人教课标版高中数学必修5《简单的线性规划问题》第一课时参考学案

§3.3.2 简单的线性规划问题(1) 学习目标

①巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；

②能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.

学习过程

一、课前准备

阅读课本Ｐ

８７至Ｐ

８８

的探究

找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．

二、新课导学

※学习探究

在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

（1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：

注意：在平面区域内的必须是整数点．

（3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种

生产安排利润最大？

（4）尝试解答：

（5）获得结果：

新知：线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解(,)

x y叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

※典型例题

例1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？

※动手试试

练1. 求2z x y =+的最大值，其中x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩

三、总结提升

※ 学习小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

※ 知识拓展

寻找整点最优解的方法：

1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.

2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.

3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验即可见分晓.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（ ）.

A ．该直线的横截距

B ．该直线的纵截距

C ．该直线的纵截距的一半的相反数

D ．该直线的纵截距的两倍的相反数

2. 已知x、y满足约束条件

50

3

x y

x y

x

-+≥

⎧

⎪

+≥

⎨

⎪≤

⎩

，则

24

z x y

=+的最小值为（）.

A．6 B．-6 C．10 D．-10

3. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay

=+取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是（）.

A. -3

B.3

C. -1

D.1

4. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为.

5. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线320

x y a

-+=的两侧，则a的取值范围是.

1. 在ABC

∆中，A（3，-1），B（-1，1），C（1，3），写出ABC

∆区域所表示的二元一次不等式组.

2. 求35

z x y

=+的最大值和最小值，其中x、y满足约束条件

5315

1

53

x y

y x

x y

+≤

⎧

⎪

≤+

⎨

⎪-≤

⎩

.

1）