选课问题、数学建模

2013-2014第一学期数学建模课程设计题目：学生选课：金星班级：网络工程\2014年1月6日—1月10日一．模型摘要摘要：对于习惯了中小学课程（所有的课程由学校统一安排，而且科目从小学到高中有连续性）的大学新生来说，大学的课程多得令他们眼花缭乱，课程分类也比较复杂，因此选课对他们而言还是一件新鲜而陌生的事物。

但大学的学习与选课有莫大的关系，必须了解它，才能掌握主动权。

而要了解选课制，首先要对大学的课程设置有所认识。

大学的课程按大类来说一般分为必修课和选修课。

必修一般指学校或院系规定学生必须修习某课程，学校对必修课程一般有统一的要求和安排。

选修是指根据学生个人兴趣或专业需要自由选择修习某课程。

简言之，必修就是必须修读，选修就是选择性修读。

一般来说，基础性的知识都作为必修课程。

有些知识不是基础性的，与兴趣和研究方向有关，这部分知识可以选择。

这是大学与中学最大的不同之处。

本文针对关于大学生选课时所需要考虑到的问题，根据学校规定的要求达到的学分与每门课的学分多少，运用排列组合的知识建立模型，通过分析输出各种情况下所需的选课方案关键字：matlab，矩阵，排列组合二．问题重述某同学考虑下学期的选课，其中必修课只有一门（2学分），可供选修的限定选修课（限选课）有8门，任意选修课（任选课）有10门。

由于有些课程之间相按学校规定，学生每个学期选修的总学分数不能少于20学分，因此该同学必须在上述18门课中至少选修18个学分，学校还规定学生每学期选修任选课的比例不能少于所修总学分（包括2个必修学分）的1/6,也不能超过所修总学分的1/3。

学院也规定，课号为5，6，7，8的课程必须至少选一门。

1）为了达到学校和院系的规定，该同学下学期最少应该选几门课？应该选哪几门课？2）若考虑在选修最少学分的情况下，该同学最多可以选修几门课？选哪几门？三．模型假设（1）学生选修任何课程都是随机的，不存在主观意图。

实际生活中选课程是有主观意图的，但是本问题中不考虑这一点。

（2）学生只要选修某门课程，就认为他能够获得该门课程的学分，不考虑实际生活中的考试不及格得不到学分的情况。

（3）学校所给的课程，不管任何课程，都应当是做过调研，一般情况下学生只要选择，就能选上，而不会出现连选几门都选不上的局面。

也就是说选课所给的限制人数应当是合理的限制。

四．问题分析根据提出的问题，学生要选修的课程必须同时满足下列四条： （a ）任何学生每个学期选修的总学分数不能少于20学分（包括2个必修学分），所以除了必修课程外，任何学生必须在上述18门课中至少选修18个学分 （b ）学校规定，课号为5，6，7，8的课程必须至少选一门。

（c ）同时选修的课必须同时选修，不能不选修。

例如某学生选9号课，那么他也必须同时选修8号课。

同时选修的矩阵是⎥⎦⎤⎢⎣⎡675468211413121110975 （d ）学校规定学生每学期选修任选课的比例不能少于所修总学分（包括2个必修学分）的1/6,也不能超过所修总学分的1/3。

即36总修学分任选课学分总修学分≤≤。

注意，总修学分包括必修课的2学分。

两个个问题都需要选课方案。

比如第一个问题，“为了达到学校和院系的规定，该同学下学期最少应该选几门课？应该选哪几门课？”学校规定最少学分是20分，去掉2分的必修学分，那么要从剩下18门课程中选择至少18个学分。

问题问的是“最少应选几门课？”按照最少18分的限制，从1门、2门、3门、4门、5门……收入来思考，发现至少应该选5门课，因为如果选4门课，要达到最少学分势必需要选那些学分值大的课，只能选1、2、3、4这四门课，这四门课的学分加了起来正好是18分，但虽然学分数满足了，可是并不满足其余的三条，所以这种选法是不对的。

选5门课就能得到要求。

例如选1、2 、3 、6 、10 、14就其中一种选课方案，它满足上述4条。

四条规定相互制约，错综复杂，单靠人力来一组一组的确定是不可能完成的。

本问题的解答模型就是排列组合的知识。

首先说明一点，因为课程有的与学分值的数目相同，为了避免在计算机上处理过程中出现紊乱，我们统一把课程加上10，课号1-18，就变成了11-28。

假设这个同学在符合学校规定要求的前提下要选n 门课，185≤≤n ：第一步，首先把11-28门课程抽出n 门课进行组合，共有nC 18种。

利用Matlab的命令就是combntns([11:28],n)，这个命令产生的结果是一个矩阵，每一行就是n 门课的一个组合。

令选课组合xkzuhe=combntns([11:28],n) 第二步 以下分四个模块，每个模块使用一个矩阵来存储该模块筛选合格的数据。

（a ）第一个模块是判断每个n 门课组合的学分总和是否大于18分，如果大于等于18分，就保留，并且把该条n 门课组合添加到矩阵a 中。

矩阵a 用来存储满足了大于18分的n 门课的组合。

（b ）第二个模块是判断矩阵a 中每个n 门课的组合是否是含有5，6，7，8至少一门课。

如果是至少含有5，6，7，8至少一门课，就把该行记录添加到b 矩阵里，矩阵b 用来存储满足了含有5，6，7，8至少一门课的组合（c ）第三个模块是c 模块，用来存放满足同时选修要求的n 门课的组合数据。

同时选修的矩阵是⎥⎦⎤⎢⎣⎡16171514161812112413222120191715。

先分析以下同时选修的要求，在一个n 门课的组合中，比如有15号课，就必须有11号课；有17号课，就必须有12号课；有19号课，就必须有18号课等等。

一方面，要判断任意一个n 门课组合是不是符合上述要求，比如它含有15号课，又同时含有11号课，那么就保留这个n 门课组合；另一方面，经过上述的判断保留，b 矩阵就删除了一部分不符合要求的，但是保留的却也不是都适合，比如一个记录，含有15号课且含有11号课，保留下来了，但是如果这个记录同时含有17号课且不含有12号课，那么这个记录就不适合，需要再次删除。

因此，第三个模块需要分成两个子模块来判断，就是上面的两个方面。

第一个子模块先大围的保留基本适合的，8对同时选修课，只要含有至少一对就保留。

第二个模块是分别对每对选修课进行检验，含有15号课不含有11号课的或者含有17号课不含有12号课的或者含有19号课不含有18号课的或者含有20号课不含有16号课的……等等，都全部删除。

经过这两个子模块的判断，剩下的数据给c 矩阵。

（d ）第四个模块是判断上述c 矩阵的数据是否适合36总修学分任选课学分总修学分≤≤的规定。

注意，总修学分包括必修课的2学分。

适合的就保留下来给d 矩阵。

最后的d 矩阵就是符合要求的n 门课的组合。

一、第一个问题“为了达到学校和院系的规定，该同学下学期最少应该选几门课？应该选哪几门课？”答：应该选5门课，在筛选程序给定n=5,可得到应该选的5门的组合：1 2 6 10 141 4 6 10 112 4 6 10 11选修最少学分的情况下，该同学最多可以选修几门课？选哪几门？把程序里面的s>=18改成s=18，然后依次把选课门数改成5、6、7、8等，可以看出最多选8门课，8门课的组合是：1 3 5 12 15 16 17 181 3 6 14 15 16 17 181 4 5 12 15 16 17 181 4 6 14 15 16 17 181 5 6 8 12 15 16 171 5 6 8 12 15 16 181 5 6 8 12 15 17 181 5 6 8 12 16 17 181 5 6 8 14 15 16 171 5 6 8 14 15 16 181 5 6 8 14 15 17 181 5 6 8 14 16 17 182 3 6 14 15 16 17 182 3 7 8 15 16 17 182 3 7 13 15 16 17 182 4 6 14 15 16 17 182 4 7 8 15 16 17 182 4 7 13 15 16 17 182 6 7 8 13 15 16 172 6 7 8 13 15 16 182 6 7 8 13 15 17 182 6 7 8 13 16 17 182 6 7 8 14 15 16 172 6 7 8 14 15 16 182 6 7 8 14 15 17 182 6 7 8 14 16 17 183 4 6 8 14 15 16 173 4 6 8 14 15 16 183 4 6 8 14 15 17 183 4 6 8 14 16 17 18七．模型分析与改进1．模型分析与检验:本题主要采用的是排列组合的方法，首先把11-28门课程抽出n门课进行种。

利用Matlab的命令就是combntns([11:28],n)，这个命令产组合，共有nC18生的结果是一个矩阵，每一行就是n门课的一个组合。

令选课组合xkzuhe=combntns([11:28],n)。

再将其分四个模块，每个模块使用一个矩阵来存储该模块筛选合格的数据。

不断筛选满足要求的矩阵，最后剩余的矩阵即为符合要求的n门课的组合。

2．模型评价2.1 模型优点：能够很快的解决简单的筛选问题。

2.2 模型缺点：对于条件比较多的筛选问题则很难快速的解决。

3 模型改进和推广：1.还可以参照最小费用最大流算法适当地进行建模。

2.也可以使用多次背包算法，先把给出的图用拓扑排序算法构建成树，在树里面的每个结点使用背包算法，计算出当前点以下用一定时间能得到的最大学分，多个背包向父亲结点背包。

3.本文建立的模型可推广到各种复杂的筛选问题。

八．建模心得数学建模，对于我们专业的大二学生来说是一个完全陌生的课程，然而在本学期末的课程设计中却开设了数学模型，这才使我们初步了解了什么叫做数学建模。

使我们在学习之中，锻炼了我们的能力，获益非浅。

真正用到了数学的理论知识去解决我们在实际生活上的一些问题。

从最初的“建模”简介，我们了解到数学在实际生活中的应用之广、之深、之切。

小到日常的衣食住行，大到科技进步，人类生存。

庞大的数学知识体系良好地规我们的生活，与我们每个人都息息相关，并随着科技的进步，数学与我们的关系也越来越密切。

终于明白了，为什么数学是真正的科学工具，是人类发展进步的基础学科，它既能规现在，又能预测未来。

在这次实践中，我们组选择的是关于学生选课模型，这个模型说说简单也简单，说难也难，关键看如何灵活的建立模型，并借助计算机软件的优势，巧妙的解决此问题。

在确立了题目之后，我们两个就开始着手分头行动，经过多天的努力模型基本建成。

通过这次合作完成任务，我们感觉到团队精神是数学建模是否取得好成绩的最重要的因素，只有将大家的智慧集中到一起，才能做出更加完美的成果！参考文献：[1]费浦生数学建模及其基础知识详解，大学[2周义仓数学建模实验交通大学 1999年[3]明数学实验（Matlab）同济大学 2009年附录：Matlab筛选程序如下：n=input('请输入选课的门数：','s');xk=[11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28;5 5 4 4 3 3 3 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1];xkzuhe=combntns([11:28],n);[hang,lie]=size(xkzuhe);a=zeros(1,lie);for i=1:hangs=0;for j=1:lie[xkhang,xklie]=find(xk==xkzuhe(i,j));s=s+xk(2,xklie);end;if s>=18a=[a;xkzuhe(i,:)];end;end;[ahang,alie]=size(a);a=a(2:1:ahang,:);*************以上第一模块[ahang,alie]=size(a);b=zeros(1,alie);for i=1:ahangp=0;for j=1:alieif a(i,j)==15||a(i,j)==16||a(i,j)==17||a(i,j)==18 p=p+1;end;end;if p>=1b=[b;a(i,:)];end;end;[bhang,blie]=size(b);b=b(2:1:bhang,:);*************以上第二模块[bhang,blie]=size(b);c=zeros(1,blie);for i=1:bhangp1=-1;p2=-2;p3=-1;p4=-2;p5=-1;p6=-2;p7=-1;p8=-2;p9=-1;p10=-2;p11=-1;p12=-2;p13=-1;p14=-2;p15=-1;p16=-2;p17=-1;p18=-2;for j=1:blieif b(i,j)==15p1=1;end;if b(i,j)==10p2=1;end;if b(i,j)==17p3=1;end;if b(i,j)==12p4=1;end;if b(i,j)==19p5=1;end;if b(i,j)==18p6=1;end;if b(i,j)==20p7=1;end;if b(i,j)==16p8=1;end;if b(i,j)==21p9=1;end;if b(i,j)==14p10=1;end;if b(i,j)==22p11=1;end;if b(i,j)==15p12=1;end;if b(i,j)==23p13=1;end;if b(i,j)==17p14=1;end;if b(i,j)==24p15=1;end;if b(i,j)==16p16=1;end;end;if p1==p2||p3==p4||p5==p6||p7==p8||p9==p10||p11==p12||p13==p14||p15==p16 c=[c;b(i,:)];end;end;[chang,clie]=size(c);c=c(2:1:chang,:);…………..以上第三模块的第一子模块[chang,clie]=size(c);i=1;while i<=changp1=0;p2=0;p3=0;p4=0;p5=0;p6=0;p7=0;p8=0;p9=0;p10=0;p11=0;p12=0;p13=0;p14=0;p15=0;p16=0;p17=0;p18=0;for j=1:clieif c(i,j)==15p1=1;end;if c(i,j)==11p2=1;end;if c(i,j)==17p3=1;end;if c(i,j)==12p4=1;end;if c(i,j)==19p5=1;end;if c(i,j)==18p6=1;end;if c(i,j)==20p7=1;end;if c(i,j)==16p8=1;end;if c(i,j)==21p9=1;end;if c(i,j)==14p10=1;end;if c(i,j)==22p11=1;end;if c(i,j)==15p12=1;end;if c(i,j)==23p13=1;end;if c(i,j)==17p14=1;end;if c(i,j)==24p15=1;end;if c(i,j)==16p16=1;end;end;if(p1==1&p2==0)||(p3==1&p4==0)||(p5==1&p6==0)||(p7==1&p8==0)||(p9==1&p10==0)||(p1 1==1&p12==0)||(p13==1&p14==0)||(p15==1&p16==0)c(i,:)=[];[chang,clie]=size(c);i=i-1;end;i=i+1;end;****************以上第三模块的第二子模块[chang,clie]=size(c);d=zeros(1,clie);for i=1:changzxf=0;zrxf=0;for j=1:clie[h,l]=find(xk==c(i,j));zxf=zxf+xk(2,l);if c(i,j)>=19zrxf=zrxf+xk(2,l);end;end;if zrxf>=(zxf+2)/6&&zrxf<=(zxf+2)/3 d=[d;c(i,:)];end;end;[dhang,dlie]=size(d);d=d(2:1:dhang,:);f=ones(size(d));zh=d-f*10。