基本初等函数知识点总结

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初等基本函数知识点总结

初等基本函数知识点总结函数是数学中最基本的概念之一，它在数学的各个分支中都有着重要的应用。

初等基本函数是指在初等数学范围内常见的基本函数，包括常数函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。

本文将对这些初等基本函数的概念、性质等进行总结和介绍。

一、常数函数常数函数的定义是f(x) = c （c为常数）。

这里的c就是常数函数的函数值，它是一个常数，和x的取值无关。

在坐标系中，常数函数的图象是一条水平的直线，它的斜率为0。

常数函数的性质有：1. 常数函数的图象是一条水平的直线。

2. 常数函数的定义域是全体实数集R，值域为{c}。

3. 常数函数的导数为0，即f'(x) = 0。

4. 常数函数是一个一一对应的函数。

5. 常数函数是奇函数，偶函数，周期函数，增函数，减函数等的特殊情况。

二、一次函数一次函数的定义是f(x) = kx + b （k和b为常数，k≠0）。

在坐标系中，一次函数的图象是一条通过点P(k，b)的直线，它的斜率为k，截距为b。

一次函数的性质有：1. 一次函数的图象是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点位置。

2. 一次函数的定义域是全体实数集R，值域是一切实数集R。

3. 一次函数的导数为k，即f'(x) = k。

4. 当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是减函数；当k=0时，一次函数是常数函数。

5. 一次函数是一个奇函数，因为f(-x) = -kx + b = -f(x)。

三、二次函数二次函数的定义是f(x) = ax^2 + bx + c （a、b和c为常数，a≠0）。

二次函数的图象是一个开口向上或者向下的抛物线，它的开口方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

二次函数的性质有：1. 二次函数的图象是一个抛物线，它关于y轴对称，对称轴方程为x = -b/2a。

基本初等函数知识总结

1
1
0
x
y loga x
y log2 x
y log3 x y log1 x x
3
y log1 x
2
性质
底数互为倒数的两个指数
一函数的图象关于y轴对称。
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。
性
质在 y轴的右边看图象,图象二越高底数越大.即底大图高
在 x=1的右边看图象,图象越高底数越小.即底小图高
幂函数
函数y=xα叫做幂函数, 其中x是自变量, α是常数.
对于幂函数，我们只
讨论 1, 2, 3, 1 , 1
2
时的情形
y y x3
y x2
1 -1
O1
-1
yx
1
y x2
y1 x
x
幂函数的性质
函数性质
定义域值域
奇偶性
单调性
公共点
y=x y=x2
R
R
R [0,+∞) 奇偶
增
[0,+∞)增
n am
同时: 0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂
没有意义
2.有理数指数幂的运算性质
a a a r s
r s(a 0,r, s Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加
r
a a r -s (a 0,r, s Q) 同底数幂相除, 底数不变指数相减 as
(a ) a r s
rs (a 0,r, s Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘
o
x
①x∈ (0,+∞) ； ② y∈ R;
③过定点(1, 0)
性 ④当x＞ 1时,y＞ 0, 质 0＜ x＜ 1时, y＜ 0

基本初等函数知识点归纳

基本初等函数知识点归纳1.常值函数：常值函数是指在定义域上的值始终相同的函数。

常见的常值函数有恒等于0的零函数和恒等于1的单位函数。

常值函数的图像是一条与x轴平行的直线。

2.幂函数：幂函数是指形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。

当n 为正偶数时，函数的图像在原点右侧递增；当n为正奇数时，图像在全定义域递增；当n为负数时，图像在全定义域递减。

特殊地，当n为0时，函数为常值函数13.指数函数：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为正实数且a≠1、指数函数的图像可以是递增或递减的曲线，具体取决于底数a的大小关系。

当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减。

指数函数特点是它们的图像都经过点(0,1)。

4. 对数函数：对数函数是指形如y = log_a(x)的函数，其中a为正实数且a ≠ 1、对数函数是指数函数的反函数，因此它们的图像是关于y = x对称的。

对数函数的图像在定义域上递增，对数函数的唯一一个特殊点是(1,0)。

5. 三角函数：三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)、余切函数cot(x)、正割函数sec(x)和余割函数csc(x)。

这些函数在三角学中起着重要的作用，并且它们的图像都是周期性的。

正弦函数和余弦函数的图像是一条在[-1,1]之间往复的波浪线，而正切函数和余切函数的图像是一条通过原点的无数个波浪线。

6. 反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数。

反三角函数包括反正弦函数asin(x)、反余弦函数acos(x)、反正切函数atan(x)等。

它们的定义域和值域与所对应的三角函数的范围正好相反。

反三角函数的图像和所对应的三角函数的图像关于y = x对称。

以上是基本初等函数的主要内容，它们是数学中最常见的函数，不仅在实际问题中有着广泛的应用，而且还在高中数学的教学中起到了重要的作用。

通过对这些函数的学习与理解，可以更好地掌握数学知识，提高数学解题的能力。

(完整版),基本初等函数公式总结,推荐文档

( f g)dx f dx gdx kfdx k f dx
运算公式：
fg dx f dg fg g df
分部积分法计算法则
对
幂
指
三
ln x
x
ex
sin x 、 cos x
两两组合，位置排在前面的选 f ，排列在后面的选 g
dx c dx
1 dx d ln x x
凑微分公式 1 dx 2d x x
导数公式
(c) 0 (0) 0
(x) 1 (x2 ) 2x
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(sin x) cos x (cos x) sin x
1 0
1 x
1 x2
(a x ) a x ln a
( f g) ( f ) (g) ( fg) ( f )g f (g) (kf ) k( f )
0 dx c
1 dx x c
x
dx
1 2
x2
c
1 x2
dx 1 c x
不定积分公式
1 x
dx 2
x c
ax dx ax c
ln a
不定积分运算法则：加减法，数乘
x
dx
2
3
x2
c
3
xa dx 1 xa1 c
a 1
1 x
dx
ln |
x | c
ex dx ex c sin x dx cos x c cos x dx sin x c
(x a ) ax a1
( x) 1 2x
(e x ) e x
f g
(
f
)g g2
f
(g)

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点1.函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入数值映射到唯一的输出数值。

函数通常用f(x)来表示，其中x是输入变量，f(x)是输出变量。

函数可以用图形、符号或表格来表示。

2.定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的数值的集合，而函数的值域是所有可能的输出数值的集合。

定义域可写作D(f)，值域可写作R(f)。

3.线性函数：线性函数是一种具有常数斜率的函数。

它的形式为f(x) = mx + b，其中m是斜率，b是截距。

线性函数的图形是一条直线。

4.幂函数：幂函数是一种形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b是常数。

幂函数的图形通常是一条平滑的曲线。

当b为正偶数时，曲线在x轴的正半轴都是上升的；当b为负偶数时，曲线在x轴的正半轴是下降的。

5.指数函数：指数函数是以常数e为底的函数，它的形式为f(x)=a^x，其中a是指数底数。

指数函数的图形为一条逐渐增长（或逐渐减小）的曲线。

6.对数函数：对数函数是指以常数a为底的对数函数，它的形式为f(x) =log_a(x)，其中a为底数，x为函数的输入值。

对数函数是指数函数的反函数，即f(x) = a^x的反函数。

7.三角函数：三角函数是有关三角形角度与边长之间的关系的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

三角函数的图形是周期性的曲线，周期为2π。

8.反函数：反函数是指满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数对。

反函数可以通过交换函数的输入和输出得到。

9.复合函数：复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的函数关系。

复合函数可以表示为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(x)是另一个函数。

10.奇偶函数：奇函数是满足f(-x)=-f(x)的函数，而偶函数是满足f(-x)=f(x)的函数。

奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。

这些是基本初等函数的一些常见知识点，掌握了这些知识点可以帮助你理解函数的基本概念、性质和图像，为进一步学习更高级的数学知识打下坚实的基础。

基本初等函数知识总结

基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的自变量的集合，值域是所有对应的因变量的集合。

2. 奇偶性：一个函数可以是奇函数或偶函数，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

3. 单调性：函数可以是单调递增或单调递减的。

单调递增函数满足当x1小于x2时，f(x1)小于f(x2)；单调递减函数则相反。

二、常见的基本初等函数1. 幂函数：指数函数是形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。

根据n的不同取值，幂函数可以分为多种情况，如正幂函数、负幂函数、倒数函数等。

2. 指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，常见的指数函数有以e为底的自然指数函数（y=e^x）和以10为底的常用对数函数（y=log(x)）。

3. 对数函数：对数函数是指以某个正实数为底的函数，常见的对数函数有以e为底的自然对数函数（y=ln(x)）和以10为底的常用对数函数。

4. 三角函数：三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数（y=sin(x)）、余弦函数（y=cos(x)）、正切函数（y=tan(x)）等。

5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，常见的反三角函数有反正弦函数（y=arcsin(x)）、反余弦函数（y=arccos(x)）、反正切函数（y=arctan(x)）等。

三、基本初等函数的图像和性质1. 幂函数的图像与性质：平方函数（y=x^2）的图像是一个开口上的抛物线，立方函数（y=x^3）的图像则是一个S形曲线。

幂函数的性质与指数n的奇偶性、正负有关。

2. 指数函数的图像与性质：自然指数函数（y=e^x）具有递增的特点，其图像是一条通过原点且向上增长的曲线。

常用对数函数（y=log(x)）的图像则是一条斜率逐渐减小的曲线。

基本初等函数知识点总结

基本初等函数知识点总结1.常数函数：常数函数是指函数的值在定义域内都保持不变的函数。

表示为f(x)=c，其中c是常数。

常数函数的图像是一条平行于x轴的直线。

常数函数的性质是恒等性，即f(x)=f(x')，对于任意x和x'都成立。

2.平方函数：平方函数是指函数的值与自变量的平方成正比的函数。

表示为f(x)=x²。

平方函数的图像是一条开口向上的抛物线。

平方函数的性质是奇偶性，即f(-x)=f(x)，对于任意实数x都成立。

3.立方函数：立方函数是指函数的值与自变量的立方成正比的函数。

表示为f(x)=x³。

立方函数的图像是一条通过原点且存在于所有象限的曲线。

立方函数的性质是单调性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)或f(x₁)>f(x₂)成立。

4.绝对值函数：绝对值函数是指函数的值与自变量的绝对值成正比的函数。

表示为f(x)=，x。

绝对值函数的图像是一条以原点为顶点且对称于y轴的V字形曲线。

绝对值函数的性质是非负性，即对于任意实数x，有f(x)≥0成立。

5.指数函数：指数函数是指函数的值与自变量的指数幂成正比的函数。

表示为f(x)=aˣ，其中a是一个正实数且a≠1、指数函数的图像是一条通过点(0,1)且与x轴和y轴都无交点的曲线。

指数函数的性质是增长性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)成立。

6. 对数函数：对数函数是指函数的值与自变量的对数成正比的函数。

表示为f(x)=logₐ(x)，其中a是一个正实数且a≠1、对数函数的图像是一条通过点(1, 0)且与x轴和y轴都无交点的曲线。

对数函数的性质是单调性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)成立。

7. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

正弦函数表示为f(x)=sin(x)，余弦函数表示为f(x)=cos(x)，正切函数表示为f(x)=tan(x)。

基本初等函数知识点

4.对数的运算性质如果，那么①ห้องสมุดไป่ตู้法：
②减法：
③数乘：
④
⑤
⑥换底公式：
知识点四：对数函数及其性质
2
1.对数函数定义一般地，函数 2.对数函数性质：函数名称定义函数对数函数且叫做对数函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域 .
图象
定义域值域过定点奇偶性单调性在上是增函数图象过定点，即当非奇非偶在上是减函数时， .
4
4.函数值域： ①y
3 2x
②y
x3 5 x
5、函数图像变换知识 ①平移变换：形如：y=f(x+a)：把函数 y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左或向右平移｜a｜个单位，就得到 y=f(x+a)的图象。形如：y=f(x)+a：把函数 y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上或向下平移｜a｜个单位，就得到 y=f(x)+a 的图象 ②.对称变换 y=f(x)→ y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→ y=－f(x) ,关于ｘ轴对称 ③.翻折变换 y=f(x)→y=f|x|, (左折变换) 把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换）把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近 y 轴。 6 函数的表示方法 ①列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法 ②图像法：如果图形 F 是函数 y f ( x) 的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法. ③如果在函数 y f ( x) ( x A) 中， f ( x) 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法 7．分段函数在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。 8 函数单调性及证明方法: ①增函数：一般地 , 设函数 f(x) 的定义域为 D, 如果对于定义域 D 内的某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2 , 当 x1<x2 时 , 都有 f(x1)< f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数。此区间就叫做函数 f(x) 的单调增区间。 ②减函数：一般地 , 设函数 f(x) 的定义域为 D, 如果对于定义域 D 内的某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2 , 当 x1<x2 时 , 都有 f(x1)> f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。此区间叫做函数 f(x) 的单调减区间。 ③证明方法第一步：设 x1、x2 是给定区间内的两个任意的值，且 x1<x2；第二步：作差 f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”；第三步：判断差式 f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性 9.函数的奇偶性 ⑴奇函数 ①设函数 y=f（x）的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有-x∈D，且 f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。 ②奇函数图象关于原点（0，0）中心对称。

基本初等函数知识点总结

基本初等函数知识点总结1.多项式函数多项式函数是由常数和幂函数通过加减乘除运算得到的函数，它的一般形式是f(x)=anx^n+an-1x^(n-1)+...+a1x+a0，其中an,...,a0是常数，n是非负整数。

多项式函数的最高次数决定了函数的增长速度，函数的图像通常是一个平滑的曲线。

2.指数函数指数函数的形式是f(x)=a^x，其中a是一个正实数且不等于1、指数函数的图像呈现出递增或递减的趋势，具有不断增长的特点。

指数函数的特点是：当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；当a=1时，函数恒为1；当x=0时，函数的值为13.对数函数对数函数的形式是f(x)=log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1，x是一个正实数。

对数函数与指数函数是互逆的关系，即对数函数是指数函数的逆函数。

对数函数的特点是：当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；当a=1时，函数恒为0；当x=1时，函数的值为0。

4.三角函数三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。

它们的图像是周期性的，周期为2π。

三角函数是以圆上的点的坐标来定义的，它们与三角关系密切相关，具有很多重要的应用，如波动、振动、旋转等。

5.反三角函数反三角函数是三角函数的逆函数，如反正弦函数arcsin(x)，反余弦函数arccos(x)，反正切函数arctan(x)等。

它们的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。

反三角函数可以用来解三角方程和求解三角函数的值，也在三角函数应用中起到重要作用。

6.指数对数函数指数对数函数是指数函数和对数函数的组合，如指数函数的反函数指数对数函数f(x)=log_a(x)，对数函数的反函数指数对数函数f(x)=a^x。

指数对数函数具有特定的增长速度和性质，广泛应用于科学、金融、工程等领域。

总结起来，基本初等函数是初等函数的基础知识，包括多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

基本初等函数公式总结

基本初等函数公式总结基本初等函数是数学中非常重要和常用的一类函数，它们的定义域和值域都是实数集合。

它们包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

这些函数有一些特殊的性质和公式，下面将对这些基本初等函数进行总结。

1.多项式函数：多项式函数是一个由常数项、一次幂、二次幂等有限次幂的项组成的函数。

它的一般形式为：f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0其中n为非负整数，ai为常数。

多项式函数的性质包括：-定义域为实数集合；-值域为实数集合；-对称性：奇次多项式函数关于原点对称，偶次多项式函数关于y轴对称；-当x趋向于正无穷大时，最高次幂项的次数决定函数的变化趋势；-多项式函数的导数是比它次数低一阶的多项式函数。

2.有理函数：有理函数是一个多项式函数除以另一个多项式函数的商。

它的一般形式为：f(x)=P(x)/Q(x)其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，Q(x)不为零。

有理函数的性质包括：-定义域为实数集合，除去使得分母为零的点；-值域为实数集合；-有理函数的奇点是使得分母为零的点；-当x趋向于无穷大时，有理函数的变化趋势由最高次幂项的次数和系数决定；-有理函数的导数可以通过求导法则得到。

3.指数函数：指数函数的一般形式为：f(x)=a^x其中a为正常数且不等于1、指数函数的特点包括：-定义域为实数集合；-值域为正实数集合；-指数函数的图像是逐渐增长或逐渐衰减的曲线；-指数函数的性质和变化趋势与底数a的大小有关；-指数函数的导数是函数本身的常数倍。

4.对数函数：对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)其中a为正常数且不等于1、对数函数的性质包括：-定义域为正实数集合；-值域为实数集合；-对数函数的图像是逐渐增长或逐渐衰减的曲线；-对数函数的性质和变化趋势与底数a的大小有关；-对数函数的导数可以通过换底公式和链式法则计算。

5.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点一、引言在数学中，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及复合运算得到的函数。

基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。

本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。

二、常数函数定义：常数函数 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是一个实数常数。

性质：常数函数的图像是一条平行于 \( x \) 轴的直线，其所有点的函数值都等于常数 \( c \)。

图像：见附录图1。

三、幂函数定义：幂函数 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数。

性质：幂函数的性质取决于指数 \( n \) 的值。

当 \( n \) 为正整数时，函数图像是 \( n \) 次幂的曲线；当 \( n \) 为负整数时，函数图像是倒数的幂函数曲线。

图像：见附录图2。

四、指数函数定义：指数函数 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a\neq 1 \)。

性质：指数函数的底数 \( a \) 决定了函数图像的形状。

当 \( a > 1 \) 时，函数是增长的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是衰减的。

图像：见附录图3。

五、对数函数定义：对数函数 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且\( a \neq 1 \)。

性质：对数函数是指数函数的逆函数。

当 \( a > 1 \) 时，函数是单调增加的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是单调减少的。

图像：见附录图4。

六、三角函数1. 正弦函数 \( \sin(x) \)2. 余弦函数 \( \cos(x) \)3. 正切函数 \( \tan(x) \)定义：这些函数与单位圆上的点的坐标有关。

性质：三角函数具有周期性，它们的周期为 \( 2\pi \)。

高考基本初等函数知识点总结

基本初等函数综合复习一、知识点总结 1. 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 . 2. 对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质定义 y ＝log a x (a >0，且a ≠1)底数a >10<a <1图象定义域值域 R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点，即x ＝1时，y ＝0函数值特点x ∈(0,1)时，y ∈ ；x ∈[1，＋∞)时，y ∈ x ∈(0,1)时，y ∈ ；x ∈[1，＋∞)时，y ∈ 对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log ax 的图象关于对称【易错题1】如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x （a ＞1）的图象上，则实数a 的值为________。

【题模1】函数图象（1）底数与图像位置关系：1、指数函数图象恒过（0，1）在第一象限是“底大图高”，2、对数函数图象恒过（1，0）：在直线1x =的右侧，当1a >时，底数越大，图象越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．3、幂函数图象恒过（1，1），在（1，1）右侧：是“指大图高”.2）函数图象变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去 y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象 y ＝f (|x |)．【讲透例题】1．设0,1a a >≠且，函数2log (2)a y x =++的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(3,2)-D ．(3,2)2、不论a 为何值时,函数图象恒过一定点,这个定点坐标是 .3．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ． C ． D ．5、设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( ) A ．y ＝f (|x |) B ．y ＝－|f (x )| C ．y ＝－f (－|x |) D ．y ＝f (－|x |)6．(多选)若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )A ．a >1B ．0<a <1C ．b >0D ．b <07、已知指数函数()x f x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（） A ．32B ．23C ．33D ．3【相似题练习】1．已知函数2(log )y x a b =++的图象不经过第四象限，则实数a b 、满足( ) A ．1,0a b ≥≥ B ．0,1a b >≥ C ． 2log 0b a +≥ D ．20b a +≥ 2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )3、已知()g x 图像与x y e =关于y 轴对称，将函数()g x 的图像向左平移1个单位长度，得到()f x ，则()f x =（）A. 1x e +B.1x e -C.1x e -+D. 1x e -- 4、（多选题）为了得到函数ln()y ex =的图象，可将函数ln y x =的图象（）A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e 倍B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1eC ．向上平移一个单位长度D ．向下平移一个单位长度 5、函数y =a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点（，） 6、函数(其中且的图象一定不经过第象限。

基本初等函数

基本初等函数指数与指数函数一、知识要点梳理1．整数指数幂的概念及运算性质(1)整数指数幂的概念(2)运算法则①；②；③；④.2．根式的概念和运算法则(1)n次方根的定义：若x n=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.(2)根式的意义与运算法则3．分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a>0，n，m N*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：4．有理数指数幂的运算性质(1)(2)(3)当a>0，p为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.注意：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；(3)幂指数不能随便约分.如.5．指数函数(1)定义：函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.(2)图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质①定义域R，值域（0，+∞）②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点③a x=a，即x=1时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1⑥既不是奇函数，也不是偶函数1．指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.2．指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若；；；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．三、例题讲解知识点一根式与分数指数幂的互化1．下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．其中正确的是()．A．①③④B．②③④C．②③D．③④2．下列根式和分数指数幂的互化中，正确的是()A．－x＝12()x-(x≠0) B．13x-＝－3x(x≠0)C.34xy⎛⎫⎪⎝⎭＝43⎪⎪⎭⎫⎝⎛yx(x，y≠0) D.6y2＝13y(y>0)3．设12a－12a-＝m，则a2＋1a等于()A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m24．在112-⎛⎫- ⎪⎝⎭、122-、1212-⎛⎫⎪⎝⎭、2－1中，最大的数是()A．112-⎛⎫- ⎪⎝⎭B．122-C．1212-⎛⎫⎪⎝⎭D．2－15．化简3a a的结果是()A ．aB ．12a C ．a 2D ．13a6．计算：(0.25)－0.5＋131()27-－6250.25＝________.7．式子a 2a ·3a 2(a >0)经过计算可得到( )．A ．AB ．－6a 5 C.5a 6 D.6a 5知识点二幂的运算性质及n na 的化简8．下列各式正确的是( ) A ．a 0＝1 B.3(－2)3＝－2C.(－2)2＝－2D.4a 4＝a9．下列各式成立的是( )A.3m 2＋n 2＝()23m n +B ．(ba )2＝12a 12bC.6(－3)2＝13(3)-D.34＝13210．下列结论中，正确的个数是( )①当a <0时，()322a＝a 3；②na n＝|a |(n >0)；③函数y ＝()122x -－(3x －7)0的定义域是[2，＋∞)；④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1.A ．0B ．1C ．2D ．311．化简(1－2x )2(2x >1)的结果是( )．A ．1－2xB ．0C ．2x －1D ．(1－2x )2 12．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是( ) A ．5－2a B ．2a －5 C ．1D ．－113．化简－x 3x 的结果是________．14．求233(3)8--＋()120.002-－10(5－2)－1＋(2－3)0的值．15．5＋26＋7－43－6－4 2.16．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy 的值．知识点三指数函数的概念17．下列各函数中，是指数函数的是( )．A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ．y ＝3x －1D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x18．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠119．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝525，则f (3)＝________. 20．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x ，那么f (2)的值为知识点四指数函数的图象与性质#下图是指数函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c21．已知对不同的a 值，函数f (x )＝2＋a x －1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是( )．A ．(0,3)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(1,2)22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.23．已知0<a <1，b <－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限24．函数y ＝2－x 的图象是( )．25．函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为 ( )知识点五指数函数的图象与性质的应用（比大小、解不等式、求定义域、值域、最值）26．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( )．A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)27．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )．A ．a <2B ．a >2C ．－1<a <0D ．0<a <128．函数y ＝a x －(b ＋1)(a >0且a ≠1)的图象在第一、三、四象限，则必有( )．A ．0<a <1，b >0B ．0<a <1，b <0C ．a >1，b <1D ．a >1，b >0 29．函数y ＝11()2x的单调递增区间为( )．A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a 31．若⎝⎛⎭⎫122a ＋1<⎝⎛⎭⎫123－2a，则实数a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 32．已知⎝⎛⎭⎫12x>1，则x 的取值范围为________． 33．函数y ＝a x －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________．34．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是________． 35．设23－2x<0.53x －4，则x 的取值范围是________．36．函数y ＝8－32x - (x ≥0)的值域是________．37．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a ＝________.38．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围是________． 39．对于函数f (x )＝a x (0<a <1)定义域中任意x 1，x 2(x 1≠x 2)有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.上述结论中，正确结论的序号是________．40．求函数y ＝22212x x -+⎛⎫⎪⎝⎭(0≤x ≤3)的值域为．41．若函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________. 42．若函数f (x )＝a x －1(a >1)的定义域、值域都是[0,2]．则a= 43．已知函数f (x )＝32x 3＋32x ，求f ⎝⎛⎭⎫1101＋f ⎝⎛⎭⎫2101＋…＋f ⎝⎛⎭⎫100101的值．44．已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．45．(1)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.①若f (x )＝32，求x 的值；②若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．46．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．对数与对数函数一、知识要点1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数1.对数函数的定义：一般地，函数log a y x =，(a>0且a≠1)叫做对数函数。

(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质

指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算（一）根式的概念1、如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a的n次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n的n次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．2n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．3、根式的性质：na =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（二）分数指数幂的概念1、正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。

二、指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义； ○2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈ （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =（4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21< 四、底数的平移对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点一、函数的概念：函数是自变量与因变量之间的一种对应关系。

其中，自变量是函数的输入，因变量是函数的输出。

函数可以用来描述不同变量之间的关系或者用来描述一些变量随着另一个变量的变化而发生的变化。

二、函数的表示法：函数可以用不同的表示法来表示。

最常见的表示法有解析式表示法、图像表示法和表格表示法。

例如，一元一次函数y=ax+b就是一个常见的初等函数。

三、函数的性质：1.定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的因变量的可能取值范围。

2.奇偶性：对于函数f(x)，如果对于任意x，有f(-x)=f(x)成立，则函数具有偶性；如果对于任意x，有f(-x)=-f(x)成立，则函数具有奇性。

3.单调性：如果对于任意x1>x2，有f(x1)>f(x2)成立，则函数为递增函数；如果对于任意x1>x2，有f(x1)<f(x2)成立，则函数为递减函数。

4.周期性：如果对于任意x，有f(x+T)=f(x)成立，则函数具有周期T。

四、常见初等函数的性质和图像：1.常数函数：f(x)=c（c为常数），图像为平行于x轴的一条直线。

2. 一次函数：f(x) = ax + b（a和b为常数），图像为一条直线，斜率a决定了直线的倾斜程度，b为与y轴交点的纵坐标。

3.幂函数：f(x)=x^n（n为常数），图像的形状与n的奇偶性以及正负有关，例如，当n为正奇数时，图像的右上和左下部分都在x轴上方。

4.指数函数：f(x)=a^x（a为常数且大于0且不等于1），图像呈现出一种快速增长的趋势。

5. 对数函数：f(x) = loga(x)（a为常数且大于0且不等于1），图像为一条光滑的上升曲线，a决定了函数增长的速度。

五、初等函数的运算：1.四则运算：对于两个初等函数f(x)和g(x)，可以进行加减乘除运算，得到新的初等函数。

2.复合运算：对于两个初等函数f(x)和g(x)，可以将g(x)的值代入f(x)进行运算，得到新的初等函数。

基本初等函数总结

基本初等函数总结引言基本初等函数是数学中常见的函数类型，也是理解和应用数学的基础。

本文将对常见的基本初等函数进行总结和归纳，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

1. 常数函数常数函数是指函数图像与某一固定常数平行的函数。

其表达式为：f(x) = C其中C为常数。

常数函数的图像为一条水平直线。

2. 幂函数幂函数是指具有形如x^n的函数，其中n为实数。

其一般形式为：f(x) = x^n幂函数的图像形状根据n的值而不同。

当n>1时，图像随着x的增大而增大；当0<n<1时，图像随着x的增大而减小；当n<0时，图像则为一条拐点在(0, 1)处的下降曲线。

3. 指数函数指数函数是以常数e为底的幂函数，其表达式为：f(x) = a^x其中a为大于0且不等于1的常数。

指数函数的图像表现为递增或递减的曲线。

当a>1时，随着x的增大，图像向上递增；当0<a<1时，随着x的增大，图像向下递减。

指数函数的一个重要特点是其斜率与函数值之间的关系，即导数与函数值成比例。

这个性质在许多实际问题中有很多应用。

4. 对数函数对数函数是指反函数与指数函数相对应的函数。

其一般形式为：f(x) = log_a(x)其中a为大于0且不等于1的常数。

对数函数的图像和指数函数的图像是关于y=x对称的。

当x>1时，对数函数的值是正的；当0<x<1时，对数函数的值是负的。

对数函数的导数为其自变量的倒数。

对数函数在解指数方程、数据压缩和恒增模型等领域有广泛的应用。

5. 三角函数三角函数是以单位圆上的点坐标关系所确定的函数。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数正弦函数的定义域为实数集，其一般形式为：f(x) = sin(x)正弦函数的图像为一条周期为2π的波浪曲线，振幅为1。

余弦函数余弦函数的定义域为实数集，其一般形式为：f(x) = cos(x)余弦函数的图像也是一条周期为2π的波浪曲线，但与正弦函数的相位差为π/2，即余弦函数的图像向左平移π/2。

基本初等函数知识点归纳

函数及其基本初等函数〖1.1〗函数及其表示【1.1.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．（所以进行已知对应关系()f x 的函数，一定先求出函数的定义域）③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．而且无论闭区间或者开区间，,a b 均称为端点。

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．例1 已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（）A 00,()0x R f x ∃∈=B 函数()y f x =的图像是中心对称图形C 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间（-∞，0x ）上单调递减D 若0x 是()f x 的极值点，则'()0f x =例2 已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，(2)f =0，若(1)0f x ->，则x 的取值范围是（）例 3 设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[(()]x f x m +<，则m 的取值范围是（）A （-∞，-6）∪（6，+∞）B （-∞，-4）∪（4，+∞）C （-∞，-2）∪（2，+∞）D （-∞，-1）∪（1，+∞）例4 下列函数与y=x 有相同图像的一个函数是（）A y =B 2x y x=C log (01)xy aa a =>≠且 D log xa a y =【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数（判定方法2）．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）yxo如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy(0,1)O1y =〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域（即原函数的值域）．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-．（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔x y1x 2x 0>a O ••1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O•<a 1k •2k 0)(1<k f 0)(2<k f a b x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合x y1x 2x 0>a O ••1k 2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O•<a 1k •2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =f(p) f (q) ()2b f a-f (p)f(q)()2bf a-f (p)f (q)()2b f a-f(p) f (q)()2b f a-0x f(p) f(q)()2b f a-0x(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章函数的应用〖3.1〗方程的根与函数的零点一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。