数据结构课程设计报告(最小生成树完整版)

武 夷 学 院

课程设计报告

课程名称： 数据结构 设计题目： 最小生成树的应用 学生班级： 09计科2班

学生姓名： 蒋家权，陈相财，吴继伟，梁丽春 指导教师： 林丽惠 完成日期：

2011-1-19

课程设计项目研究报告

目录

一、问题分析和任务定义....................................................................................... - 1 -

二、实现本程序需要解决的问题如下................................................................... - 1 -

三、测试数据........................................................................................................... - 2 -

四、算法思想........................................................................................................... - 3 -

五、模块划分........................................................................................................... - 4 -

六、算法设计与分析............................................................................................... - 7 -

七、源程序............................................................................................................. - 11 -

八、测试数据......................................................................................................... - 14 -

九、课程设计项目进度表及任务分配表及任务分配表..................................... - 16 -

十、设计心得......................................................................................................... - 17 -十、参考书目......................................................................................................... - 18 -

一、问题分析和任务定义

在n个城市间建立通信网络，需架设n-1条线路。求解如何以最低经济代价建设此通信网，这是一个最小生成树问题。要求：（1）利用普利姆算法求网的最小生成树；（2）输出生成树中各边及权值。

二、实现本程序需要解决的问题如下

(1)、如何选择存储结构去建立一个带权网络。

(2)、如何在所选存储结构下输出这个带权网络。

(3)、如何实现PRIM算法的功能。

(4)、如何从每个顶点开始找到所有的最小生成树的顶点。

(5)、如何输出最小生成树的边及其权值。

此问题的关键在于如何实现PRIM算法，实现的过程中如何得到构成最小生成树的所有顶点，此外输出也是一个关键问题所在，在此过程中经过了多次调试。首先我们对问题进行大致的概要分析：

这个问题主要牵涉到通过PRIM的基本算法思想实现程序所要求的功能，该算法的主要思想是：假设N=（V，{E}）是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0}( u0∈V),TE={}开始，重复执行下述操作：在所有u∈U,v∈V-U的边（u,v）∈E中找一条代价最小的边（u0,v0）并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则T=（V，{E}）为N的最小生成树。

问题的输入数据的格式为：首先提示输入带权网络的顶点边数，我定义的为整形数据型，然后输入每一条边的信息，即边的两个顶点以及权值，是十进制整数类型，这样我们就建立一个带权网络，并用邻接矩阵来存储，生成一个方阵显示出来。

问题的输出数据格式为：输出是以邻接矩阵存储结构下的方阵，以及从不同顶点开始省城的最小生成树。

题目要求以及达到目标：题目要求用普利姆算法实现任意给定的网和顶点的所有最小生成树，并且输出各边的权值。

三、测试数据

第一组

顶点数（vertices）、边数（edge）：2、1

起始节点（starting）、下个节点（terminal）、权值（weights）：1、2、5 ，预测结果<1,2>5

第二组

顶点数（vertices）、边数（edge）：3、3

起始节点（starting）、下个节点（terminal）、权值（weights）：1、2、4

1、3、5

2、3、6

预测结果<1,2>4、<1,3>5

第三组

顶点数（vertices）、边数（edge）：4、5 ，

起始节点（starting）、下个节点（terminal）、权值（weights）：1、2、3

1、3、4

1、4、6

2、4、7

3、4、5

预测结果<1,2>3、<1,3>4、<1,4>6

四、算法思想

Prim算法求最小生成树的主要思想

此算法是普利姆与1957年提出的一种构造最小生成树的算法，主要思想是：假设N=（V，{E}）是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0}( u0∈V),TE={}开始，重复执行下述操作：在所有u∈U,v∈V-U的边（u,v）∈E中找一条代价最小的边（u0,v0）并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则T=（V，{E}）为N的最小生成树。

对于最小生成树问题

最小生成树是指在所有生成树中，边上权值之和最小的生成树，另外最小生成树也可能是多个，他们之间的权值之和相等。

五、模块划分

（1）预处理

#include

#include

#define inf 9999

#define max 40

#define linelenght 77

（2）普里姆算法

void prim(int g[][max],int n) /* prim的函数*/

{

int lowcost[max],closest[max];

int i,j,k,min;

for(i=2;i<=n;i++) /* n个顶点，n-1条边*/ { lowcost[i]=g[1][i]; /* 初始化*/

closest[i]=1; /* 顶点未加入到最小生成树中*/

}

lowcost[1]=0; /* 标志顶点1加入U集合*/ for(i=2;i<=n;i++) /* 形成n-1条边的生成树*/ {

min=inf;

k=0;

for(j=2;j<=n;j++) /* 寻找满足边的一个顶点在U,另一个顶点在V的最小边*/

if((lowcost[j]

{

min=lowcost[j];

k=j;

}

printf("(%d,%d)%d\t",closest[k],k,min);

lowcost[k]=0; /* 顶点k加入U */

for(j=2;j<=n;j++) /* 修改由顶点k到其他顶点边的权值*/

if(g[k][j]

{

lowcost[j]=g[k][j];

closest[j]=k;

}

printf("\n");

}

}

（3）输出分割线

int priline(int h) /* 输出一条分割线*/

{

int g;

printf("\n|");

for(g=0;g

printf("*");

printf("|\n");

}

（4）提示错误信息

int error() /* 提示错误信息*/

{

printf("\n\n|************************E*R*R*O*R************************|\ n");

printf("Input errors or Data overflow!!! please re-enter\n\n");

fflush(stdin); /* 清除缓存*/

}

（5）建立无向图

int adjg(int g[][max]) /* 建立无向图*/

{

int n,e,i,j,k,v1=0,v2=0,weight=0;

printf("Input the number of vertices, number of the edge:");

scanf("%d,%d",&n,&e);

while(e<=0||e>=n*(n-1)||n>=max)

{

error();

printf("Input the number of vertices, number of the edge:");

scanf("%d,%d",&n,&e);

}

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

g[i][j]=inf; /* 初始化矩阵，全部元素设为无穷大*/

for(k=1;k<=e;k++)

{

printf("Input the %d on the edge of the starting point, terminal, weights:",k);

scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&weight);

while(v1==v2||v1>n||v2>n||v1<1||v2<1)

{

error();

printf("Input the %d on the edge of the starting point, terminal,

weights:",k);

scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&weight);

}

g[v1][v2]=weight;

g[v2][v1]=weight;

}

return(n);

} /* 返回节点个数n */

（6）输出无向图的邻接矩阵

void pri(int g[][max],int n) /* 输出无向图的邻接矩阵*/ {

int i,j;

for(i=0;i<=n;i++)

printf("%d\t",i);

for(i=1;i<=n;i++)

{

printf("\n%d\t",i);

for(j=1;j<=n;j++) /* 输出边的权值*/

{

if(g[i][j]==inf) printf("%c\t",'\354');

else printf("%d\t",g[i][j]);

}

}

printf("\n");

}

（7）主函数模块

void main() /* 主函数*/

{

int g[max][max],n;priline(linelenght);

n=adjg(g);priline(linelenght);priline(linelenght);

printf("Input the adjacency matrix without directed graph:\n");

pri(g,n);

printf("\n");

printf("Minimum spanning tree structure:\n");

prim(g,n);

getch();

}

六、算法设计与分析

（1）关于带权网络的存储形式

要实现对于任意给定带权网络和顶点，运用PRIM基本算法思想求解所有的最小生成树的运算。在这里我们首先要明确所选用的数据结构，即选用何种数据结构存储来存储带权网络，这是必选首先解决的问题，所以我们选择了图的邻接矩阵存储方式来存储带权网络，建图时采用邻接矩阵的结构，定义邻接矩阵用到了一维数组和二维数组，分别存储顶点信息和边的权值。由于该算法对图中的边的权值频繁比较，所以采用邻接矩阵比较方便，并在此基础上实现带权网络的建立以及输出显示。

（2）关于普利姆算法的基本思想

Prim算法求最小生成树的主要思想

此算法是普利姆与1957年提出的一种构造最小生成树的算法，主要思想是：假设N=（V，{E}）是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0}( u0∈V),TE={}开始，重复执行下述操作：在所有u∈U,v∈V-U的边（u,v）∈E中找一条代价最小的边（u0,v0）并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则T=（V，{E}）为N的最小生成树。

对于最小生成树问题

最小生成树是指在所有生成树中，边上权值之和最小的生成树，另外最小生成树也可能是多个，他们之间的权值之和相等。

（3）概要设计

通过邻接矩阵的建立，可以将任意两点的权值存入其中，便于进行各边的权值的比较修改，在普利姆算法中，为实现这个算法需附设一个辅助数组closedge，以记录从U到V-U具有最小代价的边，对每个顶点vi∈V-U,在辅助数组中存在一个相应分量closedge[i-1]，他包括两个域，其中lowcost存储该边上的权值。显然，

closedge[i-1].lowcost=Min{cost(u,vi)| u∈U}

从算法可以看出每加入一个顶点到U中，closedge数组都会发生相应的变化。

程序模块之间的调用：在主函数中调用邻接矩阵的初始化函数，邻接矩阵的生成函数，PRIM算法的函数，图的构造函数，输出函数。邻接矩阵的生成函数主要解决的是边的信息存储问题，而PRIM算法的函数是解决计算出最小生成树的功能。

详细设计和编码

首先我在接下来给出总的流程：

结果分析：

本课程设计的要求

对于任意给定的网和起点，用PRIM算法的基本思想求解出所有的最小生成树并输出这些边的权值，所以如何实现输出显示所有的最小生成树关键问题所在，经过分析调试，用一个for语句就可以解决这个问题，从每个顶点出发，开始每一次遍历并输出显示出来。

算法的时间和空间性能分析

根据程序中算法的循环语句可以判断出普利姆算法的时间复杂度为O（n2）算法和图中的边数无关。因此普利姆算法适合求稠密网的最小生成树，因为在算法中用邻接矩阵的存储结构，在无向图中，邻接矩阵是对称的。所以仅需要存储上三角或下三角的元素，因此需要n(n+1)的存储空间。

测试结果

界面的截图

输入的情况的截图

输出结果的截图

输入错误的截图

七、源程序

源程序代码（有注释详解）

#include

#include

#define inf 9999

#define max 40

#define linelenght 77

void prim(int g[][max],int n) /* prim的函数*/

{

int lowcost[max],closest[max];

int i,j,k,min;

for(i=2;i<=n;i++) /* n个顶点，n-1条边*/ { lowcost[i]=g[1][i]; /* 初始化*/

closest[i]=1; /* 顶点未加入到最小生成树中*/

}

lowcost[1]=0; /* 标志顶点1加入U集合*/ for(i=2;i<=n;i++) /* 形成n-1条边的生成树*/ {

min=inf;

k=0;

for(j=2;j<=n;j++) /* 寻找满足边的一个顶点在U,另一个顶点在V的最小边*/

if((lowcost[j]

{

min=lowcost[j];

k=j;

}

printf("(%d,%d)%d\t",closest[k],k,min);

lowcost[k]=0; /* 顶点k加入U */

for(j=2;j<=n;j++) /* 修改由顶点k到其他顶点边的权值*/

if(g[k][j]

{

lowcost[j]=g[k][j];

closest[j]=k;

}

printf("\n");

}

}

int priline(int h) /* 输出一条分割线*/

{

int g;

printf("\n|");

for(g=0;g

printf("*");

printf("|\n");

}

int error() /* 提示错误信息*/

{

printf("\n\n|************************E*R*R*O*R************************|\ n");

printf("Input errors or Data overflow!!! please re-enter\n\n");

fflush(stdin); /* 清除缓存*/

}

int adjg(int g[][max]) /* 建立无向图*/

{

int n,e,i,j,k,v1=0,v2=0,weight=0;

printf("Input the number of vertices, number of the edge:");

scanf("%d,%d",&n,&e);

while(e<=0||e>=n*(n-1)||n>=max)

{

error();

printf("Input the number of vertices, number of the edge:");

scanf("%d,%d",&n,&e);

}

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

g[i][j]=inf; /* 初始化矩阵，全部元素设为无穷大*/

for(k=1;k<=e;k++)

{

printf("Input the %d on the edge of the starting point, terminal, weights:",k);

scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&weight);

while(v1==v2||v1>n||v2>n||v1<1||v2<1)

{

error();

printf("Input the %d on the edge of the starting point, terminal, weights:",k);

scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&weight);

}

g[v1][v2]=weight;

g[v2][v1]=weight;

}

return(n);

} /* 返回节点个数n */

void pri(int g[][max],int n) /* 输出无向图的邻接矩阵*/

{

int i,j;

for(i=0;i<=n;i++)

printf("%d\t",i);

for(i=1;i<=n;i++)

{

printf("\n%d\t",i);

for(j=1;j<=n;j++) /* 输出边的权值*/

{

if(g[i][j]==inf) printf("%c\t",'\354');

else printf("%d\t",g[i][j]);

}

}

printf("\n");

}

void main() /* 主函数*/

{

int g[max][max],n;priline(linelenght);

n=adjg(g);priline(linelenght);priline(linelenght);

printf("Input the adjacency matrix without directed graph:\n");

pri(g,n);

printf("\n");

printf("Minimum spanning tree structure:\n");

prim(g,n);

getch();

}

八、测试数据

第一组

第二组

第三组

九、课程设计项目进度表及任务分配表及任务分配表

十、设计心得

我们设计的题目是最小生成树的构造，在这次实践中遇到了各种问题，碰到问题有时总是百思不得其解

最开始，程序要求输入数值时，如果任意没有按照程序给定的类型输入，程序就会出现死循环，虽然加入了检测程序段，但是当我们不按个数输入的时候程序也出现了不稳定，又进入死循环了。我们想了很多办法，其中之一就是加入break这个函数。

不过，并没有出项我们想要的结果，导致循环检测输入的函数while无法继续执行，中途就中断了。有点大失所望，但是我们没有气馁。记得以前老是又用过清空缓存这个函数，会不会失这个原因呢？

int error() /* 提示错误信息 */

{

printf("\n\n|************************E*R*R*O*R*********************** *|\n");

printf("Input errors or Data overflow!!! please re-enter\n\n"); fflush(stdin); /* 清除缓存 */

}

经过我们反复测试，最终确定原因，正是出在这里，导致数据无法更新。

最小生成树主要由PRIM算法完成，由于老师平时课上对普利姆算法的知识的透彻讲解，通过整体构思，，于是，我们先确立了基本步骤：1.建立一个具有n个定点的无向图 2.接着创建一个邻接矩阵来存储该图，然后初始化该矩阵，最后根据普利姆算法，得到了最小生成树以及各边的权值；好的开头是成功的一半，按照这个步骤，我们忙碌了3天，在大家的共同努力下，我们总算将此程序设计出来。尽管不是自己独立完成，但仍然很欣慰，因为在设计的过程中，让我们了解到要设计一个大型程序，查找资料是至关重要的，在他人的基础上，再根据自己所学进行修改与调试，最后设计出自己想要的程序，这过程艰辛，但只要你持之以恒，定可将问题解决。通过本次实验巩固了课本的基本知识，熟练运用课程知识。提高我们组织数据及编写程序的能力，使我们能够根据问题要求和数据对象的特性，学会数据组织的方法，把现实世界中的问题在计算机内部表示出来并用软件解决问题，本次实验大大提高了对编程的爱好，发现，只要认认真真的去思考，没有办不到的事情，程序设计过程有

十、参考书目

参考目录书

(1)王昆仑，李红。数据结果算法：c语言版。中国铁道出版社，2007

(2)严蔚敏，吴伟明。数据结构：c语言版。清华大学出版社，2002

(3)徐孝凯，数据结构实用教程，清华大学出版社。2004

(4)耿国华，数据结构，c语言描述，西安电子科技大学出版社。2004