必备数学第一部分第五章第2节
北师大版七年级数学上册第5章第2节求解一元一次方程课件
学习新课
问题1: ①什么是去括号法则 ? ②什么是乘法分配律 ?
问题1: ①什么是去括号法则 ? 1)括号前面是“+”号，把括号和它前面的 “+”号去掉，括号里各项都不变符号. 2)括号前面是“-”号，把括号和它前面的 “-”号去掉，括号里各项都改变符号． ②什么是乘法分配律 ? 两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数 分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果 不变。
议一议：视察上述两种解方 程的方法，说出它们的区分， 与同伴进行交流．
解方程
(1) 2(x-1)+3=3（x-1）
(2) 4( y 1) y 2( y 1) 2
归纳总结
问题5:解一元一次方程的一般步骤?
解一元一次方程,一般要通过 ①去分母, ②去括号, ③移项, ④合并同类项, ⑤未知数的系数化为1等 步骤； 1)去分母时注意不要漏乘，再者分母去掉了，分 数线变成了括号； 2)去括号要注意不要漏乘,再者注意符号变化问题; 3)移项注意变号； 4)合并同类项注意每一项都包括它前面的符号; 5)未知数的系数化为1注意未知数的系数做分母， 而不是做分子.
你来试试
5. 如果方程3x+2a=12和方程3x-4=2的解相
同，那么a=_3__.
6. 若m+2与2m-2不相等，则m不能为__4__.
7. 若x=0是方程2006x-a=2007x+3的解，那
么代数式-a+2的值是__5_.
8.如果方程6x+3a=21与方程3x+5=11的解
相同，那么a= （B ）
a (b+c) =ab+ac
去、添括号法则(口诀) 去括号、添括号，关键看符号； 括号前面是正号，去、添括号不 变号；
2024年秋新北师大版七年级上册数学教学课件 第五章 第2节第3课时 利用去括号解一元一次方程
方程两边都除以 5 ，得
移项、化简，得
5(x + 8)= 0 + 5 5(x + 8) = 5 x+8=1 x=–7
（6）2(3 – x)= 9；
（7） – 3(x + 3)= 24；
解：
去括号，得
移项，得
化简，得
方程两边都除以 -3 ，得
-3x -9 = 24 -3x = 24 + 9 -3x = 33 x =-11
No Image
针对训练
小明爸爸现在的年龄是小明年龄的3倍，8年后，小明爸爸的年 龄比小明年龄的2倍还多4岁，那么小明现在的年龄是多少岁？
解：设小明现在的年龄是x岁，则小明爸爸现在的年龄是3x岁. 根据题意，得3x+8＝2(x+8)+4 解这个方程，得x＝12 答：小明现在的年龄是12岁.
随堂训练，课堂总结 1.解方程：【选自教材P145 习题5.2 第3题】
x + 4(x+0.5) = 20-3
问题2 (1)你还能列出不同的方程吗？ 如果设1瓶矿泉水y元 列出方程：（y-0.5）+4y=20-3
1袋牛奶价格+4瓶矿泉水价格=总价
1瓶矿泉水的价格-0.5 + 4瓶矿泉水的价格 = 给付的钱-找回的钱
（y-0.5）+ 4y = 20-3
(2)怎样解所列的方程？ 去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.
1. 教材P145习题5.2第3、4、11题 2. 《创优作业》主体本部分相应课时训练.
同学们，通过这节课的学习， 你有什么收获呢？
谢谢 大家
【选自教材P146 习题5.2 第11题】
解：设原来的两位数个位数字为x，十位数字为2x 根据题意，得10×2x+x-(10x+2x)=36 解这个方程，得x＝4 答：原来的两位数为84
人教版数学九年级上册必备数学第一部分第五章第2节-课件
（1）直线l和⊙O相离 d＞r. （2）直线l和⊙O相切 d=r. （3）直线l和⊙O相交 d＜r.
3. 切线 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线. （2）切线的主要性质： ①性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. ②切线和圆只有一个公共点. ③切线和圆心的距离等于圆的半径. ④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. ⑤经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
= =4. ∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°， ∴四边形OFED是矩形. ∴DE=OF=4.
考点演练 5. 如图1-5-2-7，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并 延长交⊙O于点C，连接AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是
( A)
A. 5 3
B.5 2
C.5
D. 5
2
6. 如图1-5-2-8，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B两 点)，AD⊥CD. (1)若BC=3，AB=5，求AC的值； (2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.
( C)
C. 相交
D. 无法确定
6. 一个点到圆的最小距离为3 cm，最大距离为8 cm，则该圆
的半径是 A. 5 cm或11 cm
B. 2.5 cm
( D)
C. 5.5 cm
D. 2.5 cm或5.5 cm
7. 若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A
与⊙O的位置关系是 A. 点A在圆外
∵AC是直径，∴∠APC=90°. ∴∠PQE=90°.∴PC⊥EF. 又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC. ∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC. ∴CE=CF. ∴PC为EF的中垂线.∴∠EPQ=∠QPF. ∵∠PEC=∠APC=90°,∴∠EPC=∠EAP. ∴∠CPF=∠EAP.∴∠CPF=∠OPA. ∵∠OPA+∠OPC=90°，∴∠CPF+∠OPC=90°. ∴OP⊥PF.∴PF是⊙O的切线.
八年级数学北师大版上册第五章二元一次方程组第2节求解二元一次方程组优秀教学案例
（三）情感态度与价值观
1.学生能够在学习过程中，体验到数学的趣味性和实用性，培养对数学的兴趣和爱好。
2.学生通过克服困难、解决问题，感受到成功的喜悦，培养自信心和克服困难的勇气。
3.学生在团队合作中，学会尊重他人、倾听他人意见，培养合作精神和团队意识。
2.教师可以使用多媒体教学资源，如数学软件、动画等，展示二元一次方程组的解法过程，让学生更直观地理解和解法步骤。
3.教师可以组织学生进行实际操作，如用纸牌、道具等展示方程组的关系，让学生通过动手操作来加深对知识的理解。
（二）讲授新知
1.教师可以通过讲解和示例，向学生介绍二元一次方程组的概念和解法。例如，可以讲解二元一次方程组的定义，解释方程组的解的意义，并通过示例来说明如何运用加减消元法、代入消元法等方法求解二元一次方程组。
在学习本节内容之前，学生已经掌握了二元一次方程的基本概念，能够理解二元一次方程组的意义，同时，学生已经学习过一元一次方程的解法，这些都为本节课的学习打下了坚实的基础。然而，二元一次方程组的解法相对于一元一次方程的解法更为复杂，需要学生能够灵活运用所学的知识，因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解方程组之间的关系，培养学生的思维能力。
（三）小组合作
1.教师可以根据学生的学习水平和特点，将学生分成若干小组，鼓励学生在小组内进行合作和交流。例如，可以让学生分组讨论和解决一个方程组问题，通过小组合作来共同找到解法。
2.教师可以设计一些小组活动，让学生在合作中解决问题，培养学生的团队合作精神。例如，可以让学生分组进行方程组解法的比赛，看哪个小组能够更快地找到解法。
2.学生能够通过实例，理解二元一次方程组解的意义，能够运用加减消元法、代入消元法等方法求解二元一次方程组。
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数、解三角形-第二节 同角三角函数基本关系及诱导公式
故选C.
≠ .
（2）已知方程sin2 + 2sin cos − 2sin − 4cos = 0,则cos 2 − sin cos =
() B
4 3
3 4
A.− B. C.− D.
5 5
5 5
[解析]因为方程 + − − = ,
角
2π + ∈
π+
−
关于原点对称
______________
π
−
2
关于轴对称
_____________
π
+
2
图示
与角终边的关系
相同
______
角
π −
续表
角
2π + ∈
π+
图示
与角终边的关系
关于轴对称
关于直线 = 对称
−
三、诱导公式
组数
一
二
三
= ,即 = ,即 = .
因为 ∈ , ,所以 = , =
.故 − = −
C
=−
.故选C.
1
5
2或
（2）已知sin − cos = ,则tan =_____.
sin2 +cos2
=
2tan2 + 3tan − 1
=
2
tan + 1
=
sin +cos
［对点训练2］（1）已知
sin −cos
2024新人编版七年级数学上册《第五章5.3.2销售问题》教学课件
问题：一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服， 其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的 是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
你估计盈亏情况是怎样的？
A. 盈利 B. 亏损 C. 不盈不亏
探究新知
销售的盈亏取决于什么？
总售价 ？ 总成本(两件衣服的成本之和)
120 ＞ 总成本 120 ＜ 总成本 120 ＝ 总成本
探究新知
解：（1）∵200×90%>134，故购134元的商品未优惠，
又500×0.9=450<466，故购466元的商品有两次优惠， 设其售价为x元，依题意得： 500×0.9+（x-500）×0.8=466，解得：x=520. ∴商品如果不打折分别值134元和520元，共654元; （2）节省654-600=54（元）； （3）654元的商品优惠价为： 500×0.9+（654-500）×0.8=573.2（元）. 故节省600-573.2=26.8（元）. 所以若买相同的商品，合起来购买更节省，节省26.8元.
当堂训练
4．在商品市场经常可以听到小贩的叫卖声和顾客的讨价还价声： “10元一个的玩具车打八折，快来买啊！”“能不能再便宜2元？”如 果小贩真的再让利2元卖了，他还能获利20%，则一个玩具车的进价是 多少元？
解：设一个玩具车的进价是x元，由题意，得 (1＋20%)x＝10×0.8－2， 解得x＝5.
巩固练习
4．文具店的老板均以60元的价格卖了两个计算器，其中一
个赚了20%，另一个亏了20%，则该老板( D )
A．赚了5元
B．亏了25元
C．赚了25元 D．亏了5元
巩固练习
5．儿童节期间，文具店搞促销活动，同时购买一个书包和一 个文具盒可以打八折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价 比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒标价各是多少元？
高中数学第一册第五章第二节向量的加法
（2）两向量不共线
b
.
A
D
a
b+a
a+b
a
B
C’C
b
b+a
a b
向量加法的三角形法则
a （2）两向量不共线
b
D
a
b
b+a
C 向量加法的三角形法则
b a+b
.
A
a
B
向量加法的平行四边形法 则
a+ b = b + a
D C
b
a+b
.
A
a
B
以同一起点A 为起点作两个量 ,a b, 以 a ,b 为邻边作 ABCD，则以A为起 点的对角线AC 就是a ,b 的和,称这种作
两个向量和的方法为平行四边形法则。
说明：向量加法的三角形法则 对两个向量共线和不共线两种情 况都适用，但平行四边形法则体 现了向量加法的交换律，且在不 共线时，三角形法则和平行四边 形法则是一致的。
2.向量加法的运算律
交换律
a+ b = b + a
结合律
（ +a ）+b = +(c + ) a b
面 向
表示方法
几何表示法 代数表示法 a AB
量
加法
运算
基本知识讲解
向量的加法
1. 定义:
已知向量 , .a
b
在平面内任取一
点A，作 = A,B = a ,则向量BC
叫做 与 的和，记作 + ，
即+= + =
AC
a
b
a b AB
BC AC
b ab
高等数学(上)第5章.第2节 牛顿-莱布尼兹公式
解
原式
d dx
x
x
cos tdt
a
x a
t
cos
t
dt
x
a cos t dt x cos x x cos x
x
a cos t dt
例 4 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1,
证明:
2
x
x
0
f (t)dt 1在[0,1]上只有一个解.
(x) lim lim f () lim f () f (x)
x x0
x0
x
若 x a ，取 x 0 ，则同理可证 (a) f (a) ； 若 x b ，取 x 0 ，则同理可证 (b) f (b) ;
即
d (x) dx
定理5.4（原函数存在定理）
如果 f ( x) 在[a, b]上连续，则积分上限的函
有一质点在一直线上运动，在这直线上取定原点、正向及长度单位，
使它成一数轴.设时间 t 时物体在位置函数为 s(t) ,速度为 v(t) ，
在时间间隔[T1,T2 ] 上的位移为 s
T2 v(t)dt .
T1
另一方面，该位移又可以通过位移函数 s(t) 在区间[T1, T2] 上的增量 s(T2 ) s(T1) 来表达.
例1
已知
y
x2
sin tdt
，求
0
解
dy sin( x2 )( x2 ) 2 x sin ( x 2 ) dx
例2 已知 y cos x cos( t 2 )dt ， 求 dy
sin x
dx
解 dy cos( cos 2 x)(cos x) cos( sin 2 x)(sin x)
2024年秋北师大七年级数学上册 第2节 一元一次方程的解法第2课时 利用移项解一元一次方程(课件)
方程两边都除以-2得
x=-5
3
5
(4)1- =3x+
2
2
3
(3)x= x+16
2
(3)移项得
合并同类项得
3
x- =16
2
1
- x=16
2
1
方程两边都除以- 得
2
(4)移项得
合并同类项得
9
方程两边都除以- 得
2
x=-32
3
5
- -3x= -1
2
2
9 3
- x=
2 2
1
x=3
知识升华，巩固提升
x = 4.
例2 解方程
解：
1
1
x x3
4
2
1
1
移项，得 4 x 2 x 3.
3
x3
合并同类项，得
4
3
4
x=4
方程两边都除以 ( 或同乘 )，得
4
3
思考：在上面解方程的过程中，移项的依据是什么？
目的是什么？
移项的依据：等式的基本性质1
目的：使含有未知数的项与常数项分别在等号左、右两边，
所以单项式2a2b2k+3与3a2b11-6k是同类项，
所以2k+3=11-6k
移项，得2k+6k＝11-3
合并同类项，得8k=8.
方程的两边都除以8，得k=1.
随堂训练，课堂总结
1.解方程
【选自教材P145 习题5.2 第1题】
（1）4y-2=3-y
解(1)移项得
4y+y=3+2
合并同类项得 5y=5
(2)对.
2023年新教材高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列课件
[提速度]
1．(2022·枣庄质检)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，
所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为
()
A．28
B．29
C．30
D．31
解析：由结论(8)，设项数为奇数2n－1，S奇－S偶＝an＝319－290＝29， 故选B．
答案：B
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，2S2002200 －2S2001144 ＝6，则S2 023＝
b1＋2 b5＝192＋ 2 64＝128．故选C．
答案：C
2．已知等差数列{an}满足a4＋a6＝22，a1·a9＝57，则该等差数列的公差为 ( )
A．1或－1
B．2
C．－2
D．2或－2
解析：由a1＋a9＝a4＋a6＝22，a1·a9＝57，所以a1，a9是方程x2－22x＋57＝0的两 实数根，解得aa19＝ ＝31，9 或aa19＝ ＝13，9， 所以公差d＝a9－8 a1＝2或－2．故选D． 答案：D
第二节 等差数列
(1)理解等差数列的概念和通项公式的意义；(2)探索并掌握等差数列的前n项 和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；(3)体会等差数列与一 元一次函数的关系．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
3
课时过关检测
01 知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
等差数列的判定与证明方法 方法
解读
适合题型
定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N *)为同一常
数⇔{an}是等差数列
解答题中的
2020版高考数学第五章数列第2节等差数列及其前n项和讲义理(含解析)新人教A版
第2节 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P46A2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31B.32C.33D.34解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B3.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案 1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12B.－10C.10D.12解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( ) A.－3B.－52C.－2D.－4解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15， 解得d ＝－4. 答案 D6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.解析 在等差数列{a n }中， ∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5<0，∴a 5<0，a 6>0，∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5. 答案 S 5考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( ) A.9B.10C.11D.15解析 (1)法一 设等差数列{a n }的公差为d ， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4. 法二 等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，则d ＝4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×（11－1）2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7， ∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( ) A.3 B.4 C.log 318 D.log 324(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析 (1)∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2， 解之得x ＝4，x ＝0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318， ∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.(2)法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二 由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ， 由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.答案 (1)A (2)30考点二 等差数列的判定与证明 典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列. 【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式. 解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23.＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 考点三 等差数列的性质及应用 多维探究角度1 等差数列项的性质【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， 由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48. 答案 D角度2 等差数列和的性质【例3－2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45， 所以a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案 B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； (2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解析 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3， ∴S 2 019＝3×2 019＝6 057.(2)由a 3＋a 4＋a 5＝3及等差数列的性质， ∴3a 4＝3，则a 4＝1.又a 4＋a 12＝2a 8，得1＋a 12＝2×8. ∴a 12＝16－1＝15.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 答案 (1)6 057 (2)A (3)A 考点四 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？ 解 (1)令n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0， 因为a 1≠0，所以a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n (n ≥2). 所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1·2n －1＝2nλ. (2)当a 1>0，λ＝100时，由(1)知，a n ＝2n100，则b n ＝lg 1a n ＝lg 1002n ＝lg 100－lg 2n＝2－n lg 2，所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2， 所以b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027<lg 1＝0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大.规律方法 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值. ①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S nn＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110[思维升华]1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n 项和S n ＝An 2＋Bn 及通项a n ＝pn ＋q 来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解. (2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量. [易错防范]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100B.99C.98D.97解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1， 所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98. 答案 C2.(2019·淄博调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S 9＝( )A.1B.－1C.2D.12 解析 由于S 11S 9＝11a 69a 5＝119×911＝1. 答案 A 3.(2019·中原名校联考)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( )A.10B.20C.30D.40解析 依题意，11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ， ∴{x n }是等差数列.又x 1＋x 2＋…＋x 20＝20（x 1＋x 20）2＝200. ∴x 1＋x 20＝20，从而x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.答案 B4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析 用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65. ∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案 B5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为( ) A.4 B.5 C.6 D.4或5 解析 由{a n }为等差数列，得S 99－S 55＝a 5－a 3＝2d ＝－4， 即d ＝－2，由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >112， 所以S n 取最大值时的n 为5.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 107.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 解析 将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，1a n ＋1－1a n ＝2. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列， 所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111. 答案 1118.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 解析 依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案 200三、解答题9.等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1； 当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2； 当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3； 当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解 设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k ， 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明 由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A.259B.269C.3D.289 解析 令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2，所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝269. 答案 B12.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)，若S n T n ＝2n －1n ＋1，则a 12b 6＝( ) A.154B.158C.237D.3 解析 由题意不妨设S n ＝n (2n －1)，T n ＝n (n ＋1)，所以a 12＝S 12－S 11＝12×23－11×21＝45，b 6＝T 6－T 5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，所以a 12b 6＝4512＝154. 答案 A13.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 13014.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 13＝26，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n ＋1a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若30T n －m ≤0对一切n ∈N *成立，求实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，a 1＋a 13＝26，S 9＝81，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 7＝26，9a 5＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝13，a 5＝9， ∴d ＝a 7－a 57－5＝13－92＝2，∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝9＋2(n －5)＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1（2n ＋1）（2n ＋3） ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3随着n 的增大而增大，知{T n }单调递增. 又12n ＋3>0，∴T n <16，∴m ≥5， ∴实数m 的最小值为5.新高考创新预测15.(多填题)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 44＝2，则a 1＝________，公差d ＝________.解析 由{a n }为等差数列，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1，公差为d 2的等差数列，∵S 55－S 44＝2，∴d 2＝2⇒d ＝4，又S 2＝S 6⇒2a 1＋4＝6a 1＋6×52×4⇒a 1＝－14. 答案 －14 4。
2024年北师大版七年级上册数学同步课件第五章第2节第3课时用去括号法解一元一次方程
图片导入 同学们，我们来看图回答问题： （1）此题中涉及几个量？
（数量、单价、总价） （2）题目的相等关系是什么？请列出方程.
（买东西的钱数+找回的钱数=总钱数. 设一瓶水的价钱为x元，则一瓶牛奶的价钱为（x+2.5）元.列方 程为2（x+2.5）+3x+5=20） （3）你能解这个方程吗？
视频导入
2．去括号时需要注意什么？ 当括号外是负号时，括号内的每一项都需要变号。当有多重括 号时，要按一定顺序去括号
小组讨论
当x为何值时，代数式2(x2－1)－x2的值比代数式x2＋3x－2的值大6? 依题意得2(x2－1)－x2－(x2＋3x－2)＝6。去括号，得2x2－2－x2－ x2－3x＋2＝6。合并同类项，得－3x＝6。方程的两边都除以－3， 得x＝－2
3．去括号的目的：与移项、合并同类项、系数化为1等变形相结 合，最终将一元一次方程转化为x＝a(a为常数)的形式。
注：方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同。当有 多重括号时，去括号要按一定的顺序，可以由内向外去括号，也 可以由外向内去括号，一般情况下采用由内向外去括号。
典例精讲
【题型一】用去括号法解一元一次方程
小组展示 解方程：(1)4x－3(5－x)＝6；(2)5(x＋8)－5＝6(2x－7)。 (1)去括号，得4x－15＋3x＝6。移项、合并同类项，得7x＝21。系 数化为1，得x＝3。 (2)去括号，得5x＋40－5＝12x－42。移项、合并同类项，得－7x ＝－77。系数化为1，得x＝11
小组展示
行回到A码头，用了3．5 h。如果水流的速度是3 km/h，求： (1)船在静水中的平均速度；(2)A，B两个码头之间的距离。 解：(1)设船在静水中的平均速度为x km/h。根据题意，得3(x＋3) ＝3．5(x－3)。解得x＝39。 答：船在静水中的平均速度是39 km/h。 (2)因为船在静水中的平均速度是39 km/h，所以船的顺水速度是39 ＋3＝42(km/h)。 所以A、B两个码头之间的距离为42×3＝126(km)。
高等数学 第五章 第2节 换元积分法(中央财经大学)
f (u ) ∈ C ( I ), 又 u = ϕ ( x) 在区间 J 上可微 , 且 ϕ ( J ) ⊂ I , 则在区间 J 上有
∫ f (ϕ (x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u) d u
= F (u ) + C = F (ϕ ( x)) + C. 该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
∫
f ( x) d x = F (ϕ −1 ( x)) + C ,
其中， −1 ( x) 是 ϕ (t ) 的反函数； 是积分常数。 ϕ C 该定理描述的是不定积分第二换元法。
例 解
计算
∫
dx x2 + a2
(a > 0).
此题可以用 第一换元法 计算。
现在采用第二换元法计算。
2
π π 令 x = a tan t，则 d x = a sec t d t， － < t < ，故 2 2
(u = cos x) ;
(8)
(u = sin x) ;
(9) (10)
(u = tan x) ; (u = tan x) ;
∫
例 解
计算
∫
sin 10 x cos 3 x d x.
令 u = sin x, 则 d u = cos x d x, 于是 sin 10 x cos3 x d x = ∫ u 10 (1 − u 2 ) d u = ∫ (u10 − u 12 ) d u 1 11 1 13 = u − u +C 11 13 1 11 1 = sin x − sin 13 x + C . 11 13
(u = sin x) ; (u = cos x) ; (u = tan x) ; (u = sin x) ; (u = cos x) ; (u = tan x) ;
2023年中考数学复习第一部分考点梳理第五章四边形第2节第3课时正方形
第3课时正方形第4课时1.下列命题是假命题的是 (C)A.对角线相等的菱形是正方形B.对角线互相垂直的矩形是正方形C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形2.如图,P为AB上任意一点,分别以AP,PB为边在AB同侧作正方形APCD,正方形PBEF.设∠CBE=α,则∠AFP为(B)A.2αB.90°-αC.45°+αD.90°-12α第2题图第3题图3.[RJ版教材八下P67复习题18第1(3)题改编]如图,在正方形ABCD内作等边△ABE,连接AC,CE,则∠AEC的度数是(A)A.135°B.130°C.125°D.105°4.如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长AB至点E,使得BE=1,EF⊥AE,EF=AE.分别连接AF,CF,M为CF的中点,则AM的长为(D)A.2√2B.3√2C.114D.√262第4题图第5题图5.(2021·湖南常德)如图,F,E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点,AE与DF交于点P,则下列结论成立的是(C)AEA.BE=12B.PC=PDC.∠EAF+∠AFD=90°D.PE=ECAC, 6.(2022·湖南益阳)如图,将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移,使点A的对应点A'满足AA'=13则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是4.7.如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,AE的延长线交CD于点F,连接CE.若∠BAE=56°,则∠CEF=22°.【解析】∵在正方形ABCD中,∠BAE=56°,∴∠DAF=34°,∠DFE=56°.∵AD=CD,∠ADE=∠CDE,DE=DE,∴△ADE≌△CDE(SAS),∴∠DCE=∠DAF=34°.∵∠DFE是△CEF的外角,∴∠CEF=∠DFE-∠DCE=56°-34°=22°.8.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连接DE,DF,BE,BF.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若AB=4√2,AE=2,求四边形BEDF的周长.解:(1)由题意得∠DAE=∠BCF=45°.在△ADE和△CBF中,{AD=BC,∠DAE=∠BCF, AE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)∵AB=AD=4√2,∴BD=√2AB=8.由正方形对角线相等且互相垂直平分可得AC=BD=8,OD=OB=OA=OC=4.又∵CF=AE=2,∴OE=OF=2,∴四边形BEDF为菱形.∵∠DOE=90°,∴DE=√OD2+EO2=√42+22=2√5,∴四边形BEDF的周长为8√5.9.(2022·合肥高新区二模)如图,E,F分别是正方形ABCD的边AB,AD上的动点,O为对角线的交点,连接OE,OF.若OE⊥OF,AB=4,则EF的最小值为(C)A.2√3B.3C.2√2D.4【解析】易证得△AOF≌△BOE(ASA),∴OE=OF,∴EF=√OE2+OF2=√2OE.∵当OE⊥AB时,OE最小,最小值为12AB=2,∴EF的最小值为√2OE=2√2.10.(2022·合肥瑶海区二模)如图,正方形ABCD的边长是6,对角线的交点为点O,点E在边CD上且CE=2,CF⊥BE,连接OF.(1)∠OFB=45°;(2)OF=6√55.【解析】在BE 上截取BG =CF ,连接OG.(1)易证得△OBG ≌△OCF (SAS),∴∠BOG =∠COF ,OG =OF ,∴∠GOC +∠COF =90°,∴∠OFB =∠OGF =45°.(2)在Rt △BCE 中,根据勾股定理,得BE =2√10,∴BG =CF =BC·CE BE =3√105,在Rt △CEF 中,根据勾股定理,得EF =√105,∴GF =BE -BG -EF =6√105,在Rt △OGF 中,根据勾股定理,得OF =6√55. 11.如图,在正方形ABCD 中,E 为BC 边上任意一点,AF 平分∠EAD ,交CD 于点F. (1)若F 恰好为CD 的中点,求证:AE =BE +2CE ; (2)在(1)的条件下,求CEBC 的值.解:(1)过点F 作FM ⊥AE 于点M ,连接EF. ∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠D =∠C =90°,AD =BC. ∵AF 平分∠EAD ,DF ⊥AD ,FM ⊥AE , ∴DF =FM ,易得AD =AM. 又∵F 是CD 的中点, ∴FC =DF ,∴FM =FC.在Rt △EFM 和Rt △EFC 中,{FM =FC,EF =EF,∴△EFM ≌△EFC ,∴EM =EC , ∴AE =AM +ME =AD +CE =BC +CE =BE +2CE. (2)设CE =a ,BE =b ,可得AE =2a +b ,AB =a +b. 在Rt △ABE 中,AB 2+BE 2=AE 2,∴(a +b )2+b 2=(2a +b )2,解得b =3a 或b =-a (舍去), ∴CEBC =aa+b =14.。
高等数学教材第五章
高等数学教材第五章第一节：函数的概念和性质函数是数学中的重要概念之一，它描述了两个数集之间的对应关系。
在高等数学教材的第五章中，我们将学习函数的概念和性质。
函数的定义：给定两个非空数集A和B，如果存在一种对应关系f，使得对于集合A中的任意一个元素x，都存在唯一一个元素y属于集合B，且f(x) = y，我们就称这个对应关系f为从A到B的函数。
函数的符号表示：通常用f(x)或者y = f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是函数对应的因变量或函数值。
函数的性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数值可能取值的集合。
2. 单调性：函数在定义域内的取值随自变量的增大而增大或随自变量的减小而减小，分别称为单调递增和单调递减。
3. 奇偶性：函数满足f(-x) = -f(x)的称为奇函数，满足f(-x) = f(x)的称为偶函数。
4. 周期性：存在一个正数T，对于任意自变量x，有f(x+T) = f(x)，则函数具有周期T。
第二节：常用函数的性质和图像在高等数学教材的第五章中，我们还将学习常用函数的性质和图像。
1. 反比例函数：对于函数y = k/x，其中k为常数且k≠0，它是一种特殊的函数形式。
当x趋近于0时，y的值趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y的值趋近于0。
它的图像是一个开口向下的双曲线。
2. 幂函数：对于函数y = x^a，其中a为实数且a≠0，它描述了自变量x的幂指数关系。
当a>1时，函数图像呈现上升的趋势；当0<a<1时，函数图像呈现下降的趋势。
3. 指数函数：对于函数y = a^x，其中a为正实数且a≠1，它是幂函数的特殊形式。
指数函数的图像在x轴的右侧呈现上升趋势，且图像都经过点(0,1)。
4. 对数函数：对于函数y = loga(x)，其中a为正实数且a≠1，它是指数函数的反函数。
对数函数的图像在x轴的右侧呈现上升趋势，且图像经过点(1,0)。
八年级数学北师大版上册第五章二元一次方程组第2节求解二元一次方程组教学设计
因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，提供充足的思考空间和交流机会，鼓励学生积极尝试，从而帮助他们克服困难，提高解决二元一次方程组问题的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.理解二元一次方程组的定义，掌握其基本性质和求解方法。
八年级数学北师大版上册第五章二元一次方程组第2节求解二元一次方程组教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二元一次方程组的定义，知道它是由两个二元一次方程构成的。
2.学会使用代入法解二元一次方程组，能够将一个方程中的一个变量表示成另一个变量的函数，然后代入另一个方程中求解。
3.学会使用加减法解二元一次方程组，通过消元的方式将两个方程简化为一个一元一次方程，进而求解。
3.学生在合作学习中的沟通与协作，如何有效地组织小组讨论，提高学生的参与度和团队协作能力。
（三）教学设想
为了帮助学生更好地掌握本章节的知识，我设想以下教学策略：
1.创设情境：以生活中的实际问题引入二元一次方程组的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发他们的学习兴趣。
2.分步教学：将教学内容分解为若干个小步骤，逐步引导学生掌握代入法、加减法等解法。在教学过程中，注重学生的反馈，及时解答他们的疑问。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会组织学生进行以下活动：
1.将学生分成若干小组，每组选出一个组长，负责组织和协调讨论。
2.给每个小组分配一个实际问题，让他们合作解决，并将问题转化为二元一次方程组。
3.各小组讨论并尝试使用不同的解法求解方程组，记录解题过程和结果。
4.各小组展示解题过程和答案，其他小组进行评价和反馈。
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(1)求证：DE是⊙O的切线.
(2)求DE的长. (1)证 明：如答图1-5-2-2，连接OD. ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAB. ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠DAO. ∴∠ODA=∠DAE. ∴OD∥AE. ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE. ∴DE是⊙O切线.
(2)如答图1-5-2-2，过点O作 OF⊥AC于点F， ∴AF=CF=3. ∴OF=
中考考点精讲精练
考点1 点、直线和圆的位置关系(5年未考)
典型例题
1. ⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA=3 cm，则点A与圆
O的位置关系为
(B )
A. 点A在圆上
B. 点A在圆内
C. 点A在圆外
D. 无法确定
2. (2016湘西州)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3 cm，AC=4 cm，
方法规律
与切线有关问题常作的辅助线和解题思路 （1）连接圆心和直线与圆的公共点——证明该半径与已知直 线垂直，则该直线为切线. （2）过圆心作这条直线的垂线段——证明这条垂线段和半径 相等，则该直线为切线. （3）当题中已有切线时，常连接圆心和切点得到半径或90° 角，由此可展开其他问题的计算或证明.
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
（1）直线l和⊙O相离 d＞r. （2）直线l和⊙O相切 d=r. （3）直线l和⊙O相交 d＜r.
3. 切线 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线. （2）切线的主要性质： ①性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. ②切线和圆只有一个公共点. ③切线和圆心的距离等于圆的半径. ④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. ⑤经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
第一部分 教材梳理
第五章 图形的认识（二） 第2节 与圆有关的位置关系
知识梳理
概念定理
1. 点和圆的位置关系（三种） （1）点在圆外. （2） 点在圆上. （3）点在圆内.
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： （1）点P在圆外 d＞r. （2）点P在圆上 d=r. （3）点P在圆内 d＜r.
注意：已知点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系， 反过来，已知点到圆心距离与半径的关系也可以确定该点与圆 的位置关系. 2. 直线和圆的位置关系（三种） （1）相离：一条直线和圆没有公共点. （2）相切：一条直线和圆只有一个公共点，此时叫做这条直 线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫切点. （3）相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线 和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
4. (2015贵港)如图1-5-2-2，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上
的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，
OP=4，则线段OM的最小值是
(B)
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
考点演练
5. 已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和
圆的位置关系为
( C)
A. 相离
A. 点A在圆外
B. 点A在圆上
C. 点A在圆内
D. 不能确定
8. 在平面直角坐标系中，M(2，0)，圆M的半径为4，那么点
P(-2，3)与圆M的位置关系是
( C)
A. 点P在圆内
B. 点P在圆上
ห้องสมุดไป่ตู้
C. 点P在圆外
D. 不能确定
考点点拨： 本考点的题型一般为选择题或者填空题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握点的位置，可以确定该 点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与 半径的关系可以确定该点与圆的位置关系. 注意以下要点： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. ①直线l和⊙O相交 d＜r; ②直线l和⊙O相切 d=r; ③直线l和⊙O相离 d＞r.
以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关
系是
(A )
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不能确定
3. 如图1-5-2-1，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为
圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是
( C)
A. 相离 C. 相切
B. 相交 D. 以上三种情况均有可能
2. (2017宿迁)如图1-5-2-4，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的
弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.
(1)求证：AP=AB；
(2)若OB=4，AB=3，求线段BP的长.
(1)证 明：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC. ∵AB是⊙O的切线, ∴OB⊥AB. ∴∠OBA=90°. ∴∠ABP+∠OBC=90°. ∵OC⊥AO， ∴∠AOC=90°. ∴∠OCB+∠CPO=90°. ∵∠APB=∠CPO， ∴∠APB=∠ABP. ∴AP=AB.
3. (2017宁波)如图1-5-2-5，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=
，以BC的中点O为圆心作圆，分别与AB，AC相切于D，E两点，
则 的长为
( )B
A.
B.
C.
D.
4. 如图1-5-2-6，已知⊙O的直径
AB=10，弦AC=6，∠BAC的分线交
⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的
考点2 切线的判定和性质［5年4考：2013年(解答题)、 2014年(解答题)、2016年(解答题)、2017年(解答题)］
典型例题
1. (2017自贡)如图1-5-2-3，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A， PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于 ( B )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
B. 相切
C. 相交
D. 无法确定
6. 一个点到圆的最小距离为3 cm，最大距离为8 cm，则该圆
的半径是
( D)
A. 5 cm或11 cm
B. 2.5 cm
C. 5.5 cm
D. 2.5 cm或5.5 cm
7. 若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A
与⊙O的位置关系是
( C)
4. 三角形的内心和外心 （1）三角形的内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做 三角形的内心.它到三角形各边的距离相等. （2）三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外 接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 叫做三角形的外心.它到三角形各顶点的距离相等.