《直线与平面所成的角》教学设计
直线与平面所成的角教案
直线与平面所成的角教案教学目标：1.理解直线与平面所成角的概念。
2.学会通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
3.能够应用直线与平面所成角的性质解决相关问题。
教学重点：教学难点：通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
教学准备：投影仪、PPT等教具。
教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾直线与直线所成角的概念及性质。
2.提问：直线与平面之间有什么关系？学生回答。
3.引导学生思考，直线与平面所成角有什么特点？学生讨论。
Step 2：定义及性质1.展示PPT，介绍直线与平面所成角的定义：在平面内，以一条线段与平面的法线为边，从线段的其中一端点起，可以画出一个角，称为直线与平面所成角。
2.介绍直线与平面所成角的性质：a.直线与平面所成角的大小只取决于直线与平面的夹角，与直线的长度无关。
b.直线与平面所成的角等于这条直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
c.直线与平面所成角的度数范围是0°~180°。
Step 3：例题讲解1.案例一：已知一条直线与一个平面的夹角为60°，求直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，所求的角度为60°。
2.案例二：一根竖直的路灯杆上蜘蛛丝斜依在路灯杆上，它与平地成45°的角，它离地面高度为5米，求蜘蛛丝的长度。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，设蜘蛛丝的长度为x米，根据三角函数的定义，我们有tan 45°=5/x，解方程得x=5米。
Step 4：让学生自主探究1.将学生分成小组，每个小组选择一个与我们日常生活密切相关的例子，让学生尝试计算直线与平面所成角的大小，并讲解解题思路和方法。
Step 5：归纳总结1.学生回答问题：直线与平面所成角的度数范围是多少？直线与平面所成角的大小只与直线与平面的夹角有关吗？2.引导学生归纳总结直线与平面所成角的定义及性质。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。
教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。
教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。
教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。
2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。
3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。
三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。
2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
3. 分析实例：墙角的直角。
4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。
2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。
教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。
结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。
六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。
--高中数学必修2--直线与平面所成的角学案
直线与平面所成的角授课类型：新授课授课时间：第周年月日（星期）一、教学目标1、知识与技能：理解并掌握直线与平面所成的角的定义，熟记直线与平面所成角的范围，会求直线与平面所成的角。
2、过程与方法：借助正方体、长方体这一主要载体，以师为主导，引导学生主动参与，探究异面直线所成角的概念形成过程，以及角的求解及其所蕴含的转化思想与化归方法。
3、情感态度与价值观：（1）培养学生不断探索发现新知识的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
（2）培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想。
二、教学重点：直线与平面所成的角的定义、范围与计算。
难点：角的寻找（垂线）。
三、教学过程（一）创设情景，引入新课复习：平面的垂线：垂直于平面的直线。
平面的斜线：与平面相交但不垂直的直线。
射影：过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
三垂线定理及其逆定理的证明：线面垂直法。
问题：如图，E为长方体ABCD—A1B1C1D1的边AB上任意一点，直线AA1，A1E，A1B中哪些与底面ABCD垂直？从位置关系来看，同为直线，但它们的相对位置是不同的，如何刻画直线与平面的位置关系？模型演示：笔与桌面的位置关系。
AC1E（二）研探新知1、直线与平面所成角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
注：l ⊥α时，所成角为90°；l // α时，所成角为0°。
范围：]2,0[πθ∈。
课堂练习：两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？2、应用举例：例1：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： （1）直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角； （2）直线DB 1与平面ABCD 所成角的正弦值。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案一、教学目标1. 让学生掌握向量法求直线与平面所成的角的基本概念和原理。
2. 培养学生运用向量法解决直线与平面所成角的能力。
3. 提高学生对空间几何向量知识的运用和解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与平面所成的角的定义。
2. 向量法求直线与平面所成的角的原理。
3. 向量法求直线与平面所成的角的步骤。
4. 实例分析：求直线与平面所成的角。
三、教学重点与难点1. 教学重点：直线与平面所成的角的定义，向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。
2. 教学难点：向量法求直线与平面所成的角的步骤和实例分析。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。
2. 采用案例分析法，分析实例，让学生更好地理解向量法求直线与平面所成的角的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生提问、讨论，提高学生对知识点的理解和运用能力。
五、教学准备1. 教学课件：制作相关的教学课件，包括直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤等内容。
2. 实例：准备一些直线与平面所成的角的实例，用于讲解和分析。
3. 教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，以便进行板书和讲解。
六、教学过程1. 导入：通过复习前期学习的直线与平面基础知识，引导学生进入本节课的主题——用向量法求直线与平面所成的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的定义，解释其意义。
3. 讲解向量法求直线与平面所成的角的原理，阐述其适用范围和优势。
4. 讲解向量法求直线与平面所成的角的步骤，通过板书和课件演示每个步骤的操作。
5. 分析实例，引导学生运用向量法求直线与平面所成的角，解答过程中注意引导学生思考和讨论。
七、课堂练习1. 布置一些直线与平面所成的角的练习题，让学生运用向量法求解。
2. 引导学生独立思考和解决问题，及时给予指导和解答疑问。
3. 强调练习过程中需要注意的问题和方法，提醒学生巩固知识点。
中职数学(高教版)教案：直线与平面所成的角
中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 4.3.3 直线与平面所成的角教学目标1.知道直线在平面内的射影的定义，会找出直线在平面内的射影；2.知道直线与平面所成角的定义，会找出直线与平面所成的角，会解决直线与平面所成角的简单问题.重点直线与平面所成的角难点直线与平面所成角的求法教法数形结合，讲练结合，教学设备多媒体教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境导入我国是拥有斜拉索桥最多的国家.斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型，依靠若干斜拉将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩.斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容.如图所示，斜拉索AC所在的直线与桥面所在的平面口相交，但是它们并不垂直.不同斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的,如何描述这种不同呢？教学内容二、探索新知1.直线在平面内的射影如果直线与平面相交但不垂直,就称直线是平面的斜线.斜线与平面的交点称为斜足,经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线,连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影.如图所示，直线m是平面α的斜线，点P为斜足，A∈m且AB⊥α,垂足为B,则BP是斜线m在平面α内的射影.显然, 直线AP与射影BP所成的角θ反映了斜线相对于平面的倾斜程度.2.直线与平面所成的角一般地,平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角,称为这条斜线与这个平面所成的角.规定:当直线在平面内或直线与平面平行时,它与平面所成的角是0;当直线与平面垂直时,它与平面所成的角为2π于是,直线与平面所成的角的范围为02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.三、例题巩固例7如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.(1)找出BC1在底面ABCD上的射影；(2)求BC1与底面ABCD所成角的大小；(3)求BD1与底面ABCD所成角的正切值.解(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都是正方形，所以CC1⊥DC，CC1⊥BC，且DC∩BC=C，从而，CC1⊥平面ABCD且垂足为C.又BC1∩平面ABCD=B，故BC是BC1在平面ABCD上的射影.教学内容(2)由(1)知，BC1与底面ABCD所成的角是∠C1BC.因为BC1是正方形BCC1B1的对角线，所以∠C1BC=4π.于是，BC1与底面ABCD所成角为4π. (3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为DD1⊥AD，DD1⊥DC，且AD∩DC=D，所以DD1⊥底面ABCD，从而BD是BD1在平面ABCD上的射影，且DD1⊥BD.因为DD1=a，BD=2a，所以tan D1BD=122DDBD=，即BD1与底面ABCD所成角的正切值是22.例8 中国于2015年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标. 如图所示，为防止电杆倾斜.工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳.受周围环境影响，牵拉绳接地点A到电杆与地面的交点C的距离是 2.5m.若牵拉绳与水平地面所成的角为 60°.求牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离.解由题意可知电杆与地面是垂直的，所以BC⊥AC，且AC是AB在地面上的射影，于是∠BAC= 60°.在RtΔABC中，因为AC=2.5m，所以BC=AC tan ∠BAC=2.5tan60°=332255=(m)⨯.因此，牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离是325m .。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。
2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。
教学重点：1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。
2. 测量直线与平面所成角的方法。
教学难点：1. 理解直线与平面所成角的定义，能够正确判断直线与平面所成的角。
2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
教学准备：1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：回顾直线与平面的位置关系，思考直线与平面可以形成哪些角。
2. 提问：什么是直线与平面所成的角？它具有哪些几何特征？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所形成的角。
2. 讲解直线与平面所成角的几何特征：它是直线与平面相交的特殊角，具有大小和方向。
3. 讲解测量直线与平面所成角的方法：使用三角板和量角器。
三、实例演示（5分钟）1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
2. 让学生分组进行实践，测量不同直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 布置练习题：测量给定直线与平面所成的角。
2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容：直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
2. 布置作业：巩固测量直线与平面所成角的方法，解决一些简单的问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
在实践环节，学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角，解决了实际问题。
但在教学过程中，要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义，避免混淆。
可以增加一些拓展练习，提高学生的应用能力。
六、直线与平面所成角的计算教学目标：1. 理解直线与平面所成角的计算方法。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案教案：用向量法求直线与平面所成的角一、教学目标1.知识目标：了解用向量法求直线与平面所成角的基本原理和方法。
2.技能目标：能够运用向量法求解直线与平面所成角的问题。
3.情感目标：培养学生思维的灵活性和创造性，激发学生对数学的兴趣。
二、教学内容1.概念讲解：直线与平面的基本概念和相互关系。
2.原理讲解：用向量法求解直线与平面的夹角的基本原理和方法。
3.实例分析：通过实例分析，引导学生掌握运用向量法求解直线与平面所成角的技巧。
4.练习与检测：组织学生进行练习和检测，巩固所学知识。
三、教学过程1.导入：通过引入直线与平面的关系，让学生初步了解直线与平面的基本概念，并激发学生的探究兴趣。
2.概念讲解：向学生介绍直线与平面的定义和相互关系，并引导学生认识直线与平面所成角的概念。
3.原理讲解：详细讲解用向量法求解直线与平面所成角的基本原理和方法，并给出相关的公式和推导过程。
4.实例分析：通过具体的例子，引导学生运用向量法求解直线与平面所成角的过程，并解析每个实例中的要点和思路。
5.练习与检测：组织学生进行一些练习题和习题检测，检测学生对于向量法求解直线与平面所成角的掌握程度。
6.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并引导学生拓展思考，探究其他与向量法求解直线与平面所成角相关的问题。
四、教学辅助1.教具：黑板、彩色笔。
2.教材：《高中数学教材》。
3.多媒体设备：电脑、投影仪。
五、板书设计用向量法求直线与平面所成的角1.直线与平面的基本概念和相互关系直线的定义：直线是两个方向相同的无限延伸的点的集合。
平面的定义：平面是一个无限延伸的二维几何体。
2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角定义：直线与平面的夹角是指直线与平面之间的最小角度。
3.用向量法求解直线与平面所成角的原理和方法向量法求解直线与平面所成角的基本原理：两个向量的夹角等于它们的点乘结果除以它们的模的乘积的反余弦函数。
(第21课)直线与平面所成的角和二面角(2)
课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(二)教学目的：1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法:(1)根据定义;(2)作二面角棱的垂面;(3)利用三垂线定理或逆定理 教学重点：二面角的概念和二面角的平面角的作法 教学难点：二面角的平面角的一般作法及其寻求 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1 斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,的直线叫做斜线在这个平面内的射影点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC ⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角.直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=.二、讲解新课：1 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图形表示：第一种是卧式法，也称为平卧式：J第二种是立式法，也称为直立式：l B'O'A'B O A βα2．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角DCBAE1A 说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180] ；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 三、讲解范例：例1 在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小解：取BC 的中点E ，连接,AE DE ，∵正四面体ABCD ，∴,BC AE BC ED ⊥⊥于E ， ∴AED ∠为二面角A BC D --的平面角， 方法一：设正四面体的棱长为1， 则1AE DE AD ===，由余弦定理得1cos 3AED ∠=方法二：（向量运算）令AB a = ，,AC b AD c ==，棱长为1，∵1111[()][]2224EA ED a b c a b ⋅=-+⋅--= ，又∵||||EA ED == ，∴1cos 3AED ∠=即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为1arccos 3． 例2．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小解：（1）取11B D 中点1O ，连接11,AO CO ， ∵正方体1AC ，∴111111,B D AO CO B D ⊥⊥， ∴1AO C ∠即为二面角11A B D C --的平面角，1A在AOC ∆中，112AO CO AC ===， 可以求得11cos 3AO C ∠=即二面角11A B D C --的大小为1arccos 3．（2）过1C 作1C O BD ⊥于点O ，∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：1tan COC ∠=所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C--的平面角大小为说明：求二面角的步骤：作——证——算——答例3．已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小解：作AO l ⊥于点O ，AB ⊥平面β于点B ，连接BO ， ∵AB β⊥于点B ，AO l ⊥于点O ，∴l OB ⊥，∴AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角， 易知，4AB AO ==，∴60AOB ∠=即二面角l αβ--的大小为60．说明：利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法，其特征是其中一个平面内一点作另一个平面的垂线平面角的方法，即：定义法、垂面法、三垂线法例4．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角lBOAβαD CBPAB ACD --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过D 作DE AC ⊥于E ，过E 作EF AC ⊥交BC 于F ，连结DF ， 则C 垂直于平面DEF ，FED ∠为二面角B AC D --的平面角， ∴AC DF ⊥，又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ，∴DF EF ⊥，DF BC ⊥， 又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，设BD a =，则2AB BC a ==，在Rt BCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴2DF =， 同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin DF FED DE ∠=== 所以，二面角B AC D --四、课堂练习：1 如图所示，已知PA ⊥面ABC ，,PBC ABC S S S S ∆∆'==，二面角P BC A--的平面角为θ， 求证：cos S S '⋅=证明：过P 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD ∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PD ⊥ ∴BC AD ⊥∴PDA ∠为二面角P BC A --的平面角， 即PDA θ∠=∵PA ⊥面ABC ∴PA AD ⊥ ∵PAD ∆是直角三角形 ∴cos ADPAD PD∠=A BC D E FD CFHBAE 又∵11,22PBC ABC S BC PD S S BC AD S ∆∆'=⋅==⋅= ∴cos S PAD S '∠= ∴cos S Sθ'=即cos S S θ'⋅=说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法2．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CDB --的大小解：过A 作AH BD ⊥于H∵二面角A BD C --为直二面角 ∴AH ⊥面BCD取CD 中点E ，F 为DE 中点，连接,HF AF ∵BE CD ⊥ ∴//HF BE ∴EF CD ⊥ ∴HF CD ⊥∴AFH ∠为二面角A BD C --的平面角 令AB a=，则,2AH a BE a ===∴HF a =∴在Rt AHF ∆中tan AH AFH HF ∠==∴AFH ∠= 即二面角A CD B--的大小为arctan33．设A 在平面BCD 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD的中点O ，1,AC BC CD ===1）AC 与平面BCD 所成角的大小；（2）二面角A BC D --的大小；（3）异面直线AB 和CD 的大小解：（1）∵AO ⊥面BCD ∴AO CO ⊥ ∴ACO ∠为AC 与面BCD所成角∵1,BC CD ==∴BD∴12CO BD ==∴cos ACO ∠=O EDCFBA∴6ACO π∠=即AC 与平面BCD 6（2）取BC 中点E ，连接,OE AE ∴//OE CD ∵CD BC ⊥ ∴OE BC ⊥ 又∵AO ⊥面BCD ∴AE BC ⊥∴AEO ∠为二面角A BC D --的平面角又∵1122OE CD AO === ∵AO OE ⊥∴tan AO AEO OE ∠==∴arctan AEO ∠=即二面角A BC D --的大小为arctan2（3）取AC 的中点E ，连接,EF OF ，则//,//EF AB OE CD ∴OE 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线AB 和CD 所成角 易求得45OEF ∠=即异面直线AB 和CD 所成角为45五、小结 ：1.二面角的定义、画法.2.二面角的平面角的定义、作法.3.求简单的二面角的大小. 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案第一章：向量基本概念回顾1.1 向量的定义1.2 向量的几何表示1.3 向量的运算1.4 向量的长度与方向第二章：向量投影的概念与计算2.1 向量投影的定义2.2 正投影与斜投影2.3 投影的计算方法2.4 投影在坐标系中的应用第三章：直线与平面所成角的定义与性质3.1 直线与平面所成角的定义3.2 直线与平面所成角的性质3.3 直线与平面所成角的计算方法3.4 直线与平面所成角的应用第四章：向量法求直线与平面所成的角4.1 向量法的基本思路4.2 向量法求直线与平面所成的角的步骤4.3 向量法在实际问题中的应用4.4 向量法求直线与平面所成的角的局限性第五章：练习题及解答5.1 选择题5.2 填空题5.3 解答题5.4 思考题第六章：向量法在空间几何中的应用6.1 向量法在求解空间直线与直线间的角中的应用6.2 向量法在求解空间直线与平面间的角中的应用6.3 向量法在求解空间平面与平面间的角中的应用6.4 向量法在空间几何其他问题中的应用第七章：空间向量与解析几何的综合应用7.1 解析几何的基本概念回顾7.2 空间向量与解析几何的关联7.3 向量法在解析几何问题中的应用7.4 解析几何在向量法中的应用第八章：数值计算方法在向量法中的应用8.1 数值计算方法的基本概念8.2 数值计算方法在向量法中的应用8.3 常见数值计算方法的比较与选择8.4 数值计算方法在实际问题中的应用第九章：案例分析与实践9.1 用向量法求直线与平面所成的角的实际案例分析9.2 向量法在建筑设计中的应用9.3 向量法在导航中的应用9.4 向量法在其他领域中的应用第十章：总结与拓展10.1 本课程的主要内容和收获10.2 向量法在未来的发展趋势10.3 向量法在相关领域的拓展10.4 课程实践与思考重点和难点解析一、向量基本概念回顾难点解析：向量的概念理解，向量的几何表示与坐标表示的转换。
直线与平面所成的角教学学案1(武汉六中 金丙亮)
2．如图，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝a，
AB＝ a，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且 ＝ ＝ .
求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．
3．如图所示，在三棱锥 中
，平面 ⊥平面 ， ．
求直线 与平面 所成角的正弦值．
(ii)连接BF，由(i)知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝ 及已知，得∠ABP为直角，而MB＝ PB＝ ，可得AM＝ ，故EF＝ .又BE＝1，故在直角三角形EBF中，sin∠EFB＝ ＝ .所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为 .
学习内容
直线和平面所成的角
主讲人
武汉六中金丙亮
审核人
高一年级数学组
课程学习目标
①理解掌握直线和平面所成的角定义。
②掌握求直线和平面所成角的方法和步骤。
③培养学生的化归、分析、观察与空间想象能力，体会空间问题平面化的数学思想方法。
知识结构与学习难点
学习方法
①直线和平面所成的角的生成
②求直线和平面所成的角的方法与步骤
探索—归纳—总结
学习过程——充分发挥学生的主体地位
一、知识回顾
直线和平面所成的角
1.定义：一个平面的一条斜线和它在这个平面内的的夹角叫做斜线和平面所成的角
规定（1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是
（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是 的角
注意：
（1）直线和平面所成的角的范围是：
(2)(i)证明：连接PE，BE.因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，所以PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角PADB的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝ ，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝ ，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60˚，由余弦定理，可解得PB＝ ，从而∠PBE＝90˚，即BE⊥PB.又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.
2022年《直线与平面的夹角》教学优秀教案1
直线与平面的夹角一、教学目标1.知识目标：①学生理解掌握直线和平面所成的角定义及定义的合理性；②学生初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤。
2.能力目标：培养学生的概括能力和探索创新能力。
3.思想目标：学生进一步内化化归的数学思想方法。
二、教学重点1.直线和平面所成的角的定义的生成；2.求直线和平面所成的角的方法步骤；3.初步掌握公式及公式的应用。
三、教学难点求直线和平面所成的角的方法步骤四、教学方法问题探索法及启发式讲授法五、教学过程〔一〕、复习提问1.直线和平面的位置关系有哪几种？〔1〕直线在平面内〔2〕直线和平面平行〔3〕直线和平面相交2.平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：〔二〕问题引入：如图，怎样刻画不同斜线与相对同一 平面的位置呢？ 〔三〕问题探讨：1.探索发现-------探讨仰角概念的实质2.猜 想 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.3.证明猜测：如图：OA 是平面的一条斜线，A 为斜足，，B 是垂足，AC 为平面内的任意一条与AB 不重合的直线，直线OA 与AB 与AC 所成的角为.猜测：证明：不妨设，过O 作交AC 于点C ， 那么在中，有，同理在中，， 设，那么在中，，所以， 由于，所以， 故：.4.重要结论：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.〔四〕直线和平面所成的角1.斜线和平面所成的角的概念一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角2.规定：(1)如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是直角.(2)如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是的角. 强调：(1)直线和平面所成的角的范围是： .(2)定义 直线和平面所成角的可行性及合理性.(3)理解公式中三个角的真正含义，明确是这三个角中的最大的角. 〔五〕例题精讲：例1：在单位正方体中，试求直线与平面所成的角. 解：由正方体的性质可知，， 所以在平面ABCD 内的射影为BD . 由直线和平面所成角的定义， 那么为与平面所成的角在中，，所以直线与平面所成的角为. 强调：(1)求直线和平面所成的角的步骤是先作再证后求.(2)求直线和平面所成的角的关键是作〔找〕斜线在平面内的射影. 变式：在单位正方体中，求直线与截面所成的角. 简解：过作交于点O ，易知：， 所以为直线在平面内的射影. 由直线和平面所成角的定义，所以 即为直线与截面所成的角.在中，可知.例2：如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，，O为垂足，BC为内的一条直线，，求斜线AB和平面所成的角.所成的角.因为，所以.六、课堂小结1.直线和平面所成角的定义及其合理性.2.初步掌握求直线和平面所成角的方法步骤：(1)作〔找〕出角；(2)证明〔认定〕角；(3)〔在三角形中〕求出角.。
直线与平面所成的角 学案
名校学案，高一数学,必修二，拔高训练,优质学案,专题汇编（附详解）直线与平面所成的角年级：高一 主备人： 审核人： 编号：(阅读P 66页内容完成下列问题)直线与平面的位置关系有几种?根据直线与平面的各种位置关系给出直线与平面所成的角的概念?(P 66)直线与平面所成的角的取值范围?1、如下图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为2、如下图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为3、如图在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角 。
4、已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于5、在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心,则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是6、已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1 DC 所成角的正弦值为7、如图,在三棱锥P -ABC 中,PB ⊥平面ABC ，△ABC 是直角三角形，∠Ｂ＝９０°，AB =BC =2，∠ＰＡＢ＝４５°，点ＤＥＦ分别为ＡＣ、ＡＢ、ＢＣ的中点 （１）求证：ＥＦ⊥ＰＤ;（2）求直线ＰＦ与平面ＰＢＤ所成角的大小。
8、（2010全国高考）正方体ABCD- A 1B 1C 1 D 1中BB 1与平面ACD 1所成角的余斜值是AP O αAPαAPαα aAB CDE F PAB CA 1B 1C 1DABCA 1B 1C 1ABC DA 1B 1C 1D 1 ABC D A 1B 1C 1D 1 ABC D A 1B 1C 1D 1 ABCA 1B 1C 1 DABC D A 1B 1C 1D 1 αa。
《直线与平面的夹角》 导学案
《直线与平面的夹角》导学案一、学习目标1、理解直线与平面夹角的定义。
2、掌握直线与平面夹角的求法。
3、能够运用直线与平面夹角的知识解决实际问题。
二、学习重点1、直线与平面夹角的定义。
2、直线与平面夹角的计算方法。
三、学习难点1、理解直线与平面夹角的定义中的关键要素。
2、运用向量法求直线与平面的夹角。
四、知识链接1、直线的方向向量和平面的法向量的概念。
2、向量的数量积运算。
五、学习过程（一）引入在日常生活中，我们经常会遇到直线与平面相交的情况，比如铅笔斜放在桌面上，此时就形成了直线与平面的夹角。
那么如何准确地定义和计算这个夹角呢？这就是我们今天要学习的内容。
（二）直线与平面夹角的定义1、观察：观察直线与平面相交的情况，思考夹角的形成。
2、定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
特别地，如果直线垂直于平面，我们就说直线与平面所成的角为90°；如果直线平行于平面或在平面内，我们就说直线与平面所成的角为 0°。
（三）直线与平面夹角的范围直线与平面夹角的范围是 0°，90°。
（四）直线与平面夹角的求法1、几何法（1）作出直线与平面夹角：过斜线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足，得到斜线在平面上的射影，斜线与射影所成的锐角即为直线与平面的夹角。
（2）在直角三角形中求解：通过解直角三角形，求出夹角的大小。
2、向量法（1）设直线的方向向量为\（＼vec{a}＼），平面的法向量为\（＼vec{n}＼），直线与平面的夹角为\（＼theta\）。
（2）则\（＼sin\theta ＝＼vert ＼cos ＜＼vec{a}，＼vec{n}＞＼vert ＝＼dfrac{＼vert\vec{a}＼cdot\vec{n}＼vert}｛＼vert\vec{a}＼vert\vert\vec{n}＼vert}＼）（五）例题讲解例 1：在正方体\（ABCD A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}＼）中，求直线\（A_{1}B\）与平面\（A_{1}B_{1}CD\）所成的角。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案一、教学目标1. 理解向量法求直线与平面所成角的原理。
2. 学会运用向量法求直线与平面所成的角。
3. 能够运用向量法解决实际问题。
二、教学内容1. 向量法求直线与平面所成角的原理。
2. 向量法求直线与平面所成角的步骤。
3. 向量法在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量法求直线与平面所成角的原理和步骤。
2. 教学难点：如何运用向量法解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解向量法求直线与平面所成角的原理和步骤。
2. 采用案例分析法，分析向量法在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论和练习。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引发学生对直线与平面所成角的兴趣。
2. 讲解向量法求直线与平面所成角的原理和步骤。
3. 案例分析：分析向量法在实际问题中的应用，如在几何、物理、工程等领域中的应用。
4. 课堂练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调向量法在解决直线与平面所成角问题中的应用。
6. 作业布置：布置一些有关的作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习的完成情况：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对向量法求直线与平面所成角的理解和掌握程度。
2. 作业的完成情况：检查学生作业的完成质量，评估他们对课堂所学知识的巩固情况。
3. 学生提问和参与讨论的情况：鼓励学生在课堂上提问和参与讨论，通过他们的提问和讨论了解他们对知识的掌握程度。
七、教学反思在课后，对课堂教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足之处，并根据学生的反馈调整教学方法和内容，以便更好地满足学生的学习需求。
八、教学拓展1. 向量法在立体几何中的应用：引导学生进一步学习向量法在立体几何中的其它应用，如求直线与直线、直线与球、球与球等所成的角。
2. 向量法在实际问题中的应用：引导学生关注向量法在其他学科和实际问题中的应用，如物理学、工程学等。
高三数学《直线和平面所成的角与二面角》第一课时 说课稿
《直线和平面所成的角与二面角》第一课时直线与平面所成的角说课稿各位专家、同仁：您们好！今天我说课的课题是立体几何第九章中《直线和平面所成的角与二面角》第一课时的直线与平面所成的角，现在我就教材分析、学情分析、教学策略、教学设计四个方面进行说明。
恳请在座的各位专家、同仁批评指正。
一．教材分析1．地位作用：直线与平面所成的角，它是在学生学过平面几何中的角、空间中两异面直线所成的角之后，又要重点研究学习的一种空间的角。
异面直线所成的角、直线与平面所成的角及后面将学习的二面角都是立体几何的重要概念，也都是学生进一步研究空间多面体的基础和发展构建空间概念的依据。
因此，它起着承上启后的作用。
同时，也是培养学生的空间想象力和逻辑思维能力的重要素材。
而要得到以上三角均需化归为平面中相交直线的夹角来求得，复习异面直线所成的角有利于学生进行对比联系，掌握直线与平面所成角同时也为后继学习作好铺垫。
平面外的直线和其在平面内的射影的夹角是直线与平面内任意直线所成角中的最小值、平面外的直线和其在平面内的射影的夹角的大小仅取决于直线与平面的位置说明了直线与平面所成角概念的合理性，教学中需让学生理解，才能真正认同和掌握概念。
应用概念求解直线与平面所成角中关键是找出直线在平面中的射影，在教学中需量化，强调解题步骤。
2．教学目标认知目标：理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线与平面所成角；理解最小角的发现过程并能灵活变形利用其解题。
能力目标：培养化归能力、分析能力、观察发现思考能力和空间想象能力等。
情感目标：培养学生立体感、数学美感；培养学生积极参与、勤于动手实验、乐于探索的科学精神。
3. 重点、难点分析理解直线与平面所成角的概念及利用概念分步求夹角是本课时的重点，而对最小角定理的理解及应用，学生不易接受，因此是本课的难点，而突破难的关键可利用自制几何实物模型和多媒体课件进行“创设情景”和“演示实验”通过学生亲自动手实验做观察发现最小角定理，教师再引导理论证明，使学生对最小角定理由感性认识上升到理性认识。
用向量法求直线与平面所成的角教案
第二讲: 立体几何中的向量方法——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道, 立体几何是高中数学学习的一个难点, 以往学生学习立体几何时, 主要采取“形到形”的综合推理方法, 即根据题设条件, 将空间图形转化为平面图形, 再由线线, 线面等关系确定结果, 这种方法没有一般规律可循, 对人的智力形成极大的挑战, 技巧性较强, 致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中, 向量知识的引入, 为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题, 体现了数形结合的思想。
并且引入向量, 对于某些立体几何问题提供通法, 避免了传统立体几何中的技巧性问题, 因此降低了学生学习的难度, 减轻了学生学习的负担, 体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要, 需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。
本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。
以此强化向量的应用价值, 激发学生学习向量的兴趣, 从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角, 不需要繁杂的推理, 只需要将几何问题转化为向量的代数运算, 方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角, 下面对线面角的求法进行总结。
教学目标1.使学生学会求平面的法向量与直线与平面所成的角的向量方法；2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求平面的法向量；求解直线与平面所成的角的向量法.教学难点求解直线与平面所成的角的向量法.教学过程Ⅰ、复习回顾一、回顾有关知识:1.直线与平面所成的角: （范围: ）思考：设平面 的法向量为 , 则 与 的关系？2.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:（1）建立立体图形与空间向量的联系, 用空间向量表示问题中涉与的点、直线、A B θαO n平面, 把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以与它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
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（一）情景创设，兴趣导入（约3分钟）播放视频
任务引入
在电焊专业操作中，焊炬与焊件，焊丝之间需要保持一定的角度。
不同的焊件厚度，焊炬倾角也是不同的。
现有一块厚度约为8mm的焊件，手持焊件位置距离前端应为40cm,那么手应离地面的高度为多少？
（二）实践交流，探究新知（约18分钟）
探究一：直线与平面所成的角定义
1.生活实例教师：播放
视频
学生：观看
视频
教师：展示
图片
学生：思考
通过观看微课
视频，回顾电
焊专业课上对
焊炬焊丝倾角
的要求。
专业任务导入
既能迅速集中
注意力又能唤
起探究的欲
望。
几何画板动态演示
（识角）定义：直线l与它在平面α内的射影l′的夹角，叫做直线l与平面α所成的角。
探究二：直线与平面所成的角的取值范围
1.动手演示：一支笔所在的直线与桌面所在的平面可能有几个交点（公共点）？
总结：直线与平面有哪几种位置关系？学生：观
察，回忆
教师：启
发，引导
学生：观察
归纳
从生活实际出
发，能极大地
激发学习数学
的兴趣，让课
堂更加的灵活
多样。
通过几何画板
的动态演示，
深刻理解直线
与平面所成的
角的定义。
通
角的取值范围：
规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角。
直线与平面所成的角的取值范围是[0,
2
π].
想一想：（小组讨论）
如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？（不一定！） （三）学以致用，提升能力（约20分钟） 1.小试身手
练一练：找到正方体中的线面夹角
教师：几何画板演示直线与平
面所成的角。
学生：动手演示
教师：总结直线与平
面的三种位置关系。
过多媒体教学的使用，突出了重点。
通过理解直线与平面所成的角的范围，更深刻的理解直线与平面所成的角的定义。
量一量：正确的握笔姿势
笔杆和桌面成60-70度角，握笔高度约3厘米，能清楚书写视野,处于放松的姿势和角度。
你能用这些工具检查一下你平常的握笔姿势对吗？
2. 试一试
例1：在正方体D C B A 1
1
1
1
ABCD
中，请找出线段
C A 1与平面AC 的夹角，并求出夹角的正切值。
学生：小组内合作交流
学生：思考 教师：引导
学生：分组
进一步理解强化线面夹角概念
为例题的解答做好铺垫，同时信息化手段可以更加形象、直观，体现出了对传统
教学的传承和创新。
活跃气氛、提高发散性思维能力，体会数学的应用价值。
例2 等腰ABC
Δ的顶点A在平面α外，底边BC在平面α内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面α的垂线段AD=10。
求
（1）等腰三角形的高AE的长。
（2）斜线AE和平面α所成的角的大小（精确到1'）。
3.做一做
练习1：18米高的旗杆AD直立在地面上，绳子AB，AC分别和杆身成30 和45 的角，B,C,D都在地面上。
求：（1）线段AB与地面的夹角为
（2）线段AC与地面的夹角为
（3）AB在地面上的射影长为
（4）AC在地面上的射影长为讨论，动手
操作
教师：启发
思考
学生：讨论
教师：教师
引导学生
寻找解题
的关键。
小组代表
到黑板板
演，
教师规范
直线与平面所
成的角的典型
例题，加深对
概念的理解，
突出本节课的
重点。
此题是学生对
直线与平面所
成角的问题的
再次尝试
练习2：长方体ABCD-D
C B A 1
1
1
1
中，高
D D 1=4cm,底面是边长为3cm 的正方形，求对角线
B D 1
与底面ABCD 所成角的大小。
4.任务解决
（四）知识梳理，总结反思（约2分钟） 1．本堂课你收获了什么？
数学知识：线面夹角定义，取值范围
数学思想：转化思想，应用思想
数学能力：空间想象能力，动手操作能力
解题的步骤。
学生：自主探究
教师：简要
提示
两道习题，由浅入深，提高分析问题能力。
解题思路和步骤的规范性很重要.
通过专业任务的解决，体现。