人教版八年级历史上册第17课中国工农红军长征 遵义会议召开的原因经过及意义素材课件共21张

? (0) ? ?
?
?? ???
1 2
? ? ?
,
并求 expAt
三、证明题
1. 若 ? (t), ? (t) 是 X ?? A(t) X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵 C ，使得 ? (t) ? ? (t)C .
2. 设 ? ( x) (? ? x0 , x ? ? ) 是积分方程
? y(x) ? y0 ?
? AX
满足初始条件 x(0) ? ? 的解.
8. 求方程 dy ? 2x ? 1? 3 y2 通过点 (1,0) 的第二次近似解. dx
9. 求 ( dy )3 ? 4xy dy ? 8 y2 ? 0 的通解
dx
dx
10.若
A?
?2 ??? 1
1? 4??
试求方程组 x?? Ax 的解? (t),
1 10
?
x?
x2
?
x3
?
3 2
x4
?
3 5
x5 ,
9. 求 ( dy )3 ? 4xy dy ? 8 y2 ? 0 的通解
dx
dx
x
?
? ??
dy dx
3
? ? ?
?
8
y2
4 y dy
解：方程可化为
dx
，
dy
令 dx
?
p
x?
则有
p3 ? 8y2
4 yp （*），
1
又由 p3 ? 4 y2 ? 0 得 p ? (4 y 2 )3 代入（*）得
y ? 4 x3 27 也是方程的解 .
10.若
6. 方程 xydx ? (2 x2 ? 3y 2 ? 20)dy ? 0 的只与 y 有关的积分因子为
.
7. 已知 X ?? A(t)X 的基解矩阵为 ? (t) 的，则 A(t) ?
.
8.
方程组
x
'
?
?2 ??0
0? 5??
x
的基解矩阵为
．
9.可用变换
将伯努利方程
化为线性方程.
10 . 是满足方程 y???? 2 y??? 5 y?? y ? 1 和初始条件
t
? ?
8. 求方程 dy ? 2x ? 1 ? 3 y2 通过点 (1,0) 的第二次近似解. dx
解: 令? 0 ( x) ? 0 ，于是
? ? 1(x) ?
y0 ?
x
[2x ? 1?
1
3?
2 0
(
x
)]dx
?
x2
?
x,
? ? 2 ( x) ?
y0 ?
x
[2x ? 1?
1
3?
2 1
(
x
)]dx
?
x [? 2 y(? ) ?? ]d? ,
x0
x0 , x ? [? , ? ]
的皮卡逐步逼近函数序列 {? n (x)}在 [? , ? ] 上一致收敛所得的解，而? ( x) 是这积分方程在 [? , ? ] 上的
连续解，试用逐步逼近法证明：在 [? , ? ] 上? ( x) ? ? (x) .
解: 设曲线方程为 可得如下初值问题:
, 切点为(x,y), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意
.
分离变量, 积分并整理后可得
.
代入初始条件可得
, 因此得所求曲线为
.
dy x ? y ? 1
2.求解方程 ?
.
有或
，积分后得 ，即
，所以
就
是原方程的通解，这里 为任意常数。
4.用比较系数法解方程.
一、填空题。
1.
方程
x3
d 2x dt 2
?1?
0是
常微分方程练习试卷
阶
（线性、非线性）微分方程.
2. 方程 x dy ? f (xy ) 经变换 _______ ，可以化为变量分离方程
.
y dx
3. 微分方程 d 3 y ? y2 ? x ? 0 满足条件 y(0) ? 1, y?(0) ? 2 的解有
个.
dx 3
4. 设 常 系 数 方 程 y??? ? y?? ? y ? ?ex 的 一 个 特 解 y* (x) ? e2x ? ex ? xex ， 则 此 方 程 的 系 数
??
，? ?
，? ?
.
5. 朗斯基行列式 W (t ) ? 0是函数组 x1(t), x2 (t),? , xn (t) 在 a ? x ? b 上线性相关的 条件.
2
令 y ? c( x)ex 为原方程的解， 即有 c?( x) ? e? x sin x , 所以 y ? ce x ? 1 (sin x ? cos x) 为原方程的通解.
2
解：特征方程为 det( A ? ? E) ? ? 3 ? ?
1 ? (? ? 2)(? ? 5) ? 0,
2 ?4? ?
的唯一解.
5．求方程 y?? y ? sin x 的通解.
6．验证微分方程 (cos x sin x ? xy2 )dx ? y(1? x2 )dy ? 0 是恰当方程，并求出它的通解.
7．设
A?
?? 3 ?? 2
1? ? 4??
，
?
?
?1 ? ??? 1??
，试求方程组 dX dt
?
A X 的一个基解基解矩阵 ? (t ) ，求 dX dt
.
解：特征方程为
, 特征根为
.
对应齐方程的通解为
.
设原方程的特解有形如 代如原方程可得
利用对应系数相等可得
,故
.
原方程的通解可以表示为(
是任意常数)
.
5.求方程 y?? y ? sin x 的通解.
解：先解 y?? y 得通解为 y ? cex , 代入得 c?( x)ex ? c( x)ex ? c( x)ex ? sin x , 积分得 c( x) ? ? 1 e? x (sin x ? cos x) ? c ,
答案 一.填空题。
1. 二，非线性
2.u ? xy ，
1
1
du ? dx
u( f (u) ? 1) x
3.无穷多 4.? ? ? 3, ? ? 2,? ? ? 1
5.必要
6. y3
7. ? ?(t)? ?1 (t)
8.
e At
?
?e2t ? ?0
0?
e
5t
? ?
9.
10.
11.
12. 1,
二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.
，又因为 ?
?1 (0)
?
1 ?2 3 ??1
1? ?1??
，
于是，所求的解为 ? (t) ?
?
(t)?
?1 (0)?
?
1 ?e? 2t 3 ??e? 2t
e? 5t ? ?2
?
2e
?5
t
? ?
??1
1??1? ? 1?? ???1??
?
1 3
?e? 2t ??e? 2t
? ?
2e?5t ?
4e
?5
求得特征值 ?1 ? ? 2, ?2 ? ? 5 ,对应 ?1 ? ? 2, ?2 ? ? 5 的特征向量分别为
Hale Waihona Puke Baidu
?1?
?1 ?
V1 ? ? ??1?? ,V2 ? ? ??? 2??, (? , ? ? 0).
可得一个基解矩阵 ?
(t)
?
?e? 2t ??e? 2t
e? 5t ?
?
2e?
5t
? ?
.