初中数学培优辅导资料(11—20讲)
初中数学竞赛辅导资料
二元一次方程组解的讨论
甲内容提要
1． 二元一次方程组???=+=+222
111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2
12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2
12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当
2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ???
????--=--=12212
11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）
乙例题
例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c
y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解
解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。
解得a=10, c ≠14。
③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组?
??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组
得???????-=-=23152331a y a x ∵???>>00y x ∴???????>->-02
31502331a a 解不等式组得???
????><531331a a 解集是6311051< 11051< ??=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？ 解：把m 作为已知数，解方程组得??? ????-=--=82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。 ∵y 是整数，∴m －8取2的约数±1，±2。 取它们的公共部分，m －8＝±1，±2。 解得 m=9，7，10，6。 经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。 例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？ 解：设桃，李，榄橄分别买x, y, z 粒,依题意得 ?? ???=++=++)2(1007143)1(100z y x z y x 由（1）得x= 100－y －z (3) 把（3）代入（2），整理得 y=－200+3z － 7z 设k z =7 (k 为整数) 得z=7k, y=－200+20k, x=300－27k ∵x,y,z 都是正整数∴?????>>+->-07020200027300k k k 解得??? ????>><0.10.9100k k k （k 是整数） ∴10＜k<9 111, ∵k 是整数， ∴k=11 即x=3（桃）, y=20（李）, z=77（榄橄） (答略) 丙练习11 1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况： ① ???=-=-96332y x y x ②???=-=-32432y x y x ③???=-=+1 53153y x y x 2． a 取什么值时方程组?? ???+-=--+=+229691322a a y x a a y x 的解是正数？ 3． a 取哪些正整数值，方程组???=--=+a y x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？ 4． 要使方程组? ??=-=+12y x k ky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？ 5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡， 鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？ 初中数学竞赛辅导资料（12） 用交集解题 甲内容提要 1． 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约 数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。 2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集 例如6的正约数集合A ＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B ＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C ＝｛1，2｝，集合C 是集合A 和集合B 的交集。 3． 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集。 例如不等式组???<->) 2(2)1(62 x x 解的集合就是 不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x ＞2的交集，x>3. 4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2） 乙例题 例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。 解：除以3余2的自然数集合A ＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝ 除以5余3的自然数集B ＝｛3，8，13，18，23，28，……｝ 除以7余2自然数集合C ＝｛2，9，16，23，30，……｝ 集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数。 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。 解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数 的集合是｛1，3，7，9｝； 其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组； 平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。 同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组 故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组。 例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人，订阅B 种刊物的有21人，其中6人两种都 订，只有一人两种都没有订，问只订A 种、只订B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？ 解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A 、B 两种都订的人数集合）。 ∴只订A 种刊物的人数是28－6＝22人； 只订B 刊物的人数是21－6＝15人； 小组总人数是22＋15＋6＋1＝44人。 设N ，N （A ），N （B ），N （AB ），N 分别表示总人数，订A 种、B 种、AB 两种、都不订的人数，则得 ［公式一］N ＝N + N （A ）+N （B ）－N （AB ）。 例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩 乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人， 问：有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球？ 解：仿公式一,得［公式二］： N ＝N + N （A ）+N （B ）+N(C)－N （AB ）－N （①只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15（人） ②求N （BC ）可用公式二： ∵40＝24＋18＋10－6－4－N （BC ）＋1 ∴N （BC ）＝3， 即同时会打篮球和排球的是3 ③只会打排球的是10－3－1＝6（人） 例5. 十进制中，六位数8719xy 能被33整除，求x 和y 的值 解：∵0≤x ，y ≤9， ∴0≤x+y ≤18， －9≤x －y ≤9，x+y>x －y ∵33＝3×11， ∴1＋9＋x+y+8＋7的和是3的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17 (1+x+8)－(9+y+7)是11的倍数， 故x －y=－4，7 ∵x+y 和x －y 是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解： ???-=-=+48y x y x ???-=-=+4 14y x y x ???=-=+711y x y x ???=-=+717y x y x 解得???==62y x ? ??==95y x ???==29y x ???==512y x （x=12不合题意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2 丙练习12 1． 负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿ 2． 等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。 3． 12的正约数集合A ＝｛ ｝，30的正约数集合B ＝｛ ｝ 12和30的公约数集合C ＝｛ ｝，集合C 是集合A 和集合B 的＿＿ 4． 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上： ①???-<->563x x ②???<>-052x x ③ ?????->-->2 2131x x ④???<+>-0202x x 5． 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。 6． 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张 数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？ 7． 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数 位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。 8． 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。 那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？ 9． 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A 和B 进行表决，赞成A 的有52票， 赞成B 的有60票，其中A 、B 都赞成的有36人，问对A 、B 都不赞成的有几人？ 10. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？） 11. 053=+-+-+y x y x 12. 十进制中，六位数2851xy 能被21整除，求x,y 的值（仿例5） 初中数学竞赛辅导资料（13） 用枚举法解题 甲内容提要 有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： ① 按一定的顺序，有系统地进行； ② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏； ③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 乙例题 例1 如图由西向东走， 从A 处到B 处有几 种走法？ 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如 从A 到C 有三种走法，在C 处标上3， 从A 到M （N ）有3＋1＝4种， 从A 到P 有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B ，可得1＋1＋11＝13（种走法） 例2 写出由字母X ，Y ，Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。 解法一：按X 4，X 3，X 2，X ，以及不含X 的项的顺序列出（如左） 解法二：按X →Y →Z →X 的顺序轮换写出（如右） X 4 ， X 4 ， Y 4 ， Z 4 X 3Y ， X 3Z ， X 3Y ， Y 3Z ， Z 3X X 2Y 2， X 2Z 2， X 2YZ ， X 3Z ， Y 3X ， Z 3Y XY 3， XZ 3， XY 2Z ， XYZ 2， X 2Y 2， Y 2Z 2 ， Z 2X 2 Y 4， Z 4 Y 3Z ， Y 2Z 2， YZ 3。 X 2YZ ， Y 2ZX ， Z 2XY 解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略) 例3 讨论不等式ax 解：把a 、b 、c 都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表 当a>0时，解集是xa , 当a=0,b>0时，解集是所有学过的数， 当a=0,b ≤0时，解集是空集(即无解) 例4 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数 解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位， 边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10 边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6 13A B 边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6 边长2单位，顶点在下的▽有：1 边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3 边长4单位，顶点在上的△有：1 合计共27个 丙练习13 1．己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿ 2．a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿ 4．如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数。 A B C D E F 5.写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的所有三次单项式。 6.除以4余1 两位数共有几个？ 7.从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？ 8.把边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计 算共有几个正方形？如果改为5等分呢？10等分呢？ 9.右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从 A到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？ 10.列表讨论不等式ax>b的解集. 11.一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6 则这个正整数的最小值是＿＿ 初中数学竞赛辅导资料（14） 经验归纳法 甲内容提要 1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如 ①由( －1)2＝1 ，（－1 ）3＝－1 ，（－1 ）4＝1 ，……， 归纳出－1 的奇次幂是－1，而－1 的偶次幂是 1 。 ②由两位数从10 到99共90 个（9 ×10 ）， 三位数从100 到999 共900个（9×102）， 四位数有9×103＝9000个（9×103）， ………… 归纳出n 位数共有9×10n-1(个) ③由1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42…… 推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 2.经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。 由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明） 乙例题 例1平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 解：两条直线只有一个交点， 1 2 第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4 ……… 第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点 由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个）， 这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］× 21 + n ,即 2)1 (- n n 个交点。 例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如 5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1）！的大小（n 是正整数） 解：当n ＝1时，3n＝3,（n＋1）！＝1×2＝2 当n ＝2时，3n＝9，（n＋1）！＝1×2×3＝6 当n ＝3时，3n＝27,（n＋1）！＝1×2×3×4＝24 当n ＝4时，3n＝81,（n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120 当n ＝5时，3n＝243,（n＋1）！＝6！＝720…… 猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3n＞（n＋1）！，当n>3时3n＜（n＋1）！。 例3求适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。 分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。 解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2 x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4 x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5 x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6 ………… 由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解为x1=x2=x3＝……=x2001=1, x 2002=2，x2003=2003。 丙练习14 1．除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位数有＿＿＿＿个。 2． 十进制的两位数21a a 可记作10a 1＋a 2,三位数321a a a 记作100a 1+10a 2+a 3,四位数 4321a a a a 记作＿＿＿＿，n 位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿ 3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43 ＝（＿＿＿）2 ,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n 3=( )2。 4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方） ①－个 1101111 252222个＝（＿＿＿）2； ； 121111n 个－ 2 2222n 个＝（ ＿＿）2。 ② 位91111 位95655＝（＿＿＿＿）2； n 位 n 位56551111＝（＿＿＿）2 5． 把自然数1到100一个个地排下去：123......91011 (99100) ① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少 6．计算12111?＋13121?＋14131?＋…＋20 191?＝ （提示把每个分数写成两个分数的差） 7．a 是正整数，试比较a a+1和(a+1)a 的大小. 8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽3等分，把长8等分，分成24个 小长方形，那么这24个长方形中， 两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。 本题如果改为把宽m 等分,长n 等分(m,n 都是大于1的自然数)那么这mn 个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个 9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。 本题如果改为把长m 等分,宽n 等分,高p 等分，（m,n,p 都是大于2的自然数）那么这mnp 个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。 10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。 11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。 初中数学竞赛辅导资料（15） 乘法公式 甲内容提要 1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。 2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2 立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广： ①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 ②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4） （a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5） ………… 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式 （a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 ………… 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数 (a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n (a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地： （a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 4.公式的变形及其逆运算 由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时 a n－ b n能被a－b整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除, a2n－b2n能被a+b及a－b整除。 乙例题 例1. 己知x+y=a xy=b 求①x2+y2②x3+y3③x4+y4④x5+y5 解：①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b ②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab ③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2 ④x 5+y 5＝（x+y ）(x 4－x 3y+x 2y 2－xy 3+y 4) =(x+y)［x 4+y 4－xy(x 2+y 2)+x 2y 2］ =a ［a 4－4a 2b+2b 2－b(a 2－2b)+b 2］ ＝a 5－5a 3b+5ab 2 例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。 证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a 为整数) a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a 2+3a)(a 2+3a+2)+1 =(a 2+3a)2+2(a 2+3a)+1=(a 2+3a+1)2 ∵a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数 ∴a 2+3a+1是整数 证毕 例3. 求证：2222＋3111能被7整除 证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111 根据 a 2n+1+b 2n+1能被a+b 整除，（见内容提要4） ∴4111＋3111能被 4＋3整除 ∴2222＋3111能被7整除 例 4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：∵(10a+5)2=100a 2+2×10a ×5+25=100a(a+1)+25 ∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。 如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2)， 252=625 (6=2×3)， 352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5) …… 丙练习15 1． 填空： ①a 2+b 2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a －b)2+___ ③a 3+b 3=(a+b)3－3ab(___) ④a 4+b 4=(a 2+b 2)2－____ ,⑤a 5+b 5=(a+b)(a 4+b 4)－_____ ⑥a 5+b 5=(a 2+b 2)(a 3+b 3)－____ 2． 填空： ①(x+y)(___________)=x 4－y 4 ②(x －y)(__________)=x 4－y 4 ③(x+y)( ___________)=x 5+y 5 ④（x －y ）(__________)=x 5－y 5 3.计算： ①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952= 4. 计算下列各题 ，你发现什么规律 ⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74= 5..已知x+x 1=3, 求①x 2+21x ②x 3+31x ③x 4+41x 的值 6.化简：①（a+b ）2(a －b)2 ②(a+b)(a 2－ab+b 2) ③(a －b)((a+b)3－2ab(a 2－b 2) ④(a+b+c)(a+b －c)(a －b+c)(－a+b+c) 7.己知a+b=1, 求证：a 3+b 3－3ab=1 8.己知a2=a+1，求代数式a5－5a+2的值 9.求证：233＋1能被9整除 10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数 的平方 的直径分别是a,b,c ① ② 初中数学竞赛辅导资料（16） 整数的一种分类 甲内容提要 1．余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数， r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。 即：在整数集合中被除数＝除数×商＋余数(0≤余数<除数) 例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1 （∵－1＝5（－1）＋4。－9＝5（－2）＋1。） 2．显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。 例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。 3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝（k为整数） m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝. 或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。 m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝ 或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。 4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。 举例如下： ①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2） ②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3（余数1×3＝3） ③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4（余数22＝4） 以上等式可叙述为： ①两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。 ②两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。 ③如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是 4或9。 余数的乘方，包括一切正整数次幂。 如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64） 5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。 乙例题 例1. 今天是星期日，99天后是星期几？ 分析：一星期是7天，选用模m=7, 求99除以7的余数 解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同， 29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同， ∴99天后是星期一。 又解：设｛A｝表示A除以7的余数， ｛99｝＝｛（7＋2）9｝＝｛29｝＝｛83｝＝｛（7＋1）3｝＝｛13｝＝1 例2. 设n为正整数，求43 n+1 除以9的余数。 分析：设法把幂的底数化为9k＋r形式 解：43 n+1＝4×43n=4×(43)n=4×（64）n＝4×(9×7＋1)n ∵(9×7＋1)n除以9的余数是1n=1 ∴43 n+1 除以9的余数是4。 例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数 解：设三个连续整数为n－1,n,n+1 M=(n－1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2) 把整数n按模3，分为三类讨论。 当n=3k （k为整数，下同）时，M＝3×3k［(3k)2+2］=9k(9k2+2) 当n=3k+1时，M＝3（3k+1）［(3k+1)2+2］＝3（3k+1）(9k2+6k+3) =9(3k+1)(3k2+2k+1) 当n=3k+2时，M＝3（3k+2）［(3k+2)2+2］＝3（3k+2）(9k2+12k+6) ＝9(3k+2)(3k2+4k+2) ∴对任意整数n，M都是9的倍数。 例4. 求证：方程x2－3y2=17没有整数解 证明：设整数x按模3分类讨论， ①当x＝3k时，（3k）2－3y2=17, 3(3k2－y2)=17 ⑵当x=3k±1时，（3k±1）2－3y2=17 3(3k2±2k－y2)=16 由①②左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数，∴上述等式都不能成立，因此，方程x2－3y2=17没有整数解 例5. 求证：不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除 证明：把n按模5分类讨论， 当n=5k时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1 当n=5k±1 时，n2+n+1＝（5k±1）2＋5k±1＋1 ＝25k2±10k+1+5k±1＋1＝5（5k2±2k＋k）＋2±1 当n=5k±2时，n2+n+1＝（5k±2）2＋5k±2＋1 ＝25k2±20k+4+5k±2＋1＝5（5k2±4k+k+1）±2 综上所述，不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除 又证：n2+n+1＝n(n+1)+1 ∵n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6 ∴n2+n+1的个位数只能是1，3，7，故都不能被5整除。 丙练习16 1. 已知a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k 都是整数) 填写表中各数除以3的余数。 2. 376÷7的余数是＿＿＿＿＿ 3．今天是星期日，第2天是星期一，那么第2111天是星期几？ 4．已知m,n 都是正整数，求证：3n m (n 2+2) 5. 已知a 是奇数但不是3的倍数，求证：24 （a 2－1） （提示a 可表示为除以6余1或5，即a=6k ±1） 6． 把正整数按表中的规律排下去，问100 将排在哪一列？答：＿＿＿ 7． 已知正整数n 不是4的倍数 求证：1n ＋2n ＋3n ＋4n 是10的倍数 8. 任给5个整数，必能从中找到3个， 其和能被10整除，这是为什么？ 9对任意两个整数，它们的和、差、积中 至少有一个是3的倍数，试说明理由。 10．任意10个整数中，必有两个,它们的差是9的倍数。这是为什么？如果改为任意n ＋1个，则必有两个,它们的差是n 的倍数，试说明理由。 11.证明 x 2+y 2-8z=6没有整数解 （1990年德化县初中数学竞赛题） 12.从1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止 即 位 1981234 那么这个数用9除之，余数是＿＿＿ （1987年全国初中数学联赛题） 初中数学竞赛辅导资料（17） 奇数 偶数 内容提要 1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被 2整除的整数是奇数，如－1，1，3。 如果n 是整数，那么2n 是偶数，2n －1或2n+1是奇数。如果n 是正整数，那么2n 是正偶数，2n-1是正奇数。 2． 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为： 整数???偶数 奇数 或 整数集合 这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。 3． 奇数偶数的运算性质： 奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数， 两个連续整数的和是奇数，积是偶数。 例题 例1 求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数 证明：设k 为整数，那么2k －1是任意奇数， （2k －1）2－1＝4k 2－4k ＋1－1＝4k(k －1) ∵k(k －1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k －1)是8的倍数 即任意奇数的平方减去1是8的倍数 例2 已知：有n 个整数它们的积等于n ，和等于0 求证：n 是4的倍数 证明：设n 个整数为x 1,x 2,x 3,…x n 根据题意得 ?????=++++=②① 0321 321n n x x x x n x x x x 如果n 为正奇数，由方程（1）可知x 1,x 2,x 3,…x n 都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n 一定是偶数； 当n 为正偶数时，方程（1）左边的x 1,x 2,x 3,…x n 中，至少有一个是偶数，而要满足方程 （2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。 所以n 是4的倍数。 例3己知：a,b,c 都是奇数 求证：方程ax 2+bx+c=0没有整数解 证明：设方程的有整数解x ，若它是奇数，这时方程左边的ax 2，bx ，c 都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立； 若方程的整数解x 是偶数，那么ax 2,bx,都是偶数，c 是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。 既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数， ∴方程ax 2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法) 例4求方程x 2－y 2＝60的正整数解 解：(x+y)(x －y)=60， 60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10 左边两个因式(x+y)，(x －y)至少有一个是偶数 因此x, y 必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组 ???=-=+230y x y x ???=-=+6 10y x y x 解得???==1416y x ? ??==28y x ∴方程x 2－y 2＝60的正整数解是?? ?==1416y x ???==28y x 练习17 1． 选择题 ①设n 是正整数，那么n 2+n-1的值是（ ） （A ）偶数（B ）奇数（C ）可能是奇数也可能是偶数 ②求方程85x －324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（ ） （A ）???==15y x （B ）???==86329y x （C ）???==171653y x （D ）? ??==256978y x 2． 填空： ①能被3，5，7都整除的最小正偶数是＿＿＿ ②能被9和15整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿ ③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇数或偶数？答＿＿ ④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数？答＿＿ ⑤ 位 n 01100能被11整除，那么n 是正奇数或正偶数？答＿＿ 3． 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？ 4． 试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由 5． 求证：两个連续奇数的平方差能被8整除 6． 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数 7． 求方程（2x －y －2）2＋（x+y+2）2=5的整数解 8． 方程19x+78y=8637的解是( ) (A)???==9178y x (B)???==9284y x (C)???==9388y x (D)? ??==9181y x 9. 十进制中，六位数8719ab 能被33整除，求a,b 的值 初中数学竞赛辅导资料（18） 整式的整除 内容提要 1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这 个整式被另一个整式整除。 2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式， 那么 式的整除的意义可以表示为： 若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除 例如∵x 2－3x －4＝（x －4）（x +1）, ∴x 2－3x －4能被（x －4）和（x +1）整除。 显然当 x=4或x=－1时x 2－3x －4＝0， 3． 一般地，若整式f(x)含有x –a 的因式，则f(a)=0 反过来也成立，若f(a)=0,则x －a 能整除f(x)。 4． 在二次三项式中 若x 2+px+q=(x+a)(x+b)＝x 2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab 在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。 例题 例1己知 x 2－5x+m 能被x －2整除，求m 的值。 x －3 解法一：列竖式做除法 （如右） x －2 x 2－5x+m 由 余式m －6＝0 得m=6 x 2－2x 解法二：∵ x 2－5x+m 含有x －2 的因式 －3x+m ∴ 以x=2代入 x 2－5x+m 得 －3x+6 22－5×2 ＋m=0 得m=6 m －6 解法三：设x 2－5x+m 除以x －2 的商是x+a (a 为待定系数) 那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x －2a 根据左右两边同类项的系数相等，得 ???=--=-m a a 252 解得? ??=-=63m a （本题解法叫待定系数法） 例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除 求：m 、n 的值及商式 解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0） ∴商式可设为x 2+ax+b 得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ） ＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b 根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得 ???????==-=-+-=-n b m b a a b a 12112152 解得???????=-==-=4 11 3n m n b a ∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4 例3 m 取什么值时，x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除? 解：当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时，它含有x+y+z 因式 令x+y+z ＝0，得x=－（y+z ），代入原式其值必为0 即［－（y+z ）］3+y 3+z 3－myz(y+z)=0 把左边因式分解，得 －yz(y+z)(m+3)=0, ∵yz ≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立 ∴当x,y （或y,z 或x,z ）互为相反数时，m 可取任何值 ， 当m=－3时，x,y,z 不论取什么值，原式都能被x+y+z 整除。 例4 分解因式x 3－x+6 分析：为获得一次因式，可用x=±1，±2，±3，±6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=－2时值为0，可知有因式x ＋2，（以下可仿例1） 解：x3－x+6＝（x＋2）（x2－2x+3） 练习18 1．若x3+2x2+mx+10=x3+nx2－4x+10, 则m=___, n=___ 2．x3－4x2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿， x4－x2+1除以x2－x－2的余式是＿＿＿ 3．己知x3+mx+4能被x+1整除，求m 4．己知x4+ax3+bx－16含有两个因式x－1和x –2,求a和b的值 5．己知13x3+mx2+11x+n能被13x2－6x+5整除,求m、n及商式 6．己知ab≠0,m取什么值时，a3－6a2b+mab2-8b3有因式a－2b. 7．分解因式：①x3-7x+6, ②x3-3x2+4, ③x3-10x-3 8.选择题 ①x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（） (A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z) (c) (x-y)(y-z)(x+z)(D) (x-y)(y+z)(x+z) ②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（）（A）p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15. 初中数学竞赛辅导资料（19） 因式分解 内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法 1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x 4+x 2+1 ②a 3+b 3+c 3－3abc ①分析：x 4+1若添上2x 2可配成完全平方公式 解：x 4+x 2+1＝x 4+2x 2+1－x 2=(x 2+1)2－x 2=(x 2+1+x)(x 2+1－x) ②分析：a 3+b 3要配成（a+b ）3应添上两项3a 2b+3ab 2 解：a 3+b 3+c 3－3abc ＝a 3+3a 2b+3ab 2＋b 3+c 3－3abc －3a 2b －3ab 2 ＝（a+b ）3+c 3－3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c 2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc) 例2因式分解：①x 3－11x+20 ② a 5+a+1 ① 分析：把中项－11x 拆成－16x+5x 分别与x 5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数） ② 解：x 3－11x+20＝x 3－16x+5x+20＝x （x 2－16）+5(x+4) =x(x+4)(x －4)+5(x+4) =(x+4)(x 2－4x+5) ③ 分析：添上－a 2 和a 2两项，分别与a 5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a 5+a+1＝a 5－a 2+a 2+a+1=a 2(a 3－1)+ a 2+a+1 =a 2(a －1)( a 2+a+1)+ a 2+a+1= (a 2+a+1)(a 3－a 2+1) 2． 运用因式定理和待定系数法 定理：⑴若x=a 时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x －a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3 ①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次 因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。 解：∵x=2时，x 3－5x 2+9x －6＝0，∴原式有一次因式x －2， ∴x 3－5x 2+9x －6＝（x －2）（x 2－3x+3,） ②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数 ±1，±3得商±1，±2，± 21，±23，再分别以这些商代入原式求值， 可知只有当x= 21时，原式值为0。故可知有因式2x-1 解：∵x=2 1时，2x 3－13x 2+3＝0，∴原式有一次因式2x －1， 设2x 3－13x 2+3＝（2x －1）（x 2+ax －3）， （a 是待定系数） 比较右边和左边x 2的系数得 2a －1＝－13， a=－6 ∴2x 3－13x+3＝（2x －1）（x 2－6x －3）。 例4因式分解2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20 解：∵2x 2+3xy －9y 2＝（2x －3y ）(x+3y), 用待定系数法，可设 2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y ＋a ）（x+3y ＋b ），a,b 是待定的系数， 比较右边和左边的x 和y 两项 的系数，得 ???-=-=+3 33142b a b a 解得54==b a ∴2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y+4）(x+3y+5) 又解：原式＝2x 2+(3y+14)x －(9y 2+3y －20) 这是关于x 的二次三项式 常数项可分解为－（3y －4）（3y+5）,用待定系数法，可设 2x 2+(3y+14)x －(9y 2+3y －20)＝［mx －（3y －4）］［nx+（3y+5）］ 比较左、右两边的x 2和x 项的系数，得m=2, n=1 ∴2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y+4）(x+3y+5) 练习19 1． 分解因式：①x 4+x 2y 2+y 4 ②x 4+4 ③x 4－23x 2y 2+y 4 2. 分解因式： ①x 3+4x 2－9 ②x 3－41x+30 ③x 3+5x 2－18 ④x 3－39x －70 3. 分解因式：①x 3+3x 2y+3xy 2+2y 3 ②x 3－3x 2+3x+7 ③x 3－9ax 2+27a 2x －26a 3 ④x 3+6x 2+11x+6 ⑤a 3+b 3+3(a 2+b 2)+3(a+b)+2 4. 分解因式：①3x 3－7x+10 ②x 3－11x 2+31x －21 ③x 4－4x+3 ④2x 3－5x 2+1 5. 分解因式：①2x 2－xy －3y 2－6x+14y －8 ②（x 2－3x －3）（x 2+3x+4）－8 ③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48 ④（2x －7）(2x+5)(x 2－9)－91 6．分解因式： ①x 2y 2+1－x 2－y 2+4xy ②x 2－y 2+2x －4y －3 ③x 4+x 2－2ax －a+1 ④（x+y ）4+x 4+y 4 ⑤（a+b+c ）3－（a 3+b 3+c 3） 7. 己知：n 是大于1的自然数 求证：4n 2+1是合数 8．己知：f(x)=x 2+bx+c, g(x)=x 4+6x 2+25, p(x)=3x 4+4x 2+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式 求：当x=1时，f(x)的值 第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. A B C D E F A C D E F P Q R 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式 从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21 ∠AOC ∴ ∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2 1∠BOC ＋2 1 ∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠ AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠ BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） 八年级数学讲义目录 专题01 整式的乘除 阅读与思考 指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：m n m n a a a +?=， ()m n mn a a =，()n n n ab a b =， (0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1 (0)p p a a a -= ≠． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件； 2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用． 多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止． 例题与求解 【例1】（1）若n 为不等式200 3006n >的解，则n 的最小正整数的值为 ． （“华罗庚杯”香港中学竞赛试题） （2）已知21x x +=，那么432 222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题） （3）把26 (1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则 121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）若5 4 3 2 37629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则 ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题） 解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法． 1、从正面观察下图所示的两个物体，看到的是（ ） A . B. C. D. 2、已知：如图，AD ∥EF ，∠1＝∠2．求证：AB ∥DG ． 3、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． （1）用含x 的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ 1、计算：0 060cos 160sin 30tan -+= 2、甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：( ) （1） 他们都行驶了18千米； （2） 甲在途中停留了0.5小时； （3） 乙比甲晚出发了0.5小时； （4） 相遇后，甲的速度小于乙的速度； （5） 甲、乙两人同时到达目的地。 其中，符合图象描述的说法有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3、正方形ABCD 中，P 为AB 上一点，连接CP ，过B 作BE ⊥CP 于E 。 （1）如图1，连接DE ，过E 作EF ⊥DE 交BC 于F ，求证：BP=BF 。 （2）如图2，连接AE ，分别以AE 、BE 为直角边作等腰直角三角形AEG 、BEF ，连接DF ，求证：AG ⊥DF 图1 图2 P 初中数学九年级培优目录 第1讲二次根式的性质和运算(P2----7) 第2讲二次根式的化简与求值(P7----12) 第3讲一元二次方程的解法(P13----16) 第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22) 第5讲一元二次方程的应用(P23----26) 第6讲一元二次方程的整数根(P27----30) 第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38) 第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46) 第9讲圆的基本性质(P47----51) 第10讲圆心角和圆周角(P52----61) 第11讲直线与圆的位置关系（P62----69） 第12讲圆等积证明及变换((P70----76) 第13讲弧长和扇形面积(P76----78) 第14讲概率初步(P78----85) 第15讲二次函数的图像和性质(P85----91) 第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98) 第17讲二次函数的应用(P99----108) 第18讲相似三角形的性质(P109----117) 第19讲相似三角形的判定(P118-----124) 第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130) 每天进步一点点！ 坚持就是胜利！ 第1讲 二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值围）. 经典·考题·赏析 【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A. 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A. 【变式题组】 1．⑴（）下列根式中不是最简二次根式的是（ ） A. 【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值围是（ ） A ．0＜m ＜1 B ．m ≥2 C ．m ＜2 D ．m ≤2 【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C. 【变式题组】 2．（）若实数x 、y 2 (0y -=，则xy 的值是__________. 3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－ 1 B ．1 C ．2 D ．3 4．（）使代数式4 x -有意义的x 的取值围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ≥3 C ．x ＞4 D ．x ≥3且x ≠4 5.（）2 2(4)0a c --=，则a －b －c ＝________. 是同类二次根式的是（ ） A B C D 1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ，4.12=x （舍去） 答：花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得 [(600－10×(x －40))](x －30)＝10000 解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时 进台灯数为600－10×(x －40)＝200 当x ＝50时 600－10×(x －40)＝500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为y y ＝［600－10（x －40）］·（x －30） 答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？ 解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人 每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满 所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人 一共4x +15＜50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人 九年级讲义目录 专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题） （3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式. 专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题） 图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形． 【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1 2017年秋期七 (6)班数学学科培优补差方案 一、培优补差意义： 初中数学新课标”要求数学教育面向全体学生”，通过数学学习使学生入人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，数学教学要关注学生的个体差异，有效地实现有差异的教学，使学生都得到充分的发 展”。但是由于诸多原因，学生在数学学习基础、学习能力、兴越爱好等方面均存在较大差异，数学学业发展参差不齐，因此培优补差工作就显得尤其重要。 数学培优补差以课堂教学为主要途径，课外辅导为有效补充，对成绩突出、学有余力的学生，通过针对性指导，让他们成绩更优秀，专长得发展，对学习有困难、学习能力差的学生，激发学习兴趣，提高学习能力，使他们学业得以进步。重视培优补差不但能促使优生数学素养提升，差生学习兴趣、能力提高，还能促使教师不断研究改进教学，整体提高数学教学质量。 二、培优补差措施： 利用课余时间，因材施教、对症下药”，根据学生的素质采取相应的方法辅导。具体方法如下： 1、课上后进生板演，中等生订正，优等生解决难题。 2、课堂练习分成三个层次： 第一层必做题”建础题，第二层： 选做题”彳等题，第三层思、考题”--拓广题。满足不同层次学生的需要。 3、课外辅导，利用课余时间，组织学生加以辅导训练。 4、培优补差过程必须优化备课，功在课前，效在课上，成果巩固在课后培优补差。 5、每单元进行简单测评，了解学生情况，建立学生学习档案。 三、培优对象： 孙元奇、凌巧、李英凯、曾晴、查宇航、刚亚鹏、xxxx、xx、xx、xx、xx 四、补差对象： xx、xx、xx 航、xx、xx、 xx 彤、xx、xxxx、xx、xx 淼 初中数学培优补差计划 一.指导思想 为顺利完成本学年的教学任务，提高本学期的教育教学质量，根据我班学生的实际情况，围绕教学目标，除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外，应采取课内外培优措施，争取让好的吃的饱，让差的吃的着。 二.差原因分析 1、不良的学习习惯：学习困难学生通常没有良好的学习习惯，对学习缺乏兴趣，把学习当作完成父母教师交给的差事。他们一般贪玩，上课注意力不集中，自控能力差，较随便，上课不听讲，练习不完成，课前不预习，课后不复习，作业不能独立完成,甚至抄袭作业，拖拉作业常有发生，即使有不懂的问题也很少请教他人。不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习。他们对自己要求不高，甚至单纯为应付老师家长，学习并没有变成他们内在的需要。 2、环境因素，其中家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素。父母的文化程度较低，期望水平低，他们大多缺乏辅导能力。有的家长对子女的教育方式简单粗暴，缺乏耐心；有的缺乏教育，缺少关心，放纵孩子，甚至认为读书无所谓，有的说：“我不识字不也过得很好。”这大大挫伤了孩子的上进心。 有的家长长年在外打工，孩子在家无人管束……总之，家庭的文化氛围差，使学生的学习受到了干扰，造成了学习上的困难。 三.采取措施 1、培养良好的学习态度 正确的学习态度是提高学习成绩的重要因素。学习态度端正的学生一般学习较为持久、认真，即使是自己不感兴趣的科目和内容，他也可以对它持比较积极的态度，克服困难，坚持学习。所以在激发学生兴趣的同时，要注重学生学习态度的培养。 2、优化课堂教学的手段 学习困难学生的形成有一个过程。因此他们的转变也只能是逐步进行的，这是一个渐变的过程。教学由易到难，使学生层层有进展，处于积极学习状态。师生活动交替进行，多为学生提供自我表现的机会，对学生进步及时鼓励，发现问题即刻纠正。对待不同的学生采用不同的教学方法。 3、教育他们学会如何学习。 从某种意义上说，学习困难学生的最大困难是不知道如何学习，帮助他们学会如何学习的关键应该是掌握学习策略。应结合语文学科的知识特点，帮助他们掌握控制自己知觉、注意、记忆和思维活动的普通认知策略、解决本学科问题的特殊策略、反省认知策略和学习努力程度调控策略等，对学习困难学生改进学习肯定是有益的。 初一数学基础知识讲义 第一讲和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x 初中数学培优补差计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初中数学培优补差计划 一.指导思想 为顺利完成本学年的教学任务，提高本学期的教育教学质量，根据我班学生的实际情况，围绕教学目标，除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外，应采取课内外培优措施，争取让好的吃的饱，让差的吃的着。 二.差原因分析 1、不良的学习习惯：学习困难学生通常没有良好的学习习惯，对学习缺乏兴趣，把学习当作完成父母教师交给的差事。他们一般贪玩，上课注意力不集中，自控能力差，较随便，上课不听讲，练习不完成，课前不预习，课后不复习，作业不能独立完成,甚至抄袭作业，拖拉作业常有发生，即使有不懂的问题也很少请教他人。不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习。他们对自己要求不高，甚至单纯为应付老师家长，学习并没有变成他们内在的需要。 2、环境因素，其中家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素。父母的文化程度较低，期望水平低，他们大多缺乏辅导能力。有的家长对子女的教育方式简单粗暴，缺乏耐 心；有的缺乏教育，缺少关心，放纵孩子，甚至认为读书无所谓，有的说：“我不识字不也过得很好。”这大大挫伤了孩子的上进心。有的家长长年在外打工，孩子在家无人管束……总之，家庭的文化氛围差，使学生的学习受到了干扰，造成了学习上的困难。 三.采取措施 1、培养良好的学习态度 正确的学习态度是提高学习成绩的重要因素。学习态度端正的学生一般学习较为持久、认真，即使是自己不感兴趣的科目和内容，他也可以对它持比较积极的态度，克服困难，坚持学习。所以在激发学生兴趣的同时，要注重学生学习态度的培养。 2、优化课堂教学的手段 学习困难学生的形成有一个过程。因此他们的转变也只能是逐步进行的，这是一个渐变的过程。教学由易到难，使学生层层有进展，处于积极学习状态。师生活动交替进行，多为学生提供自我表现的机会，对学生进步及时鼓励，发现问题即刻纠正。对待不同的学生采用不同的教学方法。 3、教育他们学会如何学习。 初三数学中考培优试题 一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 （1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）； （2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________； （3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由； （4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒． （1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？ （3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围． 3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是_________三角形； （2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限 且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为 A，连接AC交直线l于B． （1）求抛物线的表达式； （2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于 点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 专题27 数形结合 阅读与思考 数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想. 数形结合有下列若干途径： 1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题； 3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4．借助于函数解几何问题. 现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能. 代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步． 例题与求解 【例l 】设1342222+-+++= x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题） 解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++= x x y ＝ ()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两 点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小. 【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形 ( ) A ．不存在 B ．至多1个 C ．有4个 D ．有2个 （黄冈市竞赛试题） 解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数． 初二数学辅导（1） 一.选择题： 1. 2x =-，那么（ ） A.2 初三数学中考总复习培优资料一 一、选择题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分.） 1．-2的绝对值是 A ．-2 B ．- 12 C ．2 D ．12 2．下列运算正确的是 A ．x 2+ x 3= x 5 B ．x 4·x 2= x 6 C ．x 6÷x 2 = x 3 D ．( x 2)3 = x 8 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是 4．已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5 5．若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6．对于反比例函数y =1 x ，下列说法正确的是 A ．图象经过点（1，-1） B ．图象位于第二、四象限 C ．图象是中心对称图形 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 7．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是 A ．平均数为30 B ．众数为29 C ．中位数为31 D ．极差为5 8．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系. 下列说法错误．．的是 A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 9．一元二次方程x x 22 =的根是（ ） A ．2=x B ．0=x C ．2,021==x x D ．2,021-==x x 10．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（ ） A ．1 B ． 21 C ．31 D ．4 1 A B C D （第8题图） 2017年秋期七（6）班数学学科培优补差方案 一、培优补差意义： 初中数学“新课标”要求“数学教育面向全体学生”，通过数学学习使学生“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，数学教学要“关注学生的个体差异，有效地实现有差异的教学，使学生都得到充分的发展”。但是由于诸多原因，学生在数学学习基础、学习能力、兴越爱好等方面均存在较大差异，数学学业发展参差不齐，因此培优补差工作就显得尤其重要。 数学培优补差以课堂教学为主要途径，课外辅导为有效补充，对成绩突出、学有余力的学生，通过针对性指导，让他们成绩更优秀，专长得发展，对学习有困难、学习能力差的学生，激发学习兴趣，提高学习能力，使他们学业得以进步。重视培优补差不但能促使优生数学素养提升，差生学习兴趣、能力提高，还能促使教师不断研究改进教学，整体提高数学教学质量。 二、培优补差措施： 利用课余时间，“因材施教、对症下药”，根据学生的素质采取相应的方法辅导。具体方法如下： 1、课上后进生板演，中等生订正，优等生解决难题。 2、课堂练习分成三个层次：第一层“必做题”—基础题，第二层：“选做题”—中等题，第三层“思考题”--拓广题。满足不同层次学生的需要。 3、课外辅导，利用课余时间，组织学生加以辅导训练。 4、培优补差过程必须优化备课，功在课前，效在课上，成果巩固在课后培优补差。 5、每单元进行简单测评，了解学生情况，建立学生学习档案。 三、培优对象： 孙元奇、凌巧、李英凯、曾晴、查宇航、刚亚鹏、 刘xx、xx、xx、xx、xx 四、补差对象： xx、xx、xx航、xx、xx、xx彤、xx、xxxx、xx、xx淼 初三数学圆的专项培优练习题(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成立的 是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）. 如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－22 7 ，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数； （2）按整数、分数分类，有理数????????????????? 正整数 整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式， 所以π不是有理数，－22 7 是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0 是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－1 8 ，100，1，－3 001中，负分数为 ， 全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2) 三角形的边角性质 内容提要 三角形边角性质主要的有： 1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线 段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其 他两边和。用式子表示如下： a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-??? ????????>+>+>+?＜ 推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和 2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个 内角和。 推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180 六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 180 3. 边与角的关系 ① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边； 大边对大角，大角对大边。 ② 在直角三角形中， △ABC 中∠C=Rt ∠2 22c b a =+?(勾股定理及逆定理) △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 例题 例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。 (1988年泉州市初二数 学双基赛题) 解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ?????+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得?? ???<->>51135.1a a ∴1.5学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版新编)
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