复变函数课后习题答案(全) (2)

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习题一答案

1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）

1

32i

+（2）(1)(2)i i i --

（3）131i i i

--（4）821

4i i i -+-

132i

-

（（（2（（（2）1-+23

222(cos sin )233

i i e πππ=+=

（3）(sin cos )r i θθ+()2

[cos()sin()]22i

r i re

π

θππ

θθ=-+-=

（4）(cos sin )r i θ

θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=

（5）2

1cos sin 2sin

2sin cos 222

i i θ

θθ

θθ-+=+

..

..

3． 求下列各式的值： （1

）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++-

（3

）(1)(cos sin )

(1)(cos sin )

i i i θθθθ-+--（4）

23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-

（5

（6

解：（1

）5)i -5[2(cos()sin())]66

i ππ

=-+- （2）100

100(1)

(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-

（3

）(1)(cos sin )

(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--

（4）2

3

(cos5sin 5)(cos3sin 3)

i i ϕϕϕϕ+- （5

=

（6

=

4．

设12 ,z z i =

=-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1

2cos

sin

, 2[cos()sin()]4

466

z i z i π

π

ππ

=+=-+-，所以

12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212

i i ππππππ

=-+-=+，

5． 解下列方程： （1）5

()

1z i +=（2）440 (0)z a a +=>

解：（1

）z i +=由此

25

k i z i e

i π=-=-，(0,1,2,3,4)k =

（2

）z

==

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11

[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的

4

个根分别为：

), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z

x iy =+

z x y

≤≤+

证明：首先，显然有z x y =≤+；

（=（证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()n z ，

1n a z -+

++（4）若

1,a =则,b a ∀≠皆有

1a b

a ab

-=-

证明：根据已知条件，有1aa =，因此：

1

1()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---，证毕。

（5）若1, 1a b <<，则有

11a b

ab

-<-

..

..

证明：

222

()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，

2

2

2

1(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，

因为

1, 1a b <<，所以，

2

2

2

2

2

2

1(1)(1)0a b a b a b +--=--<，

因而2

2

1a b ab -<-，即

11a b

ab

-<-，结论得证。 7．设

1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，其中n 为正整数，a 为复数。

解：首先，由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+，

在上面两个不等式都取等号时

n z a +达到最大，为此，需要取n z 与a 同向且1n z =，即n

z 应为a 的单位化向量，由此，n

a z a

=

， 8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。 解：要使三点共线，那么用向量表示时，2

1z z -与31z z -应平行，因而二者应同向或反向，

即幅角应相差0或π的整数倍，再由复数的除法运算规则知21

31

z z Arg z z --应为0或π的整数

倍，至此得到：

123,,z z z 三个点共线的条件是

21

31

z z z z --为实数。 9．写出过121

2, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。

解：过两点的直线的实参数方程为：

121121()

()

x x t x x y y t y y =+-⎧⎨

=+-⎩， 因而，复参数方程为： 其中t 为实参数。

10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t 为实参数） （1）(1)z

i t =+（2）cos sin z a t ib t =+（3）i

z t t

=+