等可能概型古典概型
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一、排列组合公式
1) 加法原理: 完成某件事有两类方法, 第一类有n 种, 第二类有m 种, 则完成这件事共有 n+m 种方法。 2) 乘法原理: 完成某件事有两个步骤, 第一步有 n 种 方法, 第二步有m 种方法, 则完成这件事共有 nm 种 方法。 3) 排列: (1) 有重复排列: 在有放回选取中, 从n个不同元素中取 r个元素进行排列, 称为有重复排列, 其总数为 nr .
nk ND
种，
由乘法原理知：在 N 件产品中取 n 件，其中恰
有
k
件次品的取法共有
C C k nk D ND
种，
于是所求的概率为：p
C C k nk D ND
C
n N
此式即为超几何分布的概率公式.
例5 袋中有 a 只白球, b 只红球. k个人依次在袋中取
一只球, 求第 i (i=1,2,…,k) 人取到白球(记为事件 B )
的概率(k a + b).
解: 1) 放回抽样, 显然有 P(B) a .
P( A) 4 4 4 66 9
P(B) 2 2 1 66 9
由于 AB = , 得 P(AB) = P(A) + P(B) = 5/9.
P(C) P(B) 8 9
练习: 计算不放回抽样的情形.
P( A) 4 3 2 P(B) 2 1 1
65 5
6 5 15
P(AB) = P(A) + P(B) = 7/15.
n! r!(n
r )!
说明: 如果把 n 个不同元素分成两组, 一组r个, 另一组
n r个, 组内元素不考虑顺序, 那么不同分法有
n! r!(n r)! 种。
(2) 多组组合：把 n 个不同元素分成 k 组 (1 k n) ,
使第 i 组有 ni 个元素, n1+n2+ … + nk = n 元, 若组内
= nP({ei})
P{ei
}
1 n
,
i 1,2, , n.
若事件 A 包含 k 个基本事件, 即 A = {e1,e2, …,ek },
则有
：P( A)
k n
A包含的基本事件数 S中基本事件总数
.
—— 古典概型中事件概率的计算公式
例1 将一枚硬币抛掷3次. (1) 设事件 A1 为 “恰有一 次出现正面”, 求 P(A1); (2) 设事件 A2 为“至
把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概率论早 期发展中的重要地位, 又把它叫做古典概型.
设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性, 得 P({e1}) = P({e2}) = … = P({en}).
又由于基本事件两两互不相容; 所以
1 P{S} P({e1}) P({e2 }) P({en }),
少
解: 有S一={次H出HH现,正HH面T”, H, 求THP,(ATH2).H, HTT, THT, TTH, TTT}.
A1 = {HTT, THT, TTH}, A2 {TTT }.
P(A1) = 3/8,
P(A2) = 7/8.
例2 一口袋装有6只球, 其中4只白球、2只红球, 从 袋中取球两次, 每次随机取一只. 考虑两种方式: (a) 第一次取一只球, 观察其颜色后放回, 搅匀后再取一 球. 此方式称为放回抽样. (b) 第一次取一球不放回 袋中, 第二次从剩余的球中再取一球. 此方式称为不 放回抽样.
365n
.
于是, n 个人中至少有两人生日相同的概率为
p
1
365
•
364
•
• (365 365n
n
1)
.
经计算可得下述结果：
n 20 23 30 40 50 64 100 p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
从上表可以看出： “在一个有64人的班级里, 至少有两人生日相同” 的概率为 99.7% .
故
p
N
(N
1) [N Nn
(n
1)]
PNn Nn
.
思考: 指定的n 个盒子中各有一球的概率.
说明: 本例是一种重要的古典概率模型. 例如, 设每个人的生日在一年365天中的任一
天是等可能的, 即都等于 1/365, 则随机取 n( 365) 个人, 他们的生日各不相同的概率为
365 • 364 • • (365 n 1)
(2) 选排列: 在无放回选取中, 从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列, 称为选排列,其总数为
4) 组合: Pnr n(n 1) (n r 1)
(1) 从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组, 不考虑其 顺序, 称为组合, 其总数为
C nr
n r
n(n
1) (n r!
r
1)
例4 设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件, 问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?
不放回抽样
解: 在 N
件产品中抽取
n
件,
取法有
C
n N
种,
又在 D 件次品中取 k
件,
所有可能的取法有
C
k D
种，
在 N D 件正品中取 n k 件, 所有可能的取法
有
C
P(C) P(B) 14 15
例3 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去, 求 每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）.
解: 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有
N N N N n 种放法,
而每个盒子中至多放一只球, 共有
N (N 1) [N (n 1)] PNn 种放法 ,
分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白 球的概率; (2) 取到的两只球颜色相同的概率; (3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
解: (a) 放回抽样情形. 以A, B, C 分别表示事件“取到的两只球都是白
球”, “取到的两只球都是红球”, “取到的两只球
中至少有一只是白球”.
则“取到两只颜色相同的球”为 A BC, B.
n! 元素不考虑顺序, 那么不同分法共有 n1! nk ! 种。
(3) 常用组合公式：
C
k n
C nk n
,
Ck n1
Cຫໍສະໝຸດ Baidu
k n
C k1 n
,
k
n
C k nm
C
ni C
k m
i
,
C
i n
2n.
i0
i0
二、古典概型（等可能概型）
生活中有这样一类试验( E1, E4) , 它们的共同特点 是:
(1) 样本空间的元素只有有限个; (2) 每个基本事件发生的可能性相同.
1) 加法原理: 完成某件事有两类方法, 第一类有n 种, 第二类有m 种, 则完成这件事共有 n+m 种方法。 2) 乘法原理: 完成某件事有两个步骤, 第一步有 n 种 方法, 第二步有m 种方法, 则完成这件事共有 nm 种 方法。 3) 排列: (1) 有重复排列: 在有放回选取中, 从n个不同元素中取 r个元素进行排列, 称为有重复排列, 其总数为 nr .
nk ND
种，
由乘法原理知：在 N 件产品中取 n 件，其中恰
有
k
件次品的取法共有
C C k nk D ND
种，
于是所求的概率为：p
C C k nk D ND
C
n N
此式即为超几何分布的概率公式.
例5 袋中有 a 只白球, b 只红球. k个人依次在袋中取
一只球, 求第 i (i=1,2,…,k) 人取到白球(记为事件 B )
的概率(k a + b).
解: 1) 放回抽样, 显然有 P(B) a .
P( A) 4 4 4 66 9
P(B) 2 2 1 66 9
由于 AB = , 得 P(AB) = P(A) + P(B) = 5/9.
P(C) P(B) 8 9
练习: 计算不放回抽样的情形.
P( A) 4 3 2 P(B) 2 1 1
65 5
6 5 15
P(AB) = P(A) + P(B) = 7/15.
n! r!(n
r )!
说明: 如果把 n 个不同元素分成两组, 一组r个, 另一组
n r个, 组内元素不考虑顺序, 那么不同分法有
n! r!(n r)! 种。
(2) 多组组合：把 n 个不同元素分成 k 组 (1 k n) ,
使第 i 组有 ni 个元素, n1+n2+ … + nk = n 元, 若组内
= nP({ei})
P{ei
}
1 n
,
i 1,2, , n.
若事件 A 包含 k 个基本事件, 即 A = {e1,e2, …,ek },
则有
：P( A)
k n
A包含的基本事件数 S中基本事件总数
.
—— 古典概型中事件概率的计算公式
例1 将一枚硬币抛掷3次. (1) 设事件 A1 为 “恰有一 次出现正面”, 求 P(A1); (2) 设事件 A2 为“至
把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概率论早 期发展中的重要地位, 又把它叫做古典概型.
设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性, 得 P({e1}) = P({e2}) = … = P({en}).
又由于基本事件两两互不相容; 所以
1 P{S} P({e1}) P({e2 }) P({en }),
少
解: 有S一={次H出HH现,正HH面T”, H, 求THP,(ATH2).H, HTT, THT, TTH, TTT}.
A1 = {HTT, THT, TTH}, A2 {TTT }.
P(A1) = 3/8,
P(A2) = 7/8.
例2 一口袋装有6只球, 其中4只白球、2只红球, 从 袋中取球两次, 每次随机取一只. 考虑两种方式: (a) 第一次取一只球, 观察其颜色后放回, 搅匀后再取一 球. 此方式称为放回抽样. (b) 第一次取一球不放回 袋中, 第二次从剩余的球中再取一球. 此方式称为不 放回抽样.
365n
.
于是, n 个人中至少有两人生日相同的概率为
p
1
365
•
364
•
• (365 365n
n
1)
.
经计算可得下述结果：
n 20 23 30 40 50 64 100 p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
从上表可以看出： “在一个有64人的班级里, 至少有两人生日相同” 的概率为 99.7% .
故
p
N
(N
1) [N Nn
(n
1)]
PNn Nn
.
思考: 指定的n 个盒子中各有一球的概率.
说明: 本例是一种重要的古典概率模型. 例如, 设每个人的生日在一年365天中的任一
天是等可能的, 即都等于 1/365, 则随机取 n( 365) 个人, 他们的生日各不相同的概率为
365 • 364 • • (365 n 1)
(2) 选排列: 在无放回选取中, 从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列, 称为选排列,其总数为
4) 组合: Pnr n(n 1) (n r 1)
(1) 从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组, 不考虑其 顺序, 称为组合, 其总数为
C nr
n r
n(n
1) (n r!
r
1)
例4 设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件, 问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?
不放回抽样
解: 在 N
件产品中抽取
n
件,
取法有
C
n N
种,
又在 D 件次品中取 k
件,
所有可能的取法有
C
k D
种，
在 N D 件正品中取 n k 件, 所有可能的取法
有
C
P(C) P(B) 14 15
例3 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去, 求 每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）.
解: 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有
N N N N n 种放法,
而每个盒子中至多放一只球, 共有
N (N 1) [N (n 1)] PNn 种放法 ,
分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白 球的概率; (2) 取到的两只球颜色相同的概率; (3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
解: (a) 放回抽样情形. 以A, B, C 分别表示事件“取到的两只球都是白
球”, “取到的两只球都是红球”, “取到的两只球
中至少有一只是白球”.
则“取到两只颜色相同的球”为 A BC, B.
n! 元素不考虑顺序, 那么不同分法共有 n1! nk ! 种。
(3) 常用组合公式：
C
k n
C nk n
,
Ck n1
Cຫໍສະໝຸດ Baidu
k n
C k1 n
,
k
n
C k nm
C
ni C
k m
i
,
C
i n
2n.
i0
i0
二、古典概型（等可能概型）
生活中有这样一类试验( E1, E4) , 它们的共同特点 是:
(1) 样本空间的元素只有有限个; (2) 每个基本事件发生的可能性相同.