201x版八年级数学上册 14.2 勾股定理的应用(2)导学案华东师大版

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华师大版数学八年级上册第14章勾股定理14.2勾股定理的运用教学设计

4.设计丰富的课堂练习，让学生在实践操作中巩固勾股定理的应用，培养学生的动手能力和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.增强学生对勾股定理的兴趣，激发学生探索数学问题的热情。
2.培养学生勇于面对挑战，克服困难的精神，提高学生在解决问题过程中的自信心。
3.使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的数学应用意识。
（3）课堂练习：15分钟，设计不同难度的练习题，让学生在实践中巩固勾股定理的应用。
（4）小组合作：10分钟，组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力。
（5）总结与拓展：5分钟，对本节课的学习内容进行总结，并提出拓展性问题，激发学生的思考。
4.教学评价：
（1）课堂问答：通过提问，了解学生对勾股定理应用方法的掌握程度，及时给予指导和鼓励。
（2）讲授新课：结合实际案例，引导学生运用勾股定理解决问题，通过分析、讲解、总结，使学生掌握勾股定理的应用方法。
（3）课堂练习：设计具有层次性的练习题，让学生在实践中巩固勾股定理的应用，提高解题能力。
（4）小组合作：组织学生进行小组讨论和交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。
2.教学策略：
（1）情境创设：以生活中的实际问题为背景，创设情境，引导学生运用勾股定理解决问题。
1.教学内容：对本节课的学习内容进行总结，强调勾股定理在实际问题中的应用。
2.教学过程：
a.学生分享学习心得，总结勾股定理的应用方法；
b.教师点评学生的表现，强调勾股定理在数学中的重要地位；
c.提出拓展性问题，激发学生对勾股定理的深入思考。
五、作业布下作业题：
拓展作业旨在激发学生的探究兴趣，提高学生的数学应用意识。
4.作业要求：
（1）作业需独立完成，要求书写规范，步骤清晰；

华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用优秀教学案例

2.培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力，提高学生的动手操作能力和创新能力。
3.通过对勾股定理的应用，培养学生独立思考、解决问题的习惯，培养学生的团队合作精神。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生学习数学的兴趣，培养学生对数学的热爱，树立学生的自信心。
2.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组合作，共同解决问题，培养学生的团队合作意识和沟通能力，例如：分组讨论如何运用勾股定理测量建筑物的高度。
2.教师给予适当的指导和支持，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ助学生克服困难，例如：在学生解决问题过程中，教师提供必要的数学知识和方法。
（四）反思与评价
1.引导学生进行自我反思，总结自己在解决问题过程中的优点和不足，例如：让学生反思自己在解决勾股定理应用问题时，哪些方法有效，哪些需要改进。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的场景为导入，例如测量房间的高度，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.问题情境：设计具有挑战性和启发性的问题，引发学生的思考，例如：“如果已知直角三角形的两条直角边，如何求斜边的长度？”
3.操作情境：让学生动手操作，亲自体验勾股定理的应用，例如：用硬纸板制作直角三角形，测量其边长，验证勾股定理。
考虑到学生的年龄特点和认知水平，本节课通过设计丰富的教学活动，引导学生运用勾股定理解决实际问题。在教学过程中，注重培养学生的动手操作能力、合作交流意识和创新能力，使学生在轻松愉快的氛围中掌握勾股定理的应用。
为了提高教学效果，教师在课前充分准备，搜集了与勾股定理相关的实际问题，设计了多样化的教学活动。同时，注重与学生的互动，引导他们积极参与课堂讨论，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。

2021-2022学年华东师大版数学八年级上册《勾股定理的应用》导学案

华师版数学八年级上14.2.1勾股定理的应用导学案课题14.2.1 勾股定理的应用单元第14章学科数学年级八年级学习目标1、了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”;而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.2、掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算.重点难点勾股定理的应用.将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.导学环节导学过程自主学习预习课本，完成下列各题：1、如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）A. 14cmB. 15cmC. 24cmD. 25cm2、如图，圆柱形容器高为8cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为______cm．合作探究探究一：例1 如图14.2. 1,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.(精确到0.01cm)分析蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开(如图14. 2.2) ,得到长方形ABCD,根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图长方形ABCD 的对角线AC之长.探究二：例2 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如所示的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门.(厂门上方为半圆形拱门)分析：由于车宽1.6米,所以卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高即可.如所示，点D在离厂门]中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面相交于点H.探究三：如,以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点,过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形.勾股定理在生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直角三角形，尝试把立体图形转换为平面图形.1、如图，一个无盖长方形盒子的长宽高分别是4cm，4cm，6cm，一只蚂蚁想从盒底的A点沿盒的表面爬到盒顶的B点，蚂蚁要爬的最短路程是（）A. 5cmB. 8cmC. 10cm2、如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是（）cm．A. 35B. 40C. 50D. 453、如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km．DA ⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（）kmA. 4B. 5C. 6D. 9参考答案自主学习：1、解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，则蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图，AC=24，CB′=7，在Rt△ACB′，AB′==25，所以它爬行的最短路程为25cm．故选：D．2、解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A'，连接A'B，则A'B即为最短距离，过点A'作A'D垂直BE，交BE延长线于点D，由题意知A'D=12cm,DE=1cm，BE=8-4=4cm，则BD=5cm，故A'B===13（cm）．故答案为：13．合作探究：探究一：解：如图14. 2.2,在Rt△ABC中, BC=底面周长的一半=10cm.由勾股定理,可得AC =22BCAB+=22104+=116≈10.77( cm).答:爬行的最短路程约为10.77 cm.探究二：解：在Rt△OCD中，由勾股定理,可得CD=22ODOC-= 228.01-= 0.6,CH = CD + DH=0.6+2.3=2.9>2.5.可见高度上有0.4米的余量,因此卡车能通过厂门。

2019八年级数学上册第14章勾股定理 14.2 勾股定理的应用教案2 (新版)华东师大版

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勾股定理的应用
正确运用勾股定理及其逆定理．
走到离树离相等，试问这棵
良好的数学思维习惯，
发展数学应用
如图
只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．
例4如图14.2.7m， AD＝８m，∠ADC
＝２４m，ＡＢ＝２６．求图中阴影部分的面积．
已有的经验，鼓励学生
四.课堂练习：P117练习第1，2题
五.课后小结：股定理及相关知识进行求解，遇到求不规则面积问
题，通常应用化归思想，将不规则问
题转换成规则何题来解决．解题中，注意辅助线的使用．特别是
“经验辅助线”的使用．
六.课后作业：。

八年级数学上册第14章勾股定理14.2勾股定理的应用第2课时勾股定理的应用教案华东师大版

第2课时勾股定理的应用(2)1．会用勾股定理解决简单的实际问题．2．树立数形结合的思想．重点勾股定理的应用．难点实际问题向数学问题的转化．一、创设情境从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用、灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性．二、探究新知例1 如图，一圆柱体底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开(如图)，得到长方形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图长方形对角线AC之长．(精确到0.01 cm)解：如图，在Rt△ABC中，BC＝底面周长的一半＝10 cm，∴AC＝AB2＋BC2＝42＋102＝116≈10.77(cm)(勾股定理)．答：爬行的最短路程约为10.77 cm.例2 在Rt△ABC中，已知两直边a与b的和为p cm，斜边长为q cm，求这个三角形的面积．解：∵a＋b＝p，c＝q，∴a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2＝p2，∵a2＋b2＝q2(勾股定理)，∴2ab＝p2－q2，∴S Rt △ABC ＝12ab ＝14(p 2－q 2)(cm 2) 教学说明：因为Rt △ABC 的面积等于12ab ，所以只要求出现ab 就可以完成本道题．分析已知条件可知a ＋b ＝p ，c ＝q ，再联想到勾股定理a 2＋b 2＝c 2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a ＋b ＝p ，a 2＋b 2＝q 2，求出ab.教师活动：操作投影仪，显示“课堂演练”，启发、引导学生，关注“学困生”．学生活动：先独立完成，当有困难时，寻求同伴的帮助，通过相互交流以解决问题．三、练习巩固1．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂门上方为半圆形拱门)?2．如图，CD ＝6 cm ，AD ＝8 cm ，∠ADC ＝90°，BC ＝24 cm ，AB ＝26 cm .求图中阴影部分的面积．四、小结与作业小结这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结．作业教材第123页习题14.2第4，5题．本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题(或数学问题)．在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造直角三角形来完成．教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立直角三角形模型．本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系．。

华东师大版八年级上册第14章14.2勾股定理的应用教学设计

4.学生能够从勾股定理的应用中感受到数学的简洁美、和谐美，提高审美情趣。
本章教学设计将围绕以上三个部分展开，确保学生在掌握勾股定理知识的基础上，提高解决问题的能力，培养良好的情感态度与价值观。
二、学情分析
八年级学生在学习勾股定理的应用前，已经掌握了勾股定理的基本概念及其证明方法。在此基础上，他们对直角三角形的相关知识有了初步的了解，具备了一定的几何图形认知能力和逻辑思维能力。然而，在实际运用勾股定理解决问题时，学生可能会遇到以下困难：
4.学生能够运用勾股定理解释生活中的现象，如房屋建筑中的直角三角形问题、物体斜抛运动中的直角三角形问题等。
（二）过程与方法
1.学生能够通过实际操作，如画图、测量等，直观地感受勾股定理的含义和应用。
2.学生能够运用数学推理方法，如代数运算、逻辑推理等，证明勾股定理的正确性。
3.学生能够运用勾股定理解决实际问题，培养将数学知识应用于实际生活的能力。
1.将实际问题抽象为直角三角形模型的能力较弱，需要进一步引导和培养。
2.运用勾股定理进行计算时，可能会出现运算错误，需要加强巩固和练习。
3.部分学生对数学学科的兴趣和自信心有待提高，教师应关注学生的情感需求，激发学习兴趣。
针对以上学情，本章节教学设计将从以下几个方面入手：
1.设计丰富的实际问题情境，引导学生将数学知识应用于实际生活。
6.情感教育，培养价值观：
在教学过程中，关注学生的情感需求，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队协作能力和勇于探究的精神。
7.课后拓展，提高应用能力：
课后布置实际应用题，让学生将勾股定理应用于生活，提高学生的应用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入生活实例：以学生熟悉的生活场景为例，如一根直角三角形的竹竿靠在墙角，提问学生如何计算竹竿的长度。引导学生思考直角三角形边长之间的关系，为新课的学习做好铺垫。

14.2勾股定理的应用-华东师大版八年级数学上册教案

14.2 勾股定理的应用-华东师大版八年级数学上册教案一、教学目标1.掌握勾股定理的应用；2.能够解决与直角三角形有关的问题；3.能够运用所学知识解决实际问题。

二、教学重点1.勾股定理的应用；2.直角三角形相关问题的解决方法。

三、教学过程1. 导入通过导师简单介绍直角三角形和勾股定理，检查学生的预习情况，确保学生对知识点有一定的了解。

2. 学习过程2.1 勾股定理的证明1.讲解勾股定理的证明过程，通过板书方式梳理思路；2.引导学生自己思考证明过程，以此来提高他们的思维能力。

2.2 直角三角形的三条边及其应用1.讲解直角三角形中的三条边，并强调斜边为直角三角形中最长的一条边；2.引导学生将勾股定理进行变形，以便更好地应用到实际问题中。

2.3 勾股定理的应用1.讲解勾股定理的应用，通过各种例题来演示；2.引导学生根据题目提供的信息，确定所需使用的知识点，依据勾股定理进行计算。

3. 练习1.分发实际问题练习题，鼓励学生独立完成；2.引导学生交流解题思路，纠正错误，互相帮助。

4. 总结1.回顾勾股定理及直角三角形的相关知识点；2.强调勾股定理是解决实际问题的有力工具。

四、作业1.完成教师分发的作业；2.总结本节课的内容，巩固所学知识点。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对勾股定理的应用及直角三角形相关知识点有了更深入的了解。

但是，在教学过程中还需要更多地引导学生思考，让他们积极参与到学习中，并在实际问题中运用所学知识解决问题。

此外，在教学后还需要对学生的掌握情况进行检查，对薄弱环节进行有针对性的辅导和强化，提高学生的学习效果。

14.2 勾股定理的应用华东师大版八年级数学上册导学课件

感悟新知
解：设水深CB＝x cm，则AC＝(x＋10) cm，即CD＝(x＋10) cm. 在Rt△BCD中，由勾股定理得x2＋402＝(x＋10)2，解得x＝75. 答：水深75 cm.
本节小结
勾股定理的应用
勾股建模定理解决问题
实际问题数学问题
作业提升
请完成教材课后习题
感悟新知
解：将圆柱体的侧面展开如图14.2-2，连结AB、A′B.
在Rt △ ABC 中，BC=40 cm，AC= 1 AA′= 60 =30(cm)，
2
2
由勾股定理得AB= AC2＋BC2 302＋402 =50(cm).
同理可得A′B=50 cm，则最短路线的长度为
AB+A′B=50+50=100(cm).
感悟新知
例4 一架长5 m 的梯子，斜靠在一竖直墙上，这时梯子的底端距墙脚3 m，若梯子的顶端下滑1 m，则梯子的底端将滑动( B ) A.0 m B.1 m C.2 m D.3 m 解题秘方：将实际应用问题通过建模转化为直角三角形的问题求解.
感悟新知
解：根据题意，建立如图14.2-5 的模型， BB1 的长即为所求. 在Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，AB=5 m，BC=3 m，
∴ AC= AC2－BC2 52－32 =4(m).
在Rt △ A1B1C 中，∠ A1CB1=90°， A1C=AC－AA1=4－1=3(m)，A1B1=5 m，
∴ B1C= A1B12－A1C 2 52－32 =4(m).
∴ BB1=B1C－BC=4－3=1(m).
感悟新知
4-1. 古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”. 平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地 40 cm(如图). 请问：水深多少？

八年级数学上册14.2勾股定理的应用教案2(新版)华东师大版

14.2 勾股定理的应用（2）教学目标知识与技能：准确运用勾股定理及逆定理．过程与方法：经历探究勾股定理的应用过程，掌握定理的应用方法，应用“数形结合”的思想来解决．情感态度与价值观：培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用价值．重点、难点、关键重点：掌握勾股定理及其逆定理．难点：正确运用勾股定理及其逆定理．关键：应用数形结合的思想，从实际问题中，寻找出可应用的Rt△，然后再有针对性解决．教学准备教师准备：投影仪，补充资料制成投影片，直尺、圆规．学生准备：直尺、圆规，复习前面知识．教学过程一、创设问题情境，激发学生兴趣展示投影教师道白：在一棵树的10m高的D处有两只猴子，•其中一只猴子爬下树走到离树20m 处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处，•如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？评析：如图所示，其中一只猴子从D→B→A共走了30m，另一只猴子从D→C→A也共走了30m，且树身垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决．教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生分析问题、明确题意，用化归的思想解决问题．学生活动：积极思考，讨论，运用数学手段来理出思路，解决问题．解：设DC=xm，依题意得：BD+BA=DC+CACA=30-x，BC=10+x在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2即（30-x）2=202+（10+x）2解之x=5所以树高为15m．媒体使用：投影显示．二、范例学习例3 如课本P59图14．2．5在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，•请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．ADC B教师活动：分析例3，•本题只需要利用勾股定理看一看哪一个矩形的对角线满足要求．如课本图14．2．6可以求出AB的长度为ABC，△ABD是等腰三角形，•因为由勾股定理可以求得AC=BC，AD=BD．学生活动：参与例3的学习，动手画图，交流、讨论，弄清理由．例4 如课本P59图14．2．7，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m，求图中阴影部分的面积．教师分析：课本图14．2．7中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此，•我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形式，这是方向，同学们要记住．实际上S阴=S△ABC-S△ACD，•现在只要明确怎样计算S△ADC和S△ABC了，由题目中的条件可知CD=6m，AD=8m，而∠ADC=90°，因此，S△ADC =12×AD×CD=24m2，由BC=24m，AB=26m，是无法计算S，但是，我们可以求出AC=10m，而102+242=262，说明10，24，26是一组勾股数，可以推出∠ACB=90°（勾股逆定理），因此，S△ABC =12AC·BC=120m2，最后可求出S阴=96m2．评析：这题应总结出两种思想方法：一是求不规则图形的面积方法“将不规则化成规则”；二是求面积中，要注意其特殊性．学生活动：参与讲例，积极思考，提出自己的看法，归纳总结解题思路．三、随堂练习课本P60练习第1，2题．探研时空：1．已知：如图所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上任意一点．求证：2AD2=BD2+CD2AE C思路点拨：要证的结论中，AD，BD，CD都是平方项，•而勾股定理中能找到有关线段的平方项，因此，应该构造直角三角形，由勾股定理中去寻找答案．作AE⊥BC•于E，•则BE=CE=AE，BD=BE+ED，CD=CE-ED，则BD2+CD2=（BE+ED）2+（CE-ED）2，然后，通过一系列代数变换，可证得结论．教师活动：分析思路，讲清方法，特别是如何作辅助线，为什么这么做辅助线做出分析，实际上是为了构建直角三角形，利用勾股定理，才作的辅助线．证明：如图所示，作AE⊥BC于E．∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴BE=CE=AE∴BD2+CD2=（BE+ED）2+（CE-ED）2=BE2+2BE·ED+ED2+CE2-2CE·ED+ED2=2AE2+2DE2=2AD2学生活动，小组合作，讨论．听取教师的启发，完成本道题．评析：这是一道通过引辅助线，构造直角三角形，运用勾股定理的典型题目，从求证结论的需要，应作BC上的高，而从已知条件看，等腰三角形的首选辅助线也是应在BC上做高线，可见，对典型辅助线的作用一定要予以高度重视，可以说这是“经验辅助线”．蚂蚁沿图中所示的折线由A点爬到了D点，蚂蚁一共爬行了多少cm？（图中小方格的边长代表1cm）思路点拨：由勾股定理分别求得AB，BC，CD的长，则折线的长为28cm．教师活动：先独立思考，然后在班上交流，最后得到正确的结论．媒体使用：投影显示“探研时空”，展示学生的练习．教学形式：师生互动，生生互动．3．如图所示，小明为了测出电视塔到学校的距离，他把手表的12•点指向正北，此时学校在2点所指的方向，电视塔在11点所指的方向，水塔在正东方向，•且位于学校正南2000米处，已知电视塔距小明3000米，那么电视塔距学校多远呢？教师活动：操作投影仪，显示题目，引导学生独立思考，巡视，关注“学困生”．学生活动：先独立思考，再与同伴交流，踊跃上讲台“板演”．媒体使用：投影显示．参考答案：电视塔距学校5000米．四、课堂总结此课时是运用勾股定理和判定直角三角形的勾股逆定理来解决实际问题，解决这类问题的关键是画出正确的图形，通过数形结合，构造直角三角形，碰到空间曲面上两点间的最短距离问题，一般是化空间问题为平面问题来解决，即将空间曲面展开成平面，然后利用勾股定理及相关知识进行求解，遇到求不规则面积问题，通常应用化归思想，将不规则问题转换成规则问题来解决．解题中，注意辅助线的使用，特别是“经验辅助线”的使用．五、布置作业1．课本P60习题14．2第4，5，6题．2．选用课时作业设计．六、课后反思（略）第二课时作业设计一、填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，中线BE=13，另一条中线AD2=331，则AB=______．2．在△ABC中，AC=8cm，∠C=30°，BC=6cm，则S△ABC=_____．3．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD=3cm，则它的周长为_______．41，另一条直角边的长为________．5．从张村到李村、王村的公路都是笔直的，并且成90°角，到这两个村庄的距离都是1千米，从李村到王村的距离大约是_______．（精确到0.1千米）6．如果a2+b2=c2，那么（ka）2+（kb）2=（________）2，由此，并由勾股定理的逆定理知，•如果三边长分别为a，b，c的三角形是直角三角形，并且三边长分别为ak，bk与____•的三角形也是直角三角形．7．△ABC中，如果AC=3，BC=4，AB=5，那么，△ABC一定是_____角三角形，•并且可以判定∠_____是直角，如果AC，BC的长度不变，而AB的长度由5增大到5.1，•那么原来的∠C被“撑成”的角是______角．二、选择题8．分别以下列四组为一个三角形的三边的长：（1）6，8，10；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）7，8，9其中能构成直角三角形的有（）．A．四组 B．三组 C．二组 D．一组9．等腰三角形底边上高是8，周长为32，则这个等腰三角形的面积为（）．A．56 B．48 C．40 D．30三、解答题10．求出下列直角三角形中未知边的长度，如图（a～b）所示．11．如图所示，太阳能热水器的支架AB长为90cm，与AB垂直的BC长120cm，太阳能真空管AC有多长？12．如图所示，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AD=13，CD=12，求AB的长．13．一艘轮船以16海里/时的速度向东南方向航行，•另一艘轮船在同地同时以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口1.5小时后相距多远？14．如图所示，在3米高的柱子顶端有一只老鹰，•它看到一条蛇从距柱脚9米外向柱脚的蛇洞游来，老鹰立即扑去，如果它们的速度相等，问老鹰在距蛇洞多远处捉住蛇？15．如图所示，正方形ABCD的边长为4，正方形ECFG的边长为8，•求阴影部分的面积和周长．（精确到0.1）16．如图所示，起重机吊运物体，已知BC=6m，AC=18m，求AB的长．（•精确到0.1m）17．要修一个如图所示的育苗棚，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．（•精确到0.1m2）吗？与同伴交流．答案:一、1．20 2．12cm2 3．18cm 4．3 5．1.4千米 6．kc kc 7．直 C 钝二、8．B 9．B三、10．10 12 11．利用勾股定理 12．AB=4 13．相距30海里 14．4米17．利用勾股求塑料薄膜的宽18．•两直角边上的半圆面积之和等于斜边上半圆面积．。

华师版数学八年级上册14 勾股定理的应用导学案

14.2勾股定理的应用知己知彼，百战不殆。

《孙子兵法·谋攻》原创不容易，【关注】，不迷路！工欲善其事，必先利其器。

《论语·卫灵公》原创不容易，【关注】，不迷路！人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。

《左传》原创不容易，【关注】，不迷路！学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；（重点）2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.（难点）自主学习一、知识链接1.你能补全以下勾股定理的内容吗？如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么____________.2.勾股定理公式的变形：a=_________,b=_________,c=_________.3.在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)若a=3,b=4,则c=_________;(2)若a=5,c=13,则b=_________.合作探究一、探究过程探究点1：勾股定理的应用定点A、B之间的距离.【方法总结】解题关键是利用转化思想将实际问题转化成直角三角形模型，然后利用勾股定理求出未知的边长.【针对训练】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？探究点2：勾股定理逆定理的应用P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理.【方法总结】解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.①所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图②所示,这个零件符合要求吗？【针对练】如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30，DC＝2，AB＝3，BC＝4，求△ABC的面积．探究点3：利用勾股定理求短距离要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米？（已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3）4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【方法总结】求直线同侧两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.【针对训练】如图，一只蚂蚁从棱长为12cm的正方体纸盒的顶点A处，沿纸盒表面爬到点B处，已知BC＝4cm，则蚂蚁爬行的最短距离是多少？二、课堂小结1.一个梯子（如图）靠在直于地面的墙上，顶端到地面的距离为2.8m，底端距离墙面2.1m，这个梯子的长度为（）A.2.1cmB.2.8cC.3.5cmD..7cm第1题图第2题图第4题图2如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，上面露出一截，笔筒的内部底面直径是cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm3.已知甲、乙两人在同一地点出，甲往东走4km，乙南走了3km，这时甲、乙两人相距km．4.如图，有一个三级阶，它的每一级的长、宽和高分别是16，3，，点A和点B是这个台两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点，则最短路程是．5.如图，已知AB＝13cm，AD＝4cm，CD＝3cm，BC＝12cm，∠D＝90°，求四边形ABCD的面积．6.高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高公路所在直线MN 的距离分别为AA′＝2km，BB′＝4km且A′B′＝8km，要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P使A，B两城镇到P的距离之和最短，求这个最短路程．自主学习一、知识链接 1.a ²+b ²=c ² 2.22b -c 22a -c 22b a + 3.512 合作探究一、探究过程探究点1：例1解：在△ADC 中，∠ADC=90°，AC=15米，CD=12米，∴AD=9米．同理可得BD=9米，∴AB=9+9=18（米）.即A 、B 之间的距离为18米.【针对训练】解：如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，过C 点作CE ⊥AB 于E ，连接AC.∴EB=4米，EC=8米，AE=AB-EB=10-4=6（米）．在Rt △AEC 中，AC=2286+=10（米），故小鸟至少飞行10米．探究点2：例2解：由题意可得RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里.∵182+242=302，∴△RPQ 是直角三角形，∴∠RPQ=90°.∵“远航”号沿东北方向航行，∠QPN=45°，∴∠RPN=45°，∴“海天”号沿西北方向航行.例3解：∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，∴AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2，∴△ABD 、△BDC 是直角三角形，∠A=90°，∠DBC=90°，则这个零件符合要求.【针对训练】解：∵S △ADC=，∴AC ＝5.∵AB 2+CB 2＝42+32＝25＝AC 2.∴△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°.∴△ABC 的面积＝．探究点3：例4解：如图，∵油罐的底面半径是2m ，∴油罐的底面周长为2π×2=4π≈12m ．又∵高AB 为5m ，即展开图中，BC=5m ，∴AB=22512+≈13（m ）．故所建梯子最短约为13m．沿AP到P再沿PB到B，所走路程最短，此时AP+BP=A′B．在Rt△A′DB中，由答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km．【针对训练】解：蚂蚁爬行的最短路径展开图如图所示：易得AB＝＝20cm，∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm．当堂检测1.D2.D3.54.205.解：连接AC．∵AD＝4cm，CD＝3cm，∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5（cm）.∴S△ACD＝CD•AD＝6（cm2）．在△ABC中，∵52+122＝132，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S△ABC＝AC•BC ＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝30﹣6＝24（cm2）．6.解：如图，作A点关于直线MN的对称点C，再连接CB，交直线MN于点P，则此时AP+PB最小，为CB的长.过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D.∵AA′＝2km，BB′＝4km，A′B′＝8km，∴A′C＝2km，A′D＝4km，BD＝8km,则CD＝6km，在Rt△CDB 中，CB＝＝10（km），即最短距离为10km.【素材积累】指豁出性命，进行激烈的搏斗。

新华师大版八年级上册初中数学 14-2 勾股定理的应用教案

第十四章勾股定理14.2 勾股定理的应用【知识与技能】(1)能用勾股定理解决实际问题.(2)能利用勾股定理和其逆定理综合解决相关问题.【过程与方法】(1)在解决实际问题的过程中培养学生建立数学模型的意识和能力.(2)在解决问题中体会转化思想的意义.【情感态度与价值观】(1)通过对勾股定理的逆定理的探究,体会从特殊到一般的研究方法,培养良好的学习习惯.(2)在自主探究运用逆定理解决实际问题中感受数学价值,增强学好数学的信心.运用勾股定理和其逆定理解决实际问题.把实际问题转化为数学问题的思维过程.多媒体课件.思考下面的问题:1.直角三角形的性质有哪些?2.勾股定理的内容是什么?勾股定理的逆定理如何运用?3.两点之间的最短路线是什么?如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A 在AC 上运动，量的滑竿下端B 距C 点的距离为1.5米，当端点B 向右移动0.5米时，求滑竿顶端A 下滑多少米？【分析】滑竿在下滑中它的长度是不变的，先在直角三角形ACB 中利用勾股定理求出AC 的长，然后再在直角三角形ECD 中利用勾股定理求出CE 的长，即可求出AE 的长.【教师点拨】勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，他的前提是直角三角形，在求解时常运用题目中的条件构造直角三角形，而构造直角三角形方式有两种：一是根据已知条件中的直角构造，二是作垂线构造.（1）勾股定理只在直角三角形中成立，运用时，必须分清斜边、直角边，然后在使用；若没有明确告诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解。

（2）勾股定理将“形”转化为“数”，而这对于实际问题的解决起着积极的作用。

（3）勾股定理的应用：1.已知直角三角形任意两边，求第三边；2.已知直角三角形的一边，求另两边的关系；3.用于说明平方关系；4.作长为n 的线段。

【正式作业】教材118P 习题1.14 6。

华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教学设计

2.新课讲解：
-通过动态演示或实物模型，引导学生发现直角三角形三边之间的关系，从而引出勾股定理。
-结合图形，详细讲解勾股定理的公式及其推导过程，让学生深刻理解定理的内涵。
-通过例题，展示勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、确定直角三角形的形状等。
3.课堂练习：
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固勾股定理的知识。
2.实践应用题：设计一道与实际生活相关的勾股定理应用题，要求同学们运用所学知识解决问题。例如，假设学校旗杆的高度不易直接测量，但我们可以测得旗杆底端到地面的水平距离以及旗杆顶端到视线的垂直距离，请计算旗杆的大致高度。
3.创新思维题：请同学们思考并尝试证明勾股定理的逆定理，即在一个三角形中，如果一边的平方等于另外两边平方和，那么这个三角形是直角三角形。鼓励同学们运用多种方法进行证明，如几何法、代数法等。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将勾股定理与问题情境有效结合。教师应通过丰富的实例，引导学生学会运用勾股定理分析问题、解决问题。
3.学生的几何直观能力和逻辑思维能力发展不平衡，部分学生可能在学习过程中感到困难。教师应关注学生的个体差异，提供不同难度的学习任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.学生在合作学习过程中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题。教师应引导学生学会倾听、表达和协作，提高学生的团队协作能力。
-针对学生的错误，及时进行讲解和指导，帮助学生克服难点。
4.小组合作：
-将学生分成小组，针对实际问题进行讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
-引导学生运用勾股定理解决实际问题，如设计建筑物的高度、测量河流宽度等。
5.课堂小结：
-通过提问、总结等方式，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识结构。

华师大版-数学-八年级上册- 华师大版数学勾股定理的应用导学案

14.2勾股定理的应用学习目标、重点、难点【学习目标】1.理解购股定理及其逆定理2.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.【重点难点】1.正确熟练地运用勾股定理解决实际问题2.勾股定理的应用知识概览图勾股定理勾股定理的逆定理新课导引【生活链接】 1．小明家住高楼的20层，一天他买回一根2．8m长的钢管，想坐长、宽、高分别为1．2 m， 1．2 m，2．1m的电梯上楼，那么这根钢管能放人电梯吗?2．一楼房三楼失火，消防队员赶来灭火，了解到每层楼高3m，队员取来6．5 m长的云梯，如果梯子的底部离墙根2．5 m，那么消防队员能否从三楼窗户进入灭火?3．如左下图所示，有一个长方体，在A点有一只蚂蚁，它想吃到B点处的食物，则它需要爬行的最短路线的长是多少?4．小颖在玩剪纸，如右上图所示的是她剪完后剩下的余料，根据图中数据，你能判断出她剪下的图形的面积吗?【问题探究】上述问题都是本节内容的实际应用，想一想，怎样将实际问题转化为数学问题呢?教材精华知识点应用勾股定理解决实际问题难点解决两点距离问题：画出正确图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边．解决航海问题：理解方向角、灯塔等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解题．解决实际问题中两线段是否垂直的问题：以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题．解决折叠问题；正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题．解决梯子问题：梯子架到墙上，梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题．解决侧面展开图上两点间距离问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短的问题．→实际应用拓展运用勾股定理及其逆定理解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活运用所学的知识，达到融会贯通的目的．其中利用勾股定理列方程也是常用方法之一．课堂检测基础知识应用题1、如图14－30所示，长方体的高为3cm，底面是边长为2cm的正方形，一只小蚂蚁从点A出发，沿长方体侧面到达点C处，小蚂蚁走的路程最短为多少?2、有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方月点，则梯子最短需多少米?3、小明想知道旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了2米，当他把绳子的下端拉开距旗杆底部8米时，发现绳子的末端刚好接触地面，求旗杆的高度，综合应用题4、如图14－34所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．5、如图14－35所示，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH的四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是 ( )A．CD，EF，GHB．A B．EF，GHC．AB，CD，GHD．AB，CD，EF6、如图14－36所示，甲、乙两人比赛的原定路线为A→C→B，已知AC＝600m，BC＝800m，甲的速度为7m／s，乙的速度为 10 m／s，甲先按原定路线跑1 min后，乙才开始跑，同时乙为了先到B，决定沿A→B这条近路跑．问甲、乙谁先到达B，请说明理由.7、如图14－37所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为 2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′：①等于1米；②大于1米；③小于1米．其中正确结论的序号是．8、如图14－38所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝16 cm，将△ABC 折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为 ( )A．92cm B．73cmC．72cm D．53cm探索与创新题9、如图14－39所示，王利家住高楼的15层，上、下楼都乘坐电梯，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别是1．2 m， 1．2 m，2．1 m，那么能放到电梯内的竹竿的最大长度是多少?10、李老师让同学们讨论这样一个问题：如图14－40所示，有一个长方体盒子，底面正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长方体盒子下底面的A点有一只小蚂蚁，它想吃到上底面的F点处的食物，则它怎样爬行路程最短?最短路程是多少?过了一会儿，李老师问同学们答案，甲生说：“先由A点到B点，再走对角线BF．”乙生说：“我认为应由A先走对角线AC，再由C到F点．”丙生说：“将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，利用勾股定理求AF的长．”丁生说：“将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，利用勾股定理求AF的长．”你认为哪位同学的说法正确?(参考数据：29≈5．392)11、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图14－43(1)所示，根据勾股定理可知a2＋b2＝c2，若△ABC不是直角三角形，如图14－43(2)和(3)所示，请类比勾股定理，试猜想a2＋b2与c2的关系，并证明你的结论．12、已知四边形ABCD中，AB＝BC＝3ABC＝60°，∠BAD＝90°，且△ACD是一个直角三角形，求AD的长．体验中考如图14－47所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示的方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为 .学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析把长方体的侧面展开，得到一个长方形，连结AC，再利用勾股定理即可解决问题．解：如图14－31所示，将此长方体侧面展开后得到长方形，连结AC，由勾股定理可知AC2＝32＋42＝52，即AC＝5cm．所以小蚂蚁所走的最短路程为5cm．【解题策略】长方体是立体图形，计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，而计算不同面上的两点之间的表面距离就变成了两个面之间的问题，必须将它们转化到同一个平面内进行求解．|规律·方法| 解此类问题一般运用的是转化思想的方法．2、分析环绕油罐建梯子，想到将圆柱沿AB展开，得到一个长方形，由两点之间线段最短，构造直角三角形，再利用勾股定理解题．解：如图14－32所示，将圆柱体的侧面沿AB展开，得到长方形AA′B′B，则AB＝A′B′＝5米，AA′＝BB′＝12米，∠A′＝90°，因此沿AB，建梯子，梯子最短．在Rt△AA′B′中，AB′2＝AA′2＋A′B′2＝122＋52＝169．∴AB′＝13米．答：梯子最短需13米．【解题策略】在实际生产、生活、建筑中有很多图形是直角三角形，或者可以构成直角三角形，在计算中常常应用勾股定理．3、分析旗杆与地面垂直，绳子拉开后构成直角三角形，其中一直角边为8米，斜边比另一直角边长2米，根据勾股定理，可列方程求解．解：如图14－33所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝8米，AC比AB长2米，设AB＝x米，则AC＝(x＋2)米，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴x2＋82＝(x＋2) 2．解得x＝15米．答：旗杆的高度是15米．【解题策略】注意实际问题向几何图形的转化，即AC＝AB＋2，BC＝8，解题时要利用方程的思想，根据勾股定理可列出方程．4、分析由于S△BED＝12DE·AB，所以只要求出DE的长即可，而DE＝BE，AE＝AD－DE＝8－BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解．解：∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EB＝E D．设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2．∴42＋(8－x) 2＝x2．∴x＝5，∴DE＝5．∴S△BED＝12DE·AB＝12×5×4＝10．【解题策略】本题是折叠’问题，在折叠问题中常用到轴对称、勾股定理的知识，先把条件集中到一个直角三角形中，再利用勾股定理列方程求解．5、分析本题综合考查勾股定理及其逆定理．先利用网格图中的线段、角的特征，结合勾股定理计算出线段的长，再判断哪些线段能构成直角三角形，比如由AB8EF5，GH13AB2＋EF2＝82＋5)2＝13，GH2＝132＝13，故AB2＋EF2＝GH2，因此AB，EF，GH能构成一个直角三角形．故选B．【解题策略】每一个小方格的边长都为1，因此可利用方格的直角构造直角三角形，从而可运用勾股定理解题．6、分析要比较甲、乙谁先到达B，先求出由A→C→B甲所用的时间，由A→B乙所用的时间，再比较．因甲、乙两人的速度是已知的，故只需求出A→C→B与A→B的路程即可．解：乙先到达B．理由如下：由图可知△ABC为直角三角形，所以AB2＝AC2＋BC2＝6002＋8002＝10002，所以AB＝1000 m．所以甲用的时间为6008007＝200(s)，乙用的时间为100010＝100(s)．又因为甲先跑1 min，而200－60＞100，所以乙先到达B．7、分析由勾股定理，得AB2＝OA2＋OB2＝22＋72＝53，A′B2＝AB2＝53．在Rt△A′B′O中，OB′2＝A′B′2－OA′2＝53－32＝44，所以36＜OB′2＜49，即6＜OB′＜7．BB′＝OB－OB′＜1．故填③．【解题策略】梯子问题是近几年中考的一个热点，该类题型以考查直角三角形的相关知识为主，解此类型题的关键是理解梯子在变化过程中(包括挪移、下降)梯子长度不变，梯子与墙、地面组成直角三角形，可利用直角三角形解题．8、分析本题主要考查勾股定理在折叠问题中的应用．由题意知△ADE与△BDE关于直线DE正对称，所以BD＝AD，设CD＝x cm，则AD＝BD＝(16－x)cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，即122＋x2＝(16－x) 2，解得x＝72．故选C．9、分析所放竹竿的最大长度应是图中线段AB的长度，故利用勾股定理即可求解．解：连结AB，BC，在Rt△ABC中，BC2＝1．22＋1．22＝2．88，AC2＝2．12＝4．41，∴AB2＝BC2＋AC2＝2．88＋4．41＝7．29．∴AB＝2．7(m)．∴能放入电梯内的竹竿的最大长度是2．7 m．【解题策略】解此题的关键是从空间的立体图形中找出所用的平面图形，即直角三角形．10、分析要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连结AF，再求出AF，但AF在盒子里面，不符合题目要求．甲生和乙生的方法类似，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了．解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，如图 14－41所示，则AE＝AB＋BE＝4 cm，EF＝3 cm，连结AF，在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝42＋32＝25，∴AF＝5 cm．连结BF，∵AF＜AB＋BF，∴丙的方法比甲的好．按丁生的办法：将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，如图 14－42所示，则BF＝BC＋CF＝3＋2＝5(cm)，AB＝2 cm，连结AF．在Rt△ABF中，AF2＝BF2＋AB2＝52＋22＝29≈5．392，∴AF≈5．39 cm．连结AC，∵AF＜AC＋CF，∴丁的方法比乙的好．比较丙生与丁生的计算结果，可知丙生的说法正确．【解题策略】假如蚂蚁能飞，则应由A沿空间对角线AF直接飞到F，这个距离不是最短吗?这种想法很有创意，因为现实生活中的确有能飞的蚂蚁，但本题限定蚂蚁只能在盒子的外表面爬行，不能进入到里面的空间，所以这种办法是行不通的．11、分析本题综合考查有关勾股定理的探究性问题，通过添加辅助线构造直角三角形，运用勾股定理求解．解：若△ABC是锐角三角形，则有a2＋b2＞c2，若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2＋b2＜c2．当△ABC是锐角三角形时，如图14－43(2)所示，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x，则有DB＝a－x，根据勾股定理得b2－x2＝c2－(a－x) 2，即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2，所以a2＋b2＝c2＋2ax，因为a＞0，x＞0，所以2ax＞0，所以a2＋b2＞c2．当△ABC为钝角三角形时，如图14－43(3)所示．过B点作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设CD＝x，则BD2＝a2－x2，根据勾股定理，得(b＋x) 2＋a2－x2＝x2，即b2＋2bx＋x2＋a2－x2＝c2，所以a2＋b2＋2bx＝x2，因为b＞0，x＞0，所以2bx＞0，所以a2＋b2＜c2．|规律·方法| 解本题运用了类比的方法．12、分析因为AD在Rt△ACD中，所以应该想到用勾股定理求解．由题可知△ABC为等边三角形．由∠BAD＝90°，可知∠DAC＝30°．只知△ACD是一个直角三角形，却不知△ACD中哪个角是直角，由于没有确定斜边，因此可分别以AC为斜边和AC为直角边两种情况讨论，不要丢解．解：①当∠ADC＝90°时，如图14－44(1)所示，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，所以△ABC 是等边三角形，所以AC =AB ＝3因为∠BAD ＝90°，所以∠CAD ＝30°，又因为∠ADC ＝90°，故CD 3所以AD 22(23)(3)-3．②当∠ACD ＝90°时，如图14－44(2)所示，易求∠CAD ＝30°，设CD ＝x ，则AD ＝2x ，根据勾股定理，得(2x )2＝32＋x 2，解得x ＝2，则AD ＝4，所以AD 的长为3或4．|规律·方法| 解此类图形未确定的问题，一般应考虑所有情况，运用分类讨论的思想来解决．体验中考分析本题主要考查勾股定理在折叠问题中的应用．在 Rt △ABC 中，由∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6可知AB 22AC BC +10，由折叠可知BC ′＝BC ＝6，C ′D ＝CD ，易知 AC ′＝AB －BC ′＝4，设CD ＝x ，则C ′D ＝CD ＝x .在Rt △AC ′D 中，由AC ′2＋C ′D 2＝AD 2可得42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3．所以在Rt △BCD 中，BD 22BC CD +2263+369+455.故填5．。

2021-2022学年华东师大版八年级上册数学《勾股定理的应用》导学案

华师版数学八年级上14.2.2勾股定理的应用导学案课题14.2.2 勾股定理的应用单元第14章学科数学年级八年级学习目标1.会用勾股定理解决简单的实际问题.2.树立数形结合的思想.重点难点用勾股定理解决简单的实际问题导学环节导学过程自主学习预习课本，完成下列各题：1.有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？2、如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离，小亮在点C处立一标杆，使∠ABC 是直角．测得AC的长为85m，BC的长为75m，那么点A与点B的距离是多少？合作探究探究一：例3 如,在3x3的方格图中，每个小方格的边长都为1,请在给定网格中按下列要求画出图形:(1) 画出所有从点A出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为5的线段;(2) 画出所有以题(1)中所画线段为腰的等腰三角形.探究二：例4 如,已知CD=6m,AD=8m, ∠ADC=90°, BC=24m, AB=26m. 求图中着色部分的面积.在解决勾股定理的应用问题时，关键是把实际问题中的量转化到直角三角形的三边中把实际问题中的数值转化为直角三角形的三边长。

当堂检测1、我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈=10尺，那么折断处离地面的高度是______尺．2、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．3、如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．（结果保留整数）4、在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D （A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA=6.5千米，CD=6千米，AD=2.5千米．（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线BC的长．5、如图，将四边形ABCD的土地绿化，测得AB=20m，BC=15m，CD=7m，AD=24m，且AB⊥BC，若每平方米草皮120元，问共需多少钱？课勾股定理的应用有哪些？堂小结参考答案自主学习：1、解：设水深x尺，那么荷花径的长为（x+1）尺，由匀股定理得：x2+32=（x+1）2．解得：x=4．答：水池的水深有4尺．2、解：由题意得，AC=85米，BC=75米，在Rt△ABC中，AB===40米即A、B两点间的距离为40米．合作探究：探究一：分析只需利用勾股定理看哪一条以格点为端点的线段满足要求.解: (1)中,AB、AC、AE、AD的长度均为.(2)中,△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED就是所要画的等腰三角形.探究二：解在Rt△ADC中，AC2 = AD2 + CD2(勾股定理)82+62= 100，AC= 10.AC2+ BC2 = 102+242= 676 = 262= AB2.△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理)，S阴影部分=S△ACB一S△ACD=21×10×24-21×6×8=96( m2 ).当堂检测：1、解：1丈=10尺，设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2解得：x=4.55．答：折断处离地面的高度为4.55尺．故答案为：4.55．2、解：如图，设大树高为AB=12m，小树高为CD=6m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=CD=6m，EC=BD=8mAE=AB-EB=12-6=6m，在Rt△AEC中，AC=10m，故小鸟至少飞行10m．3、解：作AB⊥L于B，则AB=30m，AD=50m．∴BD=40m．设CD=x，则CB=40-x，x2=（40-x）2+302，x2=1600+x2-80x+302，80x=2500，x≈31，4、解：（1）是，理由：∵62+2.52=6.52，∴CD2+AD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，∴CD⊥AB，∴CD是从村庄C到河边最近的路；（2）设BC=x千米，则BD=（x-2.5）千米，∵CD⊥AB，∴62+（x-2.5）2=x2，解得：x=8.45，答：路线BC的长为8.45千米．5、解：连接AC，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2=202+152=400+225=625=252，所以AC=25，又因为AD2+CD2=242+72=576+49=625=AC2所以∠ADC=90°，所以S S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×20×15+×7×24cm2=234cm2．所以需要的钱数为120×234元=28080元．故共需28080元钱．课堂小结：1、最短路线的问题往往是把立体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段最短”确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离2、生活中的实际问题面积树高路长问题。

华东师大版八年级上册数学教学设计《14.2勾股定理的应用(2)》

华东师大版八年级上册数学教学设计《14.2勾股定理的应用（2）》一. 教材分析《14.2勾股定理的应用（2）》这一节内容，是在学生已经掌握了勾股定理的基础上进行学习的。

本节课主要让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。

教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了勾股定理的基本知识，对于运用勾股定理解决一些简单问题已经没有太大的困难。

但是，学生在解决实际问题时，可能会因为对题目的理解不够深入，而导致无法正确运用勾股定理。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生深入理解题目，找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过例题和练习题，培养学生的解题能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学与生活的联系，培养学生的数学兴趣。

四. 教学重难点1.重点：让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用。

2.难点：如何引导学生找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理解决实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解例题和解析练习题，引导学生掌握勾股定理的应用。

2.引导法：教师通过提问和引导，帮助学生找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理。

3.练习法：学生通过做练习题，巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相应的教学材料和课件。

2.学生准备：学生需要预习本节课的内容，了解勾股定理的应用，准备好笔记本和文具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“一个直角三角形的两条直角边长分别为3米和4米，求这个直角三角形的斜边长。

”让学生思考并讨论如何解决这个问题，从而引出勾股定理的应用。

2023年华师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》导学案

新华师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》导学案
学习目标
1. 综合运用勾股定理和逆定理解决实际问题；；
2. 提高综合运用勾股定理和逆定理的能力
学习重点综合运用勾股定理和逆定理解决实际问题；
学习难点：实际问题转化成数学问题再转化为直角三角形中
教学设计：
一. 设置情景（导入新课）
二.自主学习（发现知识）
例：如图,一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积.
三. 合作探究（理解知识）
如图，△ABC的三边分别为A C=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC•落在AB上，求DC的长．
四. 展示点评（归纳知识）
一只鸭子要从边长分别为16m和6m的长方形水池一角M•游到水池另一边中点N，那么这只鸭子游的最短路程应为多少米？
1、已知等腰△ABC的周长为26,AB=AC,且AB=BC+4,求:
⑴底边BC上的高。

⑵△ABC的面积和一腰上的高。

五．当堂训练（运用知识）
；
已知矩形AB CD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于E，AD＝8，AB＝4，求DE的长？
如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
六．小结反思（强化知识）
七．课后反思：
：你都学到了些什么？有哪些地方还是让你感到疑惑的？……。

华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教案

课题：14.2 勾股定理的应用总第 4 课时设计者：学校:【教学目标】知识与技能：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件情感态度与价值观：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情。

【教学重点难点】重点：勾股定理及逆定理的应用难点：勾股定理的正确使用【教具应用】三角板圆规圆柱的侧面展开图【教学过程】一、提出问题、创设情景一圆柱体的底面积为20cm ，高为4cm ，BC 是上底面的直径，一只蚂蚁从A 点出发，沿着圆柱的侧面爬行到C 点，你能求出它爬行的最短路程吗？二、自学练习：（动手试一试）（1）自制一个圆柱，尝试从A 点到C 点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为那条线最短呢？（2）沿AB 点将圆柱的侧面剪开，展开成一个长方形。

从A 点到C 点的最短路线是什么？你画对了吗？( 3）蚂蚁从点A 出发到C 点，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？教师点拨：引导学生动手操作。

通过感性认识来突破学生空间想象的难点。

让学生在自制的圆柱侧面上寻找最短路线，提醒学生将圆柱侧面展开成长方形，1此时学生发现“两点之间线段最短”这个结论，进而解决问题。

三、合作交流：沿AB 将圆柱侧面剪开，展开成一个长方形，如图，则⊿ABC 是__________三角C D B C形AB=_________,BC=_________AC=___________ .四、应用：1、见课本58页例2.学生交流，讨论解决本例：厂门宽度足够，卡车能否通过关键是卡车位于厂门正中间时，其高度是否小于CH ，O 为AB 中点，OD=0.8米，CD ⊥AB ,与地面交于H是直角三角形，OC=1米，运用勾股定理求出CD ,进而求出CH.再和卡车高度2.5米比较测评：1. 从电线杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B 的距离。

2.求出下图中字母所代表的小结：由学生分小组进行总结，教师从几个方面给予知识点的补充:1.勾股定理及逆定理2.定理的应用方法3.本节所用到的教学思想方法作业：P60页1 、3题选作：有一块砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ,CD 上的点B AB N DC B距地面BD=8cm ，地面上A处的一只小虫子到B处吃食物，需爬行的最短路程是多少？【教后反思】。

华东师大版八年级上册数学学案：14.2勾股定理的应用

1 / 4学法指导1、用10分钟左右的时间，阅读课本P57---60页认真看课本的例题，利用勾股定理以及判定的内容，完成本节课本中的练习题。

2、独立、限时完成本节导学案，记录下疑惑的地方上课与同学讨论【预习案】预习自测1、下列三角形中，不满足直角三角形的条件为（）A三个角度之比为1:2:3的三角形是直角三角形B三边长之比为3:4:5的三角形是直角三角形C三边长之比为8:16:17的三角形是直角三角形D三个角度之比为1:1:2三角形是直角三角形2、有一条长为24cm的金属丝，将它变成直角三角形，使两直角边的比为3:4，则斜边长为3、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8:00，甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走。

1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行走。

上午10:00，甲、乙两人相距多远？我的疑惑请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学拓展提升长方体的高位3cm，底面是边长为2cm的正方形，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体侧面到达点C处，蚂蚁走的最短路程为多少？AC3 / 4探究解决。

例2 如右图长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也滑动1m ？探究点二勾股定理与等腰三角形的结合应用例3 如图，在△ABC 中，AB=26，BC=20,边BC 上的中线AD=24.求AC 的长.例4如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点 F处，已知AB=8cm,BC=10cm,求CE 的长。

当堂检测1、若一个三角形的三边长之比为5:12:13，且周长为60cm ，则它的面积为2、如图，阴影部分是以直角三角形的边长为边的正方形，根据图中数据，可求出阴影部分的面积为3、如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米处有一棵高约16米的大树，一次强风中这棵大树从离地面6米处折断倒下，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？理由是什么？12cm13cmDA4 /4我的收获：BFCE。

八年级数学上册第14章勾股定理14.2勾股定理的应用导学案华东师大版

14.2 勾股定理的应用【学习目标】1.准确运用勾股定理及逆定理2.经历探究勾股定理的应用过程，掌握定理的应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。

3.培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用价值。

【学习重难点】1、掌握勾股定理及逆定理2、正确运用勾股定理及逆定理【学习过程】一、课前准备1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_______；若AB=4，BC=则AC=________．2、一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm、3cm，•则第三边的长是_________．3．要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m．•问至少需要多长的梯子？二、学习新知自主学习：1．如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．（精确到0.01cm）（1）自制一个圆柱，尝试从A点到C点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到C点的最短路程是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点出发，想吃到C点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？学习体会：我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a2+b2=c2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．实例分析：例1、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如左图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?例2、如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：从点A出发一条线段AB使它的另一端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数例3：已知CD=６m， AD=８m，∠ADC=90°， BC=24m，AB=26m。

八年级数学上册第十四章勾股定理 14.2 勾股定理的应用(2)教案 (新版)华东师大版

14.2勾股定理的应用（2）教学目标：1.会用勾股定理解决较综合的问题.2.树立数形结合的思想.教学重点勾股定理的综合应用.教学难点勾股定理的综合应用.教学过程一、课前预习1.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______．解：设底边长为2x，则腰长为16-x，有（16-x）2=82+x2，x=6，∴S=×2x×8=48．2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）使三角形的三边长分别为；（2）使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．甲乙二、合作探究问题探究1：边长为无理数例1：如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）画出所有从点A出发，另一端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为5的线段；（2）画出所有的以（1）中所画线段为腰的等腰三角形.教师分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．解：（1）如下图中，AB.AC.AE.AD的长度均为5．（2）如下图中△ABC.△ABE.△ABD.△ACE.△ACD.△AED就是所要画的等腰三角形．问题探究2：不规则图形面积的求法例2：如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求图中阴影部分的面积．解：在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝62＋8＝100（勾股定理），∴AC＝10m.∵AC2＋BC2＝102＋242＝676＝AB2，∴△ACB为直角三角形（如果三角形的三边长A.B.c有关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形），∴S阴影部分＝S△ACB－S△ACD23 ＝12×10×24－12×6×8＝96（m 2）．三、课堂巩固（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开．大会会标如图甲，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积；（2）现有一张长为6.5cm ，宽为2cm 的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．乙解：（1）设较长直角边为b ，较短直角边为a ，则小正方形的边长为：a -b ．而斜边即为大正方形边长，且其平方为13，即a 2+b 2=13①，由a +b =5，两边平方，得a 2+b 2+2ab =25．将①代入，得2ab =12．所以（b -a ）2=b 2+a 2-2ab =13-12=1．即小正方形面积为1；（2）由（2）题中矩形面积为6.5×2=13与（1）题正方形面积相等，仿照甲图可得，算出其中a =2，b =3，如图．四、课堂小结1.我们学习了什么？2.还有什么疑惑吗？五、课后作业习题4。