x_A/sum_x
4 1 1 / 4 1 1 / 3 1 / 7 A 1 1/ 3 1 / 3 5 1 / 4 1
3 7 1 5 5 6
4 1 1 / 5 1 / 5 1 / 6 1 1 1 / 3 1 1 3 3 1/ 3 1 1 3 3 1/ 5
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层次分析法
判断矩阵 Judgement Matrix Def 2 若矩阵 A (aij ) nn 满足 i, j 1,2,, n, aij 0. 则称其为正的. 1 i , j 1 , 2 , , n , a ， 则称其为互反的. 如果 ji aij
Def 3 如果两两比较结果矩阵 A (aij ) nn
4 3 1 3 4 1 1/ 4 1 7 3 1/ 5 1 1/ 3 1/ 7 1 1/ 5 1/ 5 1/ 6 A 1 1/ 3 1 1/ 3 5 1 1/ 3 5 5 1 1 3 1/ 4 1 6 3 1/ 3 1
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层次分析法
Analytical Hierarchy Process 起源：20世纪70年代由Saaty教授提出 特点：定性与定量分析相结合 适用：不能完全用数学模型表示的多目标、多准 则、群决策问题 方法：问题分层、因素权重分析、方案排序、一 致性检验等整套办法。 应用：80年代初期介绍到中国，在工程技术、社 会科学领域应用较广泛。
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层次分析法
1 问题与实例 问题
面对复杂问题做决策（如，推研）时，往往： 多个评价准则：如综合评估 多人参与：同学、辅导员、班主任…… 很多可行方案：各种可能的评价体系和权重因子
解题要求
如何比较不同的可行方案，作出判断并从中选择最好 的方案？ 最终选择的结果可靠性如何？
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层次分析法
A2 An
A1
结论 （方案排序）
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4 系统评价分析原则
内部因素与外部因素相结合 近期与远期利益相结合 局部效益与总体效益相结合 定性分析与定量分析相结合
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5 系统评价分析的要点与步骤 要点
项目
目的 对象
时间 地点 人 方法
为什么
为什么提出这个问题？ 为什么从此入手？
为什么在这时做？ 为什么在这里做？ 为什么由此人做？ 为什么这样做？
案例：选择高中 案例
某同学已经初中毕业，面临选择高中。其父母和孩子一 起要从A、B和C三所中学中选择最好的一所就读。
解决方案要点
三人同意按六个因素来比较各个学校：学习氛围、交友、 学校生活、假期安排、升学率、特长发展 要分别找出以上六个因素对男孩子的成长的重要性 要弄清各所学校在六个因素方面的表现如何 要通过以上分析比较从三所学校中挑选最好的一所
应该如何
应提什么？ 应找哪个人？
应何时做？ 应在何处做？ 应由谁做？ 如何去做？
采取什么对策
删去工作中不必要部分
合并重复的工作内容
使工作尽量简化
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6 系统评价分析方法
目标－手段分析方法 如：分级展开目标，如AHP方法 因果分析方法 例如，学习成绩不稳定，什么因素造成的？
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层次分析法
相应地，n 是如上判断矩阵唯一的非零的特征值，即 最大特征值；w 就是相对应的规范特征向量。
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层次分析法
EM方法更多的解释 然而，很多实例中我们无法确切知道各因素的权重系 数，而是通过决策者们的主观判断得到，使得得到的判断 矩阵往往出现不一致。 但是，存在以下事实： Fact 1
n i 1
Aw max w w D
T
D {( w1, w2 ,, wn ) | i 1,2,, n, wi 0and wi 1}
i 1
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n
层次分析法
EM方法没有严格的理论证明，一种直观解释如下 假设实际的权重系数是精确知道的，那么判断矩阵有 如下形式： i 1,2,, n, aij wi / w j
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层次分析法
或记 S Score( A) Score( B) Score(C ) , aL aF aS aV aC aM A b b b b b b F S V C M L cL cF cS cV cC cM
T
W wL
wF
wS
wV
wC
wM
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层次分析法
决策问题的决策层次
目标 对学校的满意度
影响因素 学习氛围
交友
生活
假期
升学 特长发展
可行方案
School A
School B
School C
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层次分析法
两两比较 Pairwise Comparison
因素 i 和因素 j 相比，谁更重要？重要多少?
Relative importance Factor1 Factor2 Factor3 Factor 1 Factor 2 Factor 3
T
那么，
S AW
如何得到A和W？？
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最优解决方案即S中值最大的那一个。
层次分析法
2 Saaty提出的AHP方法
Step1 : 将问题按照决策要求进行层次分解，得到决策层 次decision hierarchy. Step 2: 采用两两比较 pairwise comparison方法得到各决 策元素值. Step 3: 构造判断矩阵judgments matrix对决策元素值进 行一致性检验；若判断不一致，返回Step 2，重新进 行两两比较；若满足一致性，进入Step 4. Step 4: 计算决策表的相对权重 weights . Step 5: 归一化处理相对权重值，并得到各方案的分数值 及排序情况 scores and hence rankings .
层次分析法
如何由判断矩阵计算出权重？ Saaty 提出特征值方法 eigenvector method (EM). 设 i (i 1,2,, n) 是判断矩阵 A的特征值，即
Aw i w, w 0
设
max max (i )
i
那么，如下向量 w 就是我们所希望的权重向量. if
Trace( A) aii i n 对所有方阵成立.
i 1
n
Fact 2 对互反的正判断矩阵A，若将其元素 aij做小的改变， 则A的特征值也将有小的改变。 因此，我们可以简单地将经过如下规范特征向量 w看作 是所需求得的权重： Aw max w
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层次分析法
案例：求解权重系数－(1) 应用 EM方法，已知
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Scale[1,9] 可以用来定义两个元素之间的相对重要性。
层次分析法
案例：相对重要性比较结果 全家三人共同进行因素间的两两比较后，得到如下结果。
Learning Friends School Voc. College Music Life Train. Prep. Classes Learning 1 4 3 1 3 4 Friends 1/4 1 7 3 1/5 1 School Life 1/3 1/7 1 1/5 1/5 1/6 Voc. Train. 1 1/3 5 1 1 1/3 College Prep. 1/3 5 5 1 1 3 Music Classes 1/4 1 6 3 1/3 1