2017步步高大一轮复习讲义数学29资料

1．几类函数模型及其增长差异

(1)几类函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)

反比例函数模型f(x)＝k

x＋b (k，b为常数且k≠0)

二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n＋b (a，b为常数，a≠0)

函数

性质

y＝a(a>1)x y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0)

在(0，＋∞)

上的增减

性

单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

图象的变

化随x的增大逐渐表现为

与y轴平行

随x的增大逐渐表

现为与x轴平行

随n值变化而各

有不同

值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x

2.

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相

应的数学模型；

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

以上过程用框图表示如下：

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(√)

(2)幂函数增长比直线增长更快．(×)

(3)不存在x0，使ax0

(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度．(√)

(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×)

(6)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(√)

1．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：

x 0.500.99 2.01 3.98

y －0.990.010.98 2.00

则对x，y

A．y＝2x B．y＝x2－1

C．y＝2x－2 D．y＝log2x

答案 D

解析根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.

2.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图

象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()

答案 D

解析 由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动，最后匀速回家．故选D.

3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q 2

B.(p ＋1)(q ＋1)－12

C.pq

D.(p ＋1)(q ＋1)－1

答案 D

解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝

(1＋p )(1＋q )－1.

4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )

A ．3

B ．4

C ．6

D ．12 答案 A

解析 设隔墙的长度为x (0

2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋

18，∴当x ＝3时，y 最大．

5．(2015·四川)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx

＋b

(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，

在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是 小时． 答案 24

解析 由题意得⎩

⎪⎨⎪⎧

e b

＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝1

2

，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b

＝⎝⎛⎭⎫123·e b ＝1

8

×192＝24.

题型一用函数图象刻画变化过程

例1(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()

(2)(2015·日照模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()

答案(1)D(2)B

解析(1)y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.

(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.

思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()