人教A版高中数学必修2第四章教案

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高中数学选择性必修二 4 3 1(第2课时)等比数列的性质及应用教案

6数据分析：等比数列的性质及推导、运用，提高学生数学判断以及参与数学活动的能力
重点
等比数列的性质、等比数列的应用
难点
等比数列的运算、等比数列的性质及应用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
温故知新
等比数列
等差数列
定义
公比（公差）
q不可以是0
d可以是0
等比（差）中项
等比中项
等差中项 2A=a+b
等比数列的性质及应用教学设计
课题
等比数列的性质及应用
单元
第一单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
《等比数列》是人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
分析：复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和构成等比数列.
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，
首项，
公比q=1+0.400%，所以
所以，
12个月后的利息为（元）
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为1+r，于是
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元.
解不等式，得
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
例5已知数列Байду номын сангаас的首项 .

高中数学人教A版必修2《2.2.4平面与平面的性质》教案4

必修二 2.2.4 平面与平面平行的性质教案一、教学目标1、知识与技能：掌握两个平面平行的性质定理及其应用。

2、过程与方法：学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。

3、情感态度与价值观：进一步提高学生空间想象能力、思维能力，体会类比的作用，渗透等价转化的思想。

二、教学重点：平面与平面平行的性质定理的理解。

难点：面面平行性质定理的证明及正确应用。

三、学法指导：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。

四、教学过程（一）创设情景，揭示课题复习：两个平面平行的判定定理：βαααββ////,//,,,⇒=⊂⊂b a P b a b a I 。

相关性质：1、若两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行。

2、平行于同一个平面的两个平面平行。

问题1：若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。

问题2：分别在两个平行平面内的两条直线满足什么条件时平行？（共面）问题3：长方体中，平面ABCD 内哪些直线会与直线D B ''平行？怎么样找到这些直线？（平面ABCD 内的直线只要与D B ''共面即可）（二）研探新知例1、如图，已知平面α、β、γ满足b a ==γβγαβαI I ,,//，求证：a // b 。

证明：因为b a ==γβγαI I ,，所以βα⊂⊂b a ,，又因为βα//，所以a ，b 没有公共点，又因为a ，b 同在平面γ内，所以a// b 。

归纳（两个平面平行的性质定理）如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号语言：b a b a //,,//⇒==γβγαβαI I 。

可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。

课堂练习1：判断下列命题是否正确。

（1）如果a ，b 是两条直线，且a // b ，那么a 平行于经过b 的任何平面。

（2）如果直线a 和平面α满足a // α，那么a 与α内的任何直线平行。

人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-1第2课时数列的递推公式及前n项和课件

[解] (1)因为a2－a1＝2－1＝1， a3－a2＝4－2＝2， a4－a3＝7－4＝3， a5－a4＝11－7＝4，所以an＋1－an＝n，即an＋1＝an＋n. 从而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22.
探究2 an与Sn的关系探究问题2 如果已知数列{an}的前n项和，如何求a6呢？ [提示] 用{an}的前6项和减去前5项和．
(2)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 显然a1＝－28适合上式，所以an＝4n－32，n∈N*.
[母题探究] 将本例(2)的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n ＋1”，其他条件不变，求an.
a2－a1＝3－1＝2， a3－a2＝6－3＝3， a4－a3＝10－6＝4， a5－a4＝15－10＝5， ….
(1)你能写出该数列的第8个数吗？ (2)你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？
[讨论交流] 问题1．递推公式的含义是什么？问题2．一般的数列{an}，该如何表示其前n项和？
[提示] 有，an＋1＝an＋1(1≤n≤6，n∈N*)．
[新知生成] 递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用 _一__个__式__子___来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
【教用·微提醒】 (1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能确定一个数列．
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．

高中数学人教A版必修2第四章《第四章圆与方程(通用)》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试教案

高中数学人教A版必修2第四章《第四章圆与方程（通用）》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1.使学生掌握圆的标准方程和一般方程,加深对圆的方程的认识。

2.熟悉直线与圆,圆与圆的位置关系并能解决一些简单问题。

2学情分析
学生已经学习了圆与方程的有关内容,已经有了一定的观察分析、解决问题的能力,但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度,因此思维灵活性受到制约。

根据以上特点,教师恰当引导,提高学生学习主动性,对前后知识加以联系,并灵活运用它解决一些实际问题,可以使
学生进一步了解数学在实际生活中的应用,从而激发学生学习数学的兴趣。

3重点难点
1.解析几何解题的基本思路和解题方法。

2.整理本章的知识结构。

4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【活动】圆与方程的综合应用
导入新课
同学们,我们前面学习了圆、直线与圆的有关知识,那么我们具体学了哪些知识点,有哪些重要的方法?为此我们利用这节课的时间进行系统的整理,帮助同学们构建思维导图,掌握解题的思路和方法。

知识探究
提出问题1.圆的方程有哪几种形式?你能说出它们各自的特点吗?
讨论结果:
(1)圆的标准方程: ,其中圆心是 ,半径长是 .特别地,圆心在原点的圆的标准方程为 .。

【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.2.1

4.2.1 直线与圆的位置关系[学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.知识点一直线与圆的位置关系及判断思考用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？答代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观. 知识点二圆的切线问题 1.求圆的切线的方法(1)求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率k ，则由垂直关系，知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 代数法：设切线方程y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 2.切线段的长度公式(1)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2.(2)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的切线，则P 到切点的切线段长为d ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .题型一直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.解方法一将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，∴当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.方法二已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4，即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离 d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m 2.当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.反思与感悟直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离.试分别求实数a 的取值范围. 解方法一 (代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8ax ＋a 2－900＝0. Δ＝(8a )2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000. ①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，即a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，即a ＜－50或a ＞50. 方法二 (几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线的距离d ＝|a |32＋42＝|a |5， ①当直线和圆相交时，d ＜r ，即|a |5＜10，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a |5＝10，a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，d ＞r ，即|a |5＞10，a ＜－50或a ＞50. 题型二圆的切线问题例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线的方程. 解因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A 在圆外.(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y ＋3＝k (x －4).即kx －y －3－4k ＝0，因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1，所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1，所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1.解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0. (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.反思与感悟 1.过一点P (x 0，y 0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地，有关圆的切线问题，若已知切点则用k 1·k 2＝－1(k 1，k 2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d ＝r (d 为圆心到切线的距离，r 为半径)列式.跟踪训练2 圆C 与直线2x ＋y －5＝0相切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程.解设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 因为两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行，所以2r ＝|15－(－5)|22＋12＝4 5.所以r ＝2 5.所以|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10；①|2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10.② 又因为过圆心和切点的直线与切线垂直，所以b －1a －2＝12.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.故所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20. 题型三圆的弦长问题例3 求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长.解方法一直线x －3yy ＋23＝0和圆x 2＋y 2＝4的公共点坐标就是方程组⎩⎨⎧x －3y ＋23＝0，x 2＋y 2＝4的解. 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝－3，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2. 所以公共点的坐标为(－3，1)，(0,2)，所以直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为(－3－0)2＋(1－2)2＝2. 方法二如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)，所以|OM |＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝ 3.所以|AB |＝2|AM |＝2OA 2－OM 2 ＝222－(3)2＝2. 反思与感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝r 2. 即|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1k2|y 1－y 2|，其中k 为直线l 的斜率.跟踪训练3 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.46 答案 C解析圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r＝5.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.数形结合思想例4直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个交点，则b的取值范围是()A.|b|＝ 2B.－1＜b≤1或b＝－2C.－1≤b＜1D.非以上答案分析曲线x＝1－y2变形为x2＋y2＝1(x≥0)，表示y轴右侧(含与y轴的交点)的半圆，直线y＝x＋b表示一系列斜率为1的直线，利用数形结合思想在同一平面直角坐标系内作出两种图形求解.解析曲线x＝1－y2含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝1－y2(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.相切时，b＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.故选B.答案B解后反思求解直线与曲线公共点的问题，首先要借助图形进行思考；其次要注意作图的完整准确，使得图形能够反映问题的全部；最后在求解中还要细心缜密，保证计算无误.1.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心答案C解析方法一圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝11＋k2≤1＜2＝r，∴直线与圆相交，且圆心(0,0)不在该直线上.方法二直线kx －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该直线上.2.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定答案 B解析 ∵点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外，∴a 2＋b 2＞1. ∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1＝r ，则直线与圆的位置关系是相交. 3.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 答案 D解析依题意可设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，则圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋c ＝0的距离为|c |22＋12＝5，解得c ＝±5.故所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. 4.设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 D解析直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)，则|AB |＝2.5.过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________. 答案 2x －y ＝0解析设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－⎝⎛⎭⎫222＝0，即圆心(1,2)位于直线kx －y ＝0上.于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y ，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l ＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝k 2＋1|x 1－x 2|.3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.一、选择题1.直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切答案 C解析 l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在， ∴l 与圆一定相交，故选C.2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0 D.x －y ＋3＝0答案 D解析圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.3.已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2答案 B解析由条件，知x －y ＝0与x －y －4＝0都与圆相切，且平行，所以圆C 的圆心C 在直线x －y －2＝0上.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，得圆心C (1，－1).又因为两平行线间距离d ＝42＝22，所以所求圆的半径长r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角是( ) A.0° B.45° C.0°或45° D.0°或60° 答案 D解析设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线与圆相切知|3k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故直线l 的倾斜角为0°或60°.5.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于( )A.10－27B.5－7C.10－3 3D.5－322答案 A解析圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为5. 因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，所以点(－1,0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10. 当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小. 弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32，所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27，所以m －n ＝10－27.6.在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 C解析圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意.7.直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 答案 A解析设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当|MN |＝23时，|AC |＝|MC |2－|MA |2＝4－3＝1.∴当|MN |≥23时，圆心C 到直线y ＝kx ＋3的距离d ≤1. ∴|3k －2＋3|k 2＋(－1)2≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1. 由二次函数的图象可得－34≤k ≤0. 二、填空题8.设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析圆心到直线的距离d ＝|a －2＋3|a 2＋1＝22－(3)2＝1，解得a ＝0. 9.圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4解析设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________. 答案2555解析圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－(355)2＝2555.11.若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是_______. 答案 [1，2)解析如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l 与AB 重合时，b ＝1；当直线l 与半圆相切时，b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2). 三、解答题12.已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R ). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即l 恒过定点A (3,1).第11页共11页因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.13.已知直线l 过点P (1,1)并与直线l 1：x －y ＋3＝0和l 2：2x ＋y －6＝0分别交于点A ，B ，若线段AB 被点P 平分，求：(1)直线l 的方程；(2)以原点O 为圆心且被l 截得的弦长为855的圆的方程. 解 (1)依题意可设A (m ，n )，B (2－m,2－n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＋3＝0，2(2－m )＋(2－n )－6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝－3，2m ＋n ＝0，解得A (－1,2).又l 过点P (1,1)，易得直线AB 的方程为x ＋2y －3＝0，即直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.(2)设圆的半径长为r ，则r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫4552，其中d 为弦心距，d ＝35，可得r 2＝5，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝5.。

(完整版)圆的一般方程教案(正式)

4.2.1圆的一般方程一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。

因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。

于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。

【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。

二、探索研究，讲授新课请同学们写出圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=、圆心(a ，b)、半径r把圆的标准方程展开，并整理:22222220x y ax by a b r +--++-= 取D=-2a E=-2b F=222a b r +-220x y Dx Ey F ++++=这个方程就是圆的方程.反过来给出一个形如220x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把220x y Dx Ey F ++++=配方得： 222224()()224D E D E Fx y +-+++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。

问题：这个方程是不是表示圆？⑴当2224D E F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2E)为圆心，以22142D E F +-为半径的圆. ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是所有的方程都可以表示圆。

使得学生的认识不断加深，同时一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。

【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：2042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩即D=-8 E=6 F=O∴所求的方程为22860x y x y +-+=222142r D E F =+-=5、2D -=4、2E-=-3∴圆心坐标为(4,-3)或将220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程： 22(4)(3)25x y -++=【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。

高中数学选择性必修二 4 4数学归纳法教案

4.4数学归纳法教学设计
情景1：某人看到树上有一只乌鸦，深有感触“天下乌鸦一般黑”这个结论是否正确呢？
情景2：《田舍翁之子学书》（明朝刘元卿的《贤弈篇·应谐录》）即财主的儿子学写字. 文中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”这个结论是否正确呢？
情景3：如果{a n}是一个等差数列，怎样得到a n=a1+(n−1)d？
等差数列{a n}的首项为a1，公差为d. 那么
a1=a1=a1+0∙d，
a2=a1+d=a1+1×d,
a3=a2+d=a1+2×d，
a4=a3+d=a1+3×d，
……
骨牌原理猜想的证明步骤（1）第一块骨牌倒下；（1）n=1时，猜想正确
（2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”.这句话是真实的（2）证明“当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立”是真命题
根据（1）（2），所有的骨牌都能倒下.根据（1）（2），这个猜想对一切正整数n都成立
通过上面的类比，我们找到了“通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.”的方法，这个方法就叫做数学归纳法。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n=n0(n∈N∗)时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当n=k(k∈N∗,k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法，用框图表示就是：
1数学归纳法
2例题
3课堂练习。

高中数学第四章圆与方程 4.1.2 圆的一般方程教案新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学

圆的一般方程
例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2
=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=
2
1
|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2
+y 2
=16上,所以x 02
+y 02
=16.将(*)代入得 (2x-10)2
+(2y)2
=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).
②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),
,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)。

人教A版高中数学必修2《四章圆与方程小结》教案_2

第四章圆与方程小结教学设计一、教材分析：本章在第三章“直线与方程”的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系。

在直角坐标系中建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法，通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。

坐标法是贯穿本章的灵魂，在教学中要让学生充分的感受体验。

二、教学目标：1．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题；掌握圆的标准方程和一般方程，加深对圆的方程的认识。

2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能用直线与圆的方程解决一些简单问题。

3．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式。

4．通过本节的复习，使学生形成系统的知识结构，掌握几种重要的数学思想方法，形成一定的分析问题和解决问题的能力。

三、教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。

教学难点：整理形成本章的知识系统和网络。

四、教学过程：（一）回顾本章知识结构图（二）回顾本章知识1、圆的定义平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径。

2、圆的方程（1）圆的标准方程以（a,b ）为圆心，r 为半径的圆的标准方程为：（2）圆的一般方程①②本章知识结构圆与方程222)()(r b y a x =-+-022=++++F Ey Dx y x F E D r E D F E D 421)2,2(042222-+=-->-+，半径为圆心为，表示圆的一般方程，当2,2(0422E D F E D --=-+，只表示一个点当③3、直线与圆的位置关系▲4、圆与圆的位置关系以及公切线，不表示任何图形。

当0422<-+F E D▲4条公切线3条公切线2条公切线1条公切线0条公切线5、与圆有关的弦长问题▲6、空间中两点间距离公式空间中任意一点到点之间的距离是),,(1111z y x P ),,(2222z y x P（三）夯实基础25)3(825)3(85)3(85)3(8)1,5()3,8(.122222222=++-=-++=++-=-++-y x D y x C y x B y x A A C ）（）（）（）（的圆的标准方程为（）且过点圆心为点4.4.24.4.24.4.24.4.2,,22,202322----=+-++D C B A c b a c by ax y x 的值依次为（）的圆，则）为半径为表示圆心（方程22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=的取值范围是表示圆，则a a ay ax y x 02.422=+-++＿＿＿＿内切相交相切相离位置关系是（）和圆或的取值范围是（）的内部，则）在圆点（D C B A y y x x y x Da a Ca a B a A a a y a x 0402611110114)()(1,15222222=-+=-+±=>-<<<<<-=++-6323262)2()2(03814320131040744722222221D C B A y x y x D C B A y x y x C y x y x C 截得的弦长等于（）被圆直线条条条条则两圆的公切线有（）的方程为圆的方程是若圆=-++=+-=+--+=+--+ 相交、相切、相离？与圆为何值时直线当0401922=-+=--x y x y mx m（四）思考（五）课堂小结：本章的知识点主要是实现由形到数的一种转变，所以在今后的学习中要把握关键，寻求规律，掌握方法，要时刻把握好直线与圆的综合问题、相交及交点等问题的应用以及直线与圆的实际应用。

人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-2-1第2课时等差数列的性质及应用课件

【链接·教材例题】例5 已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t.求证ap＋aq＝as＋at. 分析：只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at，再利用已知条件即可得证．
[证明] 设数列{an}的公差为d，则 ap＝a1＋(p－1)d， aq＝a1＋(q－1)d， as＝a1＋(s－1)d， at＝a1＋(t－1)d. 所以
[母题探究] 本例(1)中条件变为“已知等差数列{an}中，a3＋a6＝ 8”，求5a4＋a7的值．
[解] 法一：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.
法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq， ∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， ∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7. 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5， ∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24.
[新知生成] 等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋ q，则am＋an＝__a_p_＋__a_q_． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的__和__，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 _等__差___数列．
[讨论交流] 问题1．等差数列的子数列是如何定义的？问题2．等差数列的子数列有什么样的性质？问题3．等差数列的任意两项间有什么样的数量关系？问题4．等差数列的“下标和”性质是什么？
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．

新教材高中数学第四章数列：第1课时等差数列的前n项和学案新人教A版选择性必修2(含答案)

新教材高中数学学案新人教A 版选择性必修2：等差数列的前n 项和公式新课程标准学业水平要求1.探索并掌握等差数列的前n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．1.借助教材实例了解等差数列前n 项和公式的推导过程．(数学运算)2．借助教材掌握a 1，a n ，d ，n ，S n 的关系．(数学运算)3．掌握等差数列的前n 项和公式、性质及其应用．(数学运算)4．能利用等差数列的通项公式、前n 项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题．(数学运算、数学建模) 第1课时等差数列的前n 项和必备知识·自主学习导思1.什么是等差数列的前n 项和公式？2．怎样推导等差数列的前n 项和公式？1.等差数列的前n 项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式S n ＝1n n(a a )2+S n ＝1n(n 1)na d 2-＋在等差数列{a n }中，涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n 项和．依据方程的思想，在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．求等差数列的前n 项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n 项和公式？提示：求等差数列的前n 项和时，若已知首项、末项和项数，则选用公式S n ＝n （a 1＋a n ）2；若已知首项、公差和项数，则选用公式S n ＝na 1＋n （n －1）2 d.2．等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系将等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n （n －1）2 d 整理成关于n 的函数可得S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2 n.等差数列的前n 项和一定是n 的二次函数吗？提示：不一定，当公差d≠0时，前n 项和是n 的二次函数，当公差d ＝0时，前n 项和是n 的一次函数．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n 项和公式求和．( × ) (2)数列{n 2}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和．( × )(3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋1，则数列{a n }一定不是等差数列．( √ ) (4)在等差数列{a n }中，当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝a n ＋1( × ) 提示：(1)不管公差是不是零，都可应用公式求和．(2)因为数列{n 2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式求和．(3)等差数列的前n 项和是关于n 的缺常数项的二次函数，S n ＝n 2＋2n ＋1中有常数项，故不是等差数列．(4)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd.2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝－2，则前10项和S 10＝( ) A ．－20 B ．－40 C ．－60 D ．－80【解析】选D.由等差数列前n 项和公式得，S 10＝10×1＋12 ×10×9×(－2)＝－80.3．已知等差数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝8，则S 17＝( ) A.85B ．170C ．75D ．150【解析】选A.S 17＝12×17×(2＋8)＝85.4．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，S 8＝64，则d ＝________．【解析】S 8＝8×1＋12 ×8×7×d＝64，解得d ＝2.答案：2关键能力·合作学习类型一等差数列前n 项和的计算(数学运算)1．已知a 1＝32 ，d ＝－12 ，S n ＝－15，求n 和a 12.【解析】因为S n ＝n·32 ＋n （n －1）2 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－15，整理得n 2－7n －60＝0. 解得n ＝12或n ＝－5(舍去). 所以a 12＝32 ＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－4.2．已知a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d. 【解析】由S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝n （1－512）2 ＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171. 3．已知a 1＝6，a 3＋a 5＝0，求S 6.【解析】由a 3＋a 5＝2a 4＝0，得a 4＝0，a 4－a 1＝3d ＝－6，d ＝－2. 故S 6＝6a 1＋15d ＝6×6＋15×(－2)＝6.等差数列中基本量计算的两个技巧(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2结合使用．【补偿训练】1.(2021·青岛高二检测)等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 14＝－8，S 9＝－9，则S 18＝( )A ．－162B ．－1C ．3D ．－81 【解析】选D.设等差数列{}a n 的公差为d ，因为a 14＝－8，S 9＝－9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋13d ＝－89a 1＋36d ＝－9 ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋13d ＝－8，a 1＋4d ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝199，d ＝－79，所以S 18＝18a 1＋153d ＝－81.2．已知等差数列{a n }满足a 1＝1，a m ＝99，d ＝2，则其前m 项和S m 等于________．【解析】由a m ＝a 1＋(m －1)d ，得99＝1＋(m －1)×2，解得m ＝50，所以S 50＝50×1＋50×492 ×2＝2 500.答案：2 5003．(1)已知a 1＝56 ，a 15＝－32 ，S n ＝－5，求d 和n ；(2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d.【解析】(1)因为a 15＝56 ＋(15－1)d ＝－32 ，所以d ＝－16 .又S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ＝－5，所以56 n ＋n （n －1）2 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16 ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍).(2)由已知，得S 8＝8（a 1＋a 8）2 ＝8（4＋a 8）2 ＝172，解得a 8＝39，又因为a 8＝4＋(8－1)d＝39，所以d ＝5.类型二等差数列前n 项和的性质(数学运算) 【典例】在等差数列{a n }中． (1)若a 4＝2，求S 7； (2)若S 5＝3，S 10＝7，求S 15； (3)若S 10＝100，S 100＝10，求S 110.续表题后反思等差数列前n 项和具有“片段和”性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2d 的等差数列，在解决单纯的前n 项和问题时有简化运算的功效．等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn(a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d. ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1 ；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.1．(2021·茂名高二检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15【解析】选A.设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14 ，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．【解析】因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3，所以S n ＝n （3＋2n ＋1）2 ＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92 ×1＝75.答案：753．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝7n ＋2n ＋3 ，则a 5b 5 的值为__________．【解析】a 5b 5 ＝2a 52b 5 ＝9（a 1＋a 9）9（b 1＋b 9）＝S 9T 9 ＝7×9＋29＋3 ＝6512 . 答案：6512类型三等差数列前n 项和的应用(数学运算) 角度1 等差数列前n 项和的最值【典例】在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．【思路导引】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列关于首项a 1和公差d 的方程，求得a 1和d ，进而得解；(2)可先求出前n 项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．【解析】(1)由题意得11a 9d 18545a d 152⎧⎪⎨⨯⨯⎪⎩＋＝，＋＝－，解得a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12. (2)方法一：S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝12 (3n 2－21n)＝32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －72 2 －1478 ，所以当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18. 方法二：设S n 最小，则n n 1a 0a 0≤⎧⎨≥⎩＋，，即3n 1203(n 1)120≤⎧⎨≥⎩－，＋－，解得3≤n≤4，又n∈N ＋，所以当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.(变条件)把例题中的条件“S 15＝－15”改为“S 5＝125”，其余不变，则数列{a n }的前n 项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．【解析】S 5＝12 ×5×(a 1＋a 5)＝12 ×5×2a 3＝5a 3＝125，故a 3＝25，a 10－a 3＝7d ，即d ＝－1＜0，故S n 有最大值， a n ＝a 3＋(n －3)d ＝28－n.设S n最大，则n n 1a 0a 0≥⎧⎨≤⎩＋，，解得27≤n≤28，即S 27和S 28最大，又a 1＝27，故S 27＝S 28＝378.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ＝d 2 n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2 n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决． (2)邻项变号法当a 1>0，d<0时，满足n n 1a 0a 0≥⎧⎨≤⎩＋，的项数n 使S n取最大值；当a 1<0，d>0时，满足n n 1a 0a 0≤⎧⎨≥⎩＋，的项数n 使S n 取最小值．角度2 等差数列前n 项和的实际应用【典例】某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？【思路导引】每月付的款构成等差数列，最后的全部款项是该数列的前n 项和．【解析】设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则 a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由题知，20个月贷款还清．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S 20＝60＋（60－19×0.5）2 ×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元).应用等差数列解决实际问题的一般思路1．(2021·平顶山高二检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【解析】选A.设等差数列的公差为d ，因为a 4＋a 6＝－6，所以2a 5＝－6，所以a 5＝－3.又因为a 1＝－11，所以－3＝－11＋4d ，所以d ＝2. 所以S n ＝－11n ＋n （n －1）2 ×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时，S n 取得最小值．2．为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n(n∈N *)年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于_______．(盈利额＝总收入－总成本)【解析】设每年的运营成本为数列{a n }，依题意该数列为等差数列，且a 1＝3，d ＝2.所以n 年后总运营成本S n ＝n 2＋2n ，因此，年平均盈利额为：20n －（n 2＋2n ）－16n＝－n－16n ＋18≤－2n ×16n＋18＝10，当且仅当n ＝4时等号成立．答案：4【补偿训练】在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值．【解析】由S 17＝S 9，得25×17＋17×（17－1）2 d ＝25×9＋9×（9－1）2 d ，解得d ＝－2，方法一：S n ＝25n ＋n （n －1）2 ×(－2)＝－(n －13)2＋169.由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二：因为a 1＝25＞0，d ＝－2<0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2（n －1）≥0，a n ＋1＝25－2n≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312，n≥1212，即1212 ≤n≤1312 .又n∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值169.课堂检测·素养达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32 n 2＋n2B ．－32 n 2－n2C ．32 n 2＋n2D ．32 n 2－n 2【解析】选A.因为a n ＝2－3n ，所以a 1＝2－3＝－1，所以S n ＝n （－1＋2－3n ）2 ＝－32 n 2＋n2.2．若等差数列{a n }的前5项的和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( ) A ．12B ．13C ．14D ．1511 【解析】选B.因为S 5＝5a 3＝25，所以a 3＝5.所以d ＝a 3－a 2＝5－3＝2，所以a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．763C ．665D ．663【解析】选C.设符合题意的数所组成的等差数列为{a n }．因为a 1＝2，d ＝7，2＋(n －1)×7<100，所以n<15，所以符合题意的数共14个，故S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665. 4．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．【解析】数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A(n －1)2－B(n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A.答案：2A5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________．【解析】因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2 ＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4.经检验，m ＝4符合题意．答案：4。

新教材高中数学第四章数列：第2课时等差数列的性质及应用学案新人教A版选择性必修2(含答案)

新教材高中数学学案新人教A 版选择性必修2：第2课时等差数列的性质及应用新课程标准学业水平要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．3．体会等差数列与一元一次函数的关系．1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理)2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算)必备知识·自主学习导思1.等差数列的项有哪些性质？2．怎样应用等差数列的性质简化运算？1.等差数列通项公式的变形及推广 ①a n ＝dn ＋(a 1－d)(n∈N *)， ②a n ＝a m ＋(n －m)d(m ，n∈N *)， ③d＝a n －a m n －m(m ，n∈N *，且m≠n).其中①的几何意义是点(n ，a n )均在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上． ②可以利用任意项及公差直接得到通项公式，不必求a 1. ③即斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1 ，可用来由等差数列任两项求公差．2．等差数列的性质在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p(m ，n ，p∈N *)，则a m ＋a n ＝a p 成立吗？提示：不一定．如数列1，2，3，4，…，满足a 1＋a 2＝a 3；而数列1，1，1，1，…，则不满足a 1＋a 2＝a 3.3．由等差数列衍生的新数列若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d′的等差数列，则有数列结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd′的等差数列(p ，q 为常数)1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若数列{a n }的通项公式a n ＝kn ＋b ，则{a n }是公差为k 的等差数列．( √ ) (2)等差数列{a n }中，必有a 10＝a 1＋a 9.( × )(3)若数列a 1，a 2，a 3，a 4，…是等差数列，则数列a 1，a 3，a 5，…也是等差数列．( √ ) (4)若数列a 1，a 3，a 5，…和a 2，a 4，a 6…都是公差为d 的等差数列，则a 1，a 2，a 3…是等差数列．( × )提示：(1)通项公式是关于n 的一次函数形式的数列都是等差数列． (2)等差数列中项的和相等都是等式两边项数相等，项数和相等． (3)等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列．(4)如数列1，1，1，…和数列2，2，2，…，按照规则排好后成为数列1，2，1，2，1，2，…，显然此数列不是等差数列．2．等差数列{a n }中，a 100＝120，a 90＝100，则公差d 等于( ) A ．2B ．20C ．100D ．－2【解析】选A.因为a 100－a 90＝10d ，所以10d ＝20即d ＝2. 3．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A.－3 B ．3 C ．32 D ．－32【解析】选B.由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7，所以a 2＝15－12＝3.4．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________．【解析】因为a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，所以a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝2×90＝180. 答案：180关键能力·合作学习类型一等差数列性质的应用(数学运算)1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．30B ．15C ．5 6D ．10 6【解析】选B.因为数列{a n }为等差数列，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 3 ＝52 (a 2＋a 4)＝52×6＝15. 2．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A.0B ．37C ．100D ．－37【解析】选C.设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100， c 2＝a 2＋b 2＝100，所以{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. 所以c 37＝100，即a 37＋b 37＝100.3．已知等差数列{a n }的公差为d(d≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( ) A.12B ．8C ．6D ．4【解析】选B.由等差数列的性质，得 a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10) ＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，所以a 8＝8，又d≠0，所以m ＝8.解决等差数列运算问题的一般方法一是灵活运用等差数列{a n }的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差求解，属于通用方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．对等差数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a 15≠a 7＋a 8，但a 6＋a 9＝a 7＋a 8；a 1＋a 21≠a 22，但a 1＋a 21＝2a 11【补偿训练】1．在等差数列{a n }中，已知a 2＋2a 8＋a 14＝120，则2a 9－a 10的值为________．【解析】因为a 2＋a 14＝2a 8，所以a 2＋2a 8＋a 14＝4a 8＝120，所以a 8＝30.所以2a 9－a 10＝(a 8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：302．在等差数列{a n}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．【解析】因为(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27.类型二等差数列的设法与求解(数学运算)【典例】已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．四步内容理解题意条件：①三个数成单调递增等差数列②它们的和等于18，平方和等于116结论：求这三个数思路探求设出三个数，列方程组求解书写表达设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.由题意可得222(a d)a(a d)18(a d)a a d116⎧⎨⎩－＋＋＋＝，－＋＋（＋）＝，解得a6d2⎧⎨⎩＝，＝或a6.d2⎧⎨⎩＝，＝－因为d>0，所以a＝6，d＝2.所以这个数列是4，6，8.题后反思三个数成等差数列设元时以中间一个为准，但需注意对公差符号的选取．设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.(3)等差数列的通项可设为a n＝pn＋q.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d.由题意可得a d a a d6 a d a a d24⎧⎨⎩（－）＋＋（＋）＝，（－）（＋）＝－，解得a2d4⎧⎨⎩＝，＝或a2.d4⎧⎨⎩＝，＝－所以所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.类型三等差数列的实际应用(数学建模)【典例】某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【思路导引】每年的利润构成一个等差数列，公差是－20.【解析】设从第一年起，第n年的利润为a n万元，则a1＝200，a n＋1－a n＝－20(n∈N*)，所以每年的利润构成一个等差数列{a n}，从而a n＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损．所以由a n＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．与等差数列有关的实际问题解法解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．1．《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为( )A ．12.5尺B ．10.5尺C ．15.5尺D ．9.5尺【解析】选C.设此等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 4＋a 7＝3a 1＋9d ＝37.5，a 1＋11d ＝4.5，解得d ＝－1，a 1＝15.5.2．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．【解析】根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元). 答案：23.2课堂检测·素养达标1．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 【解析】选A.a 7＋a 9＝a 4＋a 12，所以a 12＝16－1＝15.2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13 a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 【解析】选C.由题意，得5a 8＝120，所以a 8＝24，所以a 9－13 a 11＝(a 8＋d)－13 (a 8＋3d)＝23a 8＝16.3．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝－1，a 11－a 4＝21.则a 7等于________．【解析】因为a 3＋a 7－a 10＋a 11－a 4＝a 3＋a 7＋a 11－(a 10＋a 4) ＝3a 7－2a 7＝a 7，所以a 7＝21－1＝20. 答案：204．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________．【解析】由等差数列的性质可知a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6，所以a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案：745．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．【解析】设等差数列的公差为d，则a4a7＝(a6－2d)(a6＋d) ＝(4－2d)(4＋d)＝－2(d＋1)2＋18，即a4a7的最大值为18. 答案：18。

高中数学人教A版必修2第四章4.1.1圆的标准方程课件

求曲线方程的步骤:
1、选系； 2、取动点； 3、列方程； 4、化简.
我们知道，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线.
思考？在平面直角坐标系中，如何确
定一个圆呢？
三、圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点
的集合(轨迹)是圆.
定点就是圆心，
y
定长就是半径.
怎样求出圆心是 A(a，b)，半径是r的圆的方程?
(3)方法：①待定系数法; ②数形结合法.
练习:
6、圆心在直线y=x上，与两轴同时相切，半径为2.
Y
Y=X
-2 C(-2,-2)
C(2,2)
02
X
-2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
例4、求以C1，3为圆心，并且和直线
3x 4 y 7 0相切的圆的方程.
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)定义法； (2)待定系数法:确定a，b，r.
课外作业： P124 习题 A组 1、2、3、4、5、6
练习
1. P.120第1题、P.121第4题；
2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3, －5)，并且与直线
x－7y＋2＝0相切； (2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y＝2x上，
且与直线y＝2x＋5相切．
3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1, y1)、 B(x2, y2)，证明：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．

新教材高中数学第四章数列：第1课时等差数列的概念学案新人教A版选择性必修2(含答案)

新教材高中数学学案新人教A版选择性必修2：等差数列的概念新课程标准学业水平要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．3．体会等差数列与一元一次函数的关系．1.借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象)2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象)3．会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关的问题．(数学运算)4．能利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题．(数学运算、数学建模)第1课时等差数列的概念必备知识·自主学习导思1.什么是等差数列？2．等差数列的通项公式是什么？3．什么是等差中项？1.等差数列的定义(1)条件：①从第2项起．②每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．(2)结论：这个数列是等差数列．(3)相关概念：这个常数叫做等差数列的公差，常用d表示．(1)为什么强调“从第2项起”？提示：①第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．(2)如何理解“每一项与前一项的差”？提示：它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．2．等差中项(1)前提：三个数a ，A ，b 成等差数列．(2)结论：A 叫做a 与b 的等差中项．(3)满足的关系式：2A ＝a ＋b ．等式“2A＝a ＋b”有哪些等价形式？提示：2A ＝a ＋b ⇔A －a ＝b －A ⇔A ＝a ＋b 2. 3．等差数列的通项公式递推公式通项公式 a n ＋1－a n ＝d(n∈N *)a n ＝a 1＋(n －1)d (n∈N *)1．怎样从函数角度认识等差数列？提示：若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d).(1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.2．由等差数列的通项公式可以看出，要求a n ，需要哪几个条件？提示：只要求出等差数列的首项a 1和公差d ，代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 即可．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( √ )(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．( √ )(4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( √ )提示：(1)若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)当d>0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．(4)若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n ＝( )A ．4－2nB ．2n －4C ．6－2nD ．2n －6【解析】选C.a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝4－2n ＋2＝6－2n.3．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d ＝________．【解析】(－3)－(－6)＝3，故d ＝3.答案：34．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则B 等于________．【解析】因为三内角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，所以B ＝60°.答案：60°关键能力·合作学习类型一等差中项的应用(数学运算)1．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．26B ．29C ．39D ．52【解析】选C.因为5，x ，y ，z ，21成等差数列，所以y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项．所以5＋21＝2y ，所以y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26，所以x ＋y ＋z ＝39.2．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( )A.a ＝－bB ．a ＝3b C.a ＝－b 或a ＝3b D ．a ＝b ＝0【解析】选C.由等差中项的定义知：x ＝a ＋b 2 ，x 2＝a 2－b 22，所以a 2－b 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2 ，即a 2－2ab －3b 2＝0. 故a ＝－b 或a ＝3b.3．若m 和2n 的等差中项为4，2m 和n 的等差中项为5，则m 和n 的等差中项为________．【解析】由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8.又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10.两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n 2＝3. 答案：3等差中项的应用方法三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n∈N *). 【补偿训练】在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．【解析】因为－1，a ，b ，c ，7成等差数列，所以b 是－1与7的等差中项，所以b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，所以a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，所以c ＝3＋72 ＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7.类型二等差数列的通项公式及其应用(数学运算)【典例】(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ；(2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54 ，a 7＝－74，求a 15的值．四步内容理解题意条件：等差数列的任意两项结论：求通项公式思路探求设出基本量a 1，d ，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a n ＝a m ＋(n －m)d 求解．书写表达设等差数列的首项为a 1，公差为d ， (1)因为a 4＝7，a 10＝25，则11a 3d 7a 9d 25⎧⎨⎩＋＝，＋＝，得1a 2d 3⎧⎨⎩＝－，＝，所以a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5，所以通项公式a n ＝3n －5(n∈N *).(2)方法一：由 375a 47a 4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝－，得 115a 2d 47a 6d 4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，＋＝－，解得a 1＝114 ，d ＝－34 ，所以a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114 ＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝－314 . 方法二：(利用a n ＝a m ＋(n －m)d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74 ＝54＋4d ，解得d ＝－34，所以a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54 ＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝－314 . 题后反思应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其他项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n)d 较为简捷基本量法求通项公式根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就称为基本量．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1，d 的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．1．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( )A ．15B ．22C ．7D ．29【解析】选A.设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得381161a a a 2d a 7d 22a a 5d 7⎧⎨⎩＋＝＋＋＋＝，＝＋＝，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.2．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，(1)由a 1＝8，d ＝5－8＝－3，n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1.由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项．类型三等差数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)【典例】已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2 . (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由； (2)求a n .【思路导引】要判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列，要先求1a n ＋1 －1a n 的表达式，再求出数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的通项公式．【解析】(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2 ，所以1a n ＋1 ＝a n ＋22a n ＝12 ＋1a n，所以1a n ＋1 －1a n ＝12 ，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1 ＝12 ，公差为d ＝12 的等差数列． (2)由(1)可知1a n ＝1a 1 ＋(n －1)d ＝n 2 ，所以a n ＝2n.将典例中的条件“a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2”换为“a 1＝1，a 2＝2，2a n ＋1＝2a n ＋3(n≥2，n∈N *)”试判断数列{a n }是否是等差数列．【解析】当n≥2时，由2a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝32，但a 2－a 1＝1≠32，故数列{a n }不是等差数列．等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d(常数)(n∈N *)⇔{a n }为等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n∈N *)⇔{a n }为等差数列；(3)通项公式法：a n ＝an ＋b(a ，b 是常数，n∈N *)⇔{a n }为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1 (n>1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．【证明】(定义法)因为b n ＋1＝1a n ＋1－2 ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2 ＝a n 2（a n －2），所以b n ＋1－b n ＝a n 2（a n －2）－1a n －2 ＝a n －22（a n －2）＝12，为常数(n∈N *). 又b 1＝1a 1－2 ＝12，所以数列{b n }是首项为12 ，公差为12的等差数列． (等差中项法)因为b n ＝1a n －2，所以b n ＋1＝1a n ＋1－2 ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2 ＝a n 2（a n －2） . 所以b n ＋2＝a n ＋12（a n ＋1－2）＝4－4a n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2 ＝a n －1a n －2 . 所以b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2 ＋a n －1a n －2 －2×a n 2（a n －2）＝0. 所以b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n∈N *)，所以数列{b n }是等差数列．【补偿训练】已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n，且a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)由a n ＋1＝3a n ＋3n，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1 ＝a n 3n ＋13 ，即a n ＋13n ＋1 －a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13 ＝13 为首项，13 为公差的等差数列． (2)由(1)知a n 3n ＝13 ＋(n －1)×13 ＝n 3，故a n ＝n·3n －1，n∈N *. 备选类型等差数列的证明与递推公式(数学运算、逻辑推理)【典例】已知f(x)＝2x x ＋2 ，在数列{x n }中，x 1＝13，x n ＝f(x n －1)(n≥2，n∈N *)，试说明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列，并求x 95的值．【思路导引】设法说明1x n －1x n －1是常数．【解析】因为当n≥2时，x n ＝f(x n －1)，所以x n ＝2x n －1x n －1＋2(n≥2)，即x n x n －1＋2x n ＝2x n －1(n≥2)，得2x n －1－2x n x n x n －1＝1(n≥2)，即1x n －1x n －1 ＝12(n≥2). 又1x 1 ＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是以3为首项，12 为公差的等差数列，所以1x n ＝3＋(n －1)×12 ＝n ＋52，所以x n ＝2n ＋5 ，所以x 95＝295＋5 ＝150.(1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d(n≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d(d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养．1．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n≥2，且n∈N *).(1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式a n .【解析】(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20.(2)因为a n ＝2a n －1＋2n (n≥2，且n∈N *)，所以a n 2n ＝a n －12n －1 ＋1(n≥2，且n∈N *)，即a n 2n －a n －12n －1 ＝1(n≥2，且n∈N *)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121 ＝12 ，公差d ＝1的等差数列． (3)由(2)，得a n 2n ＝12 ＋(n －1)×1＝n －12，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12 ·2n . 2．已知数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n≥3).(1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求{a n }的通项公式．【解析】(1)当n≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2，而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n≥3)，所以{a n }不是等差数列．(2)当n≥2时a n 是等差数列，公差为2.当n≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3，又a 1＝1不适合上式，所以{a n }的通项公式为a n＝1n 12n 3n 2.⎧⎨≥⎩，＝，－，课堂检测·素养达标1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6【解析】选B.设{a n }的公差为d ，根据题意知：a 4＝a 2＋(4－2)d ，易知d ＝－1，所以a 6＝a 4＋(6－4)d ＝0.2．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 11B ．a 10C ．a 9D ．a 8【解析】选C.|a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n|，所以n ＝9时，|a n |最小．3．已知数列{a n }，对任意的n∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( )A ．公差为2的等差数列B ．公差为1的等差数列C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列【解析】选A.由题意知a n ＝2n ＋1，所以a n ＋1－a n ＝2.4．已知a ＝13＋2 ，b ＝13－2 ，则a ，b 的等差中项为________．【解析】a ＋b 2 ＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3 . 答案： 35．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，则这三个数为________．【解析】设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则3a ＝9，所以a ＝3.所以这三个数分别为3－d ，3，3＋d.由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，所以d ＝－1.所以这三个数分别为4，3，2.答案：4，3，2。