必备数学第一部分第五章第2节

4. (2015贵港)如图1-5-2-2，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上
的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，
OP=4，则线段OM的最小值是
(B)
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A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
考点演练
5. 已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和
圆的位置关系为
( C)
A. 相离
注意：已知点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系， 反过来，已知点到圆心距离与半径的关系也可以确定该点与圆 的位置关系. 2. 直线和圆的位置关系（三种） （1）相离：一条直线和圆没有公共点. （2）相切：一条直线和圆只有一个公共点，此时叫做这条直 线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫切点. （3）相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线 和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
3. (2017宁波)如图1-5-2-5，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=
，以BC的中点O为圆心作圆，分别与AB，AC相切于D，E两点，
则 的长为
( )B
A.
B.
C.
D.
4. 如图1-5-2-6，已知⊙O的直径
AB=10，弦AC=6，∠BAC的分线交
⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的
B. 相切
C. 相交
D. 无法确定
6. 一个点到圆的最小距离为3 cm，最大距离为8 cm，则该圆
的半径是
( D)
A. 5 cm或11 cm
B. 2.5 cm
C. 5.5 cm
D. 2.5 cm或5.5 cm
7. 若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A
与⊙O的位置关系是
( C)
方法规律
与切线有关问题常作的辅助线和解题思路 （1）连接圆心和直线与圆的公共点——证明该半径与已知直 线垂直，则该直线为切线. （2）过圆心作这条直线的垂线段——证明这条垂线段和半径 相等，则该直线为切线. （3）当题中已有切线时，常连接圆心和切点得到半径或90° 角，由此可展开其他问题的计算或证明.
A. 点A在圆外
B. 点A在圆上
C. 点A在圆内
D. 不能确定
8. 在平面直角坐标系中，M(2，0)，圆M的半径为4，那么点
P(-2，3)与圆M的位置关系是
( C)
A. 点P在圆内
B. 点P在圆上
C. 点P在圆外
D. 不能确定
考点点拨： 本考点的题型一般为选择题或者填空题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握点的位置，可以确定该 点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与 半径的关系可以确定该点与圆的位置关系. 注意以下要点： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. ①直线l和⊙O相交 d＜r; ②直线l和⊙O相切 d=r; ③直线l和⊙O相离 d＞r.
考点2 切线的判定和性质［5年4考：2013年(解答题)、 2014年(解答题)、2016年(解答题)、2017年(解答题)］
典型例题
1. (2017自贡)如图1-5-2-3，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A， PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于 ( B )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关
系是
(A )
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不能确定
3. 如图1-5-2-1，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为
圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是
( C)
A. 相离 C. 相切
B. 相交 D. 以上三种情况均有可能
第一部分 教材梳理
第五章 图形的认识（二） 第2节 与圆有关的位置关系
知识梳理
概念定理
1. 点和圆的位置关系（三种） （1）点在圆外. （2） 点在圆上. （3）点在圆内.
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： （1）点P在圆外 d＞r. （2）点P在圆上 d=r. （3）点P在圆内 d＜r.
延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线.
(2)求DE的长. (1)证 明：如答图1-5-2-2，连接OD. ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAB. ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠DAO. ∴∠ODA=∠DAE. ∴OD∥AE. ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE. ∴DE是⊙O切线.
(2)如答图1-5-2-2，过点O作 OF⊥AC于点F， ∴AF=CF=3. ∴OF=
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
（1）直线l和⊙O相离 d＞r. （2）直线l和⊙O相切 d=r. （3）直线l和⊙O相交 d＜r.
3. 切线 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线. （2）切线的主要性质： ①性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. ②切线和圆只有一个公共点. ③切线和圆心的距离等于圆的半径. ④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. ⑤经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
中考考点精讲精练
考点1 点、直线和圆的位置关系(5年未考)
典型例题
1. ⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA=3 cm，则点A与圆
O的位置关系为
(B )
A. 点A在圆上
B. 点A在圆内
C. 点A在圆外
D. 无法确定
2. (2016湘西州)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3 cm，AC=4 cm，
4. 三角形的内心和外心 （1）三角形的内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做 三角形的内心.它到三角形各边的距离相等. （2）三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外 接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 叫做三角形的外心.它到三角形各顶点的距离相等.
2. (2017宿迁)如图1-5-2-4，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的
弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.
(1)求证：AP=AB；
(2)若OB=4，AB=3，求线段BP的长.
(1)证 明：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC. ∵AB是⊙O的切线, ∴OB⊥AB. ∴∠OBA=90°. ∴∠ABP+∠OBC=90°. ∵OC⊥AO， ∴∠AOC=90°. ∴∠OCB+∠CPO=90°. ∵∠APB=∠CPO， ∴∠APB=∠ABP. ∴AP=AB.