等可能概型古典概型
1-4 等可能概型(古典概型)
n
1
证：从n个不同的元素中取出n1个元素有 n n !( n n )! 种取法；
1 1
n!
(n n1 )! 再从剩下的n-n1个元素中取出n2个元素有 n !(n n n )! 2 1 2
组合分析的两条基本原理
火车2次 火车
成都
汽车3次
重庆
成都
汽车
重庆
火车 飞机 轮船
武汉
共有23=6种方法 共有2+3=5种方法 1.加法原理 若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共有n1+n2种方法。 2.乘法原理 若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，
种分法。
例题7
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中
种取法；„
从最后剩下的n-(n1+n2+„+nk-1)个元素中取出nk个元素有
[n (n1 n2 nk 1 )]! 种取法。 nk ![n (n1 n2 nk )]!
按乘法原理，n个不同的元素，分成k组，每组分别有n1,n2,„,nk 个元素,应该有
[n (n1 n2 nk 1 )]! n! (n n1 )! n! n1!(n n1 )! n2!(n n1 n2 )! nk !0! n1!n2! nk !
P ( A) kA 16 4 , n 36 9
kB 4 1 . n 36 9 5 8 P( A B) P( A) P( B) , P(C ) P( B) 1 P( B) 9 9 P( B)
概率论1-4
n
C3 100
k C926C41
P(C) C926C41 C3
100
练习：设在N 件产品中，有 D件次品，其余均为正 品．任取n件，问其中恰有k(k≤D)件次品的概率。
解：所求的概率为
P
C C k nk D ND CNn
上式为超几何分布的概率公式。
练习、课后习题第五题
古典概率的计算：投球入盒
分析 此问题可以用投球入盒模型来模拟
50个学生
50个小球
365天
365个盒子
P( A)
C 50 365
50!
36550
0.03
至少有两人生日相同的概率为
P( A) 1 0.03 0.97
例：一单位有5个员工，一星期共七天，
老板让每位员工独立地挑一天休息，
求不出现至少有2人在同一天休息的
概率。
b
----------与k无关
10
例、从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中 至少有两只配成一双的概率是多少？
解、考虑4只鞋子是有次序是有次序一只一只取出
令A=“4只鞋子中至少有两只配成一双”
则 A “所取4只鞋子无配对” P( A) 1 P( A) 1 108 6 4 13 1098 7 21
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 , 求“出现的 点数是不小于3的偶数”的概率．
试验 抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数
样本空间
S ={1，2，3，4，5，6}
n=6
事件A
Ａ=“出现的点数是不小于3的偶数”={4，6} m=2
事件A的概率
P( A) m 2 1 n 63
例、掷一枚硬币三次，（1）设事件A1为“恰有一 次出现正面”，求P(A1 )；（2）设事件A2为“至少 有一次出现正面” ，求P(A2 )
古典概型的特征与概率计算公式
古典概型的特征与概率计算公式古典概型是概率论中最基本的概型之一，它的特点是每个事件的可能性相等。
在古典概型中，我们可以通过计算样本空间和事件空间的大小来计算事件发生的概率。
1.等可能性：在古典概型中，每个事件的发生概率都是相等的。
2.有限性：古典概型中的样本空间是有限的，即所有可能的结果有限个。
3.独立性：古典概型中的事件之间是相互独立的，即一个事件的发生不会影响其他事件的发生概率。
根据这些特征，我们可以通过以下公式计算古典概型中事件的概率：1.概率的定义：事件A的概率P(A)定义为事件A发生的可能性与样本空间Ω中所有可能结果发生的总可能性的比值。
即：P(A)=N(A)/N(Ω)，其中N(A)表示事件A的结果数目，N(Ω)表示样本空间Ω中所有可能结果的数目。
2.互斥事件：如果两个事件A和B是互斥的（即A和B不可能同时发生），则它们的概率之和为各自概率的和。
即：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.相互独立事件：如果两个事件A和B是相互独立的（即A的发生不会影响B的发生概率），则它们的概率乘积等于各自概率的乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
4.补事件：事件A的对立事件为A的补事件，记作A'。
补事件是指样本空间中不属于事件A的结果。
事件A的发生与A'的不发生是互斥的。
因此，P(A')=1-P(A)。
5.复合事件：如果事件A和B是两个独立事件，则同时发生的概率为两个事件的概率乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
通过以上公式，我们可以计算古典概型中事件的概率。
需要注意的是，在应用这些公式时，必须满足古典概型的特征，即事件是等可能发生的、样本空间是有限的，并且各事件之间是相互独立的。
概率论与数理统计--第一章 概率论的基本概念(2)
利用软件包进行数值计算
3 超几何概率
设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解
在N件产品中抽取n件的取法数
C
n N
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法数
C
nk N D
C
k D
于是所求的概率为
p
C
nk N D n N
7 12
周ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 周四 周五 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 . 7
(1) 每一个班级各分配到一名特长生的分法共有
( 3!12! ) (4! 4! 4! ) 种.
因此所求概率为
25 3!12! 15! . p1 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2)将3名特长生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名特长生分配在同一个班级的分法共有
例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是特长生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名特长生的概率是多少? (2) 3 名特长生分配在同一个班级的概率是多少?
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 15! . 5 5 5 5! 5! 5!
1-4古典概型
解：以分钟为单位, 则上一次报时时刻为下一次报时时刻长为60，
10 P ( A) 60
例9：(会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定 的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率. 记7点为计算时刻的0时, 以分钟为单位, 用 x , y 分别记表 解： 示甲、乙两人到达指定地点的时刻, 显然
A 表示“n 个人的生日均不相同”, 这相当于每间房子至
多做一个人，
于是由例4有： P( A)
Cn 365 n ! 365n
Cn 365 n ! 365
50
n
P( A) 1 P( A) 1
经计算可得下述结果： N 20 23 30 40
.
64
100
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
0 x 60,0 y 60
则样本空间为：
S {( x, y) | 0 x 60,0 y 60}
用字母A表示事件“两人能会面”, 则
A {( x, y ) | ( x, y) S , | x y | 20}
P(A) = 阴影部分的面积/正方形的面积
( A) 602 402 5 . 2 (S ) 60 9
1 Cm (n 1)! m n! n
练习: 一个八位数的电话号码，记住了前5位，而后三位只记 的是0、5、6三个数，而具体排列记不住，问试拨一次就拨 对的可能性有多大？
解：用A来表示“试拨一次就拨对”，
3 总的基本事件总数： P 3
3! 6
A所包含的基本事件数： 1
古典概型满足的条件
古典概型满足的条件古典概型是概率论中的一个基本概念，它指的是在某种实验中，样本空间中的每个样本点具有相同的概率。
在古典概型中，满足以下条件：1. 有限性：样本空间中的样本点是有限个数的。
这意味着实验的结果是可以列举出来的，而不是无限多的。
2. 等可能性：每个样本点发生的概率是相等的。
也就是说，在没有其他信息的情况下，每个样本点发生的可能性是相同的。
古典概型的一个典型例子是掷硬币。
当我们掷一枚硬币时，其样本空间为{正面，反面}，而正面和反面出现的概率都是1/2。
因为硬币只有两面，而且在没有其他信息的情况下，每个面出现的可能性是相同的。
古典概型还可以用来解决排列组合的问题。
例如，在一副扑克牌中，从中随机抽取5张牌，问有多少种可能的抽法？我们可以使用古典概型来解决这个问题。
首先，我们需要确定样本空间，也就是所有可能的抽牌结果。
然后，我们需要确定每个样本点发生的概率，即每种抽牌结果发生的可能性。
在这个例子中，样本空间的大小是52张牌中抽取5张的组合数，而每个样本点发生的概率是相等的，即1/组合数。
通过计算，我们可以得到答案。
古典概型虽然简单，但在概率论的发展历程中起到了重要的作用。
它为我们提供了一种简单而直观的思维框架，帮助我们解决实际问题。
古典概型的条件简明清晰，使得我们能够准确地计算概率，从而做出合理的决策。
除了满足条件的古典概型，还存在其他类型的概型，如几何概型和条件概型。
几何概型适用于具有几何结构的问题，例如在平面上随机抛掷一个点落在某个区域内的概率。
条件概型则适用于已知某些条件下发生事件的概率。
这些概型在实际问题中也有广泛的应用。
古典概型是概率论中的一个重要概念，它具有简单清晰的条件，可以帮助我们计算概率并解决实际问题。
通过了解古典概型的条件和应用，我们可以更好地理解概率论的基本概念和方法，提高我们的数学思维能力和问题解决能力。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的概型，并利用概率论的知识进行计算和分析，从而做出合理的决策。
CH1第4节 等可能概型(古典概型)
2o 骰子问题 概率.
掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
(答案 : p 3 63 )
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
说明
随机选取n( 365)个人, 他们的生日各不相同的 概 率为
365 364 ( 365 n 1) p . n 365
而n个人中至少有两个人生 日相同的概率为
365 364 ( 365 n 1) p 1 . n 365
我们利用软件包进行数值计算.
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球} 第3次摸到红球 4种 第1次摸到黑球 6种 第2次摸到黑球
第3次摸球 第2次摸球 第1次摸球
10种
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位 不能为0，求数字0出现3次的概率.
( 3 12! ) ( 2! 5! 5! ) 种 , 因此所求概率为
6 3 12! 15! . p2 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91
例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四
等可能概型(古典概型)
概率的加法原理
概率的加法原理是指对于任意两个事 件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)。
当事件A和B互斥时，即A∩B=∅，概 率的加法原理可以简化为 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
概率的乘法原理
01
概率的乘法原理是指对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件
样本空间中的样本点数量是有限的，且每个样本点都 是互斥的。
特点
01
02
03
04
等可能性
在古典概型中，每个样 本点被选中的概率是相 等的。
有限性
古典概型的样本空间是 有限的，即样本点的数 量是有限的。
互斥性
样本空间中的样本点是 互斥的，即一个样本点 被选中后，其他样本点 就不能再被选中。
独立性
在古典概型中，各次试 验的结果是相互独立的， 即前一次试验的结果不A|B)。
02
计算公式
$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$
03
应用场景
在决策理论、统计学、信息理论等领域中，条件概率都有广泛的应用。
贝叶斯定理
定义
贝叶斯定理是关于条件概率的定理，它提供了从事件B发生的条 件下计算事件A的条件概率的方法。
计算公式
$P(A|B) = frac{P(B|A) times P(A)}{P(B)}$
3
计算步骤
确定样本空间的大小，利用组合数公式计算概率。
公式法
定义
公式法是一种利用概率 的基本公式来计算概率 的方法。
适用范围
适用于样本空间较大， 且样本点之间有顺序的 情况。
概率论与数理统计
E: 球编号, 一次取出 m个球, 记下颜色.
(或 Ab )1) #S P (a ,b)( a
k # A Cm Pak Pbmk ,
m ab
m ab
#b S n C , (a 1)
m ab
k mk # A Ca Cb ,
—— 超几何分布—— 注: 不放回地逐次取 m 个球与一次取 m 个球所得结果相同.
解: A = “取到的数被 6 整除”， B = “取到的数被 8 整除”.
则
P ( A) 333 , 2000 P ( B) 250 , 2000 P( AB) 83 , 2000
所求为：P( A
B ) P ( A B) 1 P ( A B )
1 [ P( A) P( B) P( AB )] 1 ( 333 250 83 ) 3 . 4 2000 2000 2000
1
例1. 一个盒中装有10个大小形状完全相同的球. 依次将球
编号为1-10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球 . 1. 样本空间 S = { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 }?
2. 记 A = “摸到 2 号球”，则 P(A) = ?
A = { 2 },
P( A) # A 1 ; # S 10
5 1 9 4 6 7 2 3 10 8
3. 记 B = “摸到红色球”，则 P(B) = ? B = { 1 2 3 4 5 6 }, P( B) # B 6 . # S 10
第一章 概率论的基本概念
2
例2 (p.13 例6). 在 1~2000 的整数中随机地取一个数，求
该数既不能被 6 整除, 又不能被 8 整除的概率.
古典概型
（二）分布列 1．分布列：设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，ξ 取每一个值 xi（i=1，2，…）的概率为
P(
xi )
pi ，则称表为随机变量 ξ
的概率分布，简称 ξ
的分布列
新疆 王新敞
奎屯
ξ
x1
x2
…
8．两点分布列: 随机变量 X 的分布列是：
ξ
0
1
P 1 p
p
像上面这样的分布列称为两点分布列．
[全面解读] 古典概型这一模块内容分两个部分，一个是古典概型，一个是离散型随机变量的概率分布。古典概型的问题 基本是数个数，它本质是排列组合问题，分布列问题主要应掌握期望与方差的公式，对二项分布问题应重点关注。 [难度系数]★★☆☆☆
知识点分析：
（一） 古典概型
１．随机事件 A 的概率： 0 P( A) 1，其中当 P( A) 1时称为必然事件；当 P( A) 0 时称为不可能事件；
2．等可能事件的概率（古典概型）： P(A)= m 。理解这里 m、ｎ的意义。 n
3．互斥事件：A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。 4．对立事件：A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生。
6.方差的性质： Da b a2D ；
7．二项分布：在 一 次随机 试 验 中 ，某事 件 可能发 生 也 可能 不 发生 ，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的 次数 ξ 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件 恰好发生 k 次的概率是
等可能性事件与古典概型
等可能性事件与古典概型概率论是研究随机现象的一个数学分支，在纷繁的随机现象中，等可能性事件是一类相对比较简单的现象，因而在概率论发展初期就成为人们关注和研究的重点，许多最初的概率论结果也是根据它作出的，所以一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型，也叫等可能概型。
为叙述方便，先介绍两个基本概念：(1)基本事件：随机试验中每一个可能出现的结果；(2)样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合，即所有基本事件之和。
等可能概型具有以下两个特点：(1)该试验的样本空间只包含有限个元素，即试验的所有可能结果只有有限个；(2)每个可能结果（即基本事件）出现的可能性相等（等可能性），都为1/n。
若一个事件A包含有k个基本事件，则事件A发生的可能性就是这k个基本事件与所有可能结果的比值k/n，也可以理解为这k个基本事件发生的可能性之和，即。
例如，一个袋子里装有10个球，分别标上了数字1～10，现从中任意摸出一球，问摸到单号球的可能性是多大。
这就是一个典型的等可能性事件。
因为摸出一个球的所有可能结果只有有限个(10种可能性)，且摸到任意一球的可能性相等(都为1/10)，所以摸到单号球的可能性就是单数的个数与总共10个数的比值5/10，也可以用5个单数被摸出的可能性之和来计算，即1/10+1/10+1/10+1/10+1/10=5/10。
古典概型在概率论中占有相当重要的地位：一方面，由于它简单，对它的讨论有助于直观地理解概率论的许多基本概念；另一方面，古典概型概率值的计算在产品质量抽样检查等实际问题以及理论物理的研究中都有重要应用。
综合应用：铺一铺（第109～110页）教材说明密铺，也称为镶嵌，是生活中非常普遍的现象，它给我们带来了丰富的变化和美的享受。
教材在四年级下册就安排了密铺的内容，通过让学生观察用长方形、正方形、三角形密铺起来的图案，了解什么是密铺。
本册教材中，通过实践活动继续让学生认识一些可以密铺的平面图形，会用这些平面图形在方格纸上进行密铺，从而进一步理解密铺的特点，培养学生的空间观念。
第三节 等可能概型
第三节等可能概型一、古典概型二、几何概型1．试验的样本空间只含有有限个元素，即12{,,,}n Ωωωω= 2．试验中每个基本事件发生的可能性相同，即})({})({})({21n P P P ωωω=== 具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。
由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型．一、古典概型111()({}){}{}n ni i i i i P P P nP Ωωωω======∑∪1{}(1,2,,)i P i n n ω== 12{}{}{}ki i i A ωωω=∪∪ ∪1()({})j ki j k A P A P n ω====Ω∑包含的基本事件数中基本事件总数这里i 1,i 2, ···,i k 是1, 2,···,n 中某k 个不同的数，则有设实验E是古典概型，由于基本事件是两两互斥，因此从而若事件A 含有k 个基本事件，即这样就把求概率问题转化为计数问题.排列组合是计算古典概率的重要工具.基本计数原理这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的（1）加法原理设完成一件事有m 种方式，第一种方式有n 1种方法，第二种方式有n 2种方法,…；第m 种方式有n m 种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n 1 +n 2 +…+n m 种方法.1.两个基本计数原理例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+ 2种方法回答是基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.m n n n ××× 21（2）乘法原理设完成一件事有m 个步骤，第一个步骤有n 1种方法，第二个步骤有n 2种方法,…；第m 个步骤有n m 种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮3×2加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.排列•排列：!(1)(1)()!rnn P n n n r n r =−−+=− r n n n n⋅= •重复排列：特别地，当r = n ，全排列!n n P n =从n 个不同的数中任取r 个，排成一排，共有多少种排法？2.两个计数工具——排列和组合组合•组合：!!!()!r rnn P n C r r n r ==−1rn r C +−•重复组合：从n 个不同的数中任取r 个，共有多少种取法？推广：（分组问题） 把n个不同的元素分成k 组，各组元素数目分别为 r1, r2 , ···, rk , 且r1+ r2 +··· +rk=n，则不同的分法为：C ⋅Cr1 nr2 n − r1n! ⋅⋅⋅ C = r1 !r2 !⋅⋅⋅ rk !rk rk例3 将一枚硬币抛二次（ 1 ）设事件A1为“恰好有一次出现正面” , 求P( A1 ) （2）设事件A2为“至少有一次出现正面” , 求P( A2 )设随机试验E为 : 将一枚硬币抛两次, 观察正反 解（1） 则样本空间为Ω = { HH , HT , TH , TT } Ω 中包含n = 4个元素，每个基本事件发生的可能性相同,故此试验为等可能概型. 又A1 = {HT , TH }中包含的基本事件数k = 2 故P( A1 ) = 2 / 4 = 1/ 2（2） 因为 A2 = { TT } 1 H3 T T T H H P ( A2 ) = 1 − P ( A2 ) = 1 − = 于是 4 4HT例3：30名学生中有3名运动员,将这30名学生平均分成 3组,求：（1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。
第三节 等可能概型
知识点总结
1、概率的定义 2、古典概型的求法 （1）依次摸球问题：有放回、无放回 （乘法公式） （2）一次摸出多个球的问题（组合问题） （3）投球问题（只能是依次投，乘法问题）
作业p14
2 ，4
一架飞机随机地往树林内空投一只包裹。 求这包裹落
在空地上的概率。
S0 P S
几何概率
问题：谁有办法计算 右边图形的面积，假 设方框的面积为1
我们规定A的概率定义为
u ( A) P( A) u(S )
u S 为样本空间的度量。
u A
为构成A 的子区域的度量。
此为几何概率， 其满足概率的三个公理及性质。
性要求外，还受 n 为有限的限制。 空间的基本事件数为无限的几何概率。 例9 某十字路口自动交通信号的红、绿灯， 其周期 下面介绍一种样本
为60秒， 其中由南车恰遇红灯的概率。 直观可得 例10
15 P 0.25 60
一片面积为S 的树林中有一块面积为 S0 的空地。
C C
于是所求的概率为：
C C p C 此式即为超几何分布的概率公式。
k D
nk N D
种，
k D nk N D n N
例6.
把甲、乙、丙三位学生依次随机地分配到5间
宿舍中去。假定每间宿舍可住 4人，求下列事件的概率：
1、 2、
A:
这三位学生住不同宿舍。
B: 这三位学生中至少有两位住同一宿舍.
PB PA 1 P A 0.52
例题：投球问题 将n只球随机地放入N（N≥n)个盒子中，试求每个盒子中 至多有一只球的概率（盒子的容量不限） 将n只 球放入N个盒子中,每一种方法是一基本事件
A P N
第1.4节 古典概率模型
第1.4节 古典概率模型一、 古典概型（等可能概型）(Classical probability)1.定义：“概型”是指某种概率模型。
“古典概型”是一种最简单、最直观的概率模型。
如果做某个随机试验E 时，只有有限个事件n A A A ,,,21 可能发生，且事件n A A A ,,,21 满足下面三条：（1）n A A A ,,,21 发生的可能性相等（等可能性）；（2）在任意一次试验中n A A A ,,,21 至少有一个发生（完备性）；（3）在任意一次试验中n A A A ,,,21 至多有一个发生（互不相容性）。
具有上述特性的概型称为古典概型(Classical probability)或等可能概型。
n A A A ,,,21 称为基本事件(Basic events)。
2．计算公式：等可能概型中事件概率的计算：设在古典概型中，试验E 共有n 个基本事件，事件A 包含了m 个基本事件，则事件A 的概率为n m A P )(3．例题：Example 1 一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。
现从袋中随机地取出两个球，求取出的两球都是黑色球的概率。
Solution 从8个球中取出两个，不同的取法有28C 种。
若以A 表示事件{取出的两球是黑球}，那么使事件A 发生的取法为25C 种，从而=)(A P 25C /28C =5/14Example 2 在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率。
Solution 从100个产品中任意抽取5个产品，共有5100C 种抽取方法，事件A ={有1个次品，4个正品}的取法共有49713C C 种取法，故得事件A 的概率为=)(A P 138.0510049713≈C C CExample 3 将N 个球随机地放入n 个盒子中)(N n >，求：（１）每个盒子最多有一个球的概率；（２）某指定的盒子中恰有m （N m <）个球的概率。
等可能概型(古典概型)
解 (1) 设 H 为出现正面 , T 为出现反面 .
则 S = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}.
而 A 1 = { HTT , THT , TTH }. 得 P ( A 1 ) = 3 8 .
(2) A 2 = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT,TTH}.
p = 1−
365 × 364 ×
× ( 365 − n + 1) . n 365
我们利用软件包进行数值计算.
人 数 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 至 少 有 两 人 生 日 相 同 的 概 率 0 . 1 1 6 9 4 8 1 7 7 7 1 1 0 7 7 6 5 1 8 7 0 . 4 1 1 4 3 8 3 8 3 5 8 0 5 7 9 9 8 7 6 2 0 . 7 0 6 3 1 6 2 4 2 7 1 9 2 6 8 6 5 9 9 6 0 . 8 9 1 2 3 1 8 0 9 8 1 7 9 4 8 9 8 9 6 5 0 . 9 7 0 3 7 3 5 7 9 5 7 7 9 8 8 3 9 9 9 2 0 . 9 9 4 1 2 2 6 6 0 8 6 5 3 4 7 9 4 2 4 7 0 . 9 9 9 1 5 9 5 7 5 9 6 5 1 5 7 0 9 1 3 5 0 . 9 9 9 9 1 4 3 3 1 9 4 9 3 1 3 4 9 4 6 9 0 . 9 9 9 9 9 3 8 4 8 3 5 6 1 2 3 6 0 3 5 5 0 . 9 9 9 9 9 9 6 9 2 7 5 1 0 7 2 1 4 8 4 2 0 . 9 9 9 9 9 9 9 8 9 4 7 1 2 9 4 3 0 6 2 1 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 5 6 0 8 5 2 1 8 9 5 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 6 2 4 0 3 2 3 1 7 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 6 2 1 0 3 9 5 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 5 4 9 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0
§1.4 等可能概型
设 E: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放在一边，重复 m 次
n Amab (a b)(a b 1)(a b m 1)
记事件 A 为m个球中有k个白球，则
nA
Cmk Aak
Amk b
m! a! b!
k!(m k)! (a k)! (b m k)!
样本空间S共有6 6个基本事件。
若事件A发生，由于第一次有4只白球可供抽取， 第二次也有4只白球可供抽取，故有
P(A) 4 4 4 66 9
同理P(B) 2 2 1 66 9
由于AB ，故
P(A B) P(A) P(B) 5 9
P(C) P(B) 1 P(B) 8 9
(空,白,红),(空,红,白),(白,空,红),(白,红,空), (红,空,白),(红,白,空),(红白,空,空), (空, 空,红白),(空,红白,空).
因为两只球的放置是随机的,所以每一种放法 是等可能的,即每一个基本事件出现的可能性 相等,故每一个基本事件出现的机会都是1/9, 而事件A出现的可能结果为下面四种情况: (白,红, 空), (红,白, 空), (红白, 空, 空), (空,红白, 空). 即事件A包含九个基本事件中的四个基本事 件,故事件A出现的可能性为4/9,即P(A)=4/9.
A140
90
因为，从十个数字中不重复任取四个数的
取法总数为A140 . 而0在个位的四位数共有A93种取法， 而个位为2, 4, 6,8且首位不为0的数有4 8 A82种.
例12 从0，1，2，…，9等十个数字中任意 选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： （1）A1={三个数字中不含0和5}；（2） A2={三个数字中不含0或5}。
(完整版)高中概率八大定理
(完整版)高中概率八大定理高中概率八大定理是概率论中的重要内容，对于理解和应用概率有着重要的指导作用。
下面将介绍八大定理的基本概念和要点。
1. 古典概型定理古典概型定理适用于所有等可能事件的情况，即所有可能结果出现的概率相等。
根据古典概型定理，事件A发生的概率等于事件A包含的有利结果数与总可能结果数的比值。
2. 几何概型定理几何概型定理适用于图形位置方面的问题，通过用几何方法解决概率问题。
根据几何概型定理，事件A发生的概率等于事件A 所占据的面积与整个样本空间面积的比值。
3. 条件概率公式条件概率公式用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A 发生的概率。
条件概率公式的计算方法是将事件A与事件B同时发生的情况除以事件B发生的概率。
4. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件的概率，通过将该事件在不同条件下的发生概率相加得出结果。
全概率公式适用于多种情况同时存在且彼此互斥的情况。
5. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的推广，在已知事件B发生的条件下，计算事件A发生的概率。
贝叶斯公式可以通过全概率公式和条件概率公式的结合计算。
6. 独立事件定理独立事件定理用于计算两个或多个事件同时发生的概率。
当事件A和事件B是独立事件时，它们同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
7. 乘法定理乘法定理是独立事件定理的推广，用于计算多个事件同时发生的概率。
根据乘法定理，多个独立事件同时发生的概率等于各个事件发生概率的乘积。
8. 加法定理加法定理用于计算两个或多个事件至少有一个发生的概率。
根据加法定理，两个事件至少有一个发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率，减去事件A和事件B同时发生的概率。
以上是高中概率八大定理的基本内容和要点，理解和掌握这些定理对于概率论的研究和应用至关重要。
1-4古典概型
SC I ENCE
问：在多大程度上认为这样的结果
是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
解 七个字母的排列总数为7！
拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
22 4
概率.
解 同时掷两枚硬币有44个个等等可可能能 的结果，即样本
空间为
古典概型
={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)}
又事件A, B, C 分别包含 1个、2个和 1个样本点，
P( A)
1 4
;
P(B)
2 4
1 2
;
P(C )
1 4
.
抽样模型
例4 从有9件正品、3件次品的箱子中任取两次 每次取一件 ,试分别以:
箱中摸球
分球入箱
随机取数
分组分配
是常见的几种模型 . 课下可通过作业进一步掌握.
二、几何概率
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且
任意一点落在度量（长度, 面积, 体积）相同的 子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为
P( A) SA
S
（其中S是样本空间的度量，S
是构成事件A的子区
A
域的度量）这样借助于几何上的度量来合理规定
箱
人 任一天
旅客 车站
某城市每周发生7次车祸, 假设每天发生 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率.
车祸 天
211
月
波尔克和哈定
的生日
3月 菲尔莫尔和
8 塔夫脱的祭日
12月 杜鲁门和福
26 特
1-4等可能概型(古典概型)
= nP({ei})
P{ei
}
1, n
i 1,2,, n.
若事件 A 包含 k 个基本事件, 即 A = {e1,e2, …,ek },
则有 ：P( A)
k n
A包含的基本事件数 S中基本事件总数
.
—— 古典概型中事件概率的计算公式
例1 将一枚硬币抛掷3次. (1) 设事件 A1 为 “恰有一 次出现正面”, 求 P(A1); (2) 设事件 A2 为“至
把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概率论早 期发展中的重要地位, 又把它叫做古典概型.
设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性, 得
P({e1}) = P({e2}) = … = P({en}).
又由于基本事件两两互不相容; 所以
1 P{S} P({e1}) P({e2 }) P({en }),
(2) 选排列: 在无放回选取中, 从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列, 称为选排列,其总数为
4) 组合: Pnr n(n 1)(n r 1)
(1) 从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组, 不考虑其 顺序, 称为组合, 其总数为
C nr
n r
n(n 1)(n r!
r
1)
例4 设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件, 问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?
不放回抽样
解: 在 N
件产品中抽取 n 件, 取法有
C
n N
种,
又在 D 件次品中取 k
件,
所有可能的取法有
C
k D
种，
在 N D 件正品中取 n k 件, 所有可能的取法
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P( A) 4 4 4 66 9
P(B) 2 2 1 66 9
由于 AB = , 得 P(AB) = P(A) + P(B) = 5/9.
P(C) P(B) 8 9
练习: 计算不放回抽样的情形.
P( A) 4 3 2 P(B) 2 1 1
65 5
6 5 15
P(AB) = P(A) + P(B) = 7/15.
故
p
N
(N
1) [N Nn
(n
1)]
PNn Nn
.
思考: 指定的n 个盒子中各有一球的概率.
说明: 本例是一种重要的古典概率模型. 例如, 设每个人的生日在一年365天中的任一
天是等可能的, 即都等于 1/365, 则随机取 n( 365) 个人, 他们的生日各不相同的概率为
365 • 364 • • (365 n 1)
nk ND
种，
由乘法原理知：在 N 件产品中取 n 件，其中恰
有
k
件次品的取法共有
C C k nk D ND
种，
于是所求的概率为：p
C C k nk D ND
C
n N
此式即为超几何分布的概率公式.
例5 袋中有 a 只白球, b 只红球. k个人依次在袋中取
一只球, 求第 i (i=1,2,…,k) 人取到白球(记为事件 B )
P(C) P(B) 14 15
例3 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去, 求 每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）.
解: 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有
N N N N n 种放法,
而每个盒子中至多放一只球, 共有
N (N 1) [N (n 1)] PNn 种放法 ,
分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白 球的概率; (2) 取到的两只球颜色相同的概率; (3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
解: (a) 放回抽样情形. 以A, B, C 分别表示事件“取到的两只球都是白
球”, “取到的两只球都是红球”, “取到的两只球
中至少有一只是白球”.
则“取到两只颜色相同的球”为 A BC, B.
(2) 选排列: 在无放回选取中, 从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列, 称为选排列,其总数为
4) 组合: Pnr n(n 1) (n r 1)
(1) 从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组, 不考虑其 顺序, 称为组合, 其总数为
C nr
n r
n(n
1) (n r!
r
1)
例4 设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件, 问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?
不放回抽样
解: 在 N
件产品中抽取
n
件,
取法有
C
n N
种,
又在 D 件次品中取 k
件,
所有可能的取法有
C
k D
种，
在 N D 件正品中取 n k 件, 所有可能的取法
有
C
n! 元素不考虑顺序, 那么不同分法共有 n1! nk ! 种。
(3) 常用组合公式：
C
k n
C nk n
,
Ck n1
C
k n
C k1 n
,
k
n
C k nm
C
ni C
k m
i
,
C
i n
2n.
i0
i0
二、古典概型（等可能概型）
生活中有这样一类试验( E1, E4) , 它们的共同特点 是:
(1) 样本空间的元素只有有限个; (2) 每个基本事件发生的可能性相同.
一、排列组合公式
1) 加法原理: 完成某件事有两类方法, 第一类有n 种, 第二类有m 种, 则完成这件事共有 n+m 种方法。 2) 乘法原理: 完成某件事有两个步骤, 第一步有 n 种 方法, 第二步有m 种方法, 则完成这件事共有 nm 种 方法。 3) 排列: (1) 有重复排列: 在有放回选取中, 从n个不同元素中取 r个元素进行排列, 称为有重复排列, 其总数为 nr .
少
解: 有S一={次H出HH现,正HH面T”, H, 求THP,(ATH2).H, HTT, THT, TTH, TTT}.
A1 = {HTT, THT, TTH}, A2 {TTT }.
P(A1) = 3/8,
P(A2) = 7/8.
例2 一口袋装有6只球, 其中4只白球、2只红球, 从 袋中取球两次, 每次随机取一只. 考虑两种方式: (a) 第一次取一只球, 观察其颜色后放回, 搅匀后再取一 球. 此方式称为放回抽样. (b) 第一次取一球不放回 袋中, 第二次从剩余的球中再取一球. 此方式称为不 放回抽样.
= nP({ei})
P{ei
}
1 n
,
i 1,2, , n.
若事件 A 包含 k 个基本事件, 即 A = {e1,e2, …,ek },
则有Βιβλιοθήκη ：P( A)k n
A包含的基本事件数 S中基本事件总数
.
—— 古典概型中事件概率的计算公式
例1 将一枚硬币抛掷3次. (1) 设事件 A1 为 “恰有一 次出现正面”, 求 P(A1); (2) 设事件 A2 为“至
n! r!(n
r )!
说明: 如果把 n 个不同元素分成两组, 一组r个, 另一组
n r个, 组内元素不考虑顺序, 那么不同分法有
n! r!(n r)! 种。
(2) 多组组合：把 n 个不同元素分成 k 组 (1 k n) ,
使第 i 组有 ni 个元素, n1+n2+ … + nk = n 元, 若组内
365n
.
于是, n 个人中至少有两人生日相同的概率为
p
1
365
•
364
•
• (365 365n
n
1)
.
经计算可得下述结果：
n 20 23 30 40 50 64 100 p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
从上表可以看出： “在一个有64人的班级里, 至少有两人生日相同” 的概率为 99.7% .
的概率(k a + b).
解: 1) 放回抽样, 显然有 P(B) a .
把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概率论早 期发展中的重要地位, 又把它叫做古典概型.
设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性, 得 P({e1}) = P({e2}) = … = P({en}).
又由于基本事件两两互不相容; 所以
1 P{S} P({e1}) P({e2 }) P({en }),